Einstein's Photoelectric Equation and Energy Quantum of Radiation Questions in Hindi

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $E_k$ इस प्रकार दी जाती है:
$E_k = h\nu - \Phi_0$
जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$\nu$ आपतित विकिरण की आवृत्ति है,और $\Phi_0$ धातु का कार्य फलन है।
इस समीकरण की तुलना एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ से करने पर:
यहाँ,$y = E_k$ ($y$-अक्ष पर),
$x = \nu$ ($x$-अक्ष पर),
$m = h$ (रेखा की ढाल),
$c = -\Phi_0$ ($y$-अंतःखंड)।
अतः,ग्राफ की ढाल प्लांक नियतांक $h$ के बराबर होती है।

(A) कार्य फलन $\Phi_0 = 4.25 \ eV$ दिया गया है।
देहली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ की गणना $\lambda_0 = \frac{hc}{\Phi_0}$ सूत्र द्वारा की जाती है।
$hc \approx 1240 \ eV \cdot nm$ का उपयोग करने पर:
$\lambda_0 = \frac{1240 \ eV \cdot nm}{4.25 \ eV} \approx 291.76 \ nm$.
दृश्य प्रकाश का स्पेक्ट्रम लगभग $400 \ nm$ से $700 \ nm$ तक होता है।
चूँकि $291.76 \ nm < 400 \ nm$,इसलिए देहली तरंगदैर्ध्य पराबैंगनी (Ultraviolet) क्षेत्र में स्थित है।

(C) धातु का कार्य फलन $(\Phi_0)$ वह न्यूनतम ऊर्जा है जो धातु की सतह से एक इलेक्ट्रॉन को बाहर निकालने के लिए आवश्यक होती है।
यह धातु की सतह का एक अभिलक्षणिक गुण है और यह पदार्थ की प्रकृति पर निर्भर करता है।

(D) आइंस्टीन के फोटोइलेक्ट्रिक समीकरण के अनुसार:
$h\nu = W_0 + K_{\max}$
चूंकि $K_{\max} = eV_0$, इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$eV_0 = h\nu - W_0$
$V_0 = (\frac{h}{e})\nu - \frac{W_0}{e}$
यह $y = mx + c$ के रूप में एक सीधी रेखा का समीकरण है, जहां ढाल $m = \frac{h}{e}$ (जो धनात्मक है) और y-अंतःखंड $c = -\frac{W_0}{e}$ (जो ऋणात्मक है) है।
ग्राफ $D$ एक ऐसी सीधी रेखा को दर्शाता है जिसकी ढाल धनात्मक है और y-अंतःखंड ऋणात्मक है, जो स्टॉपिंग पोटेंशियल और आवृत्ति के बीच के संबंध को सही ढंग से दर्शाता है।

(B) प्रकाश पुंज की तीव्रता $I$ को प्रति इकाई क्षेत्रफल प्रति इकाई समय में आपतित ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है। चूंकि तीव्रताएं समान हैं $(I_A = I_B)$,इसलिए प्रति इकाई क्षेत्रफल आपतित शक्ति $P$ दोनों पुंजों के लिए समान है।
प्रति इकाई समय में आपतित फोटॉनों की संख्या $N = P / E$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $E = hc / \lambda$ एक फोटॉन की ऊर्जा है।
अतः,$N = P\lambda / hc$.
चूंकि उत्सर्जित फोटो-इलेक्ट्रॉनों की संख्या आपतित फोटॉनों की संख्या के सीधे आनुपातिक होती है (यह मानते हुए कि प्रत्येक फोटॉन एक इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित करता है),पुंज $A$ और $B$ द्वारा उत्सर्जित फोटो-इलेक्ट्रॉनों की संख्या का अनुपात है:
$\frac{N_A}{N_B} = \frac{P_A \lambda_A / hc}{P_B \lambda_B / hc} = \frac{\lambda_A}{\lambda_B}$ (चूंकि $P_A = P_B$)।

(C) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $E = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{332 \times 10^{-9}} \ J$.
इस ऊर्जा को $eV$ में बदलने पर: $E = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{332 \times 10^{-9} \times 1.6 \times 10^{-19}} \ eV \approx 3.73 \ eV$.
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $K_{max} = E - \phi_0$,जहाँ $\phi_0 = 1.07 \ eV$.
$K_{max} = 3.73 \ eV - 1.07 \ eV = 2.66 \ eV$.
निरोधी विभव $V_0$ अधिकतम गतिज ऊर्जा से $K_{max} = eV_0$ द्वारा संबंधित है।
अतः,$V_0 = 2.66 \ V$.

