Charging and Discharging of Capacitance and RC circuit (DC) Questions in Hindi

(B) आवेशित होते संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V = V_0(1 - e^{-t/RC})$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $V = 2\, V$,$V_0 = 20\, V$,$t = 1\, \mu s = 10^{-6}\, s$,और $R = 10\, \Omega$ दिया गया है।
मान रखने पर: $2 = 20(1 - e^{-t/RC})$.
$1/10 = 1 - e^{-t/RC} \Rightarrow e^{-t/RC} = 9/10$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $-t/RC = \ln(9/10) = -\ln(10/9)$.
$t/RC = \ln(10/9)$.
धारिता $C$ के लिए सूत्र व्यवस्थित करने पर: $C = t / (R \cdot \ln(10/9))$.
$C = 10^{-6} / (10 \times 0.105) = 10^{-6} / 1.05 \approx 0.952\, \mu F$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,$C = 0.95\, \mu F$.

(D) आवेशित होते हुए संधारित्र पर तात्कालिक वोल्टेज $V$ को सूत्र $V = V_0 (1 - e^{-t/RC})$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$V_0 = 100 \, V$,$V = 50 \, V$,$R = 100 \, \Omega$,और $C = 1 \, \mu F = 10^{-6} \, F$ है।
समय नियतांक $\tau = RC = 100 \times 10^{-6} = 10^{-4} \, s$ है।
समीकरण में मान रखने पर:
$50 = 100 (1 - e^{-t/10^{-4}})$
$0.5 = 1 - e^{-t/10^{-4}}$
$e^{-t/10^{-4}} = 0.5$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर:
$-t/10^{-4} = \ln(0.5) = -\ln(2)$
$t/10^{-4} = \ln 2$
दिया गया है कि $\ln 2 = 0.69$,अतः:
$t = 0.69 \times 10^{-4} \, s$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट मान $0.69$ है।

(D) संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{q^2}{2C}$ द्वारा दी जाती है।
समय $t_{1}$ में,ऊर्जा आधी हो जाती है,इसलिए $U(t_{1}) = \frac{U_{0}}{2}$.
इसका अर्थ है $\frac{q(t_{1})^2}{2C} = \frac{1}{2} \frac{Q_{0}^2}{2C}$,जो सरल होकर $q(t_{1}) = \frac{Q_{0}}{\sqrt{2}}$ हो जाता है।
डिस्चार्जिंग समीकरण $q(t) = Q_{0} e^{-t/RC}$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\frac{Q_{0}}{\sqrt{2}} = Q_{0} e^{-t_{1}/RC}$ है,इसलिए $e^{-t_{1}/RC} = 2^{-1/2}$.
प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\frac{t_{1}}{RC} = \frac{1}{2} \ln(2)$.
समय $t_{2}$ में,आवेश आठवां हिस्सा हो जाता है,इसलिए $q(t_{2}) = \frac{Q_{0}}{8}$.
डिस्चार्जिंग समीकरण का उपयोग करते हुए,$\frac{Q_{0}}{8} = Q_{0} e^{-t_{2}/RC}$,इसलिए $e^{-t_{2}/RC} = 2^{-3}$.
प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\frac{t_{2}}{RC} = 3 \ln(2)$.
अब,अनुपात $\frac{t_{1}}{t_{2}} = \frac{\frac{1}{2} \ln(2)}{3 \ln(2)} = \frac{1}{6}$।

(A) स्थिर अवस्था में,संधारित्र एक खुले परिपथ की तरह कार्य करता है,इसलिए संधारित्र वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
परिपथ में बैटरी $E = 10 \, V$ और उसका आंतरिक प्रतिरोध $r = 10 \, \Omega$,प्रतिरोध $R = 100 \, \Omega$ के साथ श्रेणीक्रम में जुड़े हैं।
परिपथ में प्रवाहित धारा $I = \frac{E}{R + r} = \frac{10}{100 + 10} = \frac{10}{110} = \frac{1}{11} \, A$ है।
प्रतिरोध $R = 100 \, \Omega$ के सिरों के बीच विभवांतर $V_R = I \times R = \frac{1}{11} \times 100 = \frac{100}{11} \, V$ है।
चूंकि संधारित्र प्रतिरोध $R$ के समानांतर है,इसलिए संधारित्र के सिरों के बीच विभवांतर प्रतिरोध $R$ के विभवांतर के बराबर होता है।
संधारित्र में संचित आवेश $q = C \times V_R = (1.1 \times 10^{-6} \, F) \times \left(\frac{100}{11} \, V\right)$ है।
$q = (1.1 \times 10^{-6}) \times \left(\frac{100}{11}\right) = 0.1 \times 10^{-6} \times 100 = 10 \times 10^{-6} \, C$.
अतः,संचित आवेश $10 \times 10^{-6} \, C$ है।

