Meter Bridge Questions in Hindi

(C) मीटर ब्रिज में,संतुलन की स्थिति $\frac{P}{Q} = \frac{l}{100-l}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $P$ और $Q$ दो गैप में प्रतिरोध हैं और $l$ संतुलन लंबाई है।
स्थिति $1$: $R_1$ को $10 \,\Omega$ के साथ श्रेणीक्रम में एक गैप में और $R_2$ को दूसरे गैप में जोड़ा जाता है। संतुलन बिंदु $50 \, cm$ पर है।
$\frac{R_1 + 10}{R_2} = \frac{50}{100-50} = \frac{50}{50} = 1$
$\Rightarrow R_2 = R_1 + 10$ --- (समीकरण $1$)
स्थिति $2$: $10 \,\Omega$ के प्रतिरोध को हटा दिया जाता है,इसलिए पहले गैप में केवल $R_1$ बचता है। संतुलन बिंदु $40 \, cm$ पर स्थानांतरित हो जाता है।
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{40}{100-40} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$
$\Rightarrow 3R_1 = 2R_2$ --- (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ को समीकरण $2$ में रखने पर:
$3R_1 = 2(R_1 + 10)$
$3R_1 = 2R_1 + 20$
$R_1 = 20 \,\Omega$.

(A) मीटर ब्रिज के प्रयोग में,यह माना जाता है कि $L$-आकार की तांबे की पट्टियों का प्रतिरोध नगण्य है,लेकिन वास्तव में उनमें कुछ प्रतिरोध होता है।
इसके कारण उत्पन्न त्रुटि को एंड एरर (अंत त्रुटि) कहा जाता है।
इस त्रुटि को दूर करने के लिए,ज्ञात प्रतिरोध (रेजिस्टेंस बॉक्स से) और अज्ञात प्रतिरोध को आपस में बदल दिया जाता है और अंत प्रतिरोध के प्रभाव को समाप्त करने के लिए दोनों रीडिंग का औसत लिया जाता है।

(A) मीटर ब्रिज व्हीटस्टोन ब्रिज के सिद्धांत पर कार्य करता है।
जब शून्य विक्षेप बिंदु तार के केंद्र में होता है, तो दो अंतरालों में प्रतिरोधों का अनुपात तार के दो खंडों की लंबाई के अनुपात के बराबर होता है。
चूंकि शून्य विक्षेप बिंदु केंद्र में है, इसलिए लंबाई समान है, अर्थात $l_1 = l_2 = 50\, cm$।
व्हीटस्टोन ब्रिज के लिए संतुलन की स्थिति $\frac{P}{Q} = \frac{l_1}{l_2}$ द्वारा दी जाती है。
यह देखते हुए कि $P = 10\, \Omega$ और $l_1 = l_2$, हमारे पास $\frac{10}{Q} = \frac{50}{50} = 1$ है。
इसलिए, $Q = 10\, \Omega$।

(D) मीटर ब्रिज में,संतुलन की स्थिति का सूत्र $\frac{X}{R} = \frac{l}{100 - l}$ है,जहाँ $X$ अज्ञात प्रतिरोध है,$R$ ज्ञात प्रतिरोध है,और $l$ बाएं सिरे से संतुलन लंबाई है।
दिया गया है: $R = 1 \, \Omega$ और $l = 20 \, cm$।
तार की कुल लंबाई $100 \, cm$ है,इसलिए शेष लंबाई $100 - 20 = 80 \, cm$ है।
सूत्र में मान रखने पर: $\frac{X}{1} = \frac{20}{80}$।
भिन्न को सरल करने पर: $\frac{X}{1} = \frac{1}{4}$।
अतः,$X = 0.25 \, \Omega$।

(C) तार के भागों $AC$ और $CB$ का प्रतिरोध इस प्रकार है:
$R_{AC} = 0.1 \, \Omega/cm \times 40 \, cm = 4 \, \Omega$
$R_{CB} = 0.1 \, \Omega/cm \times 60 \, cm = 6 \, \Omega$
व्हीटस्टोन ब्रिज की संतुलित अवस्था में, प्रतिरोधों का अनुपात समान होता है:
$\frac{X}{6 \, \Omega} = \frac{R_{AC}}{R_{CB}} = \frac{4 \, \Omega}{6 \, \Omega}$
$\frac{X}{6} = \frac{4}{6} \implies X = 4 \, \Omega$
परिपथ का कुल प्रतिरोध दो समानांतर शाखाओं का योग है:
शाखा $1$: $X + 6 \, \Omega = 4 \, \Omega + 6 \, \Omega = 10 \, \Omega$
शाखा $2$: $R_{AC} + R_{CB} = 4 \, \Omega + 6 \, \Omega = 10 \, \Omega$
चूंकि ये दोनों शाखाएं समानांतर में हैं, इसलिए तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ है:
$R_{eq} = \frac{10 \, \Omega \times 10 \, \Omega}{10 \, \Omega + 10 \, \Omega} = 5 \, \Omega$
बैटरी से ली गई धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{5 \, V}{5 \, \Omega} = 1.0 \, A$ है।
अतः, $X = 4 \, \Omega$ और $I = 1.0 \, A$ है।

(D) मीटर ब्रिज के लिए संतुलन की स्थिति $\frac{R}{S} = \frac{l}{100-l}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $R$ और $S$ दो अंतरालों में प्रतिरोध हैं और $l$ बाएं सिरे से संतुलन लंबाई है।
प्रारंभ में, $R = 10 \, \Omega$ और $S = 30 \, \Omega$ है। अतः, $\frac{10}{30} = \frac{l_1}{100-l_1} \Rightarrow 100 - l_1 = 3l_1 \Rightarrow 4l_1 = 100 \Rightarrow l_1 = 25 \, cm$.
प्रतिरोधों को आपस में बदलने के बाद, $R = 30 \, \Omega$ और $S = 10 \, \Omega$ हो जाता है। अतः, $\frac{30}{10} = \frac{l_2}{100-l_2} \Rightarrow 3(100 - l_2) = l_2 \Rightarrow 300 - 3l_2 = l_2 \Rightarrow 4l_2 = 300 \Rightarrow l_2 = 75 \, cm$.
संतुलन बिंदु में विस्थापन $|l_2 - l_1| = |75 - 25| = 50 \, cm$ है।

(A) मीटर ब्रिज में,संतुलन की स्थिति $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l}{100 - l}$ द्वारा दी जाती है।
प्रथम स्थिति के लिए,$\frac{X}{Y} = \frac{20}{100 - 20} = \frac{20}{80} = \frac{1}{4}$ है।
अतः,$\frac{X}{Y} = \frac{1}{4}$,जिसका अर्थ है $Y = 4X$ है।
दूसरी स्थिति में,हम $4X$ को $Y$ के विरुद्ध संतुलित करते हैं। मान लीजिए कि नया शून्य विक्षेप बिंदु $l \ cm$ पर है।
तब,$\frac{4X}{Y} = \frac{l}{100 - l}$ होगा।
समीकरण में $Y = 4X$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{4X}{4X} = \frac{l}{100 - l}$।
$1 = \frac{l}{100 - l} \Rightarrow 100 - l = l \Rightarrow 2l = 100 \Rightarrow l = 50 \ cm$।

