Charging and Discharging of Capacitance and RC circuit (DC) Questions in Hindi

(C) $CR$ की विमा धारिता $(C)$ और प्रतिरोध $(R)$ के गुणनफल द्वारा दी जाती है।
$C = \frac{Q}{V}$,जहाँ $Q$ आवेश है और $V$ विभवांतर है।
$R = \frac{V}{I}$,जहाँ $I$ विद्युत धारा है।
इसलिए,$CR = \left( \frac{Q}{V} \right) \times \left( \frac{V}{I} \right) = \frac{Q}{I}$.
चूँकि $I = \frac{Q}{t}$,जहाँ $t$ समय है,इसलिए $\frac{Q}{I} = t$.
अतः,$CR$ की विमाएँ समय की विमाओं के समान हैं,जो समय अवधि (time period) को दर्शाती हैं।

(A) जब स्विच $S$ को बंद किया जाता है,तो संधारित्र चार्ज होना शुरू हो जाता है।
शुरुआत में,संधारित्र एक शॉर्ट-सर्किट (शून्य प्रतिरोध) के रूप में कार्य करता है,जिससे परिपथ में विद्युत धारा प्रवाहित होती है,जिसके कारण बल्ब एक पल के लिए जल उठता है।
जैसे-जैसे संधारित्र चार्ज होता है,इसके सिरों पर विभवांतर बढ़ता है और परिपथ में विद्युत धारा कम हो जाती है।
एक बार जब संधारित्र पूरी तरह से चार्ज हो जाता है,तो यह एक ओपन सर्किट के रूप में कार्य करता है,जो दिष्ट धारा $(DC)$ के प्रवाह को रोक देता है।
इसलिए,विद्युत धारा शून्य हो जाती है और बल्ब जलना बंद कर देता है।

(B) जब एक संधारित्र $C$ को प्रतिरोध $R$ के माध्यम से $V$ वोल्टेज की बैटरी द्वारा आवेशित किया जाता है,तो बैटरी से प्रवाहित कुल आवेश $Q = CV$ होता है।
बैटरी द्वारा किया गया कुल कार्य $W = QV = (CV)V = CV^2$ है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2}CV^2$ है।
चूंकि बैटरी द्वारा दी गई ऊर्जा $CV^2$ है और संधारित्र में संचित ऊर्जा $\frac{1}{2}CV^2$ है,इसलिए शेष ऊर्जा $\frac{1}{2}CV^2$ प्रतिरोध $R$ में ऊष्मा के रूप में नष्ट हो जाती है।
अतः,बैटरी द्वारा दी गई ऊर्जा $CV^2$ है,जो संधारित्र में संचित ऊर्जा $\frac{1}{2}CV^2$ से अधिक है।

(A) जब एक लैंप को संधारित्र के साथ श्रेणीक्रम में $D.C.$ स्रोत से जोड़ा जाता है,तो संधारित्र आवेशित हो जाता है और पूरी तरह आवेशित होने के बाद धारा के प्रवाह को रोक देता है।
चूंकि $D.C.$ संधारित्र से होकर नहीं गुजर सकता,इसलिए परिपथ प्रभावी रूप से एक खुला परिपथ बन जाता है।
अतः,लैंप नहीं जलेगा।

(A) $DC$ परिपथ में,स्थिर अवस्था में संधारित्र एक खुले परिपथ (open circuit) की तरह कार्य करता है।
इसलिए,संधारित्र वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
बैटरी का संपूर्ण विभवांतर,जो $2\,V$ है,संधारित्र के सिरों पर दिखाई देता है।
संधारित्र पर आवेश के सूत्र का उपयोग करते हुए,$Q = C \times V$,जहाँ $C = 10\,\mu F$ और $V = 2\,V$ है।
$Q = 10\,\mu F \times 2\,V = 20\,\mu C$।

(D) निरावेशित होते संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V = V_0 e^{-t/CR}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $V_0 = 50 \, V$ और $t = 1 \, s$ पर $V = 40 \, V$ दिया गया है,इसलिए $40 = 50 e^{-1/CR}$,जिसका अर्थ है $e^{-1/CR} = 4/5$।
विकल्प $(b)$ के लिए,$t = 2 \, s$ के बाद विभवांतर $V' = V_0 e^{-2/CR} = 50 (e^{-1/CR})^2 = 50 (4/5)^2 = 50 \times (16/25) = 32 \, V$ होगा। अतः,$(b)$ सही है।
विकल्प $(a)$ के लिए,संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} C V^2$ होती है। $1 \, s$ के बाद शेष ऊर्जा का अंश $U_f / U_i = (V_f / V_i)^2 = (40/50)^2 = (4/5)^2 = 16/25$ है। अतः,$(a)$ भी सही है।
चूंकि $(a)$ और $(b)$ दोनों सही हैं,इसलिए सही विकल्प $(d)$ है।

(C) स्थायी अवस्था में,संधारित्र एक खुले परिपथ की तरह कार्य करता है,इसलिए संधारित्र वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
अतः,बैटरी से निकलने वाली पूरी धारा $i$ प्रतिरोध $R_2$ से होकर प्रवाहित होती है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R_2 + r$ है।
परिपथ में प्रवाहित धारा $i = \frac{E}{R_2 + r}$ है।
प्रतिरोध $R_2$ के सिरों के बीच विभवांतर $V = i \times R_2 = \frac{E R_2}{R_2 + r}$ है।
चूंकि संधारित्र प्रतिरोध $R_2$ के समानांतर जुड़ा हुआ है,इसलिए संधारित्र के सिरों के बीच विभवांतर $R_2$ के विभवांतर के समान ही होता है।
इस प्रकार,संधारित्र पर आवेश $Q = C \times V = \frac{C E R_2}{R_2 + r}$ है।

(B) डिस्चार्ज होते हुए संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V(t) = V_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $V_0 = 320 \, V$ दिया गया है।
$t = 1 \, s$ के बाद,$V_1 = 240 \, V$ है।
अतः,$240 = 320 e^{-\lambda} \implies e^{-\lambda} = \frac{240}{320} = \frac{3}{4}$।
$t = 2 \, s$ के बाद,विभवांतर $V_2 = V_0 (e^{-\lambda})^2 = 320 \times (\frac{3}{4})^2 = 320 \times \frac{9}{16} = 180 \, V$ होगा।
$t = 3 \, s$ के बाद,विभवांतर $V_3 = V_0 (e^{-\lambda})^3 = 320 \times (\frac{3}{4})^3 = 320 \times \frac{27}{64} = 135 \, V$ होगा।

