Einstein's Photoelectric Equation and Energy Quantum of Radiation Questions in Hindi

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार:
$K_{max} = h\nu - W_0$
चूंकि $K_{max} = eV_0$,हमारे पास है:
$eV_0 = h\nu - W_0$
$V_0 = \left( \frac{h}{e} \right) \nu - \frac{W_0}{e}$
इस समीकरण की तुलना एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ से करने पर,जहाँ $y = V_0$,$x = \nu$,$m = \frac{h}{e}$,और $c = -\frac{W_0}{e}$ है।
ऋणात्मक $V_0$ अक्ष पर अंतःखंड (intercept) $OB = \frac{W_0}{e}$ है।
अतः,कार्य फलन $W_0 = OB \times e$ होगा।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,निरोधी विभव $V_s$ को $eV_s = h\nu - \Phi_0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\Phi_0$ कार्य फलन है।
इसे $V_s = (h/e)\nu - (\Phi_0/e)$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ से तुलना करने पर,ऋणात्मक $V_s$ अक्ष पर अंतःखंड $\Phi_0/e$ है।
देहली आवृत्ति (threshold frequency) $\nu_0$ वह आवृत्ति है जिस पर निरोधी विभव शून्य होता है,जो $\nu_0 = \Phi_0/h$ द्वारा दी जाती है।
ग्राफ से,सतह $A$ के लिए देहली आवृत्ति सतह $B$ की तुलना में कम है (अर्थात,$\nu_{0A} < \nu_{0B}$)।
चूंकि $\Phi_0 = h\nu_0$,कम देहली आवृत्ति का अर्थ है कि कार्य फलन भी कम है।
इसलिए,$A$ का कार्य फलन $B$ से कम है।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार:
$h\nu = W_0 + K_{max}$
चूंकि $K_{max} = eV_o$,जहां $V_o$ निरोधी विभव (stopping potential) है:
$h\nu = W_0 + eV_o$
$V_o$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$V_o = (\frac{h}{e})\nu - \frac{W_0}{e}$
यह $y = mx + c$ के रूप की एक सीधी रेखा का समीकरण है,जहाँ:
ढाल $m = \frac{h}{e}$ (जो धनात्मक है)
अंतःखंड $c = -\frac{W_0}{e}$ (जो ऋणात्मक है)
इसलिए,ग्राफ एक धनात्मक ढाल और $V_o$ अक्ष पर ऋणात्मक अंतःखंड वाली एक सीधी रेखा है। यह विकल्प $D$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(D) निरोधी विभव (stopping potential) $V_0$ आपतित विकिरण की आवृत्ति $\nu$ से आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण द्वारा संबंधित है: $e V_0 = h\nu - W_0$,जिसे $V_0 = \frac{h}{e}\nu - \frac{W_0}{e}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दिए गए ग्राफ से,$\lambda_2$ के संगत वक्र के लिए निरोधी विभव $V_2$ है और $\lambda_1$ के लिए $V_1$ है। चूँकि $V_2 > V_1$ है (परिमाण में,क्योंकि ये ऋणात्मक विभव हैं),$\lambda_2$ के लिए निरोधी विभव $\lambda_1$ से अधिक है।
इसका तात्पर्य यह है कि विकिरण की आवृत्ति $\nu_2$,$\nu_1$ से अधिक है $(\nu_2 > \nu_1)$।
चूँकि तरंगदैर्ध्य $\lambda$ आवृत्ति के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(\lambda = \frac{c}{\nu})$,उच्च आवृत्ति छोटी तरंगदैर्ध्य के संगत होती है।
इसलिए,$\nu_2 > \nu_1$ का अर्थ है कि $\lambda_1 > \lambda_2$।

(A) आइंस्टीन का प्रकाश-विद्युत समीकरण है: $K{E_{\max }} = h\nu - \Phi$,जहाँ $\Phi = h{\nu _0}$ धातु का कार्य-फलन (work function) है।
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $y = K{E_{\max }}$ और $x = \nu$ (आवृत्ति) है:
$K{E_{\max }} = h\nu - h{\nu _0}$
इस रेखा का ढाल $m$,$h$ (प्लांक नियतांक) के बराबर है।
चूंकि $h$ एक सार्वत्रिक नियतांक है,इसलिए ढाल सभी धातुओं के लिए समान होता है और यह आपतित विकिरण की तीव्रता से स्वतंत्र होता है।

(B) ग्राफ से, देहली आवृत्ति $(\nu_0)$ वह आवृत्ति है जिस पर निरोधी विभव $(V_0)$ शून्य होता है।
x-अक्ष को देखने पर, ग्राफ $\nu_0 = 5 \times 10^{14} \ Hz$ पर अक्ष को काटता है।
देहली तरंगदैर्घ्य $(\lambda_0)$ देहली आवृत्ति से सूत्र $\lambda_0 = \frac{c}{\nu_0}$ द्वारा संबंधित है, जहाँ $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ प्रकाश की गति है।
मान रखने पर: $\lambda_0 = \frac{3 \times 10^8}{5 \times 10^{14}} = 0.6 \times 10^{-6} \ m = 6 \times 10^{-7} \ m$.
एंगस्ट्रॉम में बदलने पर: $\lambda_0 = 6 \times 10^{-7} \times 10^{10} \ \mathring{A} = 6000 \ \mathring{A}$.