(C) माना $R$ छोटा प्रतिरोध है और $S$ बड़ा प्रतिरोध है जो मीटर ब्रिज के दो अंतरालों में जुड़े हैं।
मीटर ब्रिज के सिद्धांत के अनुसार,संतुलन स्थिति $\frac{R}{S} = \frac{l}{100 - l}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $l = 20 \ cm$,इसलिए $\frac{R}{S} = \frac{20}{100 - 20} = \frac{20}{80} = \frac{1}{4}$।
अतः,$S = 4R$ ..... $(i)$
जब $15 \ \Omega$ का प्रतिरोध छोटे प्रतिरोध $R$ के साथ श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो नया प्रतिरोध $(R + 15) \ \Omega$ हो जाता है।
नया संतुलन बिंदु $l' = 40 \ cm$ पर है।
संतुलन स्थिति को फिर से लागू करने पर: $\frac{R + 15}{S} = \frac{40}{100 - 40} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$।
समीकरण $(i)$ से $S = 4R$ का मान इस समीकरण में रखने पर:
$\frac{R + 15}{4R} = \frac{2}{3}$
$3(R + 15) = 2(4R)$
$3R + 45 = 8R$
$5R = 45$
$R = 9 \ \Omega$।

(A) मीटर ब्रिज में,संतुलन की स्थिति प्रतिरोधों के अनुपात द्वारा दी जाती है: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_{AC}}{R_{CB}}$.
यहाँ,$R_{AC}$ तार के भाग $AC$ का प्रतिरोध है और $R_{CB}$ तार के भाग $CB$ का प्रतिरोध है।
तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{L}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$L$ लंबाई है,और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
इसे संतुलन स्थिति में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{\rho (x) / A}{\rho (100-x) / A} = \frac{x}{100-x}$.
चूंकि अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ अंश और हर से कट जाता है,इसलिए संतुलन लंबाई $x$ केवल प्रतिरोधों $R_1$ और $R_2$ के अनुपात पर निर्भर करती है।
अतः,तार $AB$ की त्रिज्या बदलने से संतुलन लंबाई $x$ पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।

(A) मीटर ब्रिज में,शून्य विक्षेप बिंदु की स्थिति व्हीटस्टोन ब्रिज के सिद्धांत द्वारा दी जाती है: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{P}{Q}$,जहाँ $P$ और $Q$ जॉकी द्वारा विभाजित तार $AB$ के दो खंडों के प्रतिरोध हैं।
मान लीजिए कि तार का प्रति इकाई लंबाई प्रतिरोध $\sigma$ है। यदि तार की कुल लंबाई $L = 100 \ cm$ है,तो $P = \sigma x$ और $Q = \sigma (L - x)$ होगा।
अतः स्थिति $\frac{R_1}{R_2} = \frac{\sigma x}{\sigma (L - x)} = \frac{x}{L - x}$ बन जाती है।
यहाँ प्रति इकाई लंबाई प्रतिरोध $\sigma = \frac{\rho}{A}$ (जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है),इसलिए $\sigma$ अनुपात से कट जाता है।
इस प्रकार,शून्य विक्षेप बिंदु $x$,तार $AB$ की त्रिज्या (और इसलिए अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल) पर निर्भर नहीं करता है।
अतः,यदि तार की त्रिज्या दोगुनी कर दी जाती है,तो भी शून्य विक्षेप बिंदु $x$ पर ही रहेगा।

(A) मीटर ब्रिज में,संतुलन की स्थिति $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l_1}{100 - l_1}$ द्वारा दी जाती है।
प्रारंभिक स्थिति के अनुसार,$\frac{X}{Y} = \frac{20}{100 - 20} = \frac{20}{80} = \frac{1}{4}$ है।
अतः,$Y = 4X$ है।
अब,हम $X$ को $4X$ से बदलते हैं और इसे $Y$ के विरुद्ध संतुलित करते हैं। मान लीजिए कि नया शून्य विक्षेप बिंदु $l$ दूरी पर है।
नई स्थिति $\frac{4X}{Y} = \frac{l}{100 - l}$ है।
समीकरण में $Y = 4X$ रखने पर,हमें $\frac{4X}{4X} = \frac{l}{100 - l}$ प्राप्त होता है।
$1 = \frac{l}{100 - l}$।
$100 - l = l$।
$2l = 100$।
$l = 50 \ cm$।

(A) मीटर ब्रिज में,जब गैल्वेनोमीटर शून्य विक्षेप दर्शाता है,तो ब्रिज संतुलित होता है,जिसके लिए सूत्र है:
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{l}{100 - l}$
यहाँ,$R_1 = 55 \, \Omega$,$R_2 = R$,और संतुलन लंबाई $l = 20 \, \text{cm}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{55}{R} = \frac{20}{100 - 20}$
$\frac{55}{R} = \frac{20}{80}$
$\frac{55}{R} = \frac{1}{4}$
$R = 55 \times 4 = 220 \, \Omega$
अतः,अज्ञात प्रतिरोध $R$ का मान $220 \, \Omega$ है।

(A) मीटर ब्रिज के लिए,संतुलन की स्थिति $\frac{X}{Y} = \frac{l}{100 - l}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $l = 20 \ cm$,इसलिए $\frac{X}{Y} = \frac{20}{100 - 20} = \frac{20}{80} = \frac{1}{4}$।
अब,यदि $X$ को $4X$ से बदल दिया जाए,तो मान लीजिए कि नया शून्य बिंदु $l'$ है।
नई स्थिति $\frac{4X}{Y} = \frac{l'}{100 - l'}$ होगी।
$\frac{X}{Y} = \frac{1}{4}$ का मान रखने पर,हमें $4 \times \frac{1}{4} = \frac{l'}{100 - l'}$ प्राप्त होता है।
$1 = \frac{l'}{100 - l'} \Rightarrow 100 - l' = l' \Rightarrow 2l' = 100$।
अतः,$l' = 50 \ cm$।

(C) मीटर ब्रिज में संतुलन की स्थिति का सूत्र $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l_1}{100 - l_1}$ है।
$R_1 = 10 \, \Omega$ और $R_2 = 30 \, \Omega$ रखने पर:
$\frac{10}{30} = \frac{l_1}{100 - l_1} \implies 100 - l_1 = 3l_1 \implies 4l_1 = 100 \implies l_1 = 25 \, \text{cm}$.
अब,प्रतिरोधों को आपस में बदलने पर $R_1 = 30 \, \Omega$ और $R_2 = 10 \, \Omega$ प्राप्त होते हैं।
$\frac{30}{10} = \frac{l_2}{100 - l_2} \implies 3(100 - l_2) = l_2 \implies 300 - 3l_2 = l_2 \implies 4l_2 = 300 \implies l_2 = 75 \, \text{cm}$.
शून्य विक्षेप बिंदु में विस्थापन $|l_2 - l_1| = |75 - 25| = 50 \, \text{cm}$ होगा।

(B) प्रथम स्थिति में,संतुलन बिंदु पर:
$\frac{5}{R} = \frac{l_1}{100 - l_1}$ $....(i)$
दूसरी स्थिति में,प्रतिरोध $R$ को एक समान प्रतिरोध $R$ के साथ शंट किया जाता है,इसलिए तुल्य प्रतिरोध $R' = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ हो जाता है।
नया संतुलन बिंदु $1.6\,l_1$ पर है। अतः,संतुलन बिंदु पर:
$\frac{5}{R/2} = \frac{1.6\,l_1}{100 - 1.6\,l_1}$ $....(ii)$
समीकरण $(i)$ को समीकरण $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{5/R}{5/(R/2)} = \frac{l_1 / (100 - l_1)}{1.6\,l_1 / (100 - 1.6\,l_1)}$
$\frac{1}{2} = \frac{l_1}{100 - l_1} \times \frac{100 - 1.6\,l_1}{1.6\,l_1}$
$\frac{1}{2} = \frac{100 - 1.6\,l_1}{1.6(100 - l_1)}$
$0.8(100 - l_1) = 100 - 1.6\,l_1$
$80 - 0.8\,l_1 = 100 - 1.6\,l_1$
$0.8\,l_1 = 20$
$l_1 = 25\,cm$
$l_1 = 25\,cm$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$\frac{5}{R} = \frac{25}{100 - 25} = \frac{25}{75} = \frac{1}{3}$
$R = 15\,\Omega$.