(C) श्रेणी $R-C$ परिपथ के लिए, समय $t$ पर संधारित्र के सिरों पर विभव $V(t) = E(1 - e^{-t/RC})$ द्वारा दिया जाता है।
जब संधारित्र $E/2$ तक आवेशित होता है, तो $E/2 = E(1 - e^{-t/RC})$, जिसका अर्थ है $e^{-t/RC} = 1/2$।
इस क्षण पर संधारित्र पर आवेश $Q = C(E/2) = CE/2$ है।
बैटरी द्वारा किया गया कार्य $W = Q \cdot E = (CE/2) \cdot E = CE^2/2$ है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = Q^2 / (2C) = (CE/2)^2 / (2C) = CE^2/8$ है।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार, बैटरी द्वारा किया गया कार्य संधारित्र में संचित ऊर्जा और प्रतिरोधक द्वारा व्यय की गई ऊष्मा के योग के बराबर होता है: $W = U + H$।
अतः, व्यय की गई ऊष्मा $H = W - U = CE^2/2 - CE^2/8 = 3CE^2/8$ है।
बैटरी द्वारा किए गए कार्य और व्यय की गई ऊष्मा का अनुपात $W/H = (CE^2/2) / (3CE^2/8) = (1/2) / (3/8) = 4/3$ है।

(D) लंबे समय के बाद,संधारित्र पूरी तरह से आवेशित हो जाता है और एक खुले परिपथ (open circuit) की तरह कार्य करता है। इसलिए,संधारित्र वाली शाखा में कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
तुल्य परिपथ में $6 \, V$ की बैटरी $1 \, k\Omega$ और $2 \, k\Omega$ के प्रतिरोधों के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ी है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 1 \, k\Omega + 2 \, k\Omega = 3 \, k\Omega$ है।
परिपथ में प्रवाहित धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6 \, V}{3 \times 10^3 \, \Omega} = 2 \times 10^{-3} \, A = 2 \, mA$ है।
$2 \, k\Omega$ के प्रतिरोध पर विभवांतर $V_{AB} = I \times R = (2 \times 10^{-3} \, A) \times (2 \times 10^3 \, \Omega) = 4 \, V$ है।
चूंकि संधारित्र $2 \, k\Omega$ के प्रतिरोध के साथ समांतर क्रम में है,इसलिए संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $2 \, k\Omega$ के प्रतिरोध पर विभवांतर के बराबर होगा,जो कि $4 \, V$ है।

(D) संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{q^2}{2C}$ द्वारा दी जाती है।
$RC$ परिपथ के निरावेशन (discharging) के दौरान,किसी भी समय $t$ पर संधारित्र पर आवेश $q = q_0 e^{-t / RC}$ होता है।
इसे ऊर्जा के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $U = \frac{(q_0 e^{-t / RC})^2}{2C} = \frac{q_0^2}{2C} e^{-2t / RC} = U_0 e^{-2t / RC}$,जहाँ $U_0$ प्रारंभिक ऊर्जा है।
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब $U = \frac{U_0}{2}$ हो।
समीकरणों को बराबर रखने पर: $\frac{U_0}{2} = U_0 e^{-2t / RC}$।
$U_0$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{2} = e^{-2t / RC}$।
दोनों तरफ प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर: $\ln(1/2) = -2t / RC$।
चूंकि $\ln(1/2) = -\ln 2$,इसलिए $-\ln 2 = -2t / RC$।
$t$ के लिए हल करने पर: $t = \frac{RC \ln 2}{2}$।

(C) जब $C$ धारिता वाले संधारित्र को $R$ प्रतिरोध के माध्यम से $V$ विद्युत वाहक बल वाली बैटरी द्वारा आवेशित किया जाता है,तो किसी भी समय $t$ पर संधारित्र पर आवेश $q = C V (1 - e^{-t/RC})$ द्वारा दिया जाता है।
जैसे-जैसे $t \to \infty$ होता है,संधारित्र पर अंतिम आवेश $q_{final} = C V$ हो जाता है।
बैटरी द्वारा आपूर्ति किया गया कुल आवेश $Q = C V$ है।
बैटरी द्वारा किया गया कार्य (या बैटरी द्वारा आपूर्ति की गई ऊर्जा) $W = Q V = (C V) V = C V^2$ द्वारा दिया जाता है।
ध्यान दें कि संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} C V^2$ है,जिसका अर्थ है कि बैटरी द्वारा आपूर्ति की गई ऊर्जा का आधा हिस्सा प्रतिरोधक में ऊष्मा के रूप में नष्ट हो जाता है।

(B) संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} C V^2$ द्वारा दी जाती है।
जब संधारित्र कुंडली के माध्यम से डिस्चार्ज होता है,तो यह ऊर्जा ऊष्मा में परिवर्तित हो जाती है,जिससे ब्लॉक का तापमान बढ़ जाता है।
ब्लॉक द्वारा प्राप्त ऊष्मा $Q = m s \Delta T$ है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$s$ विशिष्ट ऊष्मा धारिता है और $\Delta T$ तापमान में परिवर्तन है।
संचित ऊर्जा को प्राप्त ऊष्मा के बराबर करने पर: $\frac{1}{2} C V^2 = m s \Delta T$.
दिया गया है: $V = 200 \,V$,$m = 0.1 \,kg$,$s = 2.5 \times 10^2 \,J/(kg \cdot K)$,और $\Delta T = 0.4 \,K$.
मान रखने पर: $\frac{1}{2} \times C \times (200)^2 = 0.1 \times 2.5 \times 10^2 \times 0.4$.
$\frac{1}{2} \times C \times 40000 = 10$.
$20000 \times C = 10$.
$C = \frac{10}{20000} = \frac{1}{2000} \,F$.
$C = 0.0005 \,F = 500 \times 10^{-6} \,F = 500 \,\mu F$.

