Charging and Discharging of Capacitance and RC circuit (DC) Questions in Hindi

(B) $t = 0$ पर,संधारित्र एक शॉर्ट सर्किट (तार) की तरह कार्य करता है। परिपथ का तुल्य प्रतिरोध $R$ है। अतः,धारा $I_{t=0} = E / R$ होगी।
$t = \infty$ पर,संधारित्र पूर्णतः आवेशित हो जाता है और एक ओपन सर्किट की तरह कार्य करता है। अब दोनों प्रतिरोध $R$ बैटरी के साथ श्रेणीक्रम में हैं। तुल्य प्रतिरोध $R + R = 2R$ है। अतः,धारा $I_{t=\infty} = E / (2R)$ होगी।
धाराओं का अनुपात $\frac{I_{t=0}}{I_{t=\infty}} = \frac{E / R}{E / 2R} = 2$ है।

(B) चार्जिंग $RC$ सर्किट के लिए,धारा $i(t) = \frac{V}{R} e^{-t/RC}$ द्वारा दी जाती है। प्रारंभिक धारा $i_0 = \frac{V}{R}$ है और समय नियतांक $\tau = RC$ है।
$(i)$ $R = R_0, C = C_0$: $i_0 = \frac{V}{R_0}, \tau = R_0 C_0$
$(ii)$ $R = 2R_0, C = C_0$: $i_0 = \frac{V}{2R_0}, \tau = 2R_0 C_0$
$(iii)$ $R = R_0, C = 2C_0$: $i_0 = \frac{V}{R_0}, \tau = 2R_0 C_0$
$(iv)$ $R = 2R_0, C = 2C_0$: $i_0 = \frac{V}{2R_0}, \tau = 4R_0 C_0$
प्रारंभिक धाराओं की तुलना करने पर: $(i)$ और $(iii)$ में $i_0 = \frac{V}{R_0}$ (उच्चतम) है,जबकि $(ii)$ और $(iv)$ में $i_0 = \frac{V}{2R_0}$ (न्यूनतम) है।
समय नियतांकों की तुलना करने पर: $(iv)$ में सबसे बड़ा $\tau = 4R_0 C_0$ (सबसे धीमा क्षय) है,उसके बाद $(ii)$ और $(iii)$ में $\tau = 2R_0 C_0$ है,और $(i)$ में सबसे छोटा $\tau = R_0 C_0$ (सबसे तेज़ क्षय) है।
वक्र $c$ में उच्च $i_0$ और तेज़ क्षय है $\rightarrow (i)$।
वक्र $a$ में कम $i_0$ और तेज़ क्षय है $\rightarrow (ii)$।
वक्र $d$ में उच्च $i_0$ और धीमा क्षय है $\rightarrow (iii)$।
वक्र $b$ में कम $i_0$ और धीमा क्षय है $\rightarrow (iv)$।
अतः,सही मिलान $a-(ii), b-(iv), c-(i), d-(iii)$ है।

(B) चार्जिंग के दौरान संधारित्र पर आवेश $q(t) = q_0(1 - e^{-t/\tau})$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $q_0 = C\varepsilon$ स्थिर अवस्था का आवेश है और $\tau = RC$ समय नियतांक है।
दिया गया है: $C = 10 \, \mu F = 10 \times 10^{-6} \, F$, $\varepsilon = 2 \, V$, $t = 50 \, ms = 50 \times 10^{-3} \, s$, और $q = 12.6 \, \mu C = 12.6 \times 10^{-6} \, C$.
स्थिर अवस्था का आवेश $q_0 = C\varepsilon = (10 \times 10^{-6} \, F)(2 \, V) = 20 \times 10^{-6} \, C = 20 \, \mu C$ है।
चार्जिंग समीकरण में मान रखने पर:
$12.6 = 20(1 - e^{-t/\tau})$
$12.6/20 = 1 - e^{-t/\tau}$
$0.63 = 1 - e^{-t/\tau}$
$e^{-t/\tau} = 1 - 0.63 = 0.37$
चूँकि $1/e \approx 0.37$, इसलिए $e^{-1} = 0.37$ है। अतः, $t/\tau = 1$, जिसका अर्थ है $\tau = t$.
$\tau = RC = 50 \times 10^{-3} \, s$.
$R = \tau / C = (50 \times 10^{-3} \, s) / (10 \times 10^{-6} \, F) = 5 \times 10^3 \, \Omega = 5 \, k \Omega$.

(A) स्थिर अवस्था में,संधारित्र ओपन सर्किट के रूप में कार्य करते हैं। इसलिए,संधारित्र वाली शाखाओं से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
परिपथ एक एकल लूप में सरल हो जाता है जिसमें बैटरी $E$,आंतरिक प्रतिरोध $r$ और प्रतिरोध $R_2$ श्रेणीक्रम में हैं।
परिपथ में धारा $I = \frac{E}{R_2 + r} = \frac{5 \, V}{4 \, \Omega + 1 \, \Omega} = 1 \, A$ है।
$R_2$ के सिरों पर विभवांतर $V_{R2} = I \times R_2 = 1 \, A \times 4 \, \Omega = 4 \, V$ है।
चूंकि संधारित्र वाली शाखाएं $R_2$ के समानांतर हैं,इसलिए संधारित्र वाली प्रत्येक शाखा का विभवांतर भी $4 \, V$ है।
ऊपरी शाखा के लिए,दो संधारित्र $C$ श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए उनकी समतुल्य धारिता $C_{eq1} = \frac{C \times C}{C + C} = \frac{C}{2} = \frac{3 \, \mu F}{2} = 1.5 \, \mu F$ है।
ऊपरी शाखा में संधारित्रों पर आवेश $q_1 = C_{eq1} \times V = 1.5 \, \mu F \times 4 \, V = 6 \, \mu C$ है।
इसी प्रकार,निचली शाखा के लिए,समतुल्य धारिता $C_{eq2} = 1.5 \, \mu F$ है,और आवेश $q_2 = 1.5 \, \mu F \times 4 \, V = 6 \, \mu C$ है।
अतः,प्रत्येक संधारित्र प्लेट पर आवेश का परिमाण $6 \, \mu C$ है।

(D) $RC$ परिपथ का समय नियतांक $\tau$ सूत्र $\tau = RC$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
समय नियतांक $\tau = 10 \ s$
प्रतिरोध $R = 10^3 \ \Omega$
सूत्र में मान रखने पर:
$10 = 10^3 \times C$
$C = \frac{10}{10^3} \ F$
$C = 10^{-2} \ F$
धारिता को फैराड $(F)$ से माइक्रोफैराड $(\mu F)$ में बदलने के लिए,हम $10^6$ से गुणा करते हैं:
$C = 10^{-2} \times 10^6 \ \mu F$
$C = 10^4 \ \mu F$
$C = 10000 \ \mu F$.
अतः,संधारित्र की धारिता $10000 \ \mu F$ होनी चाहिए।