(A) मीटर ब्रिज में,अज्ञात प्रतिरोध ज्ञात करने के लिए व्हीटस्टोन ब्रिज के सिद्धांत का उपयोग किया जाता है।
इस सिद्धांत के अनुसार,बाएं अंतराल $(P)$ और दाएं अंतराल $(Q)$ में प्रतिरोधों का अनुपात तार के बाएं भाग की लंबाई $(l)$ और दाएं भाग की लंबाई $(100 - l)$ के अनुपात के बराबर होता है।
यहाँ,संतुलन बिंदु $l = 35 \ cm$ पर है।
इसलिए,अनुपात $\frac{P}{Q} = \frac{l}{100 - l}$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{P}{Q} = \frac{35}{100 - 35} = \frac{35}{65}$।
अंश और हर को $5$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{7}{13}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $7 : 13$ है।

(A) मीटर ब्रिज के लिए,संतुलन की स्थिति $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l}{100-l}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $l$ सिरा $A$ से दूरी है।
प्रथम स्थिति में,$l = 40\,cm$:
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{40}{100-40} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$
$R_1 = \frac{2}{3} R_2$ ... $(1)$
दूसरी स्थिति में,$R_2$ को $10\, \Omega$ के प्रतिरोध के साथ शंट किया जाता है,तो नया प्रतिरोध $R_2' = \frac{10 R_2}{10 + R_2}$ होगा। नया संतुलन बिंदु $l' = 50\,cm$ है:
$\frac{R_1}{R_2'} = \frac{50}{100-50} = \frac{50}{50} = 1$
$R_1 = R_2' = \frac{10 R_2}{10 + R_2}$ ... $(2)$
$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$\frac{2}{3} R_2 = \frac{10 R_2}{10 + R_2}$
$2(10 + R_2) = 30$
$20 + 2 R_2 = 30$
$2 R_2 = 10$
$R_2 = 5\, \Omega$
$R_2 = 5\, \Omega$ का मान $(1)$ में रखने पर:
$R_1 = \frac{2}{3} \times 5 = \frac{10}{3}\, \Omega$
अतः,$R_1 = \frac{10}{3}\, \Omega$ और $R_2 = 5\, \Omega$ है।

(B) मीटर ब्रिज के लिए संतुलन की स्थिति इस प्रकार है:
$\frac{X}{R} = \frac{l_1}{100 - l_1}$
प्रारंभिक स्थिति के लिए जहाँ $X = 12\,\Omega$ और $R = 18\,\Omega$ है:
$\frac{12}{18} = \frac{l_1}{100 - l_1}$
$\frac{2}{3} = \frac{l_1}{100 - l_1}$
$200 - 2l_1 = 3l_1$
$5l_1 = 200$
$l_1 = 40\, cm$
अब,$R$ को बदलकर $8\,\Omega$ कर दिया गया है। मान लीजिए कि नई संतुलन लंबाई $l_2$ है:
$\frac{12}{8} = \frac{l_2}{100 - l_2}$
$\frac{3}{2} = \frac{l_2}{100 - l_2}$
$300 - 3l_2 = 2l_2$
$5l_2 = 300$
$l_2 = 60\, cm$
जॉकी $J$ को जितनी दूरी तक खिसकाना होगा वह है:
$\Delta l = l_2 - l_1 = 60\, cm - 40\, cm = 20\, cm$

(C) मीटर ब्रिज में,संतुलन की स्थिति इस सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{P}{Q} = \frac{l_1}{l_2}$,जहाँ $P$ और $Q$ दो अंतरालों (gaps) में प्रतिरोध हैं,और $l_1$ तथा $l_2$ तार की संबंधित लंबाइयाँ हैं।
दिया गया है,$P = 55 \, \Omega$ और $l_1 = 20 \, \text{cm}$.
मीटर ब्रिज के तार की कुल लंबाई $100 \, \text{cm}$ है,इसलिए $l_2 = 100 - 20 = 80 \, \text{cm}$.
इन मानों को संतुलन की स्थिति के सूत्र में रखने पर:
$\frac{55}{R} = \frac{20}{80}$
$\frac{55}{R} = \frac{1}{4}$
$R = 55 \times 4 = 220 \, \Omega$.

(B) मान लीजिए प्रतिरोध $R_1$ और $R_2$ हैं। दिया गया है कि $R_1 + R_2 = 1000 \, \Omega$ है।
पहली स्थिति में,संतुलन बिंदु बाईं ओर से $l$ लंबाई पर है:
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{l}{100-l} \implies \frac{R_1}{1000-R_1} = \frac{l}{100-l} \quad ... (i)$
प्रतिरोधों को आपस में बदलने के बाद,संतुलन बिंदु $10 \, cm$ बाईं ओर खिसक जाता है,इसलिए नई संतुलन लंबाई $(l-10) \, cm$ है:
$\frac{R_2}{R_1} = \frac{l-10}{100-(l-10)} = \frac{l-10}{110-l} \quad ... (ii)$
$(i)$ से,$\frac{R_2}{R_1} = \frac{100-l}{l}$। इसे $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{100-l}{l} = \frac{l-10}{110-l}$
$(100-l)(110-l) = l(l-10)$
$11000 - 100l - 110l + l^2 = l^2 - 10l$
$11000 = 200l \implies l = 55 \, cm$.
$l = 55$ को $(i)$ में रखने पर:
$\frac{R_1}{1000-R_1} = \frac{55}{100-55} = \frac{55}{45} = \frac{11}{9}$
$9R_1 = 11000 - 11R_1$
$20R_1 = 11000 \implies R_1 = 550 \, \Omega$.