(C) आइंस्टीन के फोटोइलेक्ट्रिक समीकरण के अनुसार,फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K)$ को $K = h\nu - \Phi$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$\nu$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है और $\Phi$ धातु का कार्य फलन है।
यह समीकरण $y = mx + c$ के रैखिक रूप का पालन करता है,जहाँ $y = K$,$x = \nu$,$m = h$ (ढाल) और $c = -\Phi$ (y-अंतःखंड) है।
दिए गए ग्राफ से,रेखा y-अक्ष ($K$ अक्ष) को $-2 \ eV$ पर काटती है।
इसलिए,y-अंतःखंड $c = -\Phi = -2 \ eV$ है।
इसका अर्थ है कि धातु का कार्य फलन $\Phi = 2 \ eV$ है।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,एक फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{\max})$ इस प्रकार दी जाती है:
$K_{\max} = h\nu - \Phi_0$
चूंकि $\nu = c/\lambda$,हम लिख सकते हैं:
$K_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - \Phi_0$
जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$c$ प्रकाश की गति है,$\lambda$ आपतित विकिरण की तरंगदैर्ध्य है और $\Phi_0$ धातु का कार्य फलन है।
यह समीकरण $y = mx + c$ के रूप में है,जहाँ $y = K_{\max}$,$x = 1/\lambda$,$m = hc$ (ढाल) और $c = -\Phi_0$ (y-अंतःखंड) है।
यह एक धनात्मक ढाल वाली सीधी रेखा को दर्शाता है जो x-अक्ष पर $1/\lambda = 1/\lambda_0$ से शुरू होती है (जहाँ $\lambda_0$ देहली तरंगदैर्ध्य है) और y-अक्ष पर ऋणात्मक अंतःखंड रखती है।
दिए गए ग्राफ को देखने पर,वक्र $A$ इस रैखिक संबंध को दर्शाता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) स्टॉपिंग पोटेंशियल $(V_0)$ बनाम आवृत्ति $(\nu)$ ग्राफ की ढाल (slope) निम्नलिखित संबंध द्वारा दी जाती है: $\text{ढाल} = \frac{h}{e}$.
यहाँ दिया गया है कि ढाल $4.12 \times 10^{-15} \ V-sec$ है और इलेक्ट्रॉन का आवेश $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ है।
इसलिए,$h = \text{ढाल} \times e$.
$h = (4.12 \times 10^{-15}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \ J-sec$.
$h \approx 6.592 \times 10^{-34} \ J-sec \approx 6.6 \times 10^{-34} \ J-sec$.
अतः,सही विकल्प $(b)$ है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,निरोधी विभव $V_0$ और आपतित प्रकाश की आवृत्ति $\nu$ के बीच संबंध इस प्रकार है: $eV_0 = h\nu - \phi$,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,और $\phi$ धातु का कार्य फलन (work function) है।
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $V_0 = \left( \frac{h}{e} \right) \nu - \frac{\phi}{e}$.
यह समीकरण $y = mx + c$ के रूप की एक सीधी रेखा को दर्शाता है,जहाँ ढाल (slope) $m = \frac{h}{e}$ है।
चूँकि ढाल $\frac{h}{e}$ एक सार्वभौमिक नियतांक है,इसलिए विभिन्न धातुओं के लिए $V_0$ बनाम $\nu$ के ग्राफ समानांतर सीधी रेखाएं होने चाहिए।
इन रेखाओं का x-अंतःखंड देहली आवृत्ति (threshold frequency) $\nu_0 = \frac{\phi}{h}$ है,जो विशिष्ट धातु के कार्य फलन $\phi$ पर निर्भर करता है।
इसलिए,सही निरूपण अलग-अलग x-अंतःखंड वाली समानांतर सीधी रेखाओं का एक समूह है,जैसा कि विकल्प $C$ में दिखाया गया है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की गतिज ऊर्जा $K_{max} = h\nu - \phi_0$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi_0$ कार्य फलन है।
चूंकि $K_{max} = eV_0$,जहाँ $V_0$ निरोधी विभव है,हम $eV_0 = h\nu - \phi_0$ लिख सकते हैं।
इस समीकरण को निरोधी विभव के लिए व्यवस्थित करने पर,हमें $V_0 = \frac{h}{e}\nu - \frac{\phi_0}{e}$ प्राप्त होता है।
यह समीकरण एक सरल रेखा $y = mx + c$ के रूप में है,जहाँ $y = V_0$,$x = \nu$,और ढाल $m = \frac{h}{e}$ है।
अतः,निरोधी विभव $(V_0)$ और आपतित प्रकाश की आवृत्ति $(\nu)$ के बीच के ग्राफ की ढाल $h/e$ है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = h\nu - \Phi_0$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$\nu$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है और $\Phi_0$ धातु का कार्य फलन है।
चूँकि निरोधी विभव $V_s$ अधिकतम गतिज ऊर्जा से $eV_s = K_{max}$ द्वारा संबंधित है,इसलिए हमारे पास $V_s = \frac{h}{e}\nu - \frac{\Phi_0}{e}$ है।
यह समीकरण $\frac{h}{e}$ ढाल वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
दिए गए ग्राफ में,निरोधी विभव $V_s$ को दो धातुओं,$Na$ और $Al$ के लिए आवृत्ति $\nu$ के विरुद्ध आलेखित किया गया है।
चूँकि दोनों रेखाएँ सीधी और समानांतर (समान कोण $\theta$ वाली) हैं,यह पुष्टि करता है कि दोनों धातुओं के लिए अधिकतम गतिज ऊर्जा आपतित विकिरण की आवृत्ति पर रैखिक रूप से निर्भर करती है।