(C) प्रकाश-विद्युत प्रभाव में,प्रति सेकंड उत्सर्जित होने वाले प्रकाशिक इलेक्ट्रॉनों की संख्या $(n)$ आपतित प्रकाश की तीव्रता के सीधे समानुपाती होती है।
इसलिए,यदि तीव्रता दोगुनी कर दी जाती है,तो प्रति सेकंड उत्सर्जित होने वाले प्रकाशिक इलेक्ट्रॉनों की संख्या $(n)$ भी दोगुनी हो जाएगी।
हालाँकि,उत्सर्जित प्रकाशिक इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{max})$ केवल आपतित प्रकाश की आवृत्ति और पदार्थ के कार्य फलन (work function) पर निर्भर करती है,न कि प्रकाश की तीव्रता पर।
अतः,$K_{max}$ का मान अपरिवर्तित रहेगा।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित प्रकाशिक इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{max})$ का मान $K_{max} = h\nu - \Phi_0$ होता है,जहाँ $h\nu = 6 \ eV$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $\Phi_0 = 4 \ eV$ कार्यफलन है।
अतः,$K_{max} = 6 \ eV - 4 \ eV = 2 \ eV$ प्राप्त होता है।
हालाँकि,प्रकाशिक इलेक्ट्रॉन $0$ से $K_{max}$ तक की गतिज ऊर्जा के साथ उत्सर्जित होते हैं क्योंकि सतह से बाहर निकलने से पहले कुछ इलेक्ट्रॉन टक्करों के कारण ऊर्जा खो देते हैं।
इसलिए,उत्सर्जित प्रकाशिक इलेक्ट्रॉनों की न्यूनतम गतिज ऊर्जा हमेशा $0 \ eV$ होती है।

(C) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = h v$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है।
धातु की सतह का कार्य फलन (work function) $\phi$ को $\phi = h v_0$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $v_0$ देहली आवृत्ति है।
प्रकाशिक इलेक्ट्रॉनों के उत्सर्जन के लिए,आपतित फोटॉन की ऊर्जा धातु की सतह के कार्य फलन से अधिक या उसके बराबर होनी चाहिए $(E \geq \phi)$।
इन व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $h v \geq h v_0$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रकाशिक इलेक्ट्रॉनों के उत्सर्जन के लिए आवश्यक शर्त $v \geq v_0$ है।

(C) पदार्थ का कार्य फलन $\phi = 4.0 \ eV$ है।
फोटो-इलेक्ट्रिक उत्सर्जन के लिए,आपतित फोटॉन की ऊर्जा कार्य फलन के बराबर या उससे अधिक होनी चाहिए,अर्थात $E \ge \phi$।
देहली तरंगदैर्ध्य (threshold wavelength) $\lambda_0$ का सूत्र $\phi = \frac{hc}{\lambda_0}$ है।
यहाँ $hc \approx 1240 \ eV \cdot nm$ का उपयोग करने पर:
$\lambda_0 = \frac{1240 \ eV \cdot nm}{4.0 \ eV} = 310 \ nm$।
अतः,फोटो-इलेक्ट्रॉन के उत्सर्जन के लिए आवश्यक प्रकाश की अधिकतम तरंगदैर्ध्य $310 \ nm$ है।

(C) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{12400}{\lambda (\mathring A \text{ में})} \ eV$ द्वारा दी जाती है।
$\lambda_1 = 2500 \ \mathring A$ के लिए,$E_1 = \frac{12400}{2500} = 4.96 \ eV$.
अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_1 = E_1 - \Phi = 4.96 - 2 = 2.96 \ eV$.
अतः,निरोधी विभव $V_{s1} = 2.96 \ V$.
$\lambda_2 = 5000 \ \mathring A$ के लिए,$E_2 = \frac{12400}{5000} = 2.48 \ eV$.
अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_2 = E_2 - \Phi = 2.48 - 2 = 0.48 \ eV$.
अतः,निरोधी विभव $V_{s2} = 0.48 \ V$.
निरोधी विभव का अनुपात $\frac{V_{s1}}{V_{s2}} = \frac{2.96}{0.48} \approx 6.16$.
निकटतम पूर्णांक विकल्प के अनुसार,अनुपात $6:1$ है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $K_{max} = h\nu - \phi_0$ है।
चूंकि निरोधी विभव $V_s$ और अधिकतम गतिज ऊर्जा के बीच संबंध $K_{max} = eV_s$ है,इसलिए $eV_s = h\nu - \phi_0$ प्राप्त होता है।
$e$ से भाग देने पर,$V_s = (h/e)\nu - (\phi_0/e)$ प्राप्त होता है।
इस समीकरण की तुलना एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ से करने पर,जहाँ $y = V_s$ और $x = \nu$ है,ढाल $m = h/e$ प्राप्त होती है।

(D) कार्य फलन $W_0$ और देहली आवृत्ति $\nu_0$ के बीच संबंध इस प्रकार है: $W_0 = h\nu_0$.
यहाँ,$W_0 = 2.51 \ eV = 2.51 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J$.
प्लांक नियतांक $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \cdot s$ लेने पर।
मान रखने पर: $\nu_0 = \frac{W_0}{h} = \frac{2.51 \times 1.6 \times 10^{-19}}{6.6 \times 10^{-34}}$.
$\nu_0 = 6.08 \times 10^{14} \ Hz$.