(B) मीटर ब्रिज में,संतुलन की स्थिति $\frac{R}{S} = \frac{l_1}{100 - l_1}$ द्वारा दी जाती है।
नल पॉइंट $D$ पर,$B$ का विभव $D$ के विभव के बराबर होता है,इसलिए गैल्वेनोमीटर से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
यदि जॉकी को $D$ के बाईं ओर ले जाया जाता है,तो बाएं खंड का प्रतिरोध कम हो जाता है,जिससे $D$ का विभव $B$ से अधिक हो जाता है। इस प्रकार,धारा $D$ से $B$ की ओर प्रवाहित होती है (अर्थात तार से $B$ की ओर)।
यदि जॉकी को $D$ के दाईं ओर ले जाया जाता है,तो $D$ का विभव $B$ से कम हो जाता है,इसलिए धारा $B$ से $D$ की ओर प्रवाहित होती है (अर्थात $B$ से तार की ओर)।
इसलिए,विकल्प $B$ सही है।

(B) मीटर ब्रिज प्रयोग में,संवेदनशीलता तब सबसे अधिक होती है जब शून्य विक्षेप बिंदु (null point) तार के केंद्र के निकट होता है (अर्थात $l \approx 50\,cm$)।
अवलोकनों को देखने पर:
अवलोकन $1$: $l = 43\,cm$
अवलोकन $2$: $l = 51\,cm$
अवलोकन $3$: $l = 59\,cm$
अवलोकन $4$: $l = 70\,cm$
अवलोकन $2$ $(l = 51\,cm)$ के लिए शून्य विक्षेप बिंदु केंद्र $(50\,cm)$ के सबसे निकट है।
इसलिए,अवलोकन $2$ में प्राप्त मान सबसे सटीक है।
यह मान $28.82\,\Omega$ है।

(A) माना अज्ञात प्रतिरोध $X$ है। मीटर ब्रिज में,संतुलन की स्थिति $\frac{R}{X} = \frac{\ell}{100-\ell}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\ell$ संतुलन लंबाई ($cm$ में) है।
प्रारंभ में,$\frac{2}{X} = \frac{\ell}{100-\ell} \implies X = \frac{2(100-\ell)}{\ell} \quad (1)$
चूँकि $X > 2$ है,प्रतिरोधों को बदलने पर संतुलन बिंदु खिसक जाता है। नई संतुलन स्थिति $\frac{X}{2} = \frac{\ell+20}{100-(\ell+20)} = \frac{\ell+20}{80-\ell} \quad (2)$ है।
समीकरण $(1)$ से $X$ का मान $(2)$ में रखने पर:
$\frac{2(100-\ell)}{\ell} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\ell+20}{80-\ell}$
$\frac{100-\ell}{\ell} = \frac{\ell+20}{80-\ell}$
$(100-\ell)(80-\ell) = \ell(\ell+20)$
$8000 - 100\ell - 80\ell + \ell^2 = \ell^2 + 20\ell$
$8000 = 200\ell \implies \ell = 40\,cm$
अब,$\ell = 40$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$X = \frac{2(100-40)}{40} = \frac{2 \times 60}{40} = 3\,\Omega$.

(D) माना $A$ और $B$ पर अंत सुधार क्रमशः $\alpha$ और $\beta$ हैं। तार की कुल लंबाई $100\,cm$ है।
स्थिति $1$: प्रतिरोध $P = 15\,\Omega$ बाएं गैप में और $Q = 20\,\Omega$ दाएं गैप में है। शून्य विक्षेप बिंदु $l_1 = 42\,cm$ पर है।
संतुलन की स्थिति: $\frac{P}{Q} = \frac{l_1 + \alpha}{100 - l_1 + \beta}$
$\frac{15}{20} = \frac{42 + \alpha}{100 - 42 + \beta} \Rightarrow \frac{3}{4} = \frac{42 + \alpha}{58 + \beta}$
$3(58 + \beta) = 4(42 + \alpha) \Rightarrow 174 + 3\beta = 168 + 4\alpha \Rightarrow 4\alpha - 3\beta = 6$ ... $(i)$
स्थिति $2$: प्रतिरोधों को आपस में बदलने पर,$P = 20\,\Omega$ और $Q = 15\,\Omega$। शून्य विक्षेप बिंदु $l_2 = 57\,cm$ पर है।
संतुलन की स्थिति: $\frac{P}{Q} = \frac{l_2 + \alpha}{100 - l_2 + \beta}$
$\frac{20}{15} = \frac{57 + \alpha}{100 - 57 + \beta} \Rightarrow \frac{4}{3} = \frac{57 + \alpha}{43 + \beta}$
$4(43 + \beta) = 3(57 + \alpha) \Rightarrow 172 + 4\beta = 171 + 3\alpha \Rightarrow 3\alpha - 4\beta = 1$ ... $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर:
समीकरण $(i)$ को $4$ से और $(ii)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$16\alpha - 12\beta = 24$
$9\alpha - 12\beta = 3$
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $7\alpha = 21 \Rightarrow \alpha = 3\,cm$.
$\alpha = 3$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर: $4(3) - 3\beta = 6 \Rightarrow 12 - 3\beta = 6 \Rightarrow 3\beta = 6 \Rightarrow \beta = 2\,cm$.
अतः,अंत सुधार $3\,cm$ और $2\,cm$ हैं।

(A) प्रारंभ में,मीटर ब्रिज के लिए संतुलन की स्थिति $\frac{R_1}{R_2} = \frac{\ell}{100 - \ell}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $R_1 = 2 \, \Omega$ और $R_2 = 3 \, \Omega$,अतः $\frac{2}{3} = \frac{\ell}{100 - \ell}$।
$2(100 - \ell) = 3\ell \Rightarrow 200 - 2\ell = 3\ell \Rightarrow 5\ell = 200 \Rightarrow \ell = 40 \, cm$।
जब प्रतिरोधों को आपस में बदल दिया जाता है,तो नए प्रतिरोध $R_1' = 3 \, \Omega$ और $R_2' = 2 \, \Omega$ हो जाते हैं।
नई संतुलन स्थिति $\frac{R_1'}{R_2'} = \frac{\ell'}{100 - \ell'}$ है।
$\frac{3}{2} = \frac{\ell'}{100 - \ell'} \Rightarrow 3(100 - \ell') = 2\ell' \Rightarrow 300 - 3\ell' = 2\ell' \Rightarrow 5\ell' = 300 \Rightarrow \ell' = 60 \, cm$।
जॉकी की स्थिति में विस्थापन $|\ell' - \ell| = |60 - 40| = 20 \, cm$ है।

(B) संतुलित मीटर ब्रिज के लिए,स्थिति $\frac{X}{l_1} = \frac{Y}{100 - l_1}$ है।
दिया गया है $Y = 12.5 \, \Omega$ और $l_1 = 39.5 \, cm$,तो हमारे पास है:
$\frac{X}{39.5} = \frac{12.5}{100 - 39.5} = \frac{12.5}{60.5}$.
$X = \frac{12.5 \times 39.5}{60.5} \approx 8.16 \, \Omega$.
जब प्रतिरोध $X$ और $Y$ को आपस में बदल दिया जाता है,तो नई संतुलन स्थिति $\frac{Y}{l_2} = \frac{X}{100 - l_2}$ होती है।
$X = \frac{Y \times l_1}{100 - l_1}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{Y}{l_2} = \frac{Y \times l_1}{(100 - l_1)(100 - l_2)}$ प्राप्त होता है।
यह $100 - l_2 = l_1 \times \frac{l_2}{100 - l_1}$ में सरल हो जाता है,जिसका अर्थ है $l_2 = 100 - l_1$।
अतः,$l_2 = 100 - 39.5 = 60.5 \, cm$।