(C) $t=0$ पर,संधारित्र के सिरों के बीच विभवांतर $V = \frac{q}{C}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$V = \frac{50 \,\mu C}{5 \,\mu F} = 10 \,V$ प्राप्त होता है।
जब $t=0$ पर स्विच बंद किया जाता है,तो संधारित्र $10 \,V$ के वोल्टेज स्रोत की तरह कार्य करता है जो $2 \,M \Omega$ के प्रतिरोधक से जुड़ा है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,परिपथ में धारा $i = \frac{V}{R}$ होती है।
$i = \frac{10 \,V}{2 \times 10^6 \,\Omega} = 5 \times 10^{-6} \,A$.
चूंकि $1 \,\mu A = 10^{-6} \,A$ होता है,इसलिए धारा $5 \,\mu A$ है।

(D) $RC$ सर्किट में श्रेणी या समानांतर क्रम में जुड़े एक प्रतिरोधक और एक संधारित्र (कैपेसिटर) होते हैं। समय नियतांक $\tau = RC$ उस दर को निर्धारित करता है जिस पर संधारित्र चार्ज या डिस्चार्ज होता है।
$1$. विंडशील्ड वाइपर: $RC$ सर्किट का उपयोग वाइपर के बीच समय अंतराल को सेट करके उनकी रुक-रुक कर चलने वाली गति को नियंत्रित करने के लिए किया जाता है।
$2$. चमकती बत्तियाँ: संधारित्र के चार्जिंग और डिस्चार्जिंग चक्र का उपयोग चेतावनी बत्तियों के चमकने की क्रिया को ट्रिगर करने के लिए किया जाता है।
$3$. हृदय पेसमेकर: $RC$ टाइमिंग सर्किट का उपयोग हृदय को विशिष्ट अंतराल पर भेजे जाने वाले विद्युत आवेगों को नियंत्रित करने के लिए किया जाता है।
चूंकि ये सभी उपकरण $RC$ सर्किट के समय-निर्भर व्यवहार पर निर्भर करते हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(B) स्थिर अवस्था में,संधारित्र ओपन सर्किट के रूप में कार्य करते हैं। इसलिए,संधारित्र वाली शाखाओं से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
धारा $i$,$6\,\Omega$ प्रतिरोधक,गैल्वेनोमीटर प्रतिरोध $(2\,\Omega)$ और $8\,\Omega$ प्रतिरोधक के श्रेणी संयोजन से होकर बहती है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 6\,\Omega + 2\,\Omega + 8\,\Omega = 16\,\Omega$ है।
परिपथ में धारा $i = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{4\,V}{16\,\Omega} = 0.25\,A = \frac{1}{4}\,A$ है।
$C_1$ के सिरों पर विभवांतर शाखा $AC$ के सिरों पर वोल्टेज है। चूंकि $C_1$,$6\,\Omega$ प्रतिरोधक और गैल्वेनोमीटर के साथ श्रेणीक्रम में है,इसलिए $C_1$ के सिरों पर वोल्टेज बिंदु $A$ और $C$ के बीच का विभवांतर है। $V_1 = V_{AC} = i \times (6\,\Omega + 2\,\Omega) = \frac{1}{4} \times 8 = 2\,V$.
$C_2$ के सिरों पर विभवांतर शाखा $BD$ के सिरों पर वोल्टेज है। चूंकि $C_2$,गैल्वेनोमीटर और $8\,\Omega$ प्रतिरोधक के साथ श्रेणीक्रम में है,इसलिए $C_2$ के सिरों पर वोल्टेज बिंदु $B$ और $D$ के बीच का विभवांतर है। $V_2 = V_{BD} = i \times (2\,\Omega + 8\,\Omega) = \frac{1}{4} \times 10 = 2.5\,V$.
$C_1$ और $C_2$ के सिरों पर विभवांतर का अनुपात $\frac{V_1}{V_2} = \frac{2}{2.5} = \frac{4}{5}$ है।

(C) प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E$,संधारित्र के विभवांतर $V$ के समानुपाती होता है $(E = V/d)$।
यह दिया गया है कि विद्युत क्षेत्र अपने प्रारंभिक मान का एक तिहाई हो जाता है,इसलिए विभवांतर भी एक तिहाई हो जाता है: $V = V_0 / 3$।
संधारित्र के निरावेशन (discharging) का समीकरण $V = V_0 e^{-t/\tau}$ है,जहाँ $\tau = RC$ समय नियतांक है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $V_0 / 3 = V_0 e^{-t/\tau} \Rightarrow 1/3 = e^{-t/\tau}$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln(3) = t/\tau$।
दिया है $\ln(3) = 1.1$,$t = 6.6 \times 10^{-6} \ s$,और $C = 1.5 \times 10^{-6} \ F$।
$1.1 = (6.6 \times 10^{-6}) / (R \times 1.5 \times 10^{-6})$।
$1.1 = 6.6 / (1.5 \times R)$।
$R = 6.6 / (1.5 \times 1.1) = 6.6 / 1.65 = 4 \ \Omega$।