(D) दिया गया है: कार्य फलन $\phi = 2.3 \ eV$,तरंगदैर्ध्य $\lambda = 4.84 \times 10^{-7} \ m = 4840 \ \mathring{A}$.
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण का उपयोग करते हुए: $K.E._{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$.
हम जानते हैं कि $hc \approx 12400 \ eV \cdot \mathring{A}$.
$K.E._{max} = \frac{12400 \ eV \cdot \mathring{A}}{4840 \ \mathring{A}} - 2.3 \ eV$.
$K.E._{max} \approx 2.56 \ eV - 2.3 \ eV$.
$K.E._{max} \approx 0.26 \ eV \approx 0.3 \ eV$ (निकटतम विकल्प के अनुसार)।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $eV_s = \frac{hc}{\lambda} - \phi$,जहाँ $\phi = \frac{hc}{\lambda_0}$ कार्य फलन है और $\lambda_0$ देहली तरंगदैर्ध्य है।
प्रथम स्थिति के लिए: $6eV_0 = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0} \quad ...(1)$
द्वितीय स्थिति के लिए: $2eV_0 = \frac{hc}{2\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0} \quad ...(2)$
समीकरण $(1)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$(6eV_0 - 2eV_0) = (\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{2\lambda}) - (\frac{hc}{\lambda_0} - \frac{hc}{\lambda_0})$
$4eV_0 = \frac{hc}{2\lambda} \implies eV_0 = \frac{hc}{8\lambda}$
$eV_0$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$2(\frac{hc}{8\lambda}) = \frac{hc}{2\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$
$\frac{hc}{4\lambda} = \frac{hc}{2\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$
$\frac{hc}{\lambda_0} = \frac{hc}{2\lambda} - \frac{hc}{4\lambda} = \frac{hc}{4\lambda}$
अतः,$\lambda_0 = 4\lambda$.

(B) दिया गया है: आपतित प्रकाश की आवृत्ति $\nu = 8 \times 10^{14} \ Hz$,अधिकतम गति $v_{max} = 7 \times 10^5 \ m/s$।
उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = \frac{1}{2} m v_{max}^2$ द्वारा दी जाती है।
इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$ लेने पर:
$K_{max} = \frac{1}{2} \times (9.1 \times 10^{-31}) \times (7 \times 10^5)^2 = 0.5 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 49 \times 10^{10} = 222.95 \times 10^{-21} \ J \approx 2.23 \times 10^{-19} \ J$।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण का उपयोग करते हुए: $K_{max} = h\nu - h\nu_0$,जहाँ $\nu_0$ देहली आवृत्ति है।
$h\nu_0 = h\nu - K_{max}$।
$h\nu = (6.63 \times 10^{-34}) \times (8 \times 10^{14}) = 53.04 \times 10^{-20} \ J = 5.304 \times 10^{-19} \ J$।
$h\nu_0 = 5.304 \times 10^{-19} - 2.23 \times 10^{-19} = 3.074 \times 10^{-19} \ J$।
अब,$\nu_0 = \frac{3.074 \times 10^{-19}}{6.63 \times 10^{-34}} \approx 0.4636 \times 10^{15} \ Hz = 4.64 \times 10^{14} \ Hz$।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$,जहाँ $\phi$ कार्य फलन है।
$\lambda_1 = 400 \ nm$ के लिए,$K_1 = \frac{1240}{400} - \phi = 3.1 - \phi$.
$\lambda_2 = 310 \ nm$ के लिए,$K_2 = \frac{1240}{310} - \phi = 4.0 - \phi$.
दिया गया है कि अधिकतम गतिज ऊर्जा दोगुनी हो जाती है,इसलिए $K_2 = 2K_1$.
मान रखने पर: $4.0 - \phi = 2(3.1 - \phi)$.
$4.0 - \phi = 6.2 - 2\phi$.
$2\phi - \phi = 6.2 - 4.0$.
$\phi = 2.2 \ eV$.

(B) हाइड्रोजन परमाणु में जब इलेक्ट्रॉन पहली उत्तेजित अवस्था $(n=2)$ से मूल अवस्था $(n=1)$ में संक्रमण करता है,तो उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा:
$E = E_2 - E_1 = -3.4 \; eV - (-13.6 \; eV) = 10.2 \; eV$.
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार:
$E = \phi + K_{max}$
जहाँ $\phi$ कार्य फलन है और $K_{max} = eV_s$ अधिकतम गतिज ऊर्जा है।
यहाँ $V_s = 3.57 \; V$ दिया गया है,इसलिए $K_{max} = 3.57 \; eV$.
मान रखने पर:
$10.2 \; eV = \phi + 3.57 \; eV$
$\phi = 10.2 - 3.57 = 6.63 \; eV$.
कार्य फलन $\phi = h \nu_0$ द्वारा भी दिया जाता है,जहाँ $h \approx 4.136 \times 10^{-15} \; eV \cdot s$.
$\nu_0 = \frac{\phi}{h} = \frac{6.63 \; eV}{4.136 \times 10^{-15} \; eV \cdot s} \approx 1.6 \times 10^{15} \; Hz$.