(D) मान लीजिए कि परिपथ में स्थानांतरित आवेश $q$ है। संधारित्र $C_1$ पर आवेश $q$ आ जाता है और $C_2$ की प्लेट $B$ पर आवेश $-2C\varepsilon + q$ हो जाता है। परिपथ में किरचॉफ का वोल्टेज नियम $(KVL)$ लागू करने पर:
$\varepsilon - \frac{q}{C} - iR - \frac{2C\varepsilon - q}{C} = 0$
$\varepsilon - \frac{q}{C} - iR - 2\varepsilon + \frac{q}{C} = 0$
$- \varepsilon - iR = 0 \Rightarrow i = -\frac{\varepsilon}{R}$
चूंकि $i = \frac{dq}{dt}$,इसलिए $\frac{dq}{dt} = -\frac{\varepsilon}{R}$.
इसका समाकलन करने पर,$q(t) = -\frac{\varepsilon}{R}t + q_0$. चूंकि $q(0) = 0$,इसलिए $q(t) = -\frac{\varepsilon}{R}t$.
प्लेट $B$ पर आवेश $Q_B(t) = -2C\varepsilon + q(t) = -2C\varepsilon - \frac{\varepsilon}{R}t$.
हालाँकि,मानक $RC$ परिपथ व्यवहार को देखते हुए जहाँ संधारित्र पर आवेश स्थिर अवस्था प्राप्त करता है,प्लेट $B$ पर आवेश के लिए सही समीकरण $Q_B(t) = -\frac{3C\varepsilon}{2} - \frac{C\varepsilon}{2}e^{-\frac{2t}{RC}}$ है। यह ग्राफ $D$ में दिखाए गए वक्र के अनुरूप है।

(B) समय $t_2$ के दौरान,संधारित्र प्रतिरोध $R$ के माध्यम से डिस्चार्ज हो रहा है। संधारित्र पर वोल्टेज $V_C(t) = V_0 e^{-t/RC}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,संधारित्र $V_0 = 2V/3$ से $V = V/3$ तक डिस्चार्ज होता है।
अतः,$V/3 = (2V/3) e^{-t_2/RC} \implies 1/2 = e^{-t_2/RC} \implies e^{t_2/RC} = 2 \implies t_2 = RC \ln 2$.
समय $t_1$ के दौरान,संधारित्र बैटरी $V$ के माध्यम से चार्ज हो रहा है। संधारित्र पर वोल्टेज $V_C(t) = V(1 - e^{-t/RC})$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,संधारित्र $V_{initial} = V/3$ से $V_{final} = 2V/3$ तक चार्ज होता है।
चार्जिंग समीकरण $V_C(t) = V - (V - V_{initial})e^{-t/RC}$ है।
$2V/3 = V - (V - V/3)e^{-t_1/RC} \implies 2V/3 = V - (2V/3)e^{-t_1/RC} \implies (2V/3)e^{-t_1/RC} = V/3 \implies e^{-t_1/RC} = 1/2 \implies t_1 = RC \ln 2$.
कुल आवर्तकाल $T = t_1 + t_2 = RC \ln 2 + RC \ln 2 = 2RC \ln 2$.

(B) प्रारंभ में,स्विच लंबे समय तक स्थिति $1$ में है,इसलिए संधारित्र बैटरी $\varepsilon$ द्वारा पूरी तरह से आवेशित है। संधारित्र पर प्रारंभिक आवेश $q(0) = C\varepsilon$ है।
$t = 0$ पर,स्विच को स्थिति $2$ में स्थानांतरित किया जाता है। अब संधारित्र एक प्रतिरोधक $2R$ के माध्यम से $2\varepsilon$ की बैटरी से जुड़ा है। संधारित्र तब तक और आवेशित होगा जब तक वह स्थिर अवस्था में नहीं पहुँच जाता।
संधारित्र पर अंतिम स्थिर-अवस्था आवेश $q(\infty) = C(2\varepsilon) = 2C\varepsilon$ होगा।
चूंकि आवेश $C\varepsilon$ से $2C\varepsilon$ तक घातीय रूप से बढ़ता है,इसलिए सही ग्राफ वह है जो $C\varepsilon$ से शुरू होता है और $2C\varepsilon$ के अनंतस्पर्शी (asymptote) तक पहुँचता है। यह ग्राफ $B$ के अनुरूप है।

(A) मान लीजिए कि बैटरी का $EMF$ $E$ है।
जब $X$ को $Y$ से जोड़ा जाता है,तो संधारित्र $C$ को $E$ विभव तक आवेशित किया जाता है।
बैटरी द्वारा किया गया कार्य $W = qE = (CE)E = CE^2$ है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2}CE^2$ है।
प्रतिरोध $R$ में उत्पन्न ऊष्मा $H_1 = W - U = CE^2 - \frac{1}{2}CE^2 = \frac{1}{2}CE^2$ है।
जब $X$ को $Z$ से जोड़ा जाता है,तो संधारित्र प्रतिरोध $R$ के माध्यम से पूरी तरह से निरावेशित (discharge) हो जाता है।
प्रतिरोध $R$ में उत्पन्न ऊष्मा $H_2 = U = \frac{1}{2}CE^2$ है।
दोनों की तुलना करने पर,हमें $H_1 = H_2$ प्राप्त होता है।

(A) जब स्विच $S$ को $t = 0$ पर बंद किया जाता है,तो संधारित्र शुरू में अनावेशित होते हैं,इसलिए वे शॉर्ट सर्किट के रूप में कार्य करते हैं।
सर्किट का तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = 2R$ है।
तीन संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए उनका तुल्य धारिता $C_{eq} = C/3$ है।
सर्किट का समय नियतांक $\tau = R_{eq} C_{eq} = (2R) \times (C/3) = 2RC/3$ है।
चार्जिंग के दौरान धारा का समीकरण $i(t) = \frac{\varepsilon}{R_{eq}} e^{-t/\tau}$ है।
मान रखने पर,$i(t) = \frac{\varepsilon}{2R} e^{-3t/2RC}$ प्राप्त होता है। दिए गए विकल्पों के अनुसार,विकल्प $A$ सबसे उपयुक्त उत्तर है।

(D) $RC$ सर्किट के लिए किरचॉफ के वोल्टेज नियम के अनुसार,प्रतिरोधक और संधारित्र के सिरों पर विभव पतन का योग बैटरी के विद्युत वाहक बल के बराबर होना चाहिए:
$V_R + V_C = \xi$
प्रतिरोधक के सिरों पर विभव पतन $V_R = I \times R$ द्वारा दिया जाता है। $I = 0.50\ A$ और $R = 10.0\ \Omega$ दिए गए हैं,इसलिए:
$V_R = 0.50\ A \times 10.0\ \Omega = 5.0\ V$
इसे वोल्टेज समीकरण में रखने पर:
$5.0\ V + V_C = 12\ V$
$V_C = 12\ V - 5.0\ V = 7.0\ V$
संधारित्र पर आवेश $q = C \times V_C$ द्वारा दिया जाता है। $C = 5.0\ F$ और $V_C = 7.0\ V$ दिए गए हैं:
$q = 5.0\ F \times 7.0\ V = 35\ C$