(D) दिया गया है: तरंगदैर्ध्य $\lambda = 2271 \ \mathring A = 2271 \times 10^{-10} \ m$,निरोधी विभव $V_0 = 1.3 \ V$।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार:
$h\nu = \phi_0 + eV_0$
$\phi_0 = \frac{hc}{\lambda} - eV_0$
संबंध $\frac{hc}{\lambda} \approx \frac{12400}{\lambda (\text{in } \mathring A)} \ eV$ का उपयोग करने पर:
$\phi_0 = \frac{12400}{2271} \ eV - 1.3 \ eV$
$\phi_0 \approx 5.46 \ eV - 1.3 \ eV$
$\phi_0 \approx 4.16 \ eV \approx 4.2 \ eV$।

(A) दिया गया है: तरंगदैर्ध्य $\lambda = 3000\ \mathring A$,कार्य फलन $\Phi = 2.6\ eV$ है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण का उपयोग करते हुए: $K_{max} = E - \Phi$ है।
आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ है।
$hc \approx 12400\ eV\cdot\mathring A$ का उपयोग करने पर,$E = \frac{12400}{3000} \approx 4.133\ eV$ प्राप्त होता है।
अब,$K_{max} = 4.133\ eV - 2.6\ eV = 1.533\ eV$ है।
निकटतम विकल्प के अनुसार,$K_{max} \approx 1.53\ eV$ है।

(B) देहली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ और कार्य फलन $\Phi_0$ के बीच का संबंध इस प्रकार है: $\lambda_0 = \frac{hc}{\Phi_0}$.
संबंध $\lambda_0 (\mathring{A} \text{ में}) \approx \frac{12375}{\Phi_0 (eV \text{ में})}$ का उपयोग करते हुए,दिए गए कार्य फलन का मान रखने पर:
$\lambda_0 = \frac{12375}{6.825} \approx 1813 \ \mathring{A}$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान लेने पर,$\lambda_0 \approx 1800 \ \mathring{A}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया विद्युत क्षेत्र समीकरण $E = E_0 \sin [1.57 \times 10^7 (x - ct)]$ है।
इसे मानक तरंग समीकरण $E = E_0 \sin (kx - \omega t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = c \times 1.57 \times 10^7 \text{ rad/s}$ प्राप्त होती है।
चूँकि $\omega = 2\pi f$,आवृत्ति $f = \frac{c \times 1.57 \times 10^7}{2\pi}$ है।
आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E_{ph} = hf = \frac{h \times c \times 1.57 \times 10^7}{2\pi}$ है।
$h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ J s}$ और $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ का मान रखने पर:
$E_{ph} (\text{eV में}) = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8 \times 1.57 \times 10^7}{2 \times 3.14 \times 1.6 \times 10^{-19}} \approx 3.1 \text{ eV}$.
आइंस्टीन के फोटोइलेक्ट्रिक समीकरण का उपयोग करते हुए: $eV_s = E_{ph} - \Phi$,जहाँ $\Phi = 1.9 \text{ eV}$ कार्य फलन है।
$eV_s = 3.1 \text{ eV} - 1.9 \text{ eV} = 1.2 \text{ eV}$.
अतः,स्टॉपिंग पोटेंशियल $V_s = 1.2 \text{ V}$ होगा।

(D) कार्य फलन $\Phi$ और देहली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ के बीच का संबंध $\Phi = \frac{hc}{\lambda_0}$ है।
चूंकि $h$ और $c$ स्थिरांक हैं,इसलिए $\Phi \propto \frac{1}{\lambda_0}$,जिसका अर्थ है कि $\Phi_1 \lambda_1 = \Phi_2 \lambda_2$.
सोडियम के लिए: $\Phi_{Na} = 2.53 \ eV$ और $\lambda_{Na} = 5896 \ \mathring{A}$.
टंगस्टन के लिए: $\Phi_W = 5.06 \ eV$.
संबंध $\lambda_W = \frac{\Phi_{Na} \times \lambda_{Na}}{\Phi_W}$ का उपयोग करने पर:
$\lambda_W = \frac{2.53 \times 5896}{5.06}$.
चूंकि $\frac{5.06}{2.53} = 2$,इसलिए $\lambda_W = \frac{5896}{2} = 2948 \ \mathring{A}$ प्राप्त होता है।