(A) संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V_C = V_0(1 - e^{-t/RC})$ है और प्रतिरोधक के सिरों पर विभवांतर $V_R = V_0 e^{-t/RC}$ है।
दिया गया है कि $V_C = 3 V_R$,इसलिए $V_0(1 - e^{-t/RC}) = 3 V_0 e^{-t/RC}$ है।
$V_0$ से विभाजित करने पर,$1 - e^{-t/RC} = 3 e^{-t/RC}$,जो सरल होकर $1 = 4 e^{-t/RC}$ हो जाता है।
अतः,$e^{t/RC} = 4$,या $t/RC = \ln(4) = 2 \ln(2)$ है।
यहाँ $R = 2.5 \times 10^6 \, \Omega$ और $C = 4 \times 10^{-6} \, F$ है,इसलिए समय नियतांक $\tau = RC = (2.5 \times 10^6) \times (4 \times 10^{-6}) = 10 \, s$ है।
मान रखने पर,$t = 10 \times 2 \times 0.693 = 13.86 \, s$ प्राप्त होता है।

(A) $RC$ परिपथ में संधारित्र को चार्ज करते समय,किसी भी समय $t$ पर संधारित्र पर आवेश $q = q_0(1 - e^{-t/CR})$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V = q/C$ होता है,इसलिए हमारे पास $V = V_0(1 - e^{-t/CR})$ है,जहाँ $V_0$ अधिकतम विभव है।
यह समीकरण एक घातीय वृद्धि वक्र का प्रतिनिधित्व करता है जो $t = 0$ पर $V = 0$ से शुरू होता है और जैसे-जैसे $t \to \infty$ होता है,यह $V_0$ के करीब पहुंचता है।
इसलिए,सही ग्राफ वह है जो घातीय वृद्धि को दर्शाता है।

(C) एक प्रतिरोध के माध्यम से संधारित्र के निरावेशण के दौरान,किसी भी क्षण $t$ पर आवेश $Q = Q_0 e^{-t/CR}$ द्वारा दिया जाता है।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{Q_0}{Q} = e^{t/CR} \implies t = CR \ln\left(\frac{Q_0}{Q}\right)$.
स्थिर आवेश $Q$ के लिए,समय $t$ प्रतिरोध $R$ के सीधे आनुपातिक है $(t \propto R)$।
अब,ग्राफ में दिखाए अनुसार समय अक्ष के समानांतर एक रेखा खींचें। मान लीजिए कि यह रेखा वक्रों को उन बिंदुओं पर काटती है जो क्रमशः $R_1, R_2$ और $R_3$ प्रतिरोधों के लिए $t_1, t_2$ और $t_3$ समय के अनुरूप हैं।
ग्राफ से यह स्पष्ट है कि $t_1 < t_2 < t_3$ है।
चूंकि $t \propto R$,इसलिए $R_1 < R_2 < R_3$ होता है।
अतः,सबसे छोटा प्रतिरोध $R_1$ है।

(B) $RC$ सर्किट में चार्जिंग के दौरान,समय $t$ पर विद्युत धारा $i = \frac{E}{R} e^{-t/RC}$ द्वारा दी जाती है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln i = -\frac{t}{RC} + \ln(\frac{E}{R})$ प्राप्त होता है।
यह एक सीधी रेखा का समीकरण $y = mx + c$ है,जहाँ ढाल $m = -\frac{1}{RC}$ और अंतःखंड $c = \ln(\frac{E}{R})$ है।
जब प्रतिरोध $R$ को दोगुना किया जाता है $(R' = 2R)$:
$1$. नया अंतःखंड $c' = \ln(\frac{E}{2R}) = \ln(\frac{E}{R}) - \ln 2$ है। चूँकि $\ln 2 > 0$,नया अंतःखंड $c'$ मूल अंतःखंड $c$ से कम है।
$2$. ढाल का परिमाण $|m'| = \frac{1}{R'C} = \frac{1}{2RC} = \frac{1}{2} |m|$ है। नई ढाल मूल ढाल की आधी है,जिसका अर्थ है कि रेखा कम ढलान वाली हो जाती है।
इन परिवर्तनों की तुलना दिए गए ग्राफ से करने पर,वक्र $Q$ एक निचले अंतःखंड से शुरू होता है और बिंदीदार रेखा की तुलना में छोटी ढाल रखता है। इसलिए,वक्र $Q$ परिवर्तन को दर्शाता है।

(B) जब एक संधारित्र को सेल से जोड़ा जाता है,तो यह तब तक आवेशित होता है जब तक कि संधारित्र की प्लेटों के बीच विभवांतर सेल के $emf$ के बराबर न हो जाए।
एक बार जब संधारित्र पूरी तरह से आवेशित हो जाता है,तो परिपथ में कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है $(i = 0)$।
सेल के सिरों पर विभवांतर $V = E - ir$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $i = 0$ है,इसलिए सेल का विभवांतर $V = E - 0 \times r = E$ होगा।
अतः,सेल के सिरों पर विभवांतर $E$ है।

(D) समय $t = 0$ पर, संधारित्र एक शॉर्ट सर्किट (शून्य प्रतिरोध) के रूप में कार्य करता है। परिपथ में कुल प्रतिरोध $1000 \, \Omega$ है। अतः, धारा $I = \frac{2 \,V}{1000 \, \Omega} = 2 \,mA$ है।
जैसे-जैसे समय बीतता है, संधारित्र चार्ज होता है। जब यह पूरी तरह से चार्ज हो जाता है, तो यह एक ओपन सर्किट के रूप में कार्य करता है। तब धारा $1000 \, \Omega$ के प्रतिरोध और $1000 \, \Omega$ के प्रतिरोध के श्रेणी संयोजन से होकर बहती है। कुल प्रतिरोध $2000 \, \Omega$ हो जाता है। अतः, स्थिर अवस्था में धारा $I = \frac{2 \,V}{2000 \, \Omega} = 1 \,mA$ होती है। इसलिए, समय के साथ धारा $2 \,mA$ से घटकर $1 \,mA$ हो जाती है।

