एक अर्ध-अनंत अचालक छड़ +x-अक्ष के अनुदिश स्थि | vedclass

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Question

(C) चित्र में दिखाए अनुसार,मूल बिंदु से $x$ दूरी पर छड़ का $dx$ लंबाई का एक अत्यंत सूक्ष्म भाग लें।इसमें $dq = \lambda dx$ आवेश है और यह $(0, L)$ बिंद

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$\frac{\lambda}{2 \sqrt{2} \pi \varepsilon_0 L}$

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(C) चित्र में दिखाए अनुसार,मूल बिंदु से $x$ दूरी पर छड़ का $dx$ लंबाई का एक अत्यंत सूक्ष्म भाग लें।इसमें $dq = \lambda dx$ आवेश है और यह $(0, L)$ बिंदु से $r = \sqrt{x^2 + L^2}$ दूरी पर है।$dx$ द्वारा $(0, L)$ बिंदु पर उत्पन्न विद्युत क्षेत्र का परिमाण $dE = \frac{k dq}{r^2} = \frac{k \lambda dx}{x^2 + L^2}$ है।विद्युत क्षेत्र के $x$ और $y$ घटक $dE_x = dE \sin 	heta$ और $dE_y = dE \cos 	heta$ हैं,जहाँ $	an 	heta = \frac{x}{L}$ है।अतः,$x = L 	an 	heta$ और $dx = L \sec^2 	heta d	heta$ है। साथ ही,$r^2 = L^2 \sec^2 	heta$ है।इन मानों को घटकों में प्रतिस्थापित करने पर:$dE_x = \frac{k \lambda (L \sec^2 	heta d	heta)}{L^2 \sec^2 	heta} \sin 	heta = \frac{k \lambda}{L} \sin 	heta d	heta$.$dE_y = \frac{k \lambda (L \sec^2 	heta d	heta)}{L^2 \sec^2 	heta} \cos 	heta = \frac{k \lambda}{L} \cos 	heta d	heta$.$x=0$ से $x=\infty$ तक समाकलन करने पर,$	heta$ की सीमा $0$ से $\frac{\pi}{2}$ प्राप्त होती है:$E_x = \int_0^{\pi/2} \frac{k \lambda}{L} \sin 	heta d	heta = \frac{k \lambda}{L} [-\cos 	heta]_0^{\pi/2} = \frac{k \lambda}{L}$.$E_y = \int_0^{\pi/2} \frac{k \lambda}{L} \cos 	heta d	heta = \frac{k \lambda}{L} [\sin 	heta]_0^{\pi/2} = \frac{k \lambda}{L}$.परिणामी विद्युत क्षेत्र का परिमाण $E = \sqrt{E_x^2 + E_y^2} = \sqrt{(\frac{k \lambda}{L})^2 + (\frac{k \lambda}{L})^2} = \sqrt{2} \frac{k \lambda}{L}$ है।$k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}$ रखने पर,हमें $E = \frac{\sqrt{2} \lambda}{4 \pi \varepsilon_0 L} = \frac{\lambda}{2 \sqrt{2} \pi \varepsilon_0 L}$ प्राप्त होता है।

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