Meter Bridge Questions in Hindi

(B) मान लीजिए $X'$ $X$ और $S$ का समानांतर क्रम में तुल्य प्रतिरोध है।
$X' = \frac{X \cdot S}{X + S} = \frac{5S}{5 + S}$।
मीटर ब्रिज में,संतुलन की स्थिति $\frac{X'}{Y} = \frac{l_1}{l_2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $l_1 = 0.625 \ m$ और $l_2 = 1 - 0.625 = 0.375 \ m$ है।
मान रखने पर:
$\frac{5S / (5 + S)}{2} = \frac{0.625}{0.375}$
$\frac{5S}{2(5 + S)} = \frac{625}{375} = \frac{5}{3}$
$15S = 10(5 + S)$
$15S = 50 + 10S$
$5S = 50$
$S = 10 \ \Omega$।

(D) मान लीजिए बाएं अंतराल का प्रतिरोध $R_L$ है और दाहिने अंतराल का प्रतिरोध $R_R$ है।
प्रथम स्थिति में,दाहिने अंतराल में दो समान प्रतिरोधक $r$ श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए $R_R = r + r = 2r$।
संतुलन बिंदु $l_1 = 50 \ cm$ पर है।
मीटर ब्रिज के सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{R_L}{R_R} = \frac{l_1}{100 - l_1} \implies \frac{R_L}{2r} = \frac{50}{50} = 1 \implies R_L = 2r$।
दूसरी स्थिति में,दाहिने अंतराल से एक प्रतिरोधक $r$ हटा दिया जाता है,इसलिए नया दाहिना प्रतिरोध $R_R' = r$ हो जाता है।
इस हटाए गए प्रतिरोधक $r$ को $R_L$ के साथ समांतर क्रम में जोड़ा जाता है।
नया बायां प्रतिरोध $R_L' = \frac{R_L \cdot r}{R_L + r} = \frac{2r \cdot r}{2r + r} = \frac{2r^2}{3r} = \frac{2}{3}r$ होगा।
मान लीजिए नया संतुलन बिंदु $l_2$ है।
तब $\frac{R_L'}{R_R'} = \frac{l_2}{100 - l_2} \implies \frac{(2/3)r}{r} = \frac{l_2}{100 - l_2} \implies \frac{2}{3} = \frac{l_2}{100 - l_2}$।
$2(100 - l_2) = 3l_2 \implies 200 - 2l_2 = 3l_2 \implies 5l_2 = 200 \implies l_2 = 40 \ cm$।

(D) मीटर ब्रिज में,सिद्धांत $\frac{R}{S} = \frac{l_1}{100 - l_1}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ बाएं गैप का प्रतिरोध है और $S$ दाएं गैप का प्रतिरोध है।
दिया गया अनुपात $\frac{R}{S} = \frac{2}{3}$ है।
सूत्र में मान रखने पर: $\frac{2}{3} = \frac{l_1}{100 - l_1}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $2(100 - l_1) = 3l_1$.
$200 - 2l_1 = 3l_1$.
$200 = 5l_1$.
$l_1 = \frac{200}{5} = 40 \,cm$.
अतः,बाएं सिरे से संतुलन लंबाई $40 \,cm$ है।

(C) माना प्रारंभिक संतुलन लंबाई बाएं सिरे से $l_1$ है। अंतरालों में प्रतिरोध $R_1 = 3 \Omega$ और $R_2 = 9 \Omega$ हैं।
प्रारंभिक संतुलित स्थिति में: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l_1}{100 - l_1} \Rightarrow \frac{3}{9} = \frac{l_1}{100 - l_1} \Rightarrow \frac{1}{3} = \frac{l_1}{100 - l_1}$.
$100 - l_1 = 3l_1 \Rightarrow 4l_1 = 100 \Rightarrow l_1 = 25 \text{ cm}$.
जब $9 \Omega$ के प्रतिरोध के साथ समानांतर में $S$ शंट जोड़ा जाता है,तो दाएं अंतराल में नया प्रतिरोध $R_2' = \frac{9S}{9+S}$ हो जाता है।
संतुलन बिंदु $25 \text{ cm}$ विस्थापित होता है। चूंकि $R_2' < R_2$,संतुलन बिंदु दाईं ओर खिसकेगा,इसलिए नई संतुलन लंबाई $l_2 = 25 + 25 = 50 \text{ cm}$ होगी।
नई संतुलन स्थिति के लिए: $\frac{R_1}{R_2'} = \frac{l_2}{100 - l_2} \Rightarrow \frac{3}{R_2'} = \frac{50}{100 - 50} = 1$.
अतः,$R_2' = 3 \Omega$.
$R_2' = \frac{9S}{9+S} = 3$ रखने पर $\Rightarrow 9S = 27 + 3S \Rightarrow 6S = 27 \Rightarrow S = 4.5 \Omega$.