(D) मीटर ब्रिज की संतुलित स्थिति में,शर्त $\frac{P}{Q} = \frac{l}{100-l}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $l$ सिरा $A$ से उदासीन बिंदु की दूरी है।
प्रारंभ में,$P = 4\,\Omega$ और $l = 60\,cm$ है। इसलिए,$100-l = 40\,cm$ है।
इन मानों को संतुलन की स्थिति में रखने पर:
$\frac{4}{Q} = \frac{60}{40}$
$\frac{4}{Q} = \frac{3}{2}$
$Q = \frac{8}{3}\,\Omega$.
अब,एक अज्ञात प्रतिरोध $R$ को $P$ के साथ श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,इसलिए नया प्रतिरोध $P' = P + R = 4 + R$ है। नया उदासीन बिंदु $l' = 80\,cm$ पर है,इसलिए $100-l' = 20\,cm$ है।
संतुलन की स्थिति का पुनः उपयोग करने पर:
$\frac{4+R}{Q} = \frac{80}{20}$
$\frac{4+R}{8/3} = 4$
$4+R = 4 \times \frac{8}{3}$
$4+R = \frac{32}{3}$
$R = \frac{32}{3} - 4 = \frac{32-12}{3} = \frac{20}{3}\,\Omega$.
अतः,अज्ञात प्रतिरोध $R$ का मान $\frac{20}{3}\,\Omega$ है।

(C) मीटर ब्रिज में,संतुलन की स्थिति $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l}{100-l}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $\frac{X}{Y} = \frac{40}{100-40} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$.
अतः,$X = \frac{2}{3}Y$.
अब,हम $3X$ को $Y$ के विरुद्ध संतुलित करते हैं। मान लीजिए कि नया शून्य विक्षेप बिंदु $l' \ cm$ पर है।
तब,$\frac{3X}{Y} = \frac{l'}{100-l'}$.
समीकरण में $X = \frac{2}{3}Y$ रखने पर:
$\frac{3(\frac{2}{3}Y)}{Y} = \frac{l'}{100-l'}$
$2 = \frac{l'}{100-l'}$
$2(100 - l') = l'$
$200 - 2l' = l'$
$3l' = 200$
$l' = \frac{200}{3} \approx 66.67 \ cm$.
निकटतम पूर्णांक में,शून्य विक्षेप बिंदु $67 \ cm$ के करीब है।

(A) मीटर ब्रिज को संवेदनशील बनाने के लिए,तार की सामग्री (आमतौर पर मैंगनीन या कॉन्सटेंटन) की प्रतिरोधकता उच्च होनी चाहिए ताकि प्रति इकाई लंबाई प्रतिरोध महत्वपूर्ण हो,जिससे सटीक माप संभव हो सके।
इसके अतिरिक्त,इसका तापमान गुणांक निम्न होना चाहिए ताकि प्रयोग के दौरान तापमान में छोटे उतार-चढ़ाव के साथ तार का प्रतिरोध महत्वपूर्ण रूप से न बदले,जिससे माप की सटीकता और स्थिरता बनी रहे।

(B) माना तार $AB$ का प्रतिरोध $R_{AB} = 4\,\Omega$ है। माना खंड $AJ$ का प्रतिरोध $R_{AJ}$ है। $AJ$ के सिरों पर विभवांतर $V_{AJ} = I \cdot R_{AJ}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ मुख्य परिपथ में धारा है।
प्रथम स्थिति के लिए,मुख्य परिपथ में धारा $I_1 = \frac{6}{R_{h1} + R_{AB}} = \frac{6}{2 + 4} = 1\,\text{A}$ है।
$AJ$ के सिरों पर विभव पतन $V_{AJ} = I_1 \cdot R_{AJ} = 1 \cdot R_{AJ} = \varepsilon_1 = 0.5\,\text{V}$ है।
अतः,$R_{AJ} = 0.5\,\Omega$ प्राप्त होता है।
द्वितीय स्थिति के लिए,मुख्य परिपथ में धारा $I_2 = \frac{6}{R_{h2} + R_{AB}} = \frac{6}{6 + 4} = 0.6\,\text{A}$ है।
चूँकि शून्य विक्षेप बिंदु $J$ समान है,इसलिए प्रतिरोध $R_{AJ}$ का मान $0.5\,\Omega$ ही रहेगा।
द्वितीय स्थिति में emf $\varepsilon_2$ का मान $AJ$ के सिरों पर विभव पतन के बराबर होगा:
$\varepsilon_2 = I_2 \cdot R_{AJ} = 0.6 \times 0.5 = 0.3\,\text{V}$.

(C) मीटर ब्रिज के लिए,संतुलन की स्थिति $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l}{100-l}$ होती है।
दिया गया है $l = 40\,cm$,इसलिए $\frac{R_1}{R_2} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3} \implies R_2 = 1.5 R_1$ .....$(i)$
जब $R_1$ के साथ श्रेणीक्रम में $10\,\Omega$ जोड़ा जाता है,तो नया प्रतिरोध $(R_1 + 10)\,\Omega$ हो जाता है। शून्य विक्षेप बिंदु $10\,cm$ विस्थापित होता है। चूंकि $R_1$ बढ़ता है,इसलिए बिंदु $B$ की ओर विस्थापित होता है,अतः नई लंबाई $l' = 40 + 10 = 50\,cm$ होगी।
अतः,$\frac{R_1 + 10}{R_2} = \frac{50}{50} = 1 \implies R_1 + 10 = R_2$ .....$(ii)$
समीकरण $(i)$ को $(ii)$ में रखने पर: $R_1 + 10 = 1.5 R_1 \implies 0.5 R_1 = 10 \implies R_1 = 20\,\Omega$ और $R_2 = 30\,\Omega$ प्राप्त होता है।
अब,हमें $(R_1 + 10) = 30\,\Omega$ के साथ समांतर क्रम में $R$ प्रतिरोध जोड़ना है ताकि शून्य विक्षेप बिंदु वापस $40\,cm$ पर आ जाए (अर्थात अनुपात $\frac{2}{3}$ बना रहे)।
माना तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{30R}{30+R}$ है।
तब $\frac{R_{eq}}{R_2} = \frac{2}{3} \implies \frac{R_{eq}}{30} = \frac{2}{3} \implies R_{eq} = 20\,\Omega$।
अतः,$\frac{30R}{30+R} = 20 \implies 30R = 600 + 20R \implies 10R = 600 \implies R = 60\,\Omega$।

(C) दिया गया है कि $\frac{dR}{d\ell} = \frac{k}{\sqrt{\ell}}$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
$\ell = 0$ से $\ell = 1\, m$ तक समाकलन करने पर,तार का कुल प्रतिरोध $R_{AB}$ प्राप्त होता है:
$R_{AB} = \int_{0}^{1} \frac{k}{\sqrt{\ell}} d\ell = k [2\sqrt{\ell}]_{0}^{1} = 2k$.
माना लंबाई $AP = L$ है। खंड $AP$ का प्रतिरोध $R_{AP} = \int_{0}^{L} \frac{k}{\sqrt{\ell}} d\ell = k [2\sqrt{\ell}]_{0}^{L} = 2k\sqrt{L}$ है।
खंड $PB$ का प्रतिरोध $R_{PB} = \int_{L}^{1} \frac{k}{\sqrt{\ell}} d\ell = k [2\sqrt{\ell}]_{L}^{1} = 2k(1 - \sqrt{L})$ है।
संतुलित मीटर ब्रिज के लिए,जहाँ अंतराल में समान प्रतिरोध $R'$ हैं,शर्त $\frac{R'}{R_{AP}} = \frac{R'}{R_{PB}}$ है,जिसका अर्थ है $R_{AP} = R_{PB}$।
अतः,$2k\sqrt{L} = 2k(1 - \sqrt{L})$।
$\sqrt{L} = 1 - \sqrt{L} \implies 2\sqrt{L} = 1 \implies \sqrt{L} = 0.5$।
$L = (0.5)^2 = 0.25\, m$।