(D) जब एक आवेशित संधारित्र को प्रतिरोध के माध्यम से निरावेशित (discharge) किया जाता है,तो संधारित्र में संचित कुल ऊर्जा प्रतिरोध में ऊष्मा के रूप में व्यय हो जाती है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2}CV^2$ है।
दिया गया है: $C = 4\,\mu F = 4 \times 10^{-6}\,F$ और $V = 400\,V$।
मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times (4 \times 10^{-6}) \times (400)^2$
$U = 2 \times 10^{-6} \times 160000$
$U = 2 \times 10^{-6} \times 1.6 \times 10^5$
$U = 3.2 \times 10^{-1} = 0.32\,J$।
अतः,प्रतिरोध में उत्पन्न ऊष्मा $0.32\,J$ है।

(B) संधारित्र का धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) सूत्र $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi \nu C}$ द्वारा दिया जाता है।
दिष्ट धारा $(dc)$ के लिए,आवृत्ति $\nu = 0$ होती है।
इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें $X_C = \frac{1}{2\pi (0) C} = \infty$ प्राप्त होता है।
चूंकि $dc$ के लिए प्रदान किया गया प्रतिरोध (प्रतिघात) अनंत है,इसलिए एक संधारित्र $dc$ के लिए एक आदर्श कुचालक के रूप में कार्य करता है।

(B) धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) $X_C$ का सूत्र $X_C = \frac{1}{2\pi \nu C}$ है,जहाँ $\nu$ स्रोत की आवृत्ति है और $C$ धारिता है।
$DC$ परिपथ में,आवृत्ति $\nu = 0 \, Hz$ होती है।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $X_C = \frac{1}{2\pi \times 0 \times 1} = \frac{1}{0} = \infty$.
अतः,$DC$ परिपथ में एक शुद्ध संधारित्र का प्रभावी प्रतिरोध (प्रतिघात) अनंत होता है।

(C) संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{q^2}{2C}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि आवेश $q$ समय के साथ $q(t) = q_0 e^{-t/RC}$ के अनुसार घटता है,इसलिए ऊर्जा $U(t) = \frac{q_0^2}{2C} e^{-2t/RC} = U_0 e^{-2t/RC}$ के अनुसार घटती है,जहाँ $RC = \tau$ समय नियतांक है।
$t_1$ समय के लिए,ऊर्जा आधी हो जाती है: $U(t_1) = U_0/2$.
$U_0/2 = U_0 e^{-2t_1/\tau} \implies 1/2 = e^{-2t_1/\tau} \implies \ln(1/2) = -2t_1/\tau \implies -\ln(2) = -2t_1/\tau \implies t_1 = \frac{\tau \ln(2)}{2}$.
$t_2$ समय के लिए,आवेश एक-चौथाई हो जाता है: $q(t_2) = q_0/4$.
$q_0/4 = q_0 e^{-t_2/\tau} \implies 1/4 = e^{-t_2/\tau} \implies \ln(1/4) = -t_2/\tau \implies -2\ln(2) = -t_2/\tau \implies t_2 = 2\tau \ln(2)$.
अनुपात लेने पर $t_1/t_2 = \frac{\tau \ln(2) / 2}{2\tau \ln(2)} = \frac{1/2}{2} = 1/4 = 0.25$.

(B) परिपथ का समय नियतांक $\tau = RC = (1 \times 10^3 \,\Omega) \times (2500 \times 10^{-6} \,F) = 2.5 \,s$ है।
आवेशन के दौरान,$t$ समय पर संधारित्र का विभवांतर $V(t) = V_0(1 - e^{-t/\tau})$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $V(5) = 12(1 - e^{-5/2.5}) = 12(1 - e^{-2})$।
$e^{-2} \approx 0.135$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $V(5) = 12(1 - 0.135) = 12(0.865) = 10.38 \,V$।

(B) $R-C$ चार्जिंग सर्किट के लिए,समय $t$ पर धारा $I = \frac{E}{R} e^{-\frac{t}{RC}}$ द्वारा दी जाती है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln I = \ln(\frac{E}{R}) - \frac{t}{RC}$ प्राप्त होता है।
यह $y = mx + c$ के रूप का एक रैखिक समीकरण है,जहाँ ढाल $m = -\frac{1}{RC}$ और अंतःखंड $c = \ln(\frac{E}{R})$ है।
जब प्रतिरोध $R$ को दोगुना किया जाता है $(R' = 2R)$:
$1$. नई ढाल $m' = -\frac{1}{R'C} = -\frac{1}{2RC} = \frac{1}{2}m$। ढाल आधी होने के कारण,रेखा कम खड़ी हो जाती है।
$2$. नया अंतःखंड $c' = \ln(\frac{E}{2R}) = \ln(\frac{E}{R}) - \ln 2$। चूँकि $\ln 2 > 0$,इसलिए अंतःखंड कम हो जाता है।
विकल्पों की तुलना करने पर,रेखा $B$ की ढाल डैश वाली रेखा से कम (कम ऋणात्मक) है और अंतःखंड भी कम है,जो व्युत्पन्न शर्तों से मेल खाता है।

(A) $RC$ चार्जिंग सर्किट में संधारित्र पर वोल्टेज $V(t) = V_0(1 - e^{-t/RC})$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$V_0 = 200\ V$,$V(t) = 120\ V$,$t = 5\ s$,और $C = 2 \times 10^{-6}\ F$ है।
मान रखने पर: $120 = 200(1 - e^{-5/(R \times 2 \times 10^{-6})})$.
$0.6 = 1 - e^{-5/(2 \times 10^{-6} R)} \Rightarrow e^{-5/(2 \times 10^{-6} R)} = 0.4$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $-5 / (2 \times 10^{-6} R) = \ln(0.4) = \ln(2/5) = -\ln(2.5)$.
चूंकि $\ln(2.5) = 2.303 \times \log_{10}(2.5) = 2.303 \times 0.4 = 0.9212$.
$5 / (2 \times 10^{-6} R) = 0.9212$.
$R = 5 / (2 \times 10^{-6} \times 0.9212) \approx 2.71 \times 10^6\ \Omega$.