(D) दिया गया है: प्रत्येक फोटॉन की ऊर्जा $E = 2.5 \ eV$, कार्य फलन $\Phi_0 = 4.5 \ eV$ है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, प्रकाश-विद्युत प्रभाव केवल तभी होता है जब आपतित फोटॉन की ऊर्जा धातु के कार्य फलन से अधिक या उसके बराबर हो $(E \ge \Phi_0)$।
यहाँ, $E = 2.5 \ eV$ और $\Phi_0 = 4.5 \ eV$ है।
चूंकि $E < \Phi_0$, इसलिए एक फोटॉन की ऊर्जा धातु के कार्य फलन को पार करने के लिए पर्याप्त नहीं है।
अतः, आपतित फोटॉनों की संख्या चाहे कितनी भी हो, प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन संभव नहीं है।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $\frac{1}{2}m\upsilon^2 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$,जहाँ $\phi = \frac{hc}{\lambda_0}$ कार्य फलन है।
अतः,$\upsilon = \sqrt{\frac{2hc}{m} \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right)} = \sqrt{\frac{2hc}{m} \left( \frac{\lambda_0 - \lambda}{\lambda \lambda_0} \right)} \dots (1)$
जब तरंगदैर्ध्य को बदलकर $\lambda' = \frac{3\lambda}{4}$ कर दिया जाता है,तो नया वेग $\upsilon'$ होगा:
$\upsilon' = \sqrt{\frac{2hc}{m} \left( \frac{\lambda_0 - 3\lambda/4}{(3\lambda/4) \lambda_0} \right)} \dots (2)$
समीकरण $(2)$ को $(1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\upsilon'}{\upsilon} = \sqrt{\frac{\lambda_0 - 3\lambda/4}{3\lambda/4 \lambda_0} \times \frac{\lambda \lambda_0}{\lambda_0 - \lambda}} = \sqrt{\frac{4}{3} \left( \frac{\lambda_0 - 3\lambda/4}{\lambda_0 - \lambda} \right)}$
चूँकि $\lambda_0 - 3\lambda/4 > \lambda_0 - \lambda$,इसलिए पद $\frac{\lambda_0 - 3\lambda/4}{\lambda_0 - \lambda} > 1$ है।
अतः,$\upsilon' > \upsilon \left( \frac{4}{3} \right)^{1/2}$।

(D) आइंस्टीन का प्रकाश-विद्युत समीकरण है: $K_{\max} = hf - \phi$,जहाँ $K_{\max}$ अधिकतम गतिज ऊर्जा है,$h$ प्लांक नियतांक है,$f$ आवृत्ति है और $\phi$ कार्य फलन है।
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $y = K_{\max}$ और $x = f$,हमें ढाल $m = h$ प्राप्त होता है।
चूँकि $h$ (प्लांक नियतांक) एक सार्वभौमिक नियतांक है,इसलिए ग्राफ का ढाल सभी धातुओं के लिए समान होता है और यह आपतित विकिरण की तीव्रता से स्वतंत्र होता है।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $h\nu = e V_0 + \phi$,जहाँ $\phi$ कार्य फलन है।
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{hc}{\lambda} = e V_0 + \phi$ --- $(i)$
दूसरे स्रोत के लिए: $\frac{hc}{\lambda'} = e V'_0 + \phi$ --- (ii)
समीकरण (ii) में से $(i)$ को घटाने पर:
$e(V'_0 - V_0) = hc \left( \frac{1}{\lambda'} - \frac{1}{\lambda} \right)$
$hc \approx 12400 \ eV \cdot \mathring{A}$ का उपयोग करने पर:
$V'_0 - V_0 = \frac{12400}{4272} - \frac{12400}{6402} \approx 2.902 - 1.937 = 0.965 \ V$
$V'_0 = 0.965 + 0.54 = 1.505 \ V \approx 1.51 \ V$.

(D) दिया गया है: कार्य फलन $\Phi_0 = 1.6 \times 10^{-19} \text{ J}$,तरंगदैर्ध्य $\lambda = 6400 \ \mathring{A} = 6400 \times 10^{-10} \text{ m}$.
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $K_{max} = E - \Phi_0 = \frac{hc}{\lambda} - \Phi_0$.
$h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ J s}$ और $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ का उपयोग करने पर:
$E = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{6400 \times 10^{-10}} \text{ J} = \frac{19.89 \times 10^{-26}}{6.4 \times 10^{-7}} \text{ J} \approx 3.107 \times 10^{-19} \text{ J}$.
$K_{max} = 3.107 \times 10^{-19} - 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} = 1.507 \times 10^{-19} \text{ J}$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,$K_{max} \approx 1.5 \times 10^{-19} \text{ J}$.