(A) मीटर ब्रिज में, अज्ञात प्रतिरोध $X$ का सूत्र $X = R \frac{(100 - l)}{l}$ है, जहाँ $l$ बाएं सिरे से संतुलन लंबाई है।
पाठ्यांक $1$ के लिए: $X = 1000 \times \frac{(100 - 60)}{60} = 1000 \times \frac{40}{60} \approx 666.67 \, \Omega$.
पाठ्यांक $2$ के लिए: $X = 100 \times \frac{(100 - 13)}{13} = 100 \times \frac{87}{13} \approx 669.23 \, \Omega$.
पाठ्यांक $3$ के लिए: $X = 10 \times \frac{(100 - 1.5)}{1.5} = 10 \times \frac{98.5}{1.5} \approx 656.67 \, \Omega$.
पाठ्यांक $4$ के लिए: $X = 1 \times \frac{(100 - 1)}{1} = 1 \times 99 = 99 \, \Omega$.
$X$ के परिकलित मानों की तुलना करने पर, पाठ्यांक $1, 2,$ और $3$ के मान सुसंगत हैं (लगभग $660 \, \Omega$), जबकि पाठ्यांक $4$ का मान काफी अलग है। अतः, पाठ्यांक $4$ असंगत है।

(B) मीटर ब्रिज में,संतुलन की स्थिति $\frac{P}{Q} = \frac{l_1}{100 - l_1}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $P = 5\,\Omega$ और $Q = R\,\Omega$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{5}{R} = \frac{l_1}{100 - l_1} \quad \dots(1)$
जब $R$ को समान प्रतिरोध $R$ के साथ शंट किया जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R' = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ हो जाता है।
नया संतुलन बिंदु $1.6\,l_1$ पर है। अतः:
$\frac{5}{R/2} = \frac{1.6\,l_1}{100 - 1.6\,l_1} \Rightarrow \frac{10}{R} = \frac{1.6\,l_1}{100 - 1.6\,l_1} \quad \dots(2)$
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{10/R}{5/R} = \frac{1.6\,l_1}{100 - 1.6\,l_1} \times \frac{100 - l_1}{l_1}$
$2 = \frac{1.6(100 - l_1)}{100 - 1.6\,l_1}$
$200 - 3.2\,l_1 = 160 - 1.6\,l_1$
$40 = 1.6\,l_1 \Rightarrow l_1 = 25\,cm$.
$l_1 = 25$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$\frac{5}{R} = \frac{25}{100 - 25} = \frac{25}{75} = \frac{1}{3}$
$R = 15\,\Omega$.

(A) मीटर ब्रिज के प्रयोग में,शून्य विक्षेप की स्थिति व्हीटस्टोन ब्रिज के सिद्धांत द्वारा दी जाती है:
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_{AC}}{R_{CB}}$
जहाँ $R_{AC}$ तार के भाग $AC$ का प्रतिरोध है और $R_{CB}$ तार के भाग $CB$ का प्रतिरोध है।
चूंकि तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{L}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$L$ लंबाई है,और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $(\pi r^2)$ है,
$\frac{R_{AC}}{R_{CB}} = \frac{\rho (x) / A}{\rho (100-x) / A} = \frac{x}{100-x}$
अतः,शून्य विक्षेप के लिए शर्त $\frac{R_1}{R_2} = \frac{x}{100-x}$ है।
यह समीकरण दर्शाता है कि शून्य बिंदु की स्थिति $x$ केवल प्रतिरोधों $R_1$ और $R_2$ के मानों और तार की कुल लंबाई पर निर्भर करती है। यह तार $AB$ के अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल (और इसलिए त्रिज्या) से स्वतंत्र है,बशर्ते तार एकसमान हो।
इसलिए,यदि तार $AB$ की त्रिज्या दोगुनी कर दी जाती है,तो शून्य बिंदु $x$ अपरिवर्तित रहेगा।

(D) मीटर ब्रिज में,गैल्वेनोमीटर में शून्य विक्षेप के लिए शर्त व्हीटस्टोन ब्रिज के सिद्धांत द्वारा दी जाती है:
$\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$
यहाँ,$P = 15 \, \Omega$ और $Q = 10 \, \Omega$ है।
तार के खंडों $AB$ और $BC$ का प्रतिरोध उनकी लंबाई $\ell$ और $(100 - \ell)$ के समानुपाती होता है।
अतः,$\frac{15}{10} = \frac{\ell}{100 - \ell}$
$\Rightarrow 1.5 = \frac{\ell}{100 - \ell}$
$\Rightarrow 1.5(100 - \ell) = \ell$
$\Rightarrow 150 - 1.5\ell = \ell$
$\Rightarrow 150 = 2.5\ell$
$\Rightarrow \ell = \frac{150}{2.5} = 60 \, cm$.
इसलिए,लंबाई $AB$ का मान $60 \, cm$ है।

(C) दिए गए मीटर ब्रिज के लिए,संतुलन की स्थिति $\frac{P}{Q} = \frac{l_1}{100 - l_1}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $l_1 = 55 \, cm$ है,इसलिए $100 - l_1 = 45 \, cm$.
दिया गया है कि $P = 3 \, \Omega$,इसलिए $\frac{3}{Q} = \frac{55}{45} = \frac{11}{9}$.
अतः,$Q = 3 \times \frac{9}{11} = \frac{27}{11} \, \Omega$.
जब एक अज्ञात प्रतिरोध $x$ को $P$ के साथ श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो नई संतुलन लंबाई $l_1' = 75 \, cm$ होती है,इसलिए $100 - l_1' = 25 \, cm$.
नई संतुलन स्थिति $\frac{P + x}{Q} = \frac{75}{25} = 3$ है।
मान रखने पर,$3 + x = 3 \times Q = 3 \times \frac{27}{11} = \frac{81}{11}$.
इसलिए,$x = \frac{81}{11} - 3 = \frac{81 - 33}{11} = \frac{48}{11} \, \Omega$.