(A) निरावेशन (discharging) संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V(t) = V_0 e^{-t/\tau}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\tau$ समय नियतांक है।
$t = \tau$ पर,विभवांतर $V(\tau) = V_0 e^{-1} \approx 0.37 V_0$ होता है।
ग्राफ से,प्रारंभिक विभवांतर $V_0 = 25 \ V$ है।
अतः,$t = \tau$ पर,$V(\tau) = 0.37 \times 25 \ V = 9.25 \ V$ होगा।
ग्राफ को देखने पर,$t = 100 \ s$ पर $V \approx 13 \ V$ और $t = 150 \ s$ पर $V \approx 9 \ V$ है।
चूंकि $9.25 \ V$,$13 \ V$ और $9 \ V$ के बीच स्थित है,इसलिए समय नियतांक $\tau$,$100 \ s$ और $150 \ s$ के बीच होगा।

(A) $t = 0$ पर,संधारित्र एक शॉर्ट सर्किट के रूप में कार्य करता है (प्रतिरोध $R_C = 0$)। परिपथ में $2 \ V$ की बैटरी और $1000 \ \Omega$ का प्रतिरोध श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं। अतः,धारा $i = \frac{V}{R} = \frac{2 \ V}{1000 \ \Omega} = 2 \ mA$ होती है।
जैसे-जैसे $t \to \infty$ होता है,संधारित्र पूरी तरह से चार्ज हो जाता है और एक ओपन सर्किट के रूप में कार्य करता है (प्रतिरोध $R_C = \infty$)। अब धारा दोनों $1000 \ \Omega$ प्रतिरोधों से श्रेणीक्रम में बहती है। कुल प्रतिरोध $R_{total} = 1000 \ \Omega + 1000 \ \Omega = 2000 \ \Omega$ है। अतः,स्थिर अवस्था में धारा $i = \frac{V}{R_{total}} = \frac{2 \ V}{2000 \ \Omega} = 1 \ mA$ होती है।
इसलिए,$t = 0$ पर $i = 2 \ mA$ है,और समय बीतने के साथ धारा घटकर $1 \ mA$ हो जाती है।

(D) $RC$ सर्किट में कैपेसिटर के चार्जिंग के लिए वोल्टेज समीकरण $V(t) = V_0(1 - e^{-t/RC_{eq}})$ है।
समानांतर संयोजन के लिए,समतुल्य धारिता $C_p = C + C = 2C$ होती है। समय नियतांक $\tau_p = R(2C) = 2RC$ है।
दिया गया है कि $t_p = 10 \ s$ पर $V(t_p) = V_0/2$ है,इसलिए $V_0/2 = V_0(1 - e^{-t_p/2RC})$,जिसका अर्थ है $1/2 = e^{-t_p/2RC}$,यानी $t_p = 2RC \ln(2) = 10 \ s$।
श्रेणी संयोजन के लिए,समतुल्य धारिता $C_s = C/2$ होती है। समय नियतांक $\tau_s = R(C/2) = RC/2$ है।
हमें $t_s$ ज्ञात करना है ताकि $V(t_s) = V_0/2$ हो,इसलिए $1/2 = e^{-t_s/(RC/2)}$,जिसका अर्थ है $t_s = (RC/2) \ln(2)$।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,$t_s = t_p / 4 = 10 / 4 = 2.5 \ s$ प्राप्त होता है।

(D) संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2}CV^2$ द्वारा दी जाती है।
प्रारंभिक ऊर्जा $U_0 = \frac{1}{2}CV_0^2$,जहाँ $V_0 = 100\, V$ है।
अंतिम ऊर्जा $U = \frac{1}{2}CV^2$,जहाँ $V = 80\, V$ है।
ऊर्जा में हुई हानि $\Delta U = U_0 - U = \frac{1}{2}CV_0^2 - \frac{1}{2}CV^2$ है।
ऊर्जा में आंशिक हानि $\frac{\Delta U}{U_0} = \frac{\frac{1}{2}CV_0^2 - \frac{1}{2}CV^2}{\frac{1}{2}CV_0^2} = \frac{V_0^2 - V^2}{V_0^2}$ होती है।
मान रखने पर: $\frac{\Delta U}{U_0} = \frac{100^2 - 80^2}{100^2} = \frac{(100 - 80)(100 + 80)}{10000} = \frac{20 \times 180}{10000} = \frac{3600}{10000} = \frac{36}{100} = \frac{9}{25}$।

(D) संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{q^2}{2C}$ द्वारा दी जाती है।
ऊर्जा के अपने प्रारंभिक मान के आधे तक कम होने के लिए: $\frac{U_0}{2} = \frac{q^2}{2C} \Rightarrow \frac{q_0^2}{2} = q^2 \Rightarrow q = \frac{q_0}{\sqrt{2}}$.
डिस्चार्जिंग समीकरण $q = q_0 e^{-t/RC}$ का उपयोग करते हुए,हमें मिलता है $\frac{q_0}{\sqrt{2}} = q_0 e^{-t_1/RC}$.
प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $-\frac{t_1}{RC} = \ln(1/\sqrt{2}) = -\frac{1}{2} \ln 2$,इसलिए $t_1 = \frac{RC \ln 2}{2}$.
आवेश के अपने प्रारंभिक मान के एक-चौथाई तक कम होने के लिए: $\frac{q_0}{4} = q_0 e^{-t_2/RC}$.
प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $-\frac{t_2}{RC} = \ln(1/4) = -2 \ln 2$,इसलिए $t_2 = 2RC \ln 2$.
अनुपात $\frac{t_1}{t_2} = \frac{(RC \ln 2) / 2}{2RC \ln 2} = \frac{1}{4} = 0.25$.

(B) $(i)$ $t \rightarrow 0$ पर,संधारित्र (capacitor) एक शॉर्ट सर्किट (शून्य प्रतिरोध वाले तार) के रूप में कार्य करता है। इस स्थिति में,परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_1$ है। अतः,धारा $I = \frac{E}{R_1}$ होगी।
$(ii)$ $t \rightarrow \infty$ पर,संधारित्र पूरी तरह से आवेशित हो जाता है और एक ओपन सर्किट के रूप में कार्य करता है (इससे कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है)। इस स्थिति में,प्रतिरोधक $R_1$ और $R_2$ श्रेणीक्रम में हैं। कुल प्रतिरोध $R_1 + R_2$ है। अतः,धारा $I = \frac{E}{R_1 + R_2}$ होगी।