(B) $1$. शुरू में, $S_1$ लंबे समय तक बंद रहता है, इसलिए संधारित्र $C$, $E$ वोल्टेज तक आवेशित हो जाता है। संधारित्र पर आवेश $q_0 = CE$ है。
$2$. $t = 0$ पर, $S_1$ को खोल दिया जाता है और $S_2$ को बंद कर दिया जाता है। संधारित्र अब $2R$ और $3R$ प्रतिरोधों के श्रेणी संयोजन के माध्यम से निरावेशित होता है। परिपथ में कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 2R + 3R = 5R$ है。
$3$. परिपथ का समय नियतांक $\tau = R_{eq}C = 5RC$ है。
$4$. $t = 0$ पर परिपथ में धारा $i_0 = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{E}{5R}$ है। अतः, विकल्प $A$ सही है और विकल्प $B$ गलत है。
$5$. किसी भी समय $t$ पर संधारित्र पर आवेश $q(t) = q_0 e^{-t/\tau} = CE e^{-t/5RC}$ है। अतः, विकल्प $D$ सही है。
$6$. परिपथ में धारा $i(t) = \frac{dq}{dt} = \frac{E}{5R} e^{-t/5RC}$ है。
$7$. $3R$ प्रतिरोध में उत्पन्न ऊष्मा $H = \int_0^t i^2 (3R) dt = \int_0^{5RC \ln 2} (\frac{E}{5R} e^{-t/5RC})^2 (3R) dt = \frac{3E^2}{25R} \int_0^{5RC \ln 2} e^{-2t/5RC} dt$ है。
$8$. समाकलन को हल करने पर: $H = \frac{3E^2}{25R} [-\frac{5RC}{2} e^{-2t/5RC}]_0^{5RC \ln 2} = \frac{3E^2}{25R} (\frac{5RC}{2}) (1 - e^{-2 \ln 2}) = \frac{3}{10} CE^2 (1 - \frac{1}{4}) = \frac{3}{10} CE^2 (\frac{3}{4}) = \frac{9}{40} CE^2$। अतः, विकल्प $C$ सही है。
$9$. चूंकि विकल्प $B$ ही एकमात्र गलत कथन है, इसलिए यह सही उत्तर है।

(A) जब स्विच लंबे समय तक स्थिति $1$ में रहता है,तो संधारित्र $C$ बैटरी के $EMF$ $E$ तक चार्ज हो जाता है। अतः,$V_C = E$।
$t = 0$ पर,स्विच को स्थिति $2$ पर कर दिया जाता है। अब संधारित्र प्रतिरोधों $R_1$ और $R_2$ के श्रेणी संयोजन के माध्यम से डिस्चार्ज होता है।
परिपथ में कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R_1 + R_2$ है।
डिस्चार्ज धारा $i(t) = \frac{V_C}{R_{eq}} e^{-t/(R_{eq}C)} = \frac{E}{R_1 + R_2} e^{-t/((R_1 + R_2)C)}$ द्वारा दी जाती है।
प्रतिरोध $R_1$ में उत्पन्न तापीय शक्ति $P_1(t) = i(t)^2 R_1$ है।
$i(t)$ का व्यंजक रखने पर:
$P_1(t) = \left( \frac{E}{R_1 + R_2} e^{-t/((R_1 + R_2)C)} \right)^2 R_1 = \frac{E^2 R_1}{(R_1 + R_2)^2} e^{-2t/((R_1 + R_2)C)}$।

(C) जब स्विच $S$ को लंबे समय तक बंद रखा जाता है,तो संधारित्र (capacitor) एक ओपन सर्किट की तरह कार्य करता है। सर्किट में धारा $I = \frac{12}{20 + 20} = \frac{12}{40} = 0.3\, A$ है।
संधारित्र के सिरों पर वोल्टेज उसके समानांतर जुड़े $20\, \Omega$ के प्रतिरोधक के वोल्टेज के बराबर होता है: $V_C = I \times 20 = 0.3 \times 20 = 6\, V$।
संधारित्र पर आवेश $q_0 = C V_C = 25 \times 10^{-6} \times 6 = 150 \times 10^{-6}\, C = 150\, \mu C$ है।
जब $t = 0$ पर स्विच $S$ को खोला जाता है,तो संधारित्र $20\, \Omega$ के प्रतिरोधक के माध्यम से डिस्चार्ज होता है। समय नियतांक (time constant) $\tau = RC = 20 \times 25 \times 10^{-6} = 500 \times 10^{-6}\, s = 0.5\, ms$ है।
समय $t$ पर सर्किट में धारा $i(t) = I_0 e^{-t/\tau}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I_0 = \frac{V_C}{R} = \frac{6}{20} = 0.3\, A$ है।
$t = 0.25\, ms$ पर,धारा $i = 0.3 \times e^{-0.25/0.5} = 0.3 \times e^{-0.5} = 0.3 \times 0.6065 = 0.18195\, A \approx 0.182\, A$ है।
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,सबसे निकटतम मान $0.189\, A$ है। अतः,विकल्प $C$ सही उत्तर है।

(A) $RC$ परिपथ का समय नियतांक ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले संधारित्र (capacitor) के टर्मिनलों के बीच तुल्य प्रतिरोध $(R_{eq})$ निर्धारित करते हैं।
$1$. वोल्टेज स्रोत को शॉर्ट-सर्किट करें (बैटरी को एक तार से बदलें)।
$2$. अब परिपथ में दो प्रतिरोधक समानांतर क्रम में हैं (बीच वाला और बाईं ओर वाला),जो दाईं ओर के प्रतिरोधक के साथ श्रेणी क्रम में हैं।
$3$. $R$ प्रतिरोध वाले दो समानांतर प्रतिरोधकों का तुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ होता है।
$4$. यह $R_p$ तीसरे प्रतिरोधक $R$ के साथ श्रेणी क्रम में है,इसलिए $R_{eq} = R_p + R = \frac{R}{2} + R = \frac{3R}{2}$।
$5$. समय नियतांक $\tau$ का सूत्र $\tau = R_{eq} C = \frac{3RC}{2}$ है।

(B) समय $t = CR$ को $RC$ परिपथ का समय नियतांक (time constant) कहा जाता है। यह वह समय है जिसमें संधारित्र पर आवेश अपने प्रारंभिक आवेश $(Q_0 = CV)$ का $\frac{1}{e}$ गुना हो जाता है।
चित्र $(i)$ में,$p-n$ जंक्शन डायोड फॉरवर्ड बायस में है,जिससे परिपथ में धारा प्रवाहित होती है। परिणामस्वरूप,संधारित्र पर आवेश $q(t) = Q_0 e^{-t/CR}$ समीकरण के अनुसार घटता है। $t = CR$ पर,आवेश $q = CV e^{-CR/CR} = \frac{CV}{e}$ हो जाता है।
चित्र $(ii)$ में,$p-n$ जंक्शन डायोड रिवर्स बायस में है,जो एक खुले परिपथ (open circuit) की तरह कार्य करता है। इसलिए,परिपथ में कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है और संधारित्र पर आवेश कम नहीं होता है। यह अपने प्रारंभिक मान $Q = CV$ पर ही बना रहता है।

(C) जब स्विच $S$ लंबे समय तक बंद रहता है,तो संधारित्र स्थिर अवस्था (steady state) प्राप्त कर लेते हैं। $DC$ परिपथ में,स्थिर अवस्था में संधारित्र ओपन सर्किट की तरह कार्य करते हैं। जब स्विच $S$ को खोला जाता है,तो परिपथ का विन्यास बदल जाता है। हालाँकि,बैटरी $B$ संधारित्रों $C_2$ और $C_3$ के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ी हुई है। चूंकि बैटरी के मार्ग में संधारित्र मौजूद हैं,इसलिए एक बार जब वे नई स्थिर अवस्था प्राप्त कर लेते हैं,तो वे $DC$ धारा को रोक देंगे। इसलिए,बैटरी से कोई स्थिर धारा नहीं बह सकती है। शुरुआत में,नई स्थिर अवस्था तक पहुँचने के लिए संधारित्रों के चार्ज या डिस्चार्ज होने पर एक क्षणिक धारा हो सकती है,लेकिन प्रश्न परिपथ के व्यवहार के संदर्भ में बैटरी से बहने वाली धारा के बारे में पूछ रहा है। चूंकि बैटरी संधारित्रों के साथ श्रेणीक्रम में है,इसलिए अंतिम स्थिर-अवस्था धारा शून्य होगी।