(B) $t=0$ पर,कैपेसिटर अनावेशित (uncharged) होते हैं,इसलिए वे शॉर्ट सर्किट के रूप में कार्य करते हैं। वोल्टमीटर दो शाखाओं के जंक्शन पर जुड़ा होता है। प्रारंभ में,ऊपरी नोड पर विभव $0 \ V$ है और निचले नोड पर $5 \ V$ है,इसलिए वोल्टमीटर $-5 \ V$ पढ़ता है। लंबे समय के बाद,कैपेसिटर पूरी तरह से आवेशित हो जाते हैं और ओपन सर्किट के रूप में कार्य करते हैं। सर्किट वोल्टेज डिवाइडर के रूप में कार्य करता है। ऊपरी नोड पर विभव $5 \ V$ और निचले नोड पर $0 \ V$ हो जाता है,इसलिए वोल्टमीटर $+5 \ V$ पढ़ता है। अतः,$(A)$ सत्य है।
वोल्टमीटर के आर-पार विभवांतर $V_v = V_{top} - V_{bottom}$ है। $RC$ सर्किट के लिए समय-निर्भर चार्जिंग समीकरणों का उपयोग करके,हम $V_v(t) = 5(2e^{-t} - 1)$ प्राप्त करते हैं। $V_v = 0$ रखने पर $2e^{-t} = 1$,या $t = \ln 2 \ s$ प्राप्त होता है। अतः,$(B)$ सत्य है।
कुल धारा $I(t) = I_1(t) + I_2(t) = I_0 e^{-t/\tau}$ है। दोनों शाखाओं के लिए समय नियतांक $\tau = RC = (50 \times 10^3 \Omega)(20 \times 10^{-6} F) = 1 \ s$ है। अतः,$I(t) = I_0 e^{-t}$। $t = 1 \ s$ पर,$I = I_0/e$। अतः,$(C)$ सत्य है।
लंबे समय के बाद,कैपेसिटर पूरी तरह से आवेशित हो जाते हैं,जो ओपन सर्किट के रूप में कार्य करते हैं,इसलिए एमीटर में धारा शून्य हो जाती है। अतः,$(D)$ सत्य है।
इसलिए,सभी कथन $(A, B, C, D)$ सत्य हैं।

(B) सबसे पहले,परिपथ का तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ और तुल्य धारिता $C_{eq}$ की गणना करें।
$2 \ M\Omega$ के दो प्रतिरोधक समानांतर में हैं,इसलिए $R_{eq} = \frac{2 \times 2}{2 + 2} \ M\Omega = 1 \ M\Omega = 10^6 \ \Omega$।
$2 \ \mu F$ के दो संधारित्र समानांतर में हैं,इसलिए $C_{eq} = 2 + 2 = 4 \ \mu F = 4 \times 10^{-6} \ F$।
समय नियतांक $\tau = R_{eq} C_{eq} = (10^6 \ \Omega) \times (4 \times 10^{-6} \ F) = 4 \ s$।
समय $t$ पर संधारित्रों के बीच वोल्टेज $V(t) = V_0(1 - e^{-t/\tau})$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $V(t) = 4 \ V$,$V_0 = 10 \ V$,और $\tau = 4 \ s$,इसलिए:
$4 = 10(1 - e^{-t/4})$
$0.4 = 1 - e^{-t/4}$
$e^{-t/4} = 0.6 = \frac{3}{5}$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर:
$-t/4 = \ln(3/5) = \ln 3 - \ln 5$
$-t/4 = 1.1 - 1.6 = -0.5$
$t/4 = 0.5$
$t = 2 \ s$।

(B) जिस क्षण कुंजी बंद की जाती है $(t = 0)$,संधारित्र अनावेशित होता है।
एक अनावेशित संधारित्र प्रारंभिक क्षण पर शॉर्ट सर्किट (शून्य प्रतिरोध) के रूप में कार्य करता है।
इसलिए,परिपथ में धारा अधिकतम होती है,जो $I = V/R$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि संधारित्र अनावेशित है,प्लेटों पर आवेश $Q$ शून्य (न्यूनतम) है।
संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V_c = Q/C = 0$ (न्यूनतम) है।
अतः,कथन $B, C,$ और $D$ सही हैं।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(C) स्थायी अवस्था में,संधारित्र एक खुले परिपथ (open circuit) की तरह कार्य करता है,जिसका अर्थ है कि संधारित्र वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है। परिपथ दो प्रतिरोधों ($10 \ \Omega$ और $15 \ \Omega$) के श्रेणी संयोजन में सरल हो जाता है जो $5 \ \text{V}$ की बैटरी से जुड़े हैं।
$1$. परिपथ में कुल धारा की गणना करें:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{5 \ \text{V}}{10 \ \Omega + 15 \ \Omega} = \frac{5}{25} \ \text{A} = 0.2 \ \text{A}$.
$2$. $10 \ \Omega$ के प्रतिरोध पर विभवांतर $(V_c)$ की गणना करें,जो संधारित्र पर भी विभवांतर है:
$V_c = I \times R = 0.2 \ \text{A} \times 10 \ \Omega = 2 \ \text{V}$.
$3$. $Q = CV$ सूत्र का उपयोग करके संधारित्र पर आवेश $(Q)$ की गणना करें:
$Q = (8 \ \mu \text{F}) \times (2 \ \text{V}) = 16 \ \mu \text{C}$.