(C) आइंस्टीन का प्रकाश-विद्युत समीकरण ऊर्जा संरक्षण के नियम पर आधारित है।
जब $E = h\nu$ ऊर्जा का एक फोटॉन धातु की सतह पर आपतित होता है,तो इस ऊर्जा का एक हिस्सा धातु के कार्य फलन $(\phi_0)$ को दूर करने के लिए उपयोग किया जाता है,और शेष ऊर्जा उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन को उसकी अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K.E._{max})$ के रूप में प्राप्त होती है।
समीकरण इस प्रकार है: $h\nu = K.E._{max} + \phi_0$।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $K.E._{max} = h\nu - \phi_0$।

(C) जैसे-जैसे फोटोइलेक्ट्रॉन उत्सर्जित होते हैं,गोला धनावेशित हो जाता है। उत्सर्जन तब रुकता है जब गोले का विभव $V$ ऐसा हो कि उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा स्थिरवैद्युत विभव के विरुद्ध किए गए कार्य के बराबर हो जाए।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$.
उत्सर्जन तब रुकता है जब $eV = K_{max}$,जहाँ $V$ गोले का विभव है।
अतः,$V = \frac{hc}{e} \left[ \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right]$.
$a$ त्रिज्या वाले गोले पर आवेश $Q = CV = (4\pi \epsilon_0 a) V$ द्वारा दिया जाता है।
$V$ का मान प्रतिस्थापित करने पर: $Q = 4\pi \epsilon_0 a \cdot \frac{hc}{e} \left[ \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right]$.
उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की संख्या $n = \frac{Q}{e} = \frac{4\pi \epsilon_0 ahc}{e^2} \left[ \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right]$ होगी।

(C) देहली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ का सूत्र $\lambda_0 = \frac{hc}{W_0}$ है।
$\lambda_0 (\mathring{A} \text{ में}) \approx \frac{12400}{W_0 (eV \text{ में})}$ संबंध का उपयोग करने पर:
$\lambda_0 = \frac{12400}{4.0} = 3100 \ \mathring{A}$.
चूंकि $1 \ nm = 10 \ \mathring{A}$ होता है,इसलिए:
$\lambda_0 = \frac{3100}{10} \ nm = 310 \ nm$.

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $E = \Phi + K_{max}$,जहाँ $E$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है,$\Phi$ कार्य फलन है,और $K_{max}$ उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा है।
दिया गया है: $E = 6 \ eV$ और $\Phi = 2.1 \ eV$।
मान रखने पर: $6 \ eV = 2.1 \ eV + K_{max}$।
अतः,$K_{max} = 6 - 2.1 = 3.9 \ eV$।
निरोधी विभव $V_0$ अधिकतम गतिज ऊर्जा से $K_{max} = e V_0$ संबंध द्वारा संबंधित है।
इस प्रकार,$V_0 = \frac{K_{max}}{e} = \frac{3.9 \ eV}{e} = 3.9 \ V$।
चूंकि निरोधी विभव एनोड पर लगाया गया वह ऋणात्मक विभव है जो सबसे अधिक ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉनों को रोकता है,इसलिए इसे $-3.9 \ V$ के रूप में दर्शाया जाता है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,निरोधी विभव $V_0$ इस प्रकार दिया जाता है:
$eV_0 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$,जहाँ $\phi = \frac{hc}{\lambda_0}$ कार्य फलन है।
अतः,$V_0 = \frac{hc}{e} \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right)$.
प्रथम स्थिति के लिए: $4.8 = \frac{hc}{e} \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right)$ --- $(i)$
द्वितीय स्थिति के लिए: $1.6 = \frac{hc}{e} \left( \frac{1}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right)$ --- $(ii)$
समीकरण $(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{4.8}{1.6} = \frac{\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}}{\frac{1}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}}$
$3 = \frac{\frac{\lambda_0 - \lambda}{\lambda \lambda_0}}{\frac{\lambda_0 - 2\lambda}{2\lambda \lambda_0}}$
$3 = \frac{2(\lambda_0 - \lambda)}{\lambda_0 - 2\lambda}$
$3\lambda_0 - 6\lambda = 2\lambda_0 - 2\lambda$
$\lambda_0 = 4\lambda$.

(C) कार्य फलन $W_0$ को $W_0 = h \nu_0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $\nu_0$ देहली आवृत्ति है।
दिया गया है $W_0 = 1.65 \ eV = 1.65 \times 1.602 \times 10^{-19} \ J$.
$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\nu_0 = \frac{W_0}{h}$ है।
$\nu_0 = \frac{1.65 \times 1.602 \times 10^{-19}}{6.626 \times 10^{-34}} \approx 3.99 \times 10^{14} \ Hz \approx 4 \times 10^{14} \ Hz$.