(A) दिया गया है:
देहली तरंगदैर्ध्य,$\lambda_0 = 2300 \, \mathring{A}$
आपतित तरंगदैर्ध्य,$\lambda = 1800 \, \mathring{A}$
अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{\max})$ आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण द्वारा दी जाती है:
$K_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$
$hc \approx 12400 \, eV \cdot \mathring{A}$ का उपयोग करने पर:
$K_{\max} = 12400 \left( \frac{1}{1800} - \frac{1}{2300} \right) \, eV$
$K_{\max} = 12400 \left( \frac{2300 - 1800}{1800 \times 2300} \right) \, eV$
$K_{\max} = 12400 \left( \frac{500}{1800 \times 2300} \right) \, eV$
$K_{\max} = \frac{124 \times 5}{18 \times 23} \, eV$
$K_{\max} = \frac{620}{414} \, eV \approx 1.497 \, eV$
अतः,अधिकतम गतिज ऊर्जा लगभग $1.5 \, eV$ है।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $eV_S = \frac{hc}{\lambda} - \phi$,जहाँ $\phi$ कार्य फलन है।
दो अलग-अलग तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = 4000 \ \mathring{A}$ और $\lambda_2 = 3600 \ \mathring{A}$ के लिए,निरोधी विभव क्रमशः $V_{S1}$ और $V_{S2}$ हैं।
$eV_{S1} = \frac{hc}{\lambda_1} - \phi$ और $eV_{S2} = \frac{hc}{\lambda_2} - \phi$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $e(V_{S2} - V_{S1}) = hc \left( \frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1} \right)$.
$\Delta V_S = \frac{hc}{e} \left( \frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1} \right)$.
$hc = 12400 \ \text{eV} \cdot \mathring{A}$ का उपयोग करने पर:
$\Delta V_S = 12400 \left( \frac{1}{3600} - \frac{1}{4000} \right) = 12400 \left( \frac{4000 - 3600}{3600 \times 4000} \right)$.
$\Delta V_S = 12400 \left( \frac{400}{14400000} \right) = \frac{12400}{36000} = \frac{124}{360} \approx 0.344 \ \text{V}$.
तरंगदैर्ध्य घटने से आपतित फोटॉन की ऊर्जा बढ़ती है,जिससे निरोधी विभव में वृद्धि होती है। अतः,परिवर्तन $+0.34 \ \text{V}$ है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $E_k = \frac{hc}{\lambda} - \phi$,जहाँ $\phi$ कार्य फलन (work function) है।
$\lambda_1 = 3000 \ \mathring{A}$ के लिए,$E_{k1} = 0.5 \ eV$ है।
$hc \approx 12400 \ eV \cdot \mathring{A}$ का उपयोग करने पर:
$0.5 = \frac{12400}{3000} - \phi$
$0.5 = 4.13 - \phi \implies \phi = 3.63 \ eV$ प्राप्त होता है।
अब,$\lambda_2 = 2000 \ \mathring{A}$ के लिए:
$E_{k2} = \frac{12400}{2000} - 3.63$
$E_{k2} = 6.2 - 3.63 = 2.57 \ eV$ है।
चूँकि $2.57 \ eV > 0.5 \ eV$,अतः उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $0.5 \ eV$ से अधिक होगी।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{max})$ इस प्रकार दी जाती है:
$K_{max} = h\nu - \phi_0$
जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$\nu$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है,और $\phi_0$ कैथोड सतह का कार्य फलन (work function) है।
चूंकि $\phi_0$ पदार्थ की प्रकृति पर निर्भर करता है और $\nu$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है,इसलिए $K_{max}$ आवृत्ति और पदार्थ दोनों पर निर्भर करता है।
हालाँकि,$K_{max}$ आपतित प्रकाश की तीव्रता से स्वतंत्र होता है।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{max})$ इस प्रकार है: $K_{max} = h\nu - \Phi$,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$\nu$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है,और $\Phi$ धातु का कार्य फलन है।
चूंकि स्टॉपिंग विभव $(V_s)$ अधिकतम गतिज ऊर्जा से $K_{max} = eV_s$ द्वारा संबंधित है,इसलिए हमारे पास है: $eV_s = h\nu - \Phi$.
$V_s$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर: $V_s = (h/e)\nu - (\Phi/e)$.
यह समीकरण स्टॉपिंग विभव $(V_s)$ और आपतित प्रकाश की आवृत्ति $(\nu)$ के बीच एक रैखिक संबंध को दर्शाता है,जहाँ ढाल $(h/e)$ है और अंतःखंड $-(\Phi/e)$ है।
अतः,स्टॉपिंग विभव आपतित प्रकाश की आवृत्ति के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{max})$ इस प्रकार दी जाती है:
$K_{max} = E - \Phi$
जहाँ $E$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $\Phi$ धातु का कार्य फलन है।
दिया गया है: $E = 6 \ eV$ और $\Phi = 2 \ eV$।
मान रखने पर:
$K_{max} = 6 \ eV - 2 \ eV = 4 \ eV$।
स्टॉपिंग पोटेंशियल $(V_0)$ वह न्यूनतम रिवर्स विभव है जो सबसे अधिक ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉनों को रोकने के लिए आवश्यक है,जिसे इस संबंध द्वारा परिभाषित किया गया है:
$K_{max} = e V_0$
चूंकि $K_{max} = 4 \ eV$,इसलिए:
$e V_0 = 4 \ eV$
$V_0 = 4 \ V$।
अतः,आवश्यक न्यूनतम रिवर्स विभव $4 \ V$ है।

(B) किसी पदार्थ का कार्य फलन $\Phi$,$\Phi = \frac{hc}{\lambda_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\lambda_0$ देहली तरंगदैर्ध्य है।
पहले उत्सर्जक के लिए,$\Phi_1 = \frac{hc}{\lambda_1} = \frac{hc}{300 \ nm}$।
दूसरे उत्सर्जक के लिए,$\Phi_2 = \frac{hc}{\lambda_2} = \frac{hc}{600 \ nm}$।
कार्य फलनों का अनुपात $\frac{\Phi_1}{\Phi_2} = \frac{hc / 300}{hc / 600} = \frac{600}{300} = \frac{2}{1}$ है।
अतः,अनुपात $2 : 1$ है।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$।
दिया गया है कि $\frac{hc}{\lambda} = 2 \ eV$,इसलिए $\frac{1}{2}mv^2 = 2 - \phi$ ---$(1)$
जब $\lambda' = \lambda - 0.25\lambda = 0.75\lambda = \frac{3}{4}\lambda$ और $v' = 2v$ हो,तो नया समीकरण होगा:
$\frac{1}{2}m(2v)^2 = \frac{hc}{0.75\lambda} - \phi$
$4(\frac{1}{2}mv^2) = \frac{4}{3}(\frac{hc}{\lambda}) - \phi$
$\frac{1}{2}mv^2 = 2 - \phi$ और $\frac{hc}{\lambda} = 2$ का मान रखने पर:
$4(2 - \phi) = \frac{4}{3}(2) - \phi$
$8 - 4\phi = \frac{8}{3} - \phi$
$8 - \frac{8}{3} = 3\phi$
$\frac{24 - 8}{3} = 3\phi$
$\frac{16}{3} = 3\phi$
$\phi = \frac{16}{9} \approx 1.777 \ eV \approx 1.8 \ eV$।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $K_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0$
दिया गया है: $\phi_0 = 1 \ eV$, $\lambda = 3000 \ \mathring{A} = 3 \times 10^{-7} \ m$.
आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{3 \times 10^{-7}} \ J = 6.63 \times 10^{-19} \ J$.
इसे $eV$ में बदलने पर: $E = \frac{6.63 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \ eV \approx 4.14 \ eV$.
$K_{\max} = 4.14 \ eV - 1 \ eV = 3.14 \ eV = 3.14 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J = 5.024 \times 10^{-19} \ J$.
$K_{\max} = \frac{1}{2} m v_{\max}^2$ सूत्र का उपयोग करने पर, जहाँ $m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$:
$v_{\max} = \sqrt{\frac{2 K_{\max}}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 5.024 \times 10^{-19}}{9.1 \times 10^{-31}}} \approx \sqrt{1.104 \times 10^{12}} \approx 1.05 \times 10^6 \ m/s$.
अतः, निकटतम विकल्प $1 \times 10^6 \ m/s$ है।