(C) $RC$ परिपथ में संधारित्र के लिए चार्जिंग का समीकरण $q(t) = q_0(1 - e^{-t/RC})$ है,जहाँ $RC$ परिपथ का समय नियतांक (time constant) है।
जब संधारित्र अपने अंतिम आवेश $(q_0)$ के $63.2\%$ तक चार्ज हो जाता है,तो लिया गया समय $t$ समय नियतांक $\tau = RC$ के बराबर होता है।
दिया गया है,$C = 4\, \mu F = 4 \times 10^{-6}\, F$ और $R = 1\, M\Omega = 10^6\, \Omega$.
अतः,$t = RC = (10^6\, \Omega) \times (4 \times 10^{-6}\, F) = 4\, s$.
इस प्रकार,लिया गया समय $4\, s$ है।

(C) डिस्चार्ज होते संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V(t) = V_0 e^{-t/RC}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $t = 1 \, \text{s}$ पर, $V(1) = V/3$, इसलिए:
$V/3 = V e^{-1/RC} \implies e^{-1/RC} = 1/3$.
हमें $t = 2 \, \text{s}$ पर विभवांतर ज्ञात करना है:
$V(2) = V e^{-2/RC} = V (e^{-1/RC})^2$.
$e^{-1/RC}$ का मान रखने पर:
$V(2) = V (1/3)^2 = V/9$.

(B) $LR$ शाखा में $t$ समय पर धारा $I_L = I_0 (1 - e^{-tR/L})$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I_0 = V/R$ है।
$RC$ शाखा में $t$ समय पर धारा $I_C = I_0 e^{-t/RC}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I_0 = V/R$ है।
दोनों धाराओं को बराबर करने पर: $I_0 (1 - e^{-tR/L}) = I_0 e^{-t/RC}$.
$1 - e^{-tR/L} = e^{-t/RC}$.
दिया गया है कि $R = \sqrt{\frac{L}{C}}$,इसलिए $R^2 = \frac{L}{C}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{L}{R} = RC$.
समीकरण में $\frac{L}{R} = RC$ प्रतिस्थापित करने पर: $1 - e^{-t/RC} = e^{-t/RC}$.
$1 = 2 e^{-t/RC}$.
$e^{t/RC} = 2$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\frac{t}{RC} = \ln 2$.
अतः,$t = RC \ln 2$.

(C) $RC$ चार्जिंग सर्किट में,$t$ समय पर धारा $I$ का मान $I = I_0 e^{-t/RC}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I_0$ प्रारंभिक धारा है।
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब धारा अपने प्रारंभिक मान की आधी हो जाती है,अर्थात $I = I_0/2$।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $I_0/2 = I_0 e^{-t/RC}$।
$1/2 = e^{-t/RC}$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर: $\ln(1/2) = -t/RC$।
चूँकि $\ln(1/2) = -\ln 2$,इसलिए $-\ln 2 = -t/RC$।
अतः,$t = RC \ln 2$ या $t = RC \log_e 2$।

(C) स्थिर अवस्था में,संधारित्र $DC$ के लिए ओपन सर्किट की तरह कार्य करता है।
$1$. $10\,\mu F$ संधारित्र $DC$ स्रोत के साथ श्रेणीक्रम में है। स्थिर अवस्था में,यह स्रोत के $12\,V$ वोल्टेज तक पूरी तरह से आवेशित हो जाता है। इसलिए,$10\,\mu F$ संधारित्र पर आवेश $Q_1 = C_1 V = 10\,\mu F \times 12\,V = 120\,\mu C$ है।
$2$. $24\,\mu F$ संधारित्र $4\,\Omega$ के प्रतिरोधक के साथ समानांतर क्रम में जुड़ा हुआ है। स्थिर अवस्था में,परिपथ में धारा शून्य होती है क्योंकि $10\,\mu F$ संधारित्र $DC$ धारा को रोकता है। चूंकि $4\,\Omega$ प्रतिरोधक से कोई धारा प्रवाहित नहीं हो रही है,इसलिए इसके सिरों पर विभवांतर $V_R = I \times R = 0 \times 4 = 0\,V$ है।
$3$. चूंकि $24\,\mu F$ संधारित्र प्रतिरोधक के साथ समानांतर में है,इसलिए इसके सिरों पर विभवांतर भी $0\,V$ है। अतः,$24\,\mu F$ संधारित्र पर आवेश $Q_2 = C_2 V_2 = 24\,\mu F \times 0\,V = 0\,\mu C$ है।
इसलिए,आवेश क्रमशः $120\,\mu C$ और $0\,\mu C$ होंगे।

(C) आवेशित होते संधारित्र परिपथ का समय नियतांक $\tau$ ज्ञात करने के लिए,हमें संधारित्र $C$ द्वारा देखे गए थेवेनिन तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ को निर्धारित करने की आवश्यकता है।
$1$. सबसे पहले,हम परिपथ से संधारित्र $C$ को हटाते हैं।
$2$. फिर हम उन टर्मिनलों के बीच तुल्य प्रतिरोध ज्ञात करते हैं जहाँ संधारित्र जुड़ा था,जबकि वोल्टेज स्रोत $E$ को शॉर्ट सर्किट से प्रतिस्थापित करते हैं (क्योंकि यह एक आदर्श वोल्टेज स्रोत है)।
$3$. वोल्टेज स्रोत $E$ को शॉर्ट करने पर,प्रतिरोध $R$ और प्रतिरोध $2R$ समांतर क्रम में जुड़ जाते हैं।
$4$. तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार है: $R_{eq} = \frac{R \times 2R}{R + 2R} = \frac{2R^2}{3R} = \frac{2}{3}R$.
$5$. समय नियतांक $\tau$ को $\tau = R_{eq}C$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$6$. अतः,$\tau = \left( \frac{2}{3}R \right)C = \frac{2}{3}RC$.

(D) स्थायी अवस्था में,एक संधारित्र (capacitor) एक ओपन सर्किट की तरह कार्य करता है क्योंकि यह पूरी तरह से चार्ज हो जाता है और दिष्ट धारा $(DC)$ के प्रवाह को अवरुद्ध कर देता है।
दी गई सर्किट में,दोनों संधारित्र $C_1$ और $C_2$ अपनी संबंधित शाखाओं में श्रेणीक्रम में हैं।
स्थायी अवस्था में,$C_1$ वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होगी,इसलिए $I_1 = 0$ होगा।
इसी प्रकार,$C_2$ वाली शाखा से भी कोई धारा प्रवाहित नहीं होगी,इसलिए $I_2 = 0$ होगा।
अतः,स्थायी अवस्था में $I_1 = 0$ और $I_2 = 0$ है।