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max}$ को $K_{\max} = E - W_0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $E$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $W_0$ धातु का कार्य फलन है।
पहले फोटॉन के लिए: $E_1 = 1 \ eV$,$W_0 = 0.5 \ eV$.
$(K_{\max})_1 = 1 \ eV - 0.5 \ eV = 0.5 \ eV$.
दूसरे फोटॉन के लिए: $E_2 = 2.5 \ eV$,$W_0 = 0.5 \ eV$.
$(K_{\max})_2 = 2.5 \ eV - 0.5 \ eV = 2.0 \ eV$.
अधिकतम गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{(K_{\max})_1}{(K_{\max})_2} = \frac{0.5 \ eV}{2.0 \ eV} = \frac{1}{4}$ है।
अतः,अनुपात $1:4$ है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max} = h\nu - h\nu_0$ होती है,जहाँ $\nu_0$ देहली आवृत्ति है।
आवृत्ति ${\nu _1}$ के लिए,$K_1 = h({\nu _1} - {\nu _0})$.
आवृत्ति ${\nu _2}$ के लिए,$K_2 = h({\nu _2} - {\nu _0})$.
गतिज ऊर्जा का अनुपात $1:k$ दिया गया है,इसलिए $\frac{K_1}{K_2} = \frac{1}{k}$.
समीकरणों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{h({\nu _1} - {\nu _0})}{h({\nu _2} - {\nu _0})} = \frac{1}{k}$.
$k({\nu _1} - {\nu _0}) = {\nu _2} - {\nu _0}$.
$k{\nu _1} - k{\nu _0} = {\nu _2} - {\nu _0}$.
$k{\nu _1} - {\nu _2} = {\nu _0}(k - 1)$.
अतः,देहली आवृत्ति ${\nu _0} = \frac{{k{\nu _1} - {\nu _2}}}{{k - 1}}$ है।

(C) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = h\nu$ द्वारा दी जाती है।
$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$ का उपयोग करके और इसे $eV$ में परिवर्तित करने पर $(1 \ eV = 1.6 \times 10^{-19} \ J)$:
$E = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 8 \times 10^{15}}{1.6 \times 10^{-19}} \ eV = 33.13 \ eV \approx 33 \ eV$.
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $E = W_0 + K_{max}$।
$K_{max} = E - W_0 = 33.13 \ eV - 6.125 \ eV = 27.005 \ eV$।
निकटतम पूर्णांक में,गतिज ऊर्जा $27 \ eV$ है।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$E = W_0 + K_{\max}$.
प्रथम स्थिति के लिए: $\frac{hc}{\lambda_1} = W_0 + \frac{1}{2}mv^2$ --- $(i)$
द्वितीय स्थिति के लिए: $\frac{hc}{\lambda_2} = W_0 + \frac{1}{2}m(2v)^2 = W_0 + 2mv^2$ --- $(ii)$
$(i)$ से,$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{hc}{400 \times 10^{-9}} - W_0$. अतः,$mv^2 = 2\left(\frac{hc}{400 \times 10^{-9}} - W_0\right)$.
$mv^2$ का मान $(ii)$ में रखने पर:
$\frac{hc}{250 \times 10^{-9}} = W_0 + 2 \times 2 \left(\frac{hc}{400 \times 10^{-9}} - W_0\right)$
$\frac{hc}{250 \times 10^{-9}} = W_0 + \frac{hc}{100 \times 10^{-9}} - 4W_0$
$3W_0 = hc \left(\frac{1}{100 \times 10^{-9}} - \frac{1}{250 \times 10^{-9}}\right)$
$3W_0 = hc \left(\frac{2.5 - 1}{250 \times 10^{-9}}\right) = hc \left(\frac{1.5}{250 \times 10^{-9}}\right) = hc \times 0.006 \times 10^9 = 0.5hc \times 10^6 \ J$.

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max} = h\nu - W_0$ द्वारा दी जाती है।
धातु $A$ के लिए: $K_A = hf - W_A$.
धातु $B$ के लिए: $K_B = h(2f) - W_B$.
कार्य फलन का अनुपात $\frac{W_A}{W_B} = \frac{1}{2}$ दिया गया है,मान लीजिए $W_A = W$ और $W_B = 2W$ है।
यदि हम यह मान लें कि $hf = 2W$ है,तो:
$K_A = 2W - W = W$.
$K_B = h(2f) - 2W = 2(2W) - 2W = 4W - 2W = 2W$.
अतः,अनुपात $\frac{K_A}{K_B} = \frac{W}{2W} = 1:2$ होगा।