(B) माना कि धातु का कार्य फलन $\Phi = h\nu_0$ है।
दिए गए आपतित फोटॉनों की ऊर्जा $E_1 = 3\Phi$ और $E_2 = 9\Phi$ है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max} = E - \Phi$ होती है।
पहली स्थिति के लिए: $K_{\max, 1} = \frac{1}{2}mv_1^2 = 3\Phi - \Phi = 2\Phi$.
दूसरी स्थिति के लिए: $K_{\max, 2} = \frac{1}{2}mv_2^2 = 9\Phi - \Phi = 8\Phi$.
दोनों समीकरणों का अनुपात लेने पर: $\frac{\frac{1}{2}mv_1^2}{\frac{1}{2}mv_2^2} = \frac{2\Phi}{8\Phi}$.
$\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{1}{4}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $\frac{v_1}{v_2} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) उत्सर्जित फोटो-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{\max})$ और निरोधी विभव $(V_0)$ के बीच का संबंध इस समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$K_{\max} = e V_0$
दिया गया है कि अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max} = 4.0 \ eV$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$4.0 \ eV = e V_0$
$4.0 \ eV = e \times V_0$
अतः,$V_0 = 4.0 \ V$।

(A) दिया गया है: कार्य फलन $\phi = 6.2 \ eV$,निरोधी विभव $V_S = 5 \ V$।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $K_{max} = eV_S = h\nu - \phi$।
अतः,आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = h\nu = \phi + eV_S$ होगी।
$E = 6.2 \ eV + 5 \ eV = 11.2 \ eV$।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए सूत्र: $\lambda = \frac{12400 \ \text{eV} \cdot \mathring{A}}{E \text{ (in eV)}}$।
$\lambda = \frac{12400}{11.2} \approx 1107 \ \mathring{A} = 110.7 \ nm$।
चूंकि तरंगदैर्ध्य लगभग $110 \ nm$ है,जो $10 \ nm$ से $400 \ nm$ के बीच स्थित है,इसलिए यह विकिरण पराबैंगनी (Ultraviolet) क्षेत्र में आता है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max}$ इस प्रकार दी जाती है:
$K_{\max} = E - \phi_0$
जहाँ $E$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $\phi_0$ कार्य फलन है।
यहाँ $E = 8 \ eV$ दिया गया है।
कार्य फलन $\phi_0 = h f_0$,जहाँ $f_0 = 1.6 \times 10^{15} \ Hz$ है।
$\phi_0$ को $eV$ में बदलने पर:
$\phi_0 = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 1.6 \times 10^{15}}{1.6 \times 10^{-19}} \ eV$
$\phi_0 = 6.6 \times 10^{-34+15+19} \ eV = 6.6 \times 10^0 \ eV = 6.6 \ eV$.
अब,$K_{\max} = 8 \ eV - 6.6 \ eV = 1.4 \ eV$.

(C) आइंस्टीन का प्रकाश-विद्युत समीकरण $E_k = hf - \phi_0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $hf$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $\phi_0$ धातु की सतह का कार्य फलन (work function) है।
इस समीकरण में,$E_k$ उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा को दर्शाता है।
इसका कारण यह है कि कार्य फलन $\phi_0$ को धातु की सतह से एक इलेक्ट्रॉन को निकालने के लिए आवश्यक न्यूनतम ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया गया है।
धातु के भीतर से उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन बाहर निकलने से पहले टक्करों के कारण कुछ ऊर्जा खो देते हैं,जिसके परिणामस्वरूप उनकी गतिज ऊर्जा $E_k$ से कम होती है।
इसलिए,$E_k$ उन इलेक्ट्रॉनों के लिए है जो सतह से बिना किसी अतिरिक्त ऊर्जा हानि के उत्सर्जित होते हैं।

(D) आइंस्टीन का प्रकाश-विद्युत समीकरण $K_{max} = h\nu - \phi_0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $K_{max}$ अधिकतम गतिज ऊर्जा है,$h$ प्लांक नियतांक है,$\nu$ आपतित विकिरण की आवृत्ति है और $\phi_0$ धातु का कार्य फलन है।
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,हमें $K_{max} = h\nu - \phi_0$ प्राप्त होता है।
यहाँ,ढाल $m = h$ (प्लांक नियतांक) है।
चूंकि प्लांक नियतांक $h$ एक सार्वभौमिक नियतांक है,इसलिए ग्राफ की ढाल सभी धातुओं के लिए समान होती है।
इसके अतिरिक्त,ढाल आपतित विकिरण की तीव्रता से स्वतंत्र होती है।