(A) स्थिति $I$: संतुलित मीटर ब्रिज के लिए,प्रतिरोधों का अनुपात तार के खंडों की लंबाई के अनुपात के बराबर होता है।
$\frac{R}{S} = \frac{40}{100-40} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$
$S = \frac{3R}{2} \quad \dots (i)$
स्थिति $II$: जब $10 \Omega$ का प्रतिरोध $S$ के साथ समानांतर में जोड़ा जाता है,तो नया प्रतिरोध $S'$ इस प्रकार होता है:
$S' = \frac{10S}{10+S}$
नया शून्य विक्षेप बिंदु $90 \text{ cm}$ पर है।
$\frac{R}{S'} = \frac{90}{100-90} = \frac{90}{10} = 9$
$\frac{R(10+S)}{10S} = 9 \Rightarrow R(10+S) = 90S \quad \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ से $S = \frac{3R}{2}$ का मान समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$R(10 + \frac{3R}{2}) = 90(\frac{3R}{2})$
$10 + \frac{3R}{2} = 135$
$\frac{3R}{2} = 125$
$R = \frac{250}{3} \approx 83.33 \Omega$
अब,समीकरण $(i)$ का उपयोग करके $S$ का मान ज्ञात करें:
$S = \frac{3}{2} \times \frac{250}{3} = 125 \Omega$
अतः,$R = 83.33 \Omega$ और $S = 125 \Omega$.

(B) मीटर ब्रिज में,अज्ञात प्रतिरोध $S$ को बाएं गैप में और ज्ञात प्रतिरोध $R$ को दाएं गैप में जोड़ा जाता है।
व्हीटस्टोन ब्रिज के सिद्धांत के अनुसार,संतुलित स्थिति में:
$\frac{S}{R} = \frac{l_1}{l_2}$
जहाँ $l_1$ बाएं सिरे से संतुलन लंबाई है और $l_2 = (100 - l_1)$ शेष लंबाई है।
दिया गया है: $l_1 = 25 \ cm$,$R = 1 \ \Omega$।
इसलिए,$l_2 = 100 - 25 = 75 \ cm$।
मान रखने पर:
$\frac{S}{1} = \frac{25}{75}$
$S = \frac{1}{3} \ \Omega \approx 0.33 \ \Omega$।

(B) माना $X'$ समानांतर में जुड़े $X$ और $S$ का समतुल्य प्रतिरोध है।
$X' = \frac{X \cdot S}{X + S} = \frac{5S}{5 + S}$.
मीटर ब्रिज में, संतुलन की स्थिति $\frac{X'}{Y} = \frac{l_1}{l_2}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $l_1 = 0.625 \, m$ और $l_2 = 1 - 0.625 = 0.375 \, m$ है।
मान रखने पर: $\frac{5S / (5 + S)}{2} = \frac{0.625}{0.375}$.
$\frac{5S}{2(5 + S)} = \frac{625}{375} = \frac{5}{3}$.
$15S = 10(5 + S)$.
$15S = 50 + 10S$.
$5S = 50$.
$S = 10 \, \Omega$.