(B) फोटो-इलेक्ट्रॉनों का निरोधी विभव आपतित प्रकाश की आवृत्ति पर निर्भर करता है,न कि प्रकाश की तीव्रता पर।
स्रोत की दूरी बदलने से केवल आपतित प्रकाश की तीव्रता (प्रति इकाई समय प्रति इकाई क्षेत्रफल में फोटॉनों की संख्या) बदलती है।
इससे व्यक्तिगत फोटॉनों की ऊर्जा या प्रकाश की आवृत्ति में कोई परिवर्तन नहीं होता है।
इसलिए,उत्सर्जित फोटो-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा समान रहती है।
चूंकि निरोधी विभव सीधे अधिकतम गतिज ऊर्जा से संबंधित है $(eV_s = K_{max})$,इसलिए निरोधी विभव अपरिवर्तित रहता है।
अतः,निरोधी विभव $0.6 \ V$ ही रहेगा।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $E = W_0 + K_{\max}$,जहाँ $K_{\max} = \frac{1}{2}mv_{\max}^2$ है।
अतः,$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{hc}{\lambda} - W_0$,जिसका अर्थ है $v = \sqrt{\frac{2}{m} (\frac{hc}{\lambda} - W_0)}$।
नई तरंगदैर्ध्य $\lambda' = \frac{3\lambda}{4}$ के लिए,नई ऊर्जा $E' = \frac{hc}{\lambda'} = \frac{hc}{3\lambda/4} = \frac{4}{3}E$ होगी।
नया अधिकतम वेग $v'$,$v' = \sqrt{\frac{2}{m} (\frac{4}{3}E - W_0)}$ द्वारा दिया जाता है।
हम इसे $v' = \sqrt{\frac{4}{3} \cdot \frac{2}{m} (E - \frac{3}{4}W_0)}$ के रूप में लिख सकते हैं।
चूंकि $W_0 > \frac{3}{4}W_0$,इसलिए $(E - \frac{3}{4}W_0) > (E - W_0)$ होता है।
अतः,$v' > \sqrt{\frac{4}{3}} \cdot \sqrt{\frac{2}{m}(E - W_0)}$,जो सरल होकर $v' > v(4/3)^{1/2}$ हो जाता है।

(A) माना कि $f$ और $2f$ आवृत्ति वाले आपतित प्रकाश के लिए फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा क्रमशः $K$ और $K^{\prime}$ है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार:
$K = hf - E_0$ ....... $(i)$
दोगुनी आवृत्ति $2f$ के लिए,नई अधिकतम गतिज ऊर्जा $K^{\prime}$ है:
$K^{\prime} = h(2f) - E_0$ ...... $(ii)$
हम समीकरण $(ii)$ को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$K^{\prime} = 2hf - E_0$
$K^{\prime} = hf + hf - E_0$
समीकरण $(i)$ से $hf = K + E_0$ का मान रखने पर:
$K^{\prime} = (K + E_0) + hf - E_0$
$K^{\prime} = K + hf$

(C) कार्य फलन $\Phi = 6.2\, eV$ दिया गया है।
निरोधी विभव $V_s = 5\, V$ है,इसलिए अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max} = e V_s = 5\, eV$ होगी।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \Phi + K_{\max} = 6.2\, eV + 5\, eV = 11.2\, eV$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{hc}{E}$ द्वारा प्राप्त होती है। $hc \approx 12400\, eV\cdot\mathring{A}$ का उपयोग करने पर,$\lambda = \frac{12400}{11.2} \approx 1107\, \mathring{A}$ प्राप्त होता है।
चूंकि तरंगदैर्ध्य $1107\, \mathring{A}$,$100\, \mathring{A}$ से $4000\, \mathring{A}$ की सीमा में है,इसलिए यह पराबैंगनी (ultraviolet) क्षेत्र में स्थित है।

(B) दिया गया है:
आपतित तरंगदैर्ध्य,$\lambda = 200 \, nm$
कार्य फलन,$\phi_{0} = 5.01 \, eV$
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार:
$K_{max} = E - \phi_{0}$
$e V_{s} = \frac{hc}{\lambda} - \phi_{0}$
$hc \approx 1240 \, eV \cdot nm$ संबंध का उपयोग करते हुए:
$e V_{s} = \frac{1240 \, eV \cdot nm}{200 \, nm} - 5.01 \, eV$
$e V_{s} = 6.2 \, eV - 5.01 \, eV = 1.19 \, eV \approx 1.2 \, eV$
अतः,निरोधी विभव (stopping potential) $V_{s} = 1.2 \, V$ है।
फोटोइलेक्ट्रॉनों को रोकने के लिए आवश्यक विभवांतर निरोधी विभव का ऋणात्मक मान होता है,जो $-1.2 \, V$ है।

(D) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं अवस्था में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = \frac{-13.6}{n^2} \, eV$ द्वारा दी जाती है।
जब इलेक्ट्रॉन $n = 3$ से $n = 1$ में कूदता है तो मुक्त होने वाली ऊर्जा:
$E = E_3 - E_1 = \left( \frac{-13.6}{3^2} \right) - \left( \frac{-13.6}{1^2} \right) = -1.51 + 13.6 = 12.09 \, eV \approx 12.1 \, eV$.
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = E - \phi_0$ होती है,जहाँ $\phi_0$ कार्य फलन है।
दिया गया है $\phi_0 = 5.1 \, eV$,इसलिए:
$K_{max} = 12.1 \, eV - 5.1 \, eV = 7.0 \, eV$.
निरोधी विभव $V_0$ अधिकतम गतिज ऊर्जा से $K_{max} = eV_0$ द्वारा संबंधित है।
अतः,$V_0 = 7.0 \, V$.