(D) एक फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{5000 \times 10^{-10}} = 3.978 \times 10^{-19} \ J$ है।
तीव्रता $I = 4.68 \ mW/cm^2 = 4.68 \times 10^{-3} \ W / (10^{-4} \ m^2) = 46.8 \ W/m^2$ है।
प्रति इकाई क्षेत्रफल प्रति इकाई समय में आपतित फोटॉनों की संख्या $n_p = \frac{I}{E} = \frac{46.8}{3.978 \times 10^{-19}} \approx 1.176 \times 10^{20} \text{ फोटॉन}/(m^2 \cdot s)$ है।
प्रति इकाई क्षेत्रफल प्रति इकाई समय में उत्सर्जित फोटो-इलेक्ट्रॉनों की संख्या $n_e = n_p \times \text{दक्षता} = 1.176 \times 10^{20} \times 0.05 = 5.88 \times 10^{18} \text{ इलेक्ट्रॉन}/(m^2 \cdot s)$ है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,निकटतम मान $59 \times 10^{17}$ है।

(C) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $E = \frac{6.62 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{4100 \times 10^{-10} \times 1.6 \times 10^{-19}} \ eV \approx 3.01 \ eV$।
प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन तब होता है जब आपतित ऊर्जा $E$,धातु के कार्य फलन $\phi$ से अधिक हो $(E > \phi)$।
ऊर्जा $E = 3.01 \ eV$ की तुलना कार्य फलनों से करने पर:
धातु $A$ के लिए: $3.01 \ eV > 1.92 \ eV$ (उत्सर्जन होगा)।
धातु $B$ के लिए: $3.01 \ eV > 2.0 \ eV$ (उत्सर्जन होगा)।
धातु $C$ के लिए: $3.01 \ eV < 5 \ eV$ (उत्सर्जन नहीं होगा)।
अतः,धातु $A$ और $B$ फोटोइलेक्ट्रॉन उत्सर्जित करेंगी।

(A) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $E = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{4000 \times 10^{-10}} \ J$.
इसे $eV$ में बदलने पर: $E = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{4000 \times 10^{-10} \times 1.6 \times 10^{-19}} \ eV \approx 3.09 \ eV$.
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $E = W_0 + K_{max}$.
यहाँ निरोधी विभव (stopping potential) $V_s = 2 \ V$ दिया गया है,इसलिए अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = e \cdot V_s = 2 \ eV$ होगी।
अतः,कार्य फलन $W_0 = E - K_{max} = 3.09 \ eV - 2 \ eV = 1.09 \ eV$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,$W_0 \approx 1.1 \ eV$।

(D) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $hc = 1240 \ eV \cdot nm$ और $\lambda = 400 \ nm$ दिया गया है।
अतः,$E = \frac{1240}{400} \ eV = 3.1 \ eV$.
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$E = \phi + K_{max}$,जहाँ $\phi$ कार्य फलन है और $K_{max}$ अधिकतम गतिज ऊर्जा है।
यहाँ $K_{max} = 1.68 \ eV$ दिया गया है।
मान रखने पर: $3.1 \ eV = \phi + 1.68 \ eV$.
इसलिए,$\phi = 3.1 \ eV - 1.68 \ eV = 1.42 \ eV$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $1.41 \ eV$ है।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = E - \phi$ होती है,जहाँ $E$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $\phi$ कार्य फलन है।
प्रथम स्थिति के लिए: $K_1 = 3\phi - \phi = 2\phi$. अतः,$\frac{1}{2}mv_1^2 = 2\phi$.
द्वितीय स्थिति के लिए: $K_2 = 9\phi - \phi = 8\phi$. अतः,$\frac{1}{2}mv_2^2 = 8\phi$.
दोनों समीकरणों का अनुपात लेने पर: $\frac{\frac{1}{2}mv_2^2}{\frac{1}{2}mv_1^2} = \frac{8\phi}{2\phi} = 4$.
अतः,$\frac{v_2^2}{v_1^2} = 4$,जिसका अर्थ है कि $\frac{v_2}{v_1} = 2$.
यहाँ $v_1 = 6 \times 10^6 \ m/s$ लेने पर,$v_2 = 2 \times v_1 = 2 \times 6 \times 10^6 = 12 \times 10^6 \ m/s$ प्राप्त होता है।

(C) कार्य फलन $\Phi$ और देहली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ के बीच संबंध $\Phi = \frac{hc}{\lambda_0}$ होता है।
चूंकि $h$ और $c$ स्थिरांक हैं,इसलिए कार्य फलन देहली तरंगदैर्ध्य के व्युत्क्रमानुपाती होता है: $\Phi \propto \frac{1}{\lambda_0}$.
दिया गया है कि $\Phi_1 = 2.3 \ eV$ (सोडियम के लिए) और $\Phi_2 = 4.5 \ eV$ (तांबे के लिए)।
देहली तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{\Phi_2}{\Phi_1}$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{4.5}{2.3} \approx 1.956 \approx 2$.
अतः,अनुपात लगभग $2 : 1$ है।

(B) दिया गया है: आपतित प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $\lambda = 557 \ nm$,निरोधी विभव (stopping potential) $V_S = 0.25 \ V$ है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0 = eV_S$ है।
यहाँ,$\phi_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$,जहाँ $\lambda_0$ देहली तरंगदैर्ध्य है।
अतः,$\frac{hc}{\lambda_0} = \frac{hc}{\lambda} - eV_S$ होगा।
$hc \approx 1240 \ eV \cdot nm$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1240}{\lambda_0} = \frac{1240}{557} - 0.25$।
$\frac{1240}{\lambda_0} = 2.226 - 0.25 = 1.976 \ eV$।
$\lambda_0 = \frac{1240}{1.976} \approx 627.5 \ nm$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $626 \ nm$ है।