(C) $t = 0$ पर,संधारित्र (capacitor) एक शॉर्ट सर्किट के रूप में कार्य करता है (अनावेशित)। परिपथ में कुल प्रतिरोध $1000\,\Omega$ है। अतः,विद्युत धारा $I = \frac{V}{R} = \frac{2\,V}{1000\,\Omega} = 2\,mA$ होती है।
जैसे-जैसे $t \to \infty$ होता है,संधारित्र पूरी तरह से आवेशित हो जाता है और एक ओपन सर्किट के रूप में कार्य करता है। अब विद्युत धारा दो $1000\,\Omega$ प्रतिरोधों के श्रेणी संयोजन से होकर बहती है। कुल प्रतिरोध $1000\,\Omega + 1000\,\Omega = 2000\,\Omega$ है। अतः,विद्युत धारा $I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{2\,V}{2000\,\Omega} = 1\,mA$ होती है।

(B) डिस्चार्ज होते हुए संधारित्र का वोल्टेज $V(t) = V_0 e^{-t/RC}$ द्वारा दिया जाता है।
माना $k = e^{-1/RC}$ है। दिया गया है $V_0 = 320\ V$ और $V(1) = 240\ V$।
$240 = 320 \cdot k \implies k = \frac{240}{320} = \frac{3}{4}$।
$t = 2\ s$ के लिए,$V(2) = V_0 \cdot k^2 = 320 \cdot (\frac{3}{4})^2 = 320 \cdot \frac{9}{16} = 180\ V$।
$t = 3\ s$ के लिए,$V(3) = V_0 \cdot k^3 = 320 \cdot (\frac{3}{4})^3 = 320 \cdot \frac{27}{64} = 135\ V$।

(A) डिस्चार्ज होते हुए $RC$ सर्किट में धारा $I(t) = I_0 e^{-t/\tau}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\tau = R_{eq}C$ समय नियतांक है।
यहाँ,$R_{eq} = R + r$,जहाँ $R = 2 \, \Omega$ बाहरी प्रतिरोध है और $r$ एमीटर का प्रतिरोध है।
धारिता $C = 0.5 \, \mu F = 0.5 \times 10^{-6} \, F$ है।
दिया गया है कि $t = \ln 2 \, \mu s = \ln 2 \times 10^{-6} \, s$ पर,धारा $I(t) = I_0 / 2$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $I_0 / 2 = I_0 e^{-t/\tau} \Rightarrow 1/2 = e^{-t/\tau}$.
दोनों तरफ प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln(1/2) = -t/\tau \Rightarrow -\ln 2 = -t/\tau \Rightarrow \tau = t / \ln 2$.
$t = \ln 2 \, \mu s$ रखने पर: $\tau = (\ln 2 \, \mu s) / \ln 2 = 1 \, \mu s = 10^{-6} \, s$.
चूंकि $\tau = (R + r)C$,इसलिए $10^{-6} = (2 + r) \times 0.5 \times 10^{-6}$.
दोनों तरफ $10^{-6}$ से भाग देने पर: $1 = (2 + r) \times 0.5$.
$2 = 2 + r \Rightarrow r = 0 \, \Omega$.

(D) जब स्विच $S$ को खोला जाता है,तो बैटरी और उसके श्रेणीक्रम में लगा प्रतिरोधक परिपथ से हट जाते हैं। संधारित्र $C$ दो $1 \, k\Omega$ के प्रतिरोधकों के साथ एक लूप में रह जाता है,जो एक-दूसरे के समानांतर जुड़े हुए हैं।
इन दो समानांतर प्रतिरोधकों का तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार है:
$R_{eq} = \frac{1 \, k\Omega \times 1 \, k\Omega}{1 \, k\Omega + 1 \, k\Omega} = 0.5 \, k\Omega = 500 \, \Omega$.
निरावेशित (discharging) परिपथ के लिए समय नियतांक $\tau$ है:
$\tau = R_{eq} C$
$\tau = (500 \, \Omega) \times (100 \times 10^{-6} \, F)$
$\tau = 50000 \times 10^{-6} \, s = 0.05 \, s$
समय नियतांक को मिलीसेकंड $(ms)$ में बदलने पर:
$\tau = 0.05 \times 1000 \, ms = 50 \, ms$.

(C) समय नियतांक $\tau = R_{eq}C$ ज्ञात करने के लिए,हमें संधारित्र (capacitor) $C$ द्वारा देखे गए तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ को निर्धारित करना होगा जब वोल्टेज स्रोतों को शॉर्ट-सर्किट किया जाता है।
$1$. वोल्टेज स्रोतों $V_1$ और $V_2$ को शॉर्ट-सर्किट करें। बाईं शाखा में प्रतिरोध $2R$ और $R$ श्रेणीक्रम में हैं,जो $3R$ देते हैं।
$2$. यह $3R$ मध्य प्रतिरोध $R$ के साथ समानांतर क्रम में है। इस भाग का तुल्य प्रतिरोध $R_{th} = \frac{(3R \times R)}{(3R + R)} = \frac{3R^2}{4R} = \frac{3}{4}R$ है।
$3$. संधारित्र $C$ दाईं ओर के प्रतिरोध $R$ के साथ श्रेणीक्रम में है। इस प्रकार,संधारित्र द्वारा देखा गया कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = R_{th} + R = \frac{3}{4}R + R = \frac{7}{4}R$ है।
$4$. अतः,समय नियतांक $\tau = R_{eq}C = \frac{7}{4}RC$ है।

(B) यह परिपथ वोल्टेज स्रोत $V$ के समानांतर जुड़ी दो $RC$ शाखाओं से बना है। जब स्विच $S$ को $t = 0$ पर बंद किया जाता है,तो प्रत्येक शाखा स्वतंत्र रूप से चार्ज होती है।
कैपेसिटर $C_1$ और प्रतिरोध $R$ वाली पहली शाखा के लिए,धारा $i_1(t) = \frac{V}{R} e^{-t / (R C_1)}$ द्वारा दी जाती है।
कैपेसिटर $C_2$ और प्रतिरोध $R$ वाली दूसरी शाखा के लिए,धारा $i_2(t) = \frac{V}{R} e^{-t / (R C_2)}$ द्वारा दी जाती है।
धाराओं का अनुपात $\frac{i_1}{i_2} = \frac{\frac{V}{R} e^{-t / (R C_1)}}{\frac{V}{R} e^{-t / (R C_2)}} = e^{-t / (R C_1) + t / (R C_2)} = e^{\frac{t}{R} \left( \frac{1}{C_2} - \frac{1}{C_1} \right)}$ है।
दिया गया है कि $C_1 = 2C_2$,इसलिए $\frac{1}{C_2} = \frac{2}{C_1}$ है।
इस मान को अनुपात में रखने पर: $\frac{i_1}{i_2} = e^{\frac{t}{R} \left( \frac{2}{C_1} - \frac{1}{C_1} \right)} = e^{\frac{t}{R C_1}}$।
जैसे-जैसे $t$ बढ़ता है,घातांक $\frac{t}{R C_1}$ बढ़ता है,और इसलिए अनुपात $i_1 / i_2 = e^{\frac{t}{R C_1}}$ समय $t$ के साथ बढ़ता है।