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार:
$e V_{0} = h \nu - h \nu_{0}$
जहाँ,
$\nu = 8.20 \times 10^{14} \text{ Hz}$ (आपतित आवृत्ति)
$\nu_{0} = 3.3 \times 10^{14} \text{ Hz}$ (देहली आवृत्ति)
$h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ J s}$ (प्लांक नियतांक)
$e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$ (इलेक्ट्रॉन का आवेश)
$V_{0}$ कट-ऑफ (निरोधी) विभव है।
$V_{0}$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$V_{0} = \frac{h}{e} (\nu - \nu_{0})$
मान रखने पर:
$V_{0} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{1.6 \times 10^{-19}} (8.20 \times 10^{14} - 3.3 \times 10^{14})$
$V_{0} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{1.6 \times 10^{-19}} (4.9 \times 10^{14})$
$V_{0} = \frac{6.63 \times 4.9}{1.6} \times 10^{-1}$
$V_{0} \approx 2.03 \text{ V}$
अतः,कट-ऑफ वोल्टेज लगभग $2 \text{ V}$ है।

(C) निरोधी विभव $V_{s}$ और उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\text{max}}$ के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$K_{\text{max}} = e V_{s}$
यहाँ दिया गया है कि अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\text{max}} = 0.5\, eV$ है,इसलिए समीकरण में मान रखने पर:
$0.5\, eV = e V_{s}$
दोनों पक्षों को प्रारंभिक आवेश $e$ से विभाजित करने पर:
$V_{s} = 0.5\, V$
अतः,निरोधी विभव $0.5\, V$ है।

(C) यहाँ,कार्य फलन $\phi_{0} = 0.5 \; eV$ है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max} = E - \phi_{0}$ होती है,जहाँ $E$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है।
प्रथम विकिरण के लिए,$E_{1} = 1 \; eV$:
$K_{\max 1} = 1 \; eV - 0.5 \; eV = 0.5 \; eV$.
द्वितीय विकिरण के लिए,$E_{2} = 2.5 \; eV$:
$K_{\max 2} = 2.5 \; eV - 0.5 \; eV = 2 \; eV$.
गतिज ऊर्जा और अधिकतम चाल $v_{\max}$ के बीच संबंध $K_{\max} = \frac{1}{2} m v_{\max}^2$ है।
अतः,अधिकतम चालों का अनुपात:
$\frac{v_{\max 1}}{v_{\max 2}} = \sqrt{\frac{K_{\max 1}}{K_{\max 2}}} = \sqrt{\frac{0.5}{2}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
इस प्रकार,अनुपात $1:2$ है।

(C) धातु का कार्य फलन $\phi = h\nu$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\nu$ कट-ऑफ (देहली) आवृत्ति है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max} = E - \phi$ होती है।
यहाँ,आपतित आवृत्ति $2\nu$ है,इसलिए आपतित ऊर्जा $E = h(2\nu) = 2h\nu$ है।
मान रखने पर,हमें $K_{\max} = 2h\nu - h\nu = h\nu$ प्राप्त होता है।
चूँकि $K_{\max} = \frac{1}{2}mv_{\max}^2$,इसलिए $\frac{1}{2}mv_{\max}^2 = h\nu$ होगा।
$v_{\max}$ के लिए हल करने पर,$v_{\max}^2 = \frac{2h\nu}{m}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $v_{\max} = \sqrt{\frac{2h\nu}{m}}$।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K = E - \phi_0$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $E$ आपतित विकिरण की ऊर्जा है और $\phi_0$ धातु का कार्य फलन है।
प्रारंभ में,आपतित विकिरण की ऊर्जा $E$ है। दिया गया है कि $K_1 = 0.5\, eV$,इसलिए:
$0.5 = E - \phi_0$ ..... $(i)$
जब आपतित विकिरण की ऊर्जा में $20\%$ की वृद्धि होती है,तो नई ऊर्जा $E' = E + 0.2E = 1.2E$ हो जाती है। नई गतिज ऊर्जा $K_2 = 0.8\, eV$ है। अतः:
$0.8 = 1.2E - \phi_0$ ..... $(ii)$
समीकरण $(i)$ से,हमें $E = 0.5 + \phi_0$ प्राप्त होता है। इस मान को समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$0.8 = 1.2(0.5 + \phi_0) - \phi_0$
$0.8 = 0.6 + 1.2\phi_0 - \phi_0$
$0.8 - 0.6 = 0.2\phi_0$
$0.2 = 0.2\phi_0$
$\phi_0 = 1.0\, eV$.