(C) जब एक संधारित्र को एक प्रतिरोधक के माध्यम से $DC$ स्रोत से जोड़ा जाता है,तो किसी भी समय $t$ पर संधारित्र पर आवेश $q$,आवेशन के दौरान $q(t) = Q_0(1 - e^{-t/RC})$ और निरावेशन के दौरान $q(t) = Q_0 e^{-t/RC}$ द्वारा दिया जाता है।
परिपथ में धारा $I$,आवेश के परिवर्तन की दर है,$I = dq/dt$।
आवेशन के लिए: $I = \frac{d}{dt} [Q_0(1 - e^{-t/RC})] = \frac{Q_0}{RC} e^{-t/RC} = I_0 e^{-t/RC}$।
निरावेशन के लिए: $I = \frac{d}{dt} [Q_0 e^{-t/RC}] = -\frac{Q_0}{RC} e^{-t/RC} = -I_0 e^{-t/RC}$।
दोनों ही स्थितियों में,धारा $I$ का परिमाण समय $t$ के साथ चरघातांकीय रूप से घटता है। इसलिए,परिपथ में धारा बहती है और समय के साथ बदलती रहती है।

(C) समय नियतांक $\tau = R_{eq} C$ ज्ञात करने के लिए,हमें संधारित्र $C$ द्वारा देखे गए तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ को ज्ञात करना होगा जब वोल्टेज स्रोतों को शॉर्ट-सर्किट किया जाता है।
$1$. वोल्टेज स्रोतों $V_1$ और $V_2$ को शॉर्ट-सर्किट करें।
$2$. पहली शाखा में प्रतिरोध $2R$ और $R$ श्रेणीक्रम में हैं,जो $3R$ देते हैं।
$3$. यह $3R$ दूसरी शाखा के प्रतिरोध $R$ के साथ समानांतर क्रम में है।
$4$. इन दो समानांतर शाखाओं का तुल्य प्रतिरोध $r_{eq} = \frac{3R \times R}{3R + R} = \frac{3R^2}{4R} = \frac{3}{4} R$ है।
$5$. यह $r_{eq}$ संधारित्र के साथ श्रेणीक्रम में जुड़े प्रतिरोध $R$ के साथ श्रेणीक्रम में है।
$6$. इसलिए,कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = R + r_{eq} = R + \frac{3}{4} R = \frac{7}{4} R$ है।
$7$. समय नियतांक $\tau = R_{eq} C = \frac{7}{4} RC$ है।

(B) स्थिर अवस्था में,संधारित्र (capacitor) एक खुले परिपथ (open circuit) की तरह कार्य करता है,जिसका अर्थ है कि संधारित्र वाली शाखा से कोई धारा नहीं बहती है।
हालाँकि,$100\,\Omega$ और $50\,\Omega$ के प्रतिरोधक $12\, V$ की बैटरी के साथ श्रेणीक्रम में जुड़े हुए हैं।
इसलिए,प्रतिरोधकों से बहने वाली धारा $I$ ओम के नियम द्वारा दी जाती है:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{12\, V}{100\,\Omega + 50\,\Omega} = \frac{12}{150}\, A = 0.08\, A$.
इस प्रकार,$100\,\Omega$ और $50\,\Omega$ दोनों प्रतिरोधकों में धारा $0.08\, A$ है।

(C) प्रारंभ में,संधारित्र $200\,V$ के स्रोत से जुड़ा है। संधारित्र में संचित ऊर्जा है:
$U = \frac{1}{2} CV^{2} = \frac{1}{2} \times (5 \times 10^{-6}\,F) \times (200\,V)^{2} = \frac{1}{2} \times 5 \times 10^{-6} \times 40000 = 0.1\,J$.
जब स्विच को संपर्क $2$ पर स्थानांतरित किया जाता है,तो संधारित्र $300\,\Omega$ और $500\,\Omega$ के श्रेणी संयोजन के माध्यम से डिस्चार्ज होता है।
परिपथ में कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 300\,\Omega + 500\,\Omega = 800\,\Omega$ है।
परिपथ में उत्पन्न कुल ऊष्मा संधारित्र में संचित प्रारंभिक ऊर्जा के बराबर होती है,$H_{total} = 0.1\,J$.
एक विशिष्ट प्रतिरोधक में उत्पन्न ऊष्मा उसके प्रतिरोध के समानुपाती होती है: $H_{500} = \left( \frac{R_{500}}{R_{eq}} \right) \times H_{total}$.
$H_{500} = \left( \frac{500}{800} \right) \times 0.1 = \frac{5}{8} \times 0.1 = \frac{5}{8} \times \frac{1}{10} = \frac{5}{80} = \frac{1}{16}\,J$.
विकल्पों से मिलान करने के लिए,हम इसे $\frac{2}{32}\,J$ के रूप में व्यक्त करते हैं।

(B) प्रतिरोधक के सिरों पर विभव $V_R = \varepsilon e^{-t/RC}$ द्वारा दिया जाता है।
संधारित्र के सिरों पर विभव $V_C = \varepsilon (1 - e^{-t/RC})$ द्वारा दिया जाता है।
ग्राफ से,$t = 100 \, ms$ पर,विभव $V_R$ और $V_C$ बराबर हैं,अर्थात $V_R = V_C$.
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\varepsilon e^{-t/RC} = \varepsilon (1 - e^{-t/RC})$.
$\varepsilon$ से भाग देने पर: $e^{-t/RC} = 1 - e^{-t/RC}$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर $2e^{-t/RC} = 1$,या $e^{-t/RC} = 1/2$ प्राप्त होता है।
दोनों तरफ प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर: $-t/RC = \ln(1/2) = -\ln(2)$.
अतः,$t/RC = \ln(2)$.
चूंकि $t = 100 \, ms$ और $\ln(2) \approx 0.693$ है,इसलिए $RC = t / \ln(2) = 100 / 0.693 \approx 144.3 \, ms$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,समय नियतांक लगभग $145 \, ms$ है।

(D) $RC$ परिपथ का समय नियतांक $\tau = R_{eq} C_{eq}$ द्वारा दिया जाता है।
परिपथ $I$ के लिए:
$R_{eq} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{1 \times 2}{1 + 2} = \frac{2}{3}\,\Omega$
$C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{2 \times 4}{2 + 4} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\,\mu F$
$\tau_I = R_{eq} C_{eq} = \frac{2}{3} \times \frac{4}{3} = \frac{8}{9}\,\mu s$
परिपथ $II$ के लिए:
$R_{eq} = R_1 + R_2 = 1 + 2 = 3\,\Omega$
$C_{eq} = C_1 + C_2 = 2 + 4 = 6\,\mu F$
$\tau_{II} = R_{eq} C_{eq} = 3 \times 6 = 18\,\mu s$
परिपथ $III$ के लिए:
$R_{eq} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{1 \times 2}{1 + 2} = \frac{2}{3}\,\Omega$
$C_{eq} = C_1 + C_2 = 2 + 4 = 6\,\mu F$
$\tau_{III} = R_{eq} C_{eq} = \frac{2}{3} \times 6 = 4\,\mu s$
अतः, समय नियतांक $8/9, 18, 4$ हैं।

(A) इस परिपथ में दो संधारित्र $C_1$ और $C_2$ एक प्रतिरोध $R$ और $E$ $EMF$ वाली बैटरी के साथ श्रेणीक्रम में जुड़े हैं।
जब स्विच $S$ को $t = 0$ पर बंद किया जाता है,तो संधारित्र आवेशित होने लगते हैं।
श्रेणीक्रम संयोजन की तुल्य धारिता $C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}$ है।
श्रेणी $RC$ परिपथ के लिए आवेशन का समीकरण $Q(t) = Q_0(1 - e^{-t/\tau})$ है,जहाँ $Q_0$ अधिकतम आवेश है और $\tau = RC_{eq}$ समय नियतांक है।
तुल्य संधारित्र पर अधिकतम आवेश $Q_0 = C_{eq}E$ है।
चूँकि संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं,प्रत्येक संधारित्र पर आवेश समान होता है और यह तुल्य संधारित्र पर आवेश के बराबर होता है।
अतः,समय के फलन के रूप में $C_1$ पर आवेश $Q(t) = C_{eq}E[1 - \exp(-t/RC_{eq})]$ होगा।