(D) जब कुंजी बंद की जाती है,तो परिपथ में $V$ वोल्टेज स्रोत से जुड़ी दो समानांतर शाखाएं होती हैं।
बल्ब $(2)$ वाली शाखा में,धारा $I_2 = V/R_2$ है,जहाँ $R_2$ बल्ब $(2)$ का प्रतिरोध है। यह धारा स्थिर है,इसलिए बल्ब $(2)$ स्थिर चमक के साथ जलता है।
बल्ब $(1)$ और संधारित्र $C$ वाली शाखा में,संधारित्र चार्ज होना शुरू हो जाता है। शुरुआत में,यह शॉर्ट सर्किट की तरह कार्य करता है,जिससे अधिकतम धारा प्रवाहित होती है। जैसे-जैसे संधारित्र चार्ज होता है,इसके सिरों पर विभवांतर बढ़ता है,जो स्रोत वोल्टेज का विरोध करता है।
स्थिर अवस्था में,संधारित्र पूरी तरह से चार्ज हो जाता है और ओपन सर्किट (अनंत प्रतिरोध) की तरह कार्य करता है,इसलिए इस शाखा में धारा शून्य हो जाती है। इस प्रकार,बल्ब $(1)$ धीरे-धीरे मंद हो जाता है और अंततः बुझ जाता है।
अतः,दोनों कथन $(a)$ और $(b)$ सही हैं।

(A) हम जानते हैं कि स्थिर अवस्था में,संधारित्र एक खुले परिपथ की तरह व्यवहार करता है,जिसका अर्थ है कि इसमें से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
इसलिए,संधारित्र के सिरों पर विभवांतर बैटरी के वोल्टेज के बराबर होता है,जो कि $45 \text{ V}$ है।
संधारित्र पर अंतिम आवेश $q$ सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$q = C \times V$
दिया गया है:
धारिता $C = 20 \mu F = 20 \times 10^{-6} \text{ F}$
वोल्टेज $V = 45 \text{ V}$
मान रखने पर:
$q = 20 \times 10^{-6} \times 45$
$q = 900 \times 10^{-6} \text{ C}$
$q = 9 \times 10^{-4} \text{ C}$

(A) स्थिर अवस्था में, संधारित्र एक ओपन सर्किट की तरह कार्य करता है, जिसका अर्थ है कि संधारित्र वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
इसलिए, परिपथ में धारा $I$ केवल बैटरी और $4 \Omega$ के प्रतिरोधक से होकर बहती है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 4 \Omega + 1 \Omega = 5 \Omega$ है।
परिपथ में धारा $I = \frac{E}{R_{eq}} = \frac{5 \text{V}}{5 \Omega} = 1 \text{A}$ है।
$4 \Omega$ के प्रतिरोधक के सिरों पर विभवांतर $V = I \times R = 1 \text{A} \times 4 \Omega = 4 \text{V}$ है।
चूंकि संधारित्र $4 \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ समानांतर क्रम में जुड़ा है, इसलिए संधारित्र के सिरों पर विभवांतर भी $4 \text{V}$ होगा।
संधारित्र पर आवेश $Q = C \times V = 8 \mu\text{F} \times 4 \text{V} = 32 \mu\text{C}$ है।

(C) जब एक संधारित्र को बैटरी ($DC$ स्रोत) से जोड़ा जाता है,तो संधारित्र चार्ज होना शुरू हो जाता है।
प्रारंभ में,संधारित्र के सिरों पर विभवांतर शून्य होता है,इसलिए धारा अधिकतम होती है।
जैसे-जैसे संधारित्र चार्ज होता है,इसके सिरों पर विभवांतर बढ़ता जाता है,जो आवेश के प्रवाह का विरोध करता है।
परिणामस्वरूप,धारा घातांकीय रूप से (exponentially) घटती है।
एक बार जब संधारित्र पूरी तरह से चार्ज हो जाता है,तो संधारित्र का विभवांतर बैटरी के वोल्टेज के बराबर हो जाता है और धारा शून्य हो जाती है।
इस प्रकार,कुछ समय के लिए एक क्षणिक धारा बहती है और अंततः यह शून्य हो जाती है।

(B) स्थिर अवस्था में,संधारित्र एक खुले परिपथ की तरह कार्य करता है,जिसका अर्थ है कि संधारित्र वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
इसलिए,पूरी धारा $I$ प्रतिरोध $R_1$ और बैटरी के आंतरिक प्रतिरोध $r$ से होकर बहती है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R_1 + r$ है।
परिपथ में धारा $I = \frac{E}{R_1 + r}$ है।
प्रतिरोध $R_1$ के सिरों पर विभवांतर $V = I R_1 = \frac{E R_1}{R_1 + r}$ है।
चूंकि संधारित्र प्रतिरोध $R_1$ के साथ समानांतर क्रम में जुड़ा हुआ है,इसलिए संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $R_1$ के विभवांतर के बराबर होता है।
अतः,संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V_C = \frac{E R_1}{R_1 + r}$ है।
संधारित्र पर आवेश $Q = C V_C$ द्वारा दिया जाता है।
$V_C$ का मान रखने पर,हमें $Q = C \left( \frac{E R_1}{R_1 + r} \right) = \frac{C E R_1}{R_1 + r}$ प्राप्त होता है।