(D) $t = 0$ पर,संधारित्र (capacitor) एक शॉर्ट सर्किट की तरह कार्य करता है (यह अनावेशित है)। परिपथ में कुल प्रतिरोध $1000\,\Omega$ है। अतः,प्रतिरोधक $AB$ से प्रवाहित धारा $I = \frac{2\,V}{1000\,\Omega} = 2\,mA$ है।
जैसे-जैसे समय बीतता है,संधारित्र आवेशित होता है। जैसे-जैसे यह आवेशित होता है,इसका विभवांतर बढ़ता है,जो धारा के प्रवाह का विरोध करता है।
लंबे समय के बाद $(t \to \infty)$,संधारित्र पूरी तरह से आवेशित हो जाता है और एक ओपन सर्किट की तरह कार्य करता है। तब धारा दोनों श्रेणीक्रम में जुड़े प्रतिरोधकों से होकर बहती है। कुल प्रतिरोध $1000\,\Omega + 1000\,\Omega = 2000\,\Omega$ हो जाता है। प्रतिरोधक $AB$ से प्रवाहित धारा $I = \frac{2\,V}{2000\,\Omega} = 1\,mA$ हो जाती है।
अतः,$t = 0$ पर,$I = 2\,mA$ है,और जैसे-जैसे $t$ बढ़ता है,$I$ घटकर $1\,mA$ हो जाता है।

(B) जब स्विच $S$ को बंद किया जाता है, तो संधारित्र में संचित ऊर्जा प्रतिरोधक के माध्यम से ऊष्मा के रूप में पूरी तरह से व्यय हो जाती है।
धारिता $C$ और प्रारंभिक आवेश $Q$ वाले संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{Q^2}{2C}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ, $U = 3.6 \times 10^{-3} \ J$ और $C = 2 \ \mu F = 2 \times 10^{-6} \ F$ दिया गया है।
ऊर्जा को बराबर करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$\frac{Q^2}{2 \times 2 \times 10^{-6}} = 3.6 \times 10^{-3}$
$Q^2 = 3.6 \times 10^{-3} \times 4 \times 10^{-6}$
$Q^2 = 14.4 \times 10^{-9} = 144 \times 10^{-10}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$Q = \sqrt{144 \times 10^{-10}} = 12 \times 10^{-5} \ C$
माइक्रोकूलम्ब $(\mu C)$ में बदलने पर:
$Q = 120 \times 10^{-6} \ C = 120 \ \mu C$.

(C) निरावेशन (discharging) के दौरान,परिपथ में धारा $i(t) = i_0 e^{-t / RC}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $t = (\ln 4) \, \mu s$ पर,धारा $i = i_0 / 2$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $i_0 / 2 = i_0 e^{-(\ln 4 \, \mu s) / RC}$।
यह सरल होकर $1/2 = e^{-(\ln 4 \, \mu s) / RC}$,या $2 = e^{(\ln 4 \, \mu s) / RC}$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर: $\ln 2 = (\ln 4 \, \mu s) / RC$।
चूंकि $\ln 4 = 2 \ln 2$,इसलिए $\ln 2 = (2 \ln 2 \, \mu s) / RC$।
अतः,$RC = 2 \, \mu s$।
दिया गया है $C = 0.5 \, \mu F$,इसलिए $R = (2 \, \mu s) / (0.5 \, \mu F) = 4 \, \Omega$।
कुल प्रतिरोध $R$,प्रतिरोधक और एमीटर के प्रतिरोध $r$ का योग है: $R = 2 \, \Omega + r$।
इसलिए,$2 \, \Omega + r = 4 \, \Omega$,जिससे $r = 2 \, \Omega$ प्राप्त होता है।

(C) स्विच $S$ बंद होने के तुरंत बाद,संधारित्र अनावेशित होने के कारण शॉर्ट सर्किट (तार) की तरह व्यवहार करते हैं। परिपथ को देखने पर,संधारित्र $4\,\Omega$ प्रतिरोध के साथ श्रेणीक्रम में हैं और $8\,\Omega$ प्रतिरोध के साथ समानांतर हैं। $t=0$ पर,संधारित्र एक तार की तरह व्यवहार करता है,इसलिए $4\,\Omega$ वाली शाखा शॉर्ट हो जाती है। परिपथ $6\,V$ की बैटरी,$2\,\Omega$ प्रतिरोध और $8\,\Omega$ प्रतिरोध के श्रेणीक्रम संयोजन जैसा बन जाता है। अतः,$I_1 = I_3 = 6\,V / (2\,\Omega + 8\,\Omega) = 0.6\,A$ और $I_2 = 0$ है।
स्विच $S$ बंद होने के लंबे समय बाद,संधारित्र पूरी तरह से आवेशित हो जाते हैं और ओपन सर्किट की तरह व्यवहार करते हैं। $4\,\Omega$ प्रतिरोध और संधारित्र वाली शाखा में कोई धारा प्रवाहित नहीं होगी $(I_2 = 0)$। परिपथ $6\,V$ की बैटरी,$2\,\Omega$ और $8\,\Omega$ प्रतिरोध के श्रेणीक्रम संयोजन जैसा बन जाता है। अतः,$I_1 = I_3 = 6\,V / (10\,\Omega) = 0.6\,A$ और $I_2 = 0$ है।