(C) दिया गया है: तरंगदैर्ध्य $\lambda = 300 \ nm = 300 \times 10^{-9} \ m$,तीव्रता $I = 1.0 \ W/m^2$,क्षेत्रफल $A = 1.0 \ cm^2 = 1.0 \times 10^{-4} \ m^2$,दक्षता $\eta = 1\% = 0.01$.
सतह पर आपतित शक्ति $P = I \times A = 1.0 \times 1.0 \times 10^{-4} = 1.0 \times 10^{-4} \ W$.
एक फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{300 \times 10^{-9}} = 6.63 \times 10^{-19} \ J$.
प्रति सेकंड आपतित फोटॉनों की संख्या $N_{ph} = \frac{P}{E} = \frac{1.0 \times 10^{-4}}{6.63 \times 10^{-19}} \approx 1.508 \times 10^{14} \ s^{-1}$.
प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटो-इलेक्ट्रॉनों की संख्या $N_e = N_{ph} \times \eta = 1.508 \times 10^{14} \times 0.01 = 1.508 \times 10^{12} \ s^{-1}$.
अतः,उत्सर्जित फोटो-इलेक्ट्रॉनों की संख्या लगभग $1.51 \times 10^{12} \ s^{-1}$ है।

(B) स्टॉपिंग पोटेंशियल $(V_s)$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति पर निर्भर करता है,प्रकाश की तीव्रता पर नहीं।
प्रकाश स्रोत की दूरी बदलने से फोटोसेल पर आपतित प्रकाश की तीव्रता बदलती है,लेकिन फोटॉन की आवृत्ति नहीं बदलती है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $eV_s = h\nu - \phi$,जहाँ $\nu$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है और $\phi$ कार्य फलन (work function) है।
चूंकि दूरी बदलने पर आवृत्ति $\nu$ स्थिर रहती है,इसलिए स्टॉपिंग पोटेंशियल $V_s$ अपरिवर्तित रहता है।
अतः,स्टॉपिंग पोटेंशियल $0.6 \ V$ ही रहेगा।

(A) आइंस्टीन के फोटोइलेक्ट्रिक समीकरण के अनुसार,$eV_0 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$,जिसे $V_0 = \frac{hc}{e}(\frac{1}{\lambda}) - \frac{\phi}{e}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,ढाल $m = \frac{hc}{e}$ प्राप्त होती है,जो सभी धातुओं के लिए स्थिर है,और x-अंतःखंड $\frac{1}{\lambda_0} = \frac{\phi}{hc}$ है।
ग्राफ से,$(1/\lambda)$ के लिए थ्रेशोल्ड मान $(1/\lambda)_1 = 0.001$,$(1/\lambda)_2 = 0.002$ और $(1/\lambda)_3 = 0.004$ हैं।
चूंकि $\phi = hc(1/\lambda_0)$,इसलिए $\phi_1 : \phi_2 : \phi_3 = (1/\lambda_0)_1 : (1/\lambda_0)_2 : (1/\lambda_0)_3 = 0.001 : 0.002 : 0.004 = 1 : 2 : 4$.
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(C) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = 8\ eV$ है।
देहली आवृत्ति $f_0 = 1.6 \times 10^{15}\ Hz$ है।
धातु का कार्य फलन $\Phi = hf_0$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\Phi = (6.6 \times 10^{-34}\ J\cdot s) \times (1.6 \times 10^{15}\ Hz) = 10.56 \times 10^{-19}\ J$.
कार्य फलन को $eV$ में बदलने के लिए,$1.6 \times 10^{-19}\ J/eV$ से विभाजित करने पर:
$\Phi = \frac{10.56 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}}\ eV = 6.6\ eV$.
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max} = E - \Phi$ है।
$K_{\max} = 8\ eV - 6.6\ eV = 1.4\ eV$.

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max}$ इस प्रकार दी जाती है:
$K_{\max} = hf - \phi_0$
जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$f$ आपतित विकिरण की आवृत्ति है,और $\phi_0$ कार्यफलन है।
सबसे पहले,आपतित फोटॉन की ऊर्जा जूल $(J)$ में ज्ञात करें:
$E = hf = (6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s) \times (6 \times 10^{14} \ Hz) = 39.78 \times 10^{-20} \ J$
इस ऊर्जा को इलेक्ट्रॉन-वोल्ट $(eV)$ में बदलें:
$E_{eV} = \frac{39.78 \times 10^{-20} \ J}{1.6 \times 10^{-19} \ J/eV} = 24.8625 \times 10^{-1} \ eV = 2.48625 \ eV \approx 2.49 \ eV$
अब,अधिकतम गतिज ऊर्जा की गणना करें:
$K_{\max} = 2.49 \ eV - 2 \ eV = 0.49 \ eV$.

(D) देहली तरंगदैर्ध्य (threshold wavelength) $\lambda_0$ प्रकाश की वह अधिकतम तरंगदैर्ध्य है जो प्रकाश वैद्युत उत्सर्जन उत्पन्न कर सकती है,जिसे सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\lambda_0 = \frac{hc}{\phi_0}$.
यहाँ,$h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,और $\phi_0 = 1.6 \ eV = 1.6 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J$.
समीकरण में मान रखने पर:
$\lambda_0 = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{1.6 \times 1.6 \times 10^{-19}}$
$\lambda_0 = \frac{19.8 \times 10^{-26}}{2.56 \times 10^{-19}}$
$\lambda_0 \approx 7.734 \times 10^{-7} \ m$.
तरंगदैर्ध्य को $\mathring{A}$ में बदलने पर,जहाँ $1 \ m = 10^{10} \ \mathring{A}$:
$\lambda_0 = 7.734 \times 10^{-7} \times 10^{10} \ \mathring{A} = 7734 \ \mathring{A}$.