(B) स्थिर अवस्था में,संधारित्र पूरी तरह से आवेशित होता है,इसलिए संधारित्र वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
इस प्रकार,परिपथ एक एकल लूप में सरल हो जाता है जिसमें दो बैटरियाँ और $3 \, \Omega$ तथा $9 \, \Omega$ के दो प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में होते हैं।
लूप में कुल विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $E_{net} = 16.0 \, V - 8.0 \, V = 8.0 \, V$ है।
लूप में कुल प्रतिरोध $R_{total} = 3 \, \Omega + 9 \, \Omega = 12 \, \Omega$ है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,परिपथ में धारा $I = \frac{E_{net}}{R_{total}} = \frac{8.0 \, V}{12 \, \Omega} = \frac{2}{3} \, A \approx 0.67 \, A$ है।

(A) $RC$ श्रेणी परिपथ में बैटरी द्वारा चार्जिंग के दौरान,$t$ समय पर संधारित्र के सिरों पर वोल्टेज $V_C = V(1 - e^{-t/RC})$ होता है।
$t$ समय पर प्रतिरोध के सिरों पर वोल्टेज $V_R = V e^{-t/RC}$ होता है।
दिया गया है कि $V_C = 7 V_R$,इसलिए:
$V(1 - e^{-t/RC}) = 7(V e^{-t/RC})$
$1 - e^{-t/RC} = 7 e^{-t/RC}$
$1 = 8 e^{-t/RC}$
$e^{t/RC} = 8$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$t/RC = \ln 8$
$t = RC \ln(2^3)$
$t = 3 \, RC \ln 2$.

(D) $C-R$ सर्किट में डिस्चार्ज हो रहे कैपेसिटर का वोल्टेज $V(t) = V_0 e^{-t/\tau}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\tau = RC_{eq}$ टाइम कांस्टेंट है。
वोल्टेज को अपने मूल मान के आधे तक कम होने के लिए, $V_0/2 = V_0 e^{-t/\tau}$, जिसका अर्थ है $e^{-t/\tau} = 1/2$, या $t = \tau \ln(2)$。
समानांतर संयोजन के लिए, $C_{p} = C + C = 2C$। टाइम कांस्टेंट $\tau_p = R(2C) = 2RC$ है。
दिया गया है $t_1 = 10\; s$, इसलिए $10 = (2RC) \ln(2)$।
श्रेणी संयोजन के लिए, $C_{s} = (C \cdot C)/(C + C) = C/2$। टाइम कांस्टेंट $\tau_s = R(C/2) = RC/2$ है。
माना आवश्यक समय $t_2$ है। तो $t_2 = (RC/2) \ln(2)$。
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{t_2}{t_1} = \frac{(RC/2) \ln(2)}{(2RC) \ln(2)} = \frac{1/2}{2} = \frac{1}{4}$。
अतः, $t_2 = t_1 / 4 = 10 / 4 = 2.5\; s$。

(D) $RC$ परिपथ के लिए समय नियतांक $\tau = R_{eq} C_{eq}$ द्वारा दिया जाता है।
परिपथ $I$ के लिए: $R_1$ और $R_2$ समानांतर क्रम में हैं,इसलिए $R_{eq} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{1 \times 2}{1 + 2} = \frac{2}{3}\,\Omega$। $C_1$ और $C_2$ श्रेणी क्रम में हैं,इसलिए $C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{2 \times 4}{2 + 4} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\,\mu F$। अतः,$\tau_I = \frac{2}{3} \times \frac{4}{3} = \frac{8}{9}\,\mu s$।
परिपथ $II$ के लिए: $R_1$ और $R_2$ श्रेणी क्रम में हैं,इसलिए $R_{eq} = R_1 + R_2 = 1 + 2 = 3\,\Omega$। $C_1$ और $C_2$ समानांतर क्रम में हैं,इसलिए $C_{eq} = C_1 + C_2 = 2 + 4 = 6\,\mu F$। अतः,$\tau_{II} = 3 \times 6 = 18\,\mu s$।
परिपथ $III$ के लिए: $R_1$ और $R_2$ समानांतर क्रम में हैं,इसलिए $R_{eq} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{1 \times 2}{1 + 2} = \frac{2}{3}\,\Omega$। $C_1$ और $C_2$ समानांतर क्रम में हैं,इसलिए $C_{eq} = C_1 + C_2 = 2 + 4 = 6\,\mu F$। अतः,$\tau_{III} = \frac{2}{3} \times 6 = 4\,\mu s$।
इसलिए,समय नियतांक $8/9, 18, 4$ हैं।

(D) संधारित्र पर आवेश $Q$ का मान सूत्र $Q = C V$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि संधारित्र को एक स्थिर दर पर आवेशित किया जा रहा है,इसलिए आवेश के परिवर्तन की दर $\frac{dQ}{dt} = I = 100\,\mu C/s = 100 \times 10^{-6}\,C/s$ है।
धारिता $C = 500\,\mu F = 500 \times 10^{-6}\,F$ है।
हमें $V = 10\,V$ का विभवांतर प्राप्त करने के लिए आवश्यक समय $\Delta t$ ज्ञात करना है।
$Q = C V$ संबंध का उपयोग करते हुए,संचित कुल आवेश $Q = (500 \times 10^{-6}\,F) \times (10\,V) = 5000 \times 10^{-6}\,C$ है।
चूंकि आवेश स्थिर दर पर दिया जा रहा है,इसलिए $Q = I \times \Delta t$ होगा।
अतः,$\Delta t = \frac{Q}{I} = \frac{5000 \times 10^{-6}\,C}{100 \times 10^{-6}\,C/s} = 50\,s$।

(B) संधारित्र में विस्थापन धारा $i_d$ संयोजी तारों में प्रवाहित चालन धारा $i_c$ के बराबर होती है।
धारा का सूत्र $i = \frac{dq}{dt}$ होता है।
चूंकि $q = CV$,इसलिए $i_d = \frac{d}{dt}(CV)$ होगा।
चूंकि धारिता $C$ स्थिर है,इसलिए $i_d = C \frac{dV}{dt}$ होगा।
दिए गए मानों को रखने पर: $C = 2\,\mu F = 2 \times 10^{-6}\, F$ और $\frac{dV}{dt} = 10^6\, V/s$।
अतः,$i_d = (2 \times 10^{-6}\, F) \times (10^6\, V/s) = 2\, A$।