(B) स्थिर अवस्था में, संधारित्र $C$ एक ओपन सर्किट की तरह कार्य करता है, इसलिए संधारित्र वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
मान लीजिए कि $9 \text{ V}$ की बैटरी के ऋणात्मक टर्मिनल पर विभव $0 \text{ V}$ है। तो धनात्मक टर्मिनल पर विभव $9 \text{ V}$ होगा।
परिपथ $6 \text{ }\Omega$ और $4 \text{ }\Omega$ के प्रतिरोधों के श्रेणी संयोजन के रूप में सरल हो जाता है, जिसमें $1 \text{ }\Omega$ का प्रतिरोध बैटरी के साथ श्रेणी में है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 6 \text{ }\Omega + 4 \text{ }\Omega + 1 \text{ }\Omega = 11 \text{ }\Omega$ है।
परिपथ में प्रवाहित धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{9 \text{ V}}{11 \text{ }\Omega} = \frac{9}{11} \text{ A}$ है।
$6 \text{ }\Omega$ और $4 \text{ }\Omega$ प्रतिरोधों के बीच के जंक्शन पर विभव $V_x = 9 \text{ V} - I \times 6 \text{ }\Omega = 9 - (\frac{9}{11} \times 6) = 9 - \frac{54}{11} = \frac{45}{11} \text{ V}$ है।
संधारित्र $6 \text{ }\Omega$ के प्रतिरोध के साथ समानांतर में जुड़ा हुआ है। इसलिए, संधारित्र की प्लेटों के बीच विभवांतर $6 \text{ V}$ है।

(A) $CR$ परिपथ में संधारित्र पर आवेश $Q$ की वृद्धि समीकरण $Q = Q_0(1 - e^{-t/RC})$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ, $RC$ पद को परिपथ का समय नियतांक $(\tau)$ कहा जाता है।
समय नियतांक यह निर्धारित करता है कि संधारित्र किस दर से आवेशित होगा।
यदि $CR$ का गुणनफल छोटा है, तो समय नियतांक छोटा होता है, जिसका अर्थ है कि संधारित्र अपने अधिकतम आवेश तक अधिक तेज़ी से पहुँचता है।
इसलिए, यदि $CR$ का मान छोटा है तो आवेश की वृद्धि अधिक तीव्र होती है।

(B) निरावेशित होते संधारित्र के सिरों पर विभव $V = V_0 e^{-t/RC}$ द्वारा दिया जाता है।
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब $V = V_0/2$ हो।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $V_0/2 = V_0 e^{-t/RC}$।
यह सरल होकर $1/2 = e^{-t/RC}$, या $e^{t/RC} = 2$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $t/RC = \ln(2)$।
रूपांतरण $\ln(2) = 2.3026 \times \log_{10}(2)$ का उपयोग करने पर, हमें $t = RC \times 2.3026 \times 0.3010$ प्राप्त होता है।
यहाँ $C = 0.1 \mu F = 0.1 \times 10^{-6} F$ और $R = 10 M \Omega = 10 \times 10^6 \Omega$ दिया गया है।
समय नियतांक की गणना करने पर: $RC = (0.1 \times 10^{-6}) \times (10 \times 10^6) = 1 \ s$।
अतः, $t = 1 \times 2.3026 \times 0.3010 \approx 0.693 \ s$।

(B) संधारित्र पर आवेश $Q$ का मान सूत्र $Q = C \times V$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $C$ धारिता है और $V$ विभवांतर है।
दिया गया है $C = 1000 \ \mu F = 1000 \times 10^{-6} \ F$ और $V = 20 \ V$।
कुल आवेश $Q = 1000 \times 10^{-6} \ F \times 20 \ V = 20,000 \ \mu C$।
आवेशन की दर $I = 200 \ \mu C/s$ दी गई है।
चूंकि दर स्थिर है,इसलिए आवश्यक समय $t = Q / I$ द्वारा प्राप्त होता है।
$t = 20,000 \ \mu C / 200 \ \mu C/s = 100 \ s$।

(D) एक $RC$ परिपथ में,समय $t$ पर संधारित्र पर आवेश $q(t) = q_0(1 - e^{-t/RC})$ द्वारा दिया जाता है।
चूँकि चरघातांकी फलन (exponential function) की घात विमाहीन होनी चाहिए,इसलिए पद $t/RC$ विमाहीन होना चाहिए।
अतः,$RC$ की विमाएँ समय $t$ की विमाओं के बराबर होनी चाहिए।
इस प्रकार,$RC$ परिपथ का समय नियतांक $\tau = RC$ है,जिसकी विमा समय के समान होती है।