(D) $t = 0$ पर,संधारित्र एक शॉर्ट सर्किट के रूप में कार्य करता है। परिपथ का तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = R_3 + (R_1 || R_2) = 1 + \frac{2 \times 2}{2 + 2} = 1 + 1 = 2 \, \Omega$ है। बैटरी से कुल धारा $I = \frac{\varepsilon}{R_{eq}} = \frac{10}{2} = 5 \, A$ है। यह धारा $R_3$ से होकर बहती है,इसलिए विकल्प $A$ सही है।
जैसे-जैसे $t \to \infty$ होता है,संधारित्र पूरी तरह से आवेशित हो जाता है और एक ओपन सर्किट के रूप में कार्य करता है। धारा $R_1 || R_2$ और $R_3$ के श्रेणी संयोजन से होकर बहती है। कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 2 \, \Omega$ है। $R_3$ से होकर बहने वाली धारा $I = \frac{10}{2} = 5 \, A$ है।
चूंकि $R_1$ और $R_2$ समानांतर में हैं,उनके सिरों पर वोल्टेज समान है। अतः,$I_{R_1} R_1 = I_{R_2} R_2$,जिसका अर्थ है $\frac{I_{R_1}}{I_{R_2}} = \frac{R_2}{R_1} = \frac{2}{2} = 1$। यह अनुपात स्थिर है। इसलिए,विकल्प $C$ सही है।
अतः,विकल्प $D$ सबसे उपयुक्त है।

(B) यह परिपथ एक प्रतिरोध $R$ के माध्यम से संधारित्र के निरावेशन (discharging) को दर्शाता है। $t$ समय पर धारा $I$ का मान $I = I_0 e^{-t / RC}$ होता है,जहाँ $I_0 = V/R$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln I = \ln(V/R) - \frac{t}{RC}$.
आधार $10$ के लघुगणक में बदलने पर: $\log_{10} I = \log_{10}(V/R) - \frac{t}{2.303 RC}$.
इसे सरल रेखा के समीकरण $y = mx + c$ से तुलना करने पर,अंतःखंड $\log_{10}(V/R)$ है और ढाल $m = -\frac{1}{2.303 RC}$ है।
आलेख से,रेखा $(1)$ और $(2)$ दोनों के लिए अंतःखंड समान है,जिसका अर्थ है कि $V$ और $R$ स्थिर रहते हैं।
रेखा $(2)$ की ढाल का परिमाण रेखा $(1)$ की तुलना में कम है।
चूंकि $|m| = \frac{1}{2.303 RC}$,ढाल के परिमाण में कमी का अर्थ है कि गुणनफल $RC$ बढ़ना चाहिए।
चूंकि $R$ स्थिर है,इसलिए $C$ को बढ़ाया जाना चाहिए।

(D) ग्राफ से,दोनों सर्किट समान अधिकतम आवेश $q_{\max}$ तक पहुँचते हैं।
चूंकि $q_{\max} = C_1 V_1 = C_2 V_2$,यह स्पष्ट है कि दोनों संधारित्र समान परिमाण के आवेश तक चार्ज होते हैं। अतः,कथन $A$ सही है।
समय नियतांक (time constant) $\tau = RC$ चार्जिंग की दर निर्धारित करता है। ग्राफ से,सर्किट $2$ को सर्किट $1$ की तुलना में $q_{\max}$ तक पहुँचने में अधिक समय लगता है,जिसका अर्थ है कि $\tau_2 > \tau_1$,या $R_2 C_2 > R_1 C_1$ है।
चूंकि $q_{\max} = CV$,हमारे पास $V = q_{\max} / C$ है। चूंकि हम $C_1$ और $C_2$ के व्यक्तिगत मान नहीं जानते हैं,इसलिए हम $V_1$ और $V_2$ के बीच संबंध निर्धारित नहीं कर सकते हैं। अतः,सेलों के $emf$ ($V_1$ और $V_2$) अलग-अलग हो सकते हैं। इस प्रकार,कथन $C$ भी सही है।
चूंकि $A$ और $C$ दोनों सही हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(D) चार्जिंग के दौरान कैपेसिटर पर आवेश $q(t) = CE(1 - e^{-t/RC})$ द्वारा दिया जाता है।
समय नियतांक (time constant) $\tau = RC$ है।
ग्राफ से,सर्किट $2$ को सर्किट $1$ की तुलना में अधिकतम आवेश तक पहुँचने में अधिक समय लगता है,जिसका अर्थ है कि सर्किट $2$ का समय नियतांक सर्किट $1$ से अधिक है।
अतः,$\tau_2 > \tau_1$,जिसका अर्थ है $R_2C_2 > R_1C_1$।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{R_1}{R_2} < \frac{C_2}{C_1}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,विकल्प $D$ सही है।

(D) $1$. जब $X$ को $Y$ से जोड़ा जाता है,तो संधारित्र $V = E$ के विभवांतर तक आवेशित हो जाता है। संधारित्र पर आवेश $q_1 = CE$ है। संचित ऊर्जा $U_1 = \frac{1}{2}CE^2$ है।
$2$. जब $X$ को $Z$ से जोड़ा जाता है,तो संधारित्र को विपरीत ध्रुवता के साथ सेल $B$ से जोड़ा जाता है। संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $+E$ से बदलकर $-E$ हो जाता है। संधारित्र पर अंतिम आवेश $q_2 = -CE$ है।
$3$. परिपथ से प्रवाहित होने वाला कुल आवेश $\Delta q = q_1 - q_2 = CE - (-CE) = 2CE$ है।
$4$. सेल $B$ द्वारा किया गया कार्य $W = \Delta q \cdot E = (2CE) \cdot E = 2CE^2$ है।
$5$. संधारित्र में संचित ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = U_f - U_i = \frac{1}{2}CE^2 - \frac{1}{2}CE^2 = 0$ है।
$6$. कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,$W = \Delta U + H$,जहाँ $H$ उत्पन्न ऊष्मा है। अतः,$H = W = 2CE^2$.
$7$. चूंकि अंतिम संचित ऊर्जा $U_f = \frac{1}{2}CE^2$ है,इसलिए $H = 4 \cdot (\frac{1}{2}CE^2) = 4U_f$ है। अतः,उत्पन्न ऊष्मा संधारित्र में अंततः संचित ऊर्जा की $4$ गुनी है।

(D) ग्राफ से,समय $t$ के फलन के रूप में विभवांतर $V$ एक रैखिक समीकरण है: $V(t) = mt + c$।
$t=0$ पर,$V=2\, V$,इसलिए अंतःखंड $c=2$ है।
$t=3\, s$ पर,$V=8\, V$,इसलिए ढाल $m = \frac{8-2}{3-0} = \frac{6}{3} = 2\, V/s$ है।
इस प्रकार,$V(t) = 2t + 2$ प्राप्त होता है।
संधारित्र (कैपेसिटर) के लिए,$V = \frac{q}{C} = \frac{1}{C} \int i \, dt$ होता है।
यहाँ $i = 1\, A$ दिया गया है,इसलिए $V = \frac{1}{C} \int 1 \, dt = \frac{t}{C} + V_0$,जहाँ $V_0$ समय $t=0$ पर प्रारंभिक वोल्टेज है।
$V(t) = \frac{1}{C}t + 2$ की तुलना $V(t) = 2t + 2$ से करने पर,हमें $\frac{1}{C} = 2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $C = 0.5\, F$ है।