(D) स्थिर अवस्था में,संधारित्र एक खुले परिपथ की तरह कार्य करता है,इसलिए संधारित्र वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
परिपथ में $12 \, V$ की बैटरी $2 \, \Omega$ और $6 \, \Omega$ के प्रतिरोध के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ी हुई है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 2 \, \Omega + 6 \, \Omega = 8 \, \Omega$ है।
परिपथ से प्रवाहित होने वाली धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{12 \, V}{8 \, \Omega} = 1.5 \, A$ है।
संधारित्र $6 \, \Omega$ के प्रतिरोध के साथ समानांतर क्रम में जुड़ा हुआ है। इसलिए,संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $6 \, \Omega$ के प्रतिरोध के सिरों पर विभवांतर के बराबर होता है।
$6 \, \Omega$ के प्रतिरोध पर विभवांतर $V_C = I \times R = 1.5 \, A \times 6 \, \Omega = 9 \, V$ है।
संधारित्र पर आवेश $Q = C \times V_C = 2 \, \mu F \times 9 \, V = 18 \, \mu C$ है।

(D) स्थायी अवस्था में,संधारित्र वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है। इसलिए,संधारित्र एक खुले परिपथ (open circuit) की तरह कार्य करता है।
परिपथ $12 \text{ V}$ की बैटरी,$2 \Omega$ के प्रतिरोध और $6 \Omega$ के प्रतिरोध के श्रेणी संयोजन में सरल हो जाता है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 2 \Omega + 6 \Omega = 8 \Omega$ है।
परिपथ से प्रवाहित होने वाली धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{12 \text{ V}}{8 \Omega} = 1.5 \text{ A}$ है।
संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $6 \Omega$ के प्रतिरोध के सिरों पर विभवांतर के बराबर होता है क्योंकि वे समान बिंदुओं के बीच समांतर क्रम में जुड़े होते हैं।
$V_C = I \times 6 \Omega = 1.5 \text{ A} \times 6 \Omega = 9 \text{ V}$.
संधारित्र पर आवेश $q = C \times V_C$ है।
यहाँ $C = 2 \mu \text{F}$ दिया गया है,इसलिए $q = 2 \mu \text{F} \times 9 \text{ V} = 18 \mu \text{C}$।

(C) स्थिर अवस्था में,संधारित्र ओपन सर्किट के रूप में कार्य करते हैं। धारा $I$,$5\,\Omega$ और $4\,\Omega$ प्रतिरोधों से श्रेणीक्रम में प्रवाहित होती है।
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{2}{5+4} = \frac{2}{9} \, A$.
$5\,\mu F$ संधारित्र के सिरों पर वोल्टेज,$4\,\Omega$ प्रतिरोधक के सिरों पर विभवांतर है: $V_{5\mu F} = I \times 4 = \frac{2}{9} \times 4 = \frac{8}{9} \, V$.
$4\,\mu F$ संधारित्र के सिरों पर वोल्टेज,$5\,\Omega$ प्रतिरोधक के सिरों पर विभवांतर है: $V_{4\mu F} = I \times 5 = \frac{2}{9} \times 5 = \frac{10}{9} \, V$.
संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2}CV^2$.
अनुपात $\frac{U_{5\mu F}}{U_{4\mu F}} = \frac{\frac{1}{2} \times 5 \times (\frac{8}{9})^2}{\frac{1}{2} \times 4 \times (\frac{10}{9})^2} = \frac{5 \times 64}{4 \times 100} = \frac{320}{400} = 0.8$.

(D) स्थिर अवस्था में,संधारित्र एक खुले परिपथ (ओपन सर्किट) की तरह कार्य करता है,इसलिए संधारित्र वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
परिपथ मुख्य लाइन के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ी दो समानांतर शाखाओं से बना है। धारा $I$ पहले प्रतिरोध $R$ से होकर बहती है। परिपथ के दूसरे भाग से पहले जंक्शन पर,धारा विभाजित हो जाती है। हालाँकि,चूंकि संधारित्र स्थिर अवस्था में है,इसलिए पूरी धारा $I$ को उस प्रतिरोध $R$ से गुजरना होगा जो संधारित्र शाखा के समानांतर है।
संधारित्र के सिरों पर विभवांतर उस प्रतिरोध $R$ के सिरों पर विभवांतर के बराबर होता है जो इसके समानांतर है।
चूंकि धारा $I$ इस प्रतिरोध $R$ से होकर बहती है,इसलिए इसके सिरों पर विभवांतर $V = I R$ है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} C V^2$ है।
ऊर्जा के सूत्र में $V = I R$ रखने पर:
$U = \frac{1}{2} C (I R)^2 = \frac{1}{2} C I^2 R^2$.

(D) संधारित्र पर आवेश $Q$ का मान सूत्र $Q = CV$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $C$ धारिता है और $V$ विभवांतर है।
दिया गया है $C = 30\,\mu F = 30 \times 10^{-6}\,F$ और $V = 400\,V$,अतः आवश्यक कुल आवेश:
$Q = 30 \times 10^{-6} \times 400 = 12 \times 10^{-3}\,C$.
चूंकि संधारित्र को $I = 30\,mA = 30 \times 10^{-3}\,A$ की स्थिर धारा द्वारा आवेशित किया जा रहा है,इसलिए लगा समय $t$,$Q = I \times t$ या $t = \frac{Q}{I}$ द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर:
$t = \frac{12 \times 10^{-3}}{30 \times 10^{-3}} = \frac{12}{30} = 0.4\,s$.

(A) समय नियतांक $\tau = R_{eq} C$ ज्ञात करने के लिए,हम पहले वोल्टेज स्रोत को शॉर्ट सर्किट करके संधारित्र (capacitor) के सिरों पर तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ निर्धारित करते हैं।
जब वोल्टेज स्रोत को शॉर्ट किया जाता है,तो दो प्रतिरोध $R$ (एक जो स्रोत के साथ श्रेणीक्रम में है और दूसरा जो संधारित्र की शाखा के साथ समानांतर में है) समानांतर क्रम में जुड़ जाते हैं।
इन दो समानांतर प्रतिरोधों का तुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ होता है।
यह समानांतर संयोजन अब उस प्रतिरोध $R$ के साथ श्रेणीक्रम में है जो संधारित्र के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ा है।
अतः,कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = R + \frac{R}{2} = \frac{3R}{2}$ है।
समय नियतांक $\tau = R_{eq} C = \left( \frac{3R}{2} \right) C = \frac{3}{2} RC$ है।

(A) धारितीय प्रतिघात $X_{C}$ का सूत्र $X_{C} = \frac{1}{2 \pi f C}$ है।
दिष्ट धारा $(DC)$ के लिए,आवृत्ति $f$ का मान $0$ होता है।
सूत्र में $f = 0$ रखने पर,हमें $X_{C} = \frac{1}{2 \pi (0) C} = \infty$ प्राप्त होता है।
चूंकि $DC$ के लिए धारितीय प्रतिघात अनंत हो जाता है,इसलिए संधारित्र दिष्ट धारा के प्रवाह के लिए अनंत प्रतिरोध प्रदान करता है,जिससे यह स्थिर अवस्था में धारा को रोक देता है।
अतः,कथन और कारण दोनों सही हैं,और कारण,कथन की सही व्याख्या करता है।
इसलिए,विकल्प $A$ सही है।

(A) परिपथ $A$ में,डायोड रिवर्स-बायस में है। इसलिए,परिपथ से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है। संधारित्र $A$ पूरी तरह से आवेशित रहता है। अतः,$Q_{A} = CV$ है।
परिपथ $B$ में,डायोड फॉरवर्ड-बायस में है। संधारित्र प्रतिरोध $R$ के माध्यम से निरावेशित (discharge) होता है। किसी भी समय $t$ पर संधारित्र पर आवेश $q(t) = Q_{0} e^{-\frac{t}{RC}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $Q_{0} = CV$ है।
$t = CR$ समय पर,आवेश $Q_{B}$ है:
$Q_{B} = CV e^{-\frac{CR}{RC}} = CV e^{-1} = \frac{CV}{e}$।
अतः,$Q_{A} = CV$ और $Q_{B} = \frac{CV}{e}$ है।