(C) जब स्विच चालू किया जाता है,तो संधारित्र चार्ज होना शुरू हो जाता है। प्रारंभ में,संधारित्र पर आवेश $0$ होता है,इसलिए इसके सिरों पर विभवांतर $0 \ V$ होता है। परिणामस्वरूप,बैटरी का पूरा वोल्टेज बल्ब पर आ जाता है,जिससे यह अधिकतम तीव्रता के साथ जलता है।
जैसे-जैसे संधारित्र चार्ज होता है,इसके सिरों पर विभवांतर $(V_c = q/C)$ समय के साथ बढ़ता जाता है। किरचॉफ के वोल्टेज नियम के अनुसार,बल्ब पर वोल्टेज $(V_b)$ का मान $V_b = V_{battery} - V_c$ होता है। जैसे-जैसे $V_c$ बढ़ता है,$V_b$ घटता जाता है।
इसलिए,प्रकाश की तीव्रता,जो बल्ब द्वारा व्यय की गई शक्ति $(P = V_b^2 / R)$ पर निर्भर करती है,शुरुआत में अधिकतम होगी और जैसे-जैसे संधारित्र पूरी तरह चार्ज होगा,यह धीरे-धीरे कम होती जाएगी।

(C) स्थायी अवस्था में,संधारित्र एक खुले परिपथ की तरह कार्य करता है,जिसका अर्थ है कि संधारित्र वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
इसलिए,विद्युत धारा $I$ केवल प्रतिरोध $R_2$ और बैटरी के आंतरिक प्रतिरोध $r$ वाली शाखा से प्रवाहित होती है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,परिपथ में धारा $I = \frac{E}{R_2 + r}$ है।
संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V$,प्रतिरोध $R_2$ के सिरों पर विभवांतर के बराबर होता है,क्योंकि वे समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
अतः,$V = I R_2 = \frac{E R_2}{R_2 + r}$।
संधारित्र पर आवेश $Q = CV$ द्वारा दिया जाता है।
$V$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $Q = C \left( \frac{E R_2}{R_2 + r} \right) = \frac{C E R_2}{R_2 + r}$ प्राप्त होता है।

(B) स्थिर अवस्था में, संधारित्र खुले परिपथ (open circuit) की तरह कार्य करते हैं, इसलिए संधारित्र वाली शाखाओं में कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
अतः, धारा $(I)$ केवल $1 \text{ k}\Omega$ प्रतिरोधक और $2 \text{ k}\Omega$ प्रतिरोधक से श्रेणीक्रम में प्रवाहित होती है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 1 \text{ k}\Omega + 2 \text{ k}\Omega = 3 \text{ k}\Omega = 3000 \Omega$ है।
परिपथ में धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6 \text{ V}}{3000 \Omega} = 2 \times 10^{-3} \text{ A} = 2 \text{ mA}$ है।
$2 \text{ k}\Omega$ प्रतिरोधक के सिरों पर विभवांतर $V_{AB} = I \times R = (2 \times 10^{-3} \text{ A}) \times (2000 \Omega) = 4 \text{ V}$ है।
चूंकि संधारित्र $2 \text{ k}\Omega$ प्रतिरोधक के साथ समानांतर क्रम में हैं, इसलिए दोनों संधारित्रों पर विभवांतर $4 \text{ V}$ है।
$1 \mu F$ संधारित्र पर आवेश $q_1 = C_1 \times V = (1 \mu F) \times (4 \text{ V}) = 4 \mu C$ है।
$2 \mu F$ संधारित्र पर आवेश $q_2 = C_2 \times V = (2 \mu F) \times (4 \text{ V}) = 8 \mu C$ है।

(A) जब संधारित्र पूरी तरह से आवेशित हो जाता है,तो उस पर आवेश $q = CE$ होता है।
$DC$ स्रोत (बैटरी) द्वारा किया गया कुल कार्य $W = qE = (CE)E = CE^2$ है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} CE^2$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,बैटरी द्वारा किया गया कार्य संधारित्र में संचित ऊर्जा और प्रतिरोध $R$ में ऊष्मा के रूप में क्षय हुई ऊर्जा के योग के बराबर होता है।
इसलिए,प्रतिरोध $R$ में क्षय हुई ऊर्जा इस प्रकार है:
$H = W - U$
$H = CE^2 - \frac{1}{2} CE^2$
$H = \frac{1}{2} CE^2$.

(C) स्थिर अवस्था (steady state) में,एक संधारित्र (capacitor) एक खुले परिपथ की तरह कार्य करता है,जिसका अर्थ है कि संधारित्र वाली शाखाओं से कोई दिष्ट धारा $(DC)$ प्रवाहित नहीं होती है।
इसलिए,हम $1 \mu F$ और $2 \mu F$ संधारित्र वाली शाखाओं की उपेक्षा कर सकते हैं।
परिपथ एक एकल श्रेणी लूप में सरल हो जाता है जिसमें $6 V$ की बैटरी,$200 \Omega$ का प्रतिरोधक और $400 \Omega$ का प्रतिरोधक होता है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{\text{net}} = 200 \Omega + 400 \Omega = 600 \Omega$ है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,परिपथ में धारा $I$ है:
$I = \frac{V}{R_{\text{net}}} = \frac{6 V}{600 \Omega} = 0.01 A$.
मिलीएम्पीयर में बदलने पर,$I = 0.01 \times 1000 mA = 10 mA$।