(C) स्थिर अवस्था में,संधारित्र एक खुले परिपथ (open circuit) की तरह कार्य करता है,इसलिए संधारित्र $C$ और प्रतिरोध $r_1$ वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
परिपथ एक सरल श्रेणी परिपथ में बदल जाता है जिसमें बैटरी $E$ और प्रतिरोध $r$ तथा $r_2$ होते हैं।
परिपथ से प्रवाहित होने वाली धारा $i$ है:
$i = \frac{E}{r + r_2}$
संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V_c$ प्रतिरोध $r_2$ के सिरों पर विभवांतर के बराबर होता है क्योंकि वे समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
$V_c = i \cdot r_2 = \left( \frac{E}{r + r_2} \right) r_2$
संधारित्र पर आवेश $Q$ का मान $Q = C V_c$ द्वारा दिया जाता है।
$V_c$ का मान रखने पर:
$Q = C \left( \frac{E r_2}{r + r_2} \right) = CE \frac{r_2}{r + r_2}$

(D) निरावेशित होते संधारित्र पर आवेश $q(t) = q_0 e^{-t/RC}$ द्वारा दिया जाता है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U(t) = \frac{q^2}{2C} = \frac{q_0^2}{2C} e^{-2t/RC} = U_0 e^{-2t/RC}$ है।
समय $t_1$ के लिए,ऊर्जा आधी हो जाती है: $U_0/2 = U_0 e^{-2t_1/RC} \implies 1/2 = e^{-2t_1/RC} \implies \ln(2) = 2t_1/RC \implies t_1 = \frac{RC \ln(2)}{2}$.
समय $t_2$ के लिए,आवेश एक-चौथाई हो जाता है: $q_0/4 = q_0 e^{-t_2/RC} \implies 1/4 = e^{-t_2/RC} \implies \ln(4) = t_2/RC \implies t_2 = RC \ln(4) = 2RC \ln(2)$.
अनुपात $t_1 / t_2 = \frac{RC \ln(2) / 2}{2RC \ln(2)} = 1/4 = 0.25$.

(B) $RC$ परिपथ में चार्ज होते संधारित्र पर वोल्टेज $V(t) = V_0(1 - e^{-t/RC})$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$V_0 = 200 \ V$,$V(t) = 120 \ V$,$C = 2 \times 10^{-6} \ F$,और $t = 5 \ s$ है।
मान रखने पर: $120 = 200(1 - e^{-5/(R \times 2 \times 10^{-6})})$.
$0.6 = 1 - e^{-5/(R \times 2 \times 10^{-6})} \Rightarrow e^{-5/(R \times 2 \times 10^{-6})} = 0.4$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $-5/(R \times 2 \times 10^{-6}) = \ln(0.4) = -\ln(2.5)$.
$5/(R \times 2 \times 10^{-6}) = \ln(2.5) = 2.303 \times \log_{10}(2.5)$.
दिया है $\log_{10}(2.5) = 0.4$,इसलिए $\ln(2.5) = 2.303 \times 0.4 = 0.9212$.
$R = 5 / (2 \times 10^{-6} \times 0.9212) \approx 2.71 \times 10^6 \ \Omega$.

(A) कैपेसिटर के डिस्चार्जिंग का समीकरण $V = V_{0} e^{-t/\tau}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\tau = RC$ टाइम कांस्टेंट है।
$t = \tau$ पर,विभवांतर $V = V_{0} / e \approx 0.37 V_{0}$ हो जाता है।
ग्राफ से,प्रारंभिक विभवांतर $V_{0} = 25\; V$ है।
इसलिए,$t = \tau$ पर,$V = 0.37 \times 25\; V = 9.25\; V$ होगा।
ग्राफ को देखने पर,$t = 100\; sec$ पर,विभव $10\; V$ से थोड़ा अधिक है,और $t = 150\; sec$ पर,विभव $10\; V$ से थोड़ा कम है (लगभग $8\; V$ से $9\; V$ के बीच)।
चूंकि $9.25\; V$ टाइम कांस्टेंट $\tau$ के अनुरूप है,और यह मान समय अक्ष पर $100\; sec$ और $150\; sec$ के बीच स्थित है,इसलिए सही सीमा $100\; sec$ और $150\; sec$ है।

(D) जब स्विच $S_1$ बंद होता है और $S_2$ खुला होता है,तो सर्किट बैटरी $V$,प्रतिरोधक $R$ और संधारित्र $C$ से युक्त एक साधारण श्रेणी $RC$ सर्किट के रूप में कार्य करता है।
किसी भी समय $t$ पर संधारित्र पर आवेश $q$ चार्जिंग सूत्र द्वारा दिया जाता है: $q(t) = CV(1 - e^{-t/\tau})$,जहाँ $\tau = RC$ है।
विकल्प $D$ की जाँच करने पर: $t = 2\tau$ पर,सूत्र में मान रखने पर $q = CV(1 - e^{-2\tau/\tau}) = CV(1 - e^{-2})$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $D$ सही कथन है।

(A) $Q_0$ स्थिर अवस्था में,यानी $t = \infty$ पर संधारित्र पर अधिकतम आवेश है।
$t = \infty$ पर,संधारित्र एक ओपन सर्किट के रूप में कार्य करता है,जिसका अर्थ है कि इसमें से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
परिपथ $R_1$ और $R_2$ के श्रेणी संयोजन के रूप में सरल हो जाता है जो वोल्टेज स्रोत $V$ से जुड़ा है।
संधारित्र के सिरों पर विभवांतर,प्रतिरोध $R_2$ के सिरों पर विभवांतर के बराबर होता है।
वोल्टेज विभाजक नियम का उपयोग करते हुए,$R_2$ पर वोल्टेज $V_C = V \left( \frac{R_2}{R_1 + R_2} \right)$ है।
संधारित्र पर आवेश $Q_0 = C V_C$ है।
$V_C$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $Q_0 = C \left( \frac{V R_2}{R_1 + R_2} \right) = \frac{CVR_2}{R_1 + R_2}$ प्राप्त होता है।