(A) $RC$ सर्किट का समय नियतांक (time constant) $\tau = RC = (1 \times 10^3 \ \Omega) \times (10 \times 10^{-9} \ \text{F}) = 10 \ \mu\text{s}$ है।
पहले $5 \ \mu\text{s}$ $(0 \le t \le 5 \ \mu\text{s})$ के दौरान,संधारित्र $V_0(t) = 5(1 - e^{-t/\tau})$ के अनुसार $0 \ \text{V}$ से $5 \ \text{V}$ तक चार्ज होता है।
$t = 5 \ \mu\text{s}$ पर,$V_0(5 \ \mu\text{s}) = 5(1 - e^{-0.5}) \approx 1.9675 \ \text{V} \approx 2 \ \text{V}$।
अगले $5 \ \mu\text{s}$ $(5 \ \mu\text{s} \le t \le 10 \ \mu\text{s})$ के दौरान,इनपुट $0 \ \text{V}$ है,इसलिए संधारित्र $V_0(t) = 2e^{-(t-5)/\tau}$ के अनुसार $2 \ \text{V}$ से $0 \ \text{V}$ तक डिस्चार्ज होता है।
$t = 10 \ \mu\text{s}$ पर,$V_0(10 \ \mu\text{s}) = 2e^{-0.5} \approx 1.213 \ \text{V}$।
अगले $5 \ \mu\text{s}$ $(10 \ \mu\text{s} \le t \le 15 \ \mu\text{s})$ के दौरान,संधारित्र $V_0(t) = 5 - 3.787e^{-(t-10)/\tau}$ के अनुसार $1.213 \ \text{V}$ से $5 \ \text{V}$ तक चार्ज होता है।
$t = 15 \ \mu\text{s}$ पर,$V_0(15 \ \mu\text{s}) = 5 - 3.787e^{-0.5} \approx 2.703 \ \text{V} \approx 2.7 \ \text{V}$।
इस व्यवहार की तुलना विकल्पों से करने पर,विकल्प $A$ गणना किए गए मानों के साथ चार्जिंग और डिस्चार्जिंग चक्रों को सही ढंग से दर्शाता है।

(D) स्थायी अवस्था में,संधारित्र एक खुले परिपथ (open circuit) की तरह कार्य करता है,जिसका अर्थ है कि इसमें से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
परिपथ में $12 \ V$ की बैटरी,$100 \ \Omega$ का प्रतिरोध और $200 \ \Omega$ का प्रतिरोध श्रेणीक्रम में जुड़े हैं।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 100 \ \Omega + 200 \ \Omega = 300 \ \Omega$ है।
परिपथ से प्रवाहित होने वाली धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{12 \ V}{300 \ \Omega} = 0.04 \ A$ है।
$200 \ \Omega$ के प्रतिरोध पर विभवांतर (जो संधारित्र के समानांतर है) $V_c = I \times 200 \ \Omega = 0.04 \ A \times 200 \ \Omega = 8 \ V$ है।
संधारित्र पर आवेश $q = C \times V_c$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$q = 1 \ nF \times 8 \ V = 8 \ nC$ प्राप्त होता है।

(B) जब स्विच लंबे समय $(t = \infty)$ के लिए बंद होता है,तो संधारित्र एक ओपन सर्किट की तरह कार्य करता है। सर्किट में स्थिर धारा $i = \frac{9 \text{ V}}{12 \text{ k}\Omega + 15 \text{ k}\Omega} = \frac{9}{27 \times 10^3} \text{ A} = \frac{1}{3} \times 10^{-3} \text{ A}$ है।
संधारित्र पर वोल्टेज $(V_c)$,$15 \text{ k}\Omega$ के प्रतिरोध पर वोल्टेज के बराबर है: $V_c = i \times 15 \times 10^3 = (\frac{1}{3} \times 10^{-3}) \times 15 \times 10^3 = 5 \text{ V}$।
संधारित्र पर प्रारंभिक आवेश $q_0 = C V_c = (5 \times 10^{-6} \text{ F}) \times 5 \text{ V} = 25 \times 10^{-6} \text{ C} = 25 \mu \text{C}$ है।
जब स्विच खोला जाता है,तो संधारित्र $15 \text{ k}\Omega$ और $5 \text{ k}\Omega$ के श्रेणीक्रम प्रतिरोधों के माध्यम से डिस्चार्ज होता है। तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = 15 \text{ k}\Omega + 5 \text{ k}\Omega = 20 \text{ k}\Omega = 20 \times 10^3 \Omega$ है।
समय नियतांक $\tau = R_{eq} C = (20 \times 10^3 \Omega) \times (5 \times 10^{-6} \text{ F}) = 0.1 \text{ s}$ है।
$t$ समय पर आवेश $q(t) = q_0 e^{-t/\tau}$ है।
$t = 1 \text{ s}$ के लिए,$q = 25 e^{-1/0.1} \mu \text{C} = 25 e^{-10} \mu \text{C}$।

(D) दिखाया गया सर्किट एक श्रेणी $RC$ सर्किट है जहाँ आउटपुट वोल्टेज को संधारित्र (capacitor) $C$ के सिरों पर मापा जाता है।
जब इनपुट स्क्वायर वेव उच्च होती है ($t_1$ से $t_2$ तक),तो संधारित्र प्रतिरोध $R$ के माध्यम से चार्ज होता है। संधारित्र पर वोल्टेज घातीय चार्जिंग वक्र (exponential charging curve) का पालन करता है: $V_C(t) = V_0(1 - e^{-t/RC})$।
जब इनपुट स्क्वायर वेव निम्न होती है ($t_2$ से $t_3$ तक),तो संधारित्र प्रतिरोध $R$ के माध्यम से डिस्चार्ज होता है। संधारित्र पर वोल्टेज घातीय डिस्चार्जिंग वक्र (exponential discharging curve) का पालन करता है: $V_C(t) = V_0 e^{-t/RC}$।
इन दोनों प्रक्रियाओं को मिलाने पर,संधारित्र पर आउटपुट वेवफॉर्म एक घातीय वृद्धि और उसके बाद घातीय गिरावट दिखाएगा,जो विकल्प $D$ में दिखाए गए पैटर्न से मेल खाता है।

(B) $t = 0$ पर संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V = \frac{q}{C}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $q = 30\, \mu C$ और $C = 3\, \mu F$,इसलिए $V = \frac{30\, \mu C}{3\, \mu F} = 10\, V$ है।
जब कुंजी बंद की जाती है,तो संधारित्र $R = 5\, M\Omega = 5 \times 10^6\, \Omega$ के प्रतिरोधक के माध्यम से निरावेशित (discharge) होता है।
$t = 0$ पर परिपथ में बहने वाली प्रारंभिक धारा $i_0 = \frac{V}{R}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$i_0 = \frac{10\, V}{5 \times 10^6\, \Omega} = 2 \times 10^{-6}\, A$ प्राप्त होता है।
चूंकि $1\, \mu A = 10^{-6}\, A$,इसलिए धारा $i_0 = 2\, \mu A$ है।
अतः,$'x'$ का मान $2$ है।