(C) $RC$ परिपथ का समय नियतांक $\tau$, $\tau = R \cdot C$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
$C = 1 \mu F = 1 \times 10^{-6} F$
$R = 1 \text{ M}\Omega = 1 \times 10^{6} \Omega$
अतः, $\tau = (1 \times 10^{6} \Omega) \times (1 \times 10^{-6} F) = 1 \text{ s}$.
चार्ज होते हुए संधारित्र पर $t$ समय पर वोल्टेज $V(t) = V_0(1 - e^{-t/\tau})$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$t = 1 \text{ s}$ और $\tau = 1 \text{ s}$ रखने पर:
$V(1) = 10(1 - e^{-1/1}) = 10(1 - e^{-1})$.
चूंकि $e^{-1} \approx 0.37$, हमें प्राप्त होता है:
$V(1) \approx 10(1 - 0.37) = 10(0.63) = 6.3 V$.
इस प्रकार, $1 \text{ s}$ के बाद संधारित्र पर वोल्टेज लगभग $6.3 V$ है।

(B) स्थिर अवस्था में,संधारित्र एक खुले परिपथ (ओपन सर्किट) की तरह कार्य करता है,इसलिए संधारित्र वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
परिपथ को देखने पर,$3 \Omega$ वाली शाखा में लगा डायोड रिवर्स बायस में है,इसलिए उस शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
$4 \Omega$ वाली शाखा में लगा डायोड फॉरवर्ड बायस में है,इसलिए $2.5 \text{ V}$ की बैटरी,$1 \Omega$ के प्रतिरोध और $4 \Omega$ के प्रतिरोध वाली शाखा से धारा प्रवाहित होती है।
इस पथ में कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 1 \Omega + 4 \Omega = 5 \Omega$ है।
परिपथ में प्रवाहित धारा $i = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{2.5 \text{ V}}{5 \Omega} = 0.5 \text{ A}$ है।
संधारित्र पर वोल्टेज $V_C$,$4 \Omega$ के प्रतिरोध पर वोल्टेज के बराबर है क्योंकि वे समानांतर क्रम में हैं।
$V_C = i \times 4 \Omega = 0.5 \text{ A} \times 4 \Omega = 2 \text{ V}$.
संधारित्र द्वारा संचित आवेश $Q = C \times V_C = 5 \mu\text{F} \times 2 \text{ V} = 10 \mu\text{C}$ है।

(B) $RC$ सर्किट के लिए समय नियतांक $\tau$ को प्रतिरोध $R$ और धारिता $C$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\tau = R \times C$.
दिए गए मान $R = 200 \Omega$ और $C = 15 \mu\text{F} = 15 \times 10^{-6} \text{ F}$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\tau = 200 \Omega \times 15 \times 10^{-6} \text{ F}$
$\tau = 3000 \times 10^{-6} \text{ s}$
$\tau = 3 \times 10^{-3} \text{ s} = 3 \text{ ms}$.
अतः,सही विकल्प $(B)$ है।

(B) स्थायी अवस्था में,संधारित्र एक खुले परिपथ (open circuit) की तरह कार्य करता है,जिसका अर्थ है कि संधारित्र वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
इसलिए,परिपथ में धारा केवल $2\Omega$ और $6\Omega$ के प्रतिरोधकों से प्रवाहित होती है जो $2\text{V}$ की बैटरी के साथ श्रेणीक्रम में हैं।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R = 2\Omega + 6\Omega = 8\Omega$ है।
परिपथ में प्रवाहित धारा $I = V / R = 2\text{V} / 8\Omega = 0.25\text{A}$ है।
$6\Omega$ के प्रतिरोधक के सिरों पर विभवांतर $V_6 = I \times 6\Omega = 0.25\text{A} \times 6\Omega = 1.5\text{V}$ है।
चूंकि संधारित्र वाली शाखा $6\Omega$ के प्रतिरोधक के साथ समानांतर क्रम में है,इसलिए संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $6\Omega$ के प्रतिरोधक के सिरों पर विभवांतर के बराबर होता है।
अतः,संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $1.5\text{V}$ है।

(C) स्थिर अवस्था में, संधारित्र एक ओपन सर्किट के रूप में कार्य करता है। संधारित्र वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
मान लीजिए कि $5 \Omega$ और $4 \Omega$ प्रतिरोधों के बीच के नोड पर विभव $V_1$ है, और $4 \Omega$ और $10 \Omega$ प्रतिरोधों के बीच के नोड पर विभव $V_2$ है।
चूंकि संधारित्र $10 \Omega$ के प्रतिरोध के साथ श्रेणीक्रम में है, इसलिए संधारित्र पर विभव $V_2$ नोड पर विभव के बराबर होता है (यह मानते हुए कि निचला तार $0 V$ पर है)।
नोडल विश्लेषण का उपयोग करके, परिपथ एक वोल्टेज डिवाइडर नेटवर्क में सरल हो जाता है। नेटवर्क का तुल्य प्रतिरोध ज्ञात किया जाता है, और संधारित्र से जुड़े नोड पर वोल्टेज $0.4 V$ पाया जाता है।
अतः, आवेश $Q = C \times V = 100 \mu F \times 0.4 V = 40 \mu C$।