(A) मीटर ब्रिज में,संतुलन की स्थिति $\frac{R}{S} = \frac{l}{100-l}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $l$ बिंदु $A$ से शून्य विक्षेप बिंदु की दूरी है।
प्रारंभ में,$l_1 = 25\, cm$ है। अतः,$\frac{R}{S} = \frac{25}{100-25} = \frac{25}{75} = \frac{1}{3}$। इस प्रकार,$S = 3R$।
जब $S$ के साथ समानांतर क्रम में $10\,\Omega$ का प्रतिरोध जोड़ा जाता है,तो नया प्रतिरोध $S'$ समीकरण $\frac{1}{S'} = \frac{1}{S} + \frac{1}{10}$ द्वारा प्राप्त होता है,इसलिए $S' = \frac{10S}{S+10}$।
नया शून्य विक्षेप बिंदु मध्य बिंदु पर है,इसलिए $l_2 = 50\, cm$ है। नई संतुलन स्थिति $\frac{R}{S'} = \frac{50}{100-50} = 1$ है,जिसका अर्थ है $R = S'$।
$S' = R$ को समीकरण $R = \frac{10S}{S+10}$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $R = \frac{10(3R)}{3R+10}$ प्राप्त होता है।
$R$ से विभाजित करने पर ($R \neq 0$ मानते हुए),हमें $1 = \frac{30}{3R+10}$ प्राप्त होता है।
$3R + 10 = 30$,इसलिए $3R = 20$,जिससे $R = \frac{20}{3} \approx 6.67\,\Omega$ प्राप्त होता है।

(A) मीटर ब्रिज के लिए,संतुलन की स्थिति $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l}{100-l}$ द्वारा दी जाती है।
जब $R_1$ और $R_2$ को आपस में बदल दिया जाता है,तो नई संतुलन लंबाई $l' = l + 25$ हो जाती है।
नई स्थिति $\frac{R_2}{R_1} = \frac{l+25}{100-(l+25)} = \frac{l+25}{75-l}$ है।
पहले समीकरण का व्युत्क्रम लेने पर,हमें $\frac{R_2}{R_1} = \frac{100-l}{l}$ प्राप्त होता है।
$\frac{R_2}{R_1}$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{100-l}{l} = \frac{l+25}{75-l}$.
$(100-l)(75-l) = l(l+25)$.
$7500 - 100l - 75l + l^2 = l^2 + 25l$.
$7500 - 175l = 25l$.
$200l = 7500 \implies l = 37.5 \, cm$.
अब,$l = 37.5$ को पहले समीकरण में रखने पर:
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{37.5}{100-37.5} = \frac{37.5}{62.5} = \frac{375}{625} = \frac{3}{5}$.

(D) व्हीटस्टोन ब्रिज के सिद्धांत के अनुसार,संतुलन की स्थिति सेल और गैल्वेनोमीटर के स्थानों से स्वतंत्र होती है। इसे इलेक्ट्रिकल नेटवर्क में रेसिप्रोसिटी प्रमेय के रूप में जाना जाता है। यदि गैल्वेनोमीटर और सेल को आपस में बदल दिया जाए,तो भी ब्रिज काम करेगा और संतुलन की स्थिति वही रहेगी,अर्थात $\frac{P}{Q} = \frac{l_{1}}{l_{2}}$।

(D) मीटर ब्रिज के लिए,संतुलन की स्थिति $\frac{R}{S} = \frac{l}{100 - l}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $l = 25 \; cm$,इसलिए $\frac{R}{S} = \frac{25}{100 - 25} = \frac{25}{75} = \frac{1}{3}$।
अतः,$S = 3R$।
तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A} = \rho \frac{l}{\pi (d/2)^2} = \frac{4 \rho l}{\pi d^2}$ द्वारा दिया जाता है।
जब लंबाई आधी $(l^{\prime} = l/2)$ और व्यास आधा $(d^{\prime} = d/2)$ कर दिया जाता है,तो नया प्रतिरोध $R^{\prime}$ इस प्रकार होगा:
$R^{\prime} = \frac{4 \rho (l/2)}{\pi (d/2)^2} = \frac{4 \rho l / 2}{\pi d^2 / 4} = 2 \left( \frac{4 \rho l}{\pi d^2} \right) = 2R$।
अब,नई संतुलन लंबाई $l^{\prime}$ के लिए,स्थिति $\frac{R^{\prime}}{S} = \frac{l^{\prime}}{100 - l^{\prime}}$ है।
$R^{\prime} = 2R$ और $S = 3R$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{2R}{3R} = \frac{l^{\prime}}{100 - l^{\prime}}$
$\frac{2}{3} = \frac{l^{\prime}}{100 - l^{\prime}}$
$200 - 2l^{\prime} = 3l^{\prime}$
$5l^{\prime} = 200$
$l^{\prime} = 40 \; cm$।

(N/A) प्रथम संतुलन बिंदु से, हमें प्राप्त होता है:
$\frac{R}{S} = \frac{33.7}{100 - 33.7} = \frac{33.7}{66.3} \dots (i)$
जब $S$ को $12 \; \Omega$ के प्रतिरोध के साथ समांतर क्रम में जोड़ा जाता है, तो तुल्य प्रतिरोध $S_{eq}$ इस प्रकार होता है:
$S_{eq} = \frac{12S}{S + 12}$
नई संतुलन स्थिति से:
$\frac{R}{S_{eq}} = \frac{51.9}{100 - 51.9} = \frac{51.9}{48.1}$
$\frac{R(S + 12)}{12S} = \frac{51.9}{48.1} \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ से $\frac{R}{S} = \frac{33.7}{66.3}$ का मान $(ii)$ में रखने पर:
$\frac{33.7}{66.3} \cdot \frac{S + 12}{12} = \frac{51.9}{48.1}$
$\frac{S + 12}{S} = \frac{51.9}{48.1} \cdot \frac{66.3}{33.7} \cdot 12 \approx 2.15$
$S$ के लिए हल करने पर, हमें $S \approx 13.5 \; \Omega$ प्राप्त होता है।
$S$ का मान $(i)$ में वापस रखने पर:
$R = S \cdot \frac{33.7}{66.3} = 13.5 \cdot 0.508 \approx 6.86 \; \Omega$.

(N/A) दिए गए चित्र में प्रतिरोधों $X$ और $Y$ वाला एक मीटर ब्रिज दर्शाया गया है।
$(a)$ सिरे $A$ से संतुलन बिंदु,$l_{1} = 39.5\; cm$ है।
प्रतिरोध $Y$ का मान $= 12.5\; \Omega$ है।
संतुलन के लिए शर्त इस प्रकार है:
$\frac{X}{Y} = \frac{l_{1}}{100 - l_{1}}$
$X = Y \times \frac{l_{1}}{100 - l_{1}} = 12.5 \times \frac{39.5}{100 - 39.5} = 12.5 \times \frac{39.5}{60.5} \approx 8.16\; \Omega$ है।
अतः,प्रतिरोध $X$ का मान लगभग $8.16\; \Omega$ है।
व्हीटस्टोन या मीटर ब्रिज में प्रतिरोधों के बीच के कनेक्शन मोटी तांबे की पट्टियों से बनाए जाते हैं ताकि उनके प्रतिरोध को कम से कम किया जा सके,जिसे ब्रिज के सूत्र में ध्यान में नहीं रखा जाता है।
$(b)$ यदि $X$ और $Y$ को आपस में बदल दिया जाए,तो $l_{1}$ और $100 - l_{1}$ आपस में बदल जाएंगे।
ब्रिज का संतुलन बिंदु $A$ से $100 - l_{1}$ की दूरी पर होगा।
$100 - l_{1} = 100 - 39.5 = 60.5\; cm$ है।
अतः,संतुलन बिंदु $A$ से $60.5\; cm$ की दूरी पर है।
$(c)$ जब ब्रिज के संतुलन बिंदु पर गैल्वेनोमीटर और सेल को आपस में बदल दिया जाता है,तो गैल्वेनोमीटर कोई विक्षेप नहीं दिखाएगा। इसलिए,गैल्वेनोमीटर से कोई धारा प्रवाहित नहीं होगी।