(B) मान लीजिए कि सामग्री की सतह का कार्य फलन $\phi_{0}$ है। आइंस्टीन के फोटोइलेक्ट्रिक समीकरण के अनुसार,पहले मामले में उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max 1} = \frac{hc}{\lambda} - \phi_{0}$ है।
दूसरे मामले में,तरंगदैर्ध्य $\lambda/2$ है,इसलिए अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max 2} = \frac{hc}{\lambda/2} - \phi_{0} = \frac{2hc}{\lambda} - \phi_{0}$ है।
दिया गया है कि $K_{\max 2} = 3 K_{\max 1}$,इसलिए मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{2hc}{\lambda} - \phi_{0} = 3 \left( \frac{hc}{\lambda} - \phi_{0} \right)$.
समीकरण का विस्तार करने पर: $\frac{2hc}{\lambda} - \phi_{0} = \frac{3hc}{\lambda} - 3\phi_{0}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $3\phi_{0} - \phi_{0} = \frac{3hc}{\lambda} - \frac{2hc}{\lambda}$.
$2\phi_{0} = \frac{hc}{\lambda}$.
अतः,कार्य फलन $\phi_{0} = \frac{hc}{2\lambda}$ है।

(B) आइंस्टीन के फोटो-इलेक्ट्रिक समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = eV_s = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0$,जहाँ $\phi_0$ कार्य फलन है।
स्थिति $(i)$: $\lambda$ तरंगदैर्ध्य के लिए,निरोधी विभव $3V_0$ है:
$3eV_0 = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0$ ......... $(1)$
स्थिति $(ii)$: $2\lambda$ तरंगदैर्ध्य के लिए,निरोधी विभव $V_0$ है:
$eV_0 = \frac{hc}{2\lambda} - \phi_0$ ......... $(2)$
समीकरण $(2)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$3eV_0 = \frac{3hc}{2\lambda} - 3\phi_0$ ......... $(3)$
समीकरण $(1)$ और $(3)$ की तुलना करने पर:
$\frac{hc}{\lambda} - \phi_0 = \frac{3hc}{2\lambda} - 3\phi_0$
$2\phi_0 = \frac{3hc}{2\lambda} - \frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{2\lambda}$
$\phi_0 = \frac{hc}{4\lambda}$
चूंकि देहली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0 = \frac{hc}{\phi_0}$ है,$\phi_0$ का मान रखने पर:
$\lambda_0 = \frac{hc}{hc / 4\lambda} = 4\lambda$.

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा है:
$KE_{\max} = E - \phi$
प्रथम स्थिति के लिए,$E = 5\, eV$ और $KE_{\max} = 2\, eV$:
$2 = 5 - \phi \implies \phi = 3\, eV$
जब $E' = 6\, eV$ ऊर्जा वाले फोटॉन आपतित होते हैं,तो नई अधिकतम गतिज ऊर्जा होगी:
$KE'_{\max} = E' - \phi = 6 - 3 = 3\, eV$
कोई भी फोटोइलेक्ट्रॉन एनोड $A$ तक न पहुँचे,इसके लिए कैथोड के सापेक्ष एनोड का विभव $(V_A - V_C)$ निरोधी विभव $(V_s)$ के ऋणात्मक मान के बराबर होना चाहिए।
निरोधी विभव $V_s$ को $e V_s = KE'_{\max} = 3\, eV$ द्वारा परिभाषित किया जाता है,इसलिए $V_s = 3\, V$।
चूँकि इलेक्ट्रॉनों को रोकने के लिए एनोड को कैथोड के सापेक्ष ऋणात्मक विभव पर होना चाहिए,इसलिए विभवांतर $V_A - V_C = -3\, V$ होगा।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,निरोधी विभव $V_s$ इस प्रकार दिया जाता है:
$e V_s = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$
जहाँ $\lambda_0$ देहली तरंगदैर्ध्य है।
प्रथम स्थिति के लिए:
$eV = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$ ..... $(i)$
द्वितीय स्थिति के लिए:
$e(\frac{V}{4}) = \frac{hc}{2\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$ ..... $(ii)$
समीकरण $(ii)$ को $4$ से गुणा करने पर:
$eV = \frac{4hc}{2\lambda} - \frac{4hc}{\lambda_0} = \frac{2hc}{\lambda} - \frac{4hc}{\lambda_0}$ ..... $(iii)$
समीकरण $(i)$ और $(iii)$ की तुलना करने पर:
$\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0} = \frac{2hc}{\lambda} - \frac{4hc}{\lambda_0}$
$\frac{4hc}{\lambda_0} - \frac{hc}{\lambda_0} = \frac{2hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda}$
$\frac{3hc}{\lambda_0} = \frac{hc}{\lambda}$
$\lambda_0 = 3\lambda$