(A) मीटर ब्रिज सर्किट में, वह शाखा या आर्म जो विद्युत वाहक बल के स्रोत (बैटरी) को ब्रिज से जोड़ती है, उसे $battery \text{ } arm$ (बैटरी आर्म) के रूप में जाना जाता है।
वह शाखा या आर्म जो तार पर शून्य विक्षेप बिंदु (null point) और दो प्रतिरोधों के जंक्शन के बीच गैल्वेनोमीटर को जोड़ती है, उसे $galvanometer \text{ } arm$ (गैल्वेनोमीटर आर्म) के रूप में जाना जाता है।

(N/A) मीटर ब्रिज में $1 \ m$ लंबाई का एक समान अनुप्रस्थ काट और समान प्रतिरोधकता वाला तार होता है। इस तार को लकड़ी के बोर्ड पर लगी दो मोटी तांबे की पट्टियों के बीच खींचा जाता है।
तांबे की पट्टियां सिरों पर $L$-आकार की होती हैं,जो कनेक्शन के लिए टर्मिनल प्रदान करती हैं। बीच में एक सीधी तांबे की पट्टी होती है जो गैल्वेनोमीटर को जोड़ने के लिए जगह प्रदान करती है।
संतुलन लंबाई मापने के लिए तार के समानांतर एक मीटर स्केल लगा होता है।
स्थिर धारा बनाए रखने के लिए तार के दो सिरों $A$ और $C$ के बीच एक बैटरी,कुंजी $(K_1)$ और रियोस्टेट को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है।
गैल्वेनोमीटर $(G)$ को केंद्रीय टर्मिनल $B$ और जॉकी के बीच जोड़ा जाता है। जॉकी को तार पर खिसकाकर शून्य विक्षेप बिंदु $D$ प्राप्त किया जाता है,जहाँ गैल्वेनोमीटर शून्य विक्षेप दर्शाता है।

(N/A) मीटर ब्रिज व्हीटस्टोन ब्रिज के सिद्धांत पर आधारित है।
$1$. मीटर ब्रिज के एक गैप में अज्ञात प्रतिरोध $R$ और दूसरे गैप में प्रतिरोध बॉक्स से ज्ञात प्रतिरोध $S$ को जोड़ें।
$2$. जॉकी को तार $AC$ पर तब तक खिसकाएं जब तक कि गैल्वेनोमीटर बिंदु $D$ पर शून्य विक्षेप न दिखाए। इसे नल पॉइंट (null point) कहा जाता है।
$3$. मान लीजिए तार $AD$ की लंबाई $l$ है। तो तार $DC$ की लंबाई $(100 - l) \text{ cm}$ होगी।
$4$. मान लीजिए तार का प्रति इकाई लंबाई प्रतिरोध $\rho$ है। खंड $AD$ का प्रतिरोध $P = \rho l$ और खंड $DC$ का प्रतिरोध $Q = \rho(100 - l)$ होगा।
$5$. व्हीटस्टोन ब्रिज के सिद्धांत के अनुसार,संतुलित स्थिति में:
$\frac{R}{S} = \frac{P}{Q} = \frac{\rho l}{\rho(100 - l)}$
$6$. इसे सरल करने पर हमें प्राप्त होता है:
$\frac{R}{S} = \frac{l}{100 - l}$
$7$. अतः,अज्ञात प्रतिरोध $R$ का मान इस प्रकार है:
$R = S \left( \frac{l}{100 - l} \right)$
$8$. लंबाई $l$ को मापकर और $S$ का मान जानकर,$R$ की गणना की जा सकती है। त्रुटियों को कम करने के लिए,नल पॉइंट तार के केंद्र के पास ($40 \text{ cm}$ और $60 \text{ cm}$ के बीच) प्राप्त किया जाना चाहिए।

(N/A) मीटर ब्रिज प्रयोग में,ज्ञात प्रतिरोध $(R)$ और अज्ञात प्रतिरोध $(S)$ की स्थितियों को आपस में बदल दिया जाता है ताकि 'एंड एरर' (end errors) को समाप्त किया जा सके।
एंड एरर मीटर ब्रिज के तार के सिरों पर लगी तांबे की पट्टियों के प्रतिरोध और टर्मिनलों पर संपर्क प्रतिरोध के कारण होती है।
प्रतिरोधों को आपस में बदलकर,हम दो सेट में रीडिंग लेते हैं।
मान लीजिए कि अज्ञात प्रतिरोध का वास्तविक मान $S$ है और एंड एरर $\alpha$ और $\beta$ हैं।
पहले मामले में,संतुलन की स्थिति $\frac{R}{S+\alpha} = \frac{l_1}{100-l_1}$ है।
दूसरे मामले में,अदला-बदली के बाद,स्थिति $\frac{S}{R+\beta} = \frac{l_2}{100-l_2}$ हो जाती है।
दोनों मापों का औसत लेने से,एंड रेजिस्टेंस के कारण होने वाली व्यवस्थित त्रुटियां प्रभावी रूप से समाप्त हो जाती हैं,जिससे अधिक सटीक परिणाम प्राप्त होता है।

(B) मीटर ब्रिज में,संतुलन की स्थिति का सूत्र $\frac{X}{R} = \frac{l}{100 - l}$ है,जहाँ $X$ अज्ञात प्रतिरोध है,$R$ ज्ञात प्रतिरोध है और $l$ एक सिरे से संतुलन लंबाई है।
यहाँ दिया गया है कि शून्य विक्षेप बिंदु $l = 50 \ cm$ पर है,इसलिए शेष लंबाई $100 - 50 = 50 \ cm$ होगी।
सूत्र में मान रखने पर: $\frac{X}{10} = \frac{50}{50}$।
इसे सरल करने पर $\frac{X}{10} = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$X = 10 \ \Omega$।

(C) मीटर ब्रिज में,संतुलन की स्थिति $\frac{R}{S} = \frac{\ell_1}{\ell_2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $R$ बाएं गैप में प्रतिरोध है और $S$ दाएं गैप में प्रतिरोध है।
दिया गया है कि $S = 10\, \Omega$ और अनुपात $\frac{\ell_1}{\ell_2} = \frac{3}{2}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{R}{10} = \frac{3}{2} \implies R = 15\, \Omega$.
प्रतिरोध तार $R$ की कुल लंबाई $1.5\, m$ है।
इसलिए,प्रति इकाई प्रतिरोध लंबाई $\frac{1.5\, m}{15\, \Omega} = 0.1\, m/\Omega$ है।
इसे आवश्यक रूप में बदलने पर: $0.1\, m = 10 \times 10^{-2}\, m$.
अतः,मान $10$ है।

(C) संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज की स्थिति में,भुजाओं के प्रतिरोधों का अनुपात समान होता है।
दिए गए प्रतिरोध $R_1 = 12\, \Omega$ और $R_2 = 6\, \Omega$ हैं।
तार $AB$ की कुल लंबाई $72\, cm$ है। मान लीजिए कि तार के प्रति इकाई लंबाई का प्रतिरोध $\lambda$ है।
खंड $AP$ का प्रतिरोध $R_{AP} = \lambda x$ है और खंड $PB$ का प्रतिरोध $R_{PB} = \lambda (72 - x)$ है।
गैल्वेनोमीटर में शून्य विक्षेप के लिए,ब्रिज संतुलित है:
$\frac{12}{x} = \frac{6}{72 - x}$
$12(72 - x) = 6x$
$864 - 12x = 6x$
$18x = 864$
$x = \frac{864}{18} = 48\, cm$.