(C) मीटर ब्रिज में,संतुलन बिंदु के लिए शर्त इस सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{P}{Q} = \frac{l}{100-l}$,जहाँ $P$ बाएं गैप का प्रतिरोध है,$Q$ दाएं गैप का प्रतिरोध है,और $l$ बाएं सिरे से संतुलन लंबाई है।
दिया गया अनुपात $\frac{P}{Q} = \frac{2}{3}$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{2}{3} = \frac{l}{100-l}$
तिर्यक गुणा करने पर:
$2(100-l) = 3l$
$200 - 2l = 3l$
$200 = 5l$
$l = \frac{200}{5} = 40 \ cm$.
अतः,बाएं सिरे से संतुलन बिंदु $40 \ cm$ की दूरी पर है।

(C) मीटर ब्रिज के लिए,संतुलन की स्थिति $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l}{100-l}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $R_1$ बाईं ओर का प्रतिरोध है और $R_2$ दाईं ओर का प्रतिरोध है।
स्थिति $I$: $P$ और $Q$ श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए $R_2 = P + Q$.
$\frac{30}{P+Q} = \frac{37.5}{100-37.5} = \frac{37.5}{62.5} = 0.6$
$P+Q = \frac{30}{0.6} = 50 \Omega$ ... $(i)$
स्थिति $II$: $P$ और $Q$ समांतर क्रम में हैं,इसलिए $R_2 = \frac{PQ}{P+Q}$.
$\frac{30}{\frac{PQ}{P+Q}} = \frac{71.4}{100-71.4} = \frac{71.4}{28.6} \approx 2.5$
$\frac{30(P+Q)}{PQ} = 2.5$
चूँकि $P+Q = 50$,हमारे पास $\frac{30 \times 50}{PQ} = 2.5$ है
$PQ = \frac{1500}{2.5} = 600 \Omega^2$ ... $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ से,हमें द्विघात समीकरण $x^2 - 50x + 600 = 0$ प्राप्त होता है।
$(x-30)(x-20) = 0$.
अतः,मान $30 \Omega$ और $20 \Omega$ हैं।

(A) मीटर ब्रिज संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज के सिद्धांत पर कार्य करता है।
मान लीजिए कि बाएं अंतराल में प्रतिरोध $R_L$ है और दाएं अंतराल में प्रतिरोध $R_R$ है।
संतुलन बिंदु बाईं ओर से $l = 37.5 \ cm$ पर है।
दाएं अंतराल में तार की लंबाई $100 - l = 100 - 37.5 = 62.5 \ cm$ है।
व्हीटस्टोन ब्रिज के सिद्धांत के अनुसार,$\frac{R_L}{R_R} = \frac{l}{100-l}$ होता है।
मान रखने पर,$\frac{R_L}{R_R} = \frac{37.5}{62.5} = \frac{3}{5}$ प्राप्त होता है।
प्रश्न में दाएं अंतराल के प्रतिरोध और बाएं अंतराल के प्रतिरोध का अनुपात पूछा गया है,जो $\frac{R_R}{R_L}$ है।
अतः,$\frac{R_R}{R_L} = \frac{62.5}{37.5} = \frac{5}{3}$।

(C) स्थिति $I$ में,प्रतिरोध $R_1 = 2 \ \Omega$ और $R_2 = 3 \ \Omega$ हैं। शून्य विक्षेप बिंदु $l$ पर है। मीटर ब्रिज सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l}{100-l} \implies \frac{2}{3} = \frac{l}{100-l}$.
इसे हल करने पर,$200 - 2l = 3l \implies 5l = 200 \implies l = 40 \ cm$.
स्थिति $II$ में,दाएं अंतराल में प्रतिरोध $R_2' = \frac{3x}{3+x}$ हो जाता है क्योंकि $x$ को $3 \ \Omega$ के समानांतर जोड़ा गया है। शून्य विक्षेप बिंदु $10 \ cm$ दाईं ओर खिसक जाता है,इसलिए नई स्थिति $l' = 40 + 10 = 50 \ cm$ है।
सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{R_1}{R_2'} = \frac{l'}{100-l'} \implies \frac{2}{\frac{3x}{3+x}} = \frac{50}{100-50} = \frac{50}{50} = 1$.
अतः,$\frac{2(3+x)}{3x} = 1 \implies 6 + 2x = 3x \implies x = 6 \ \Omega$.

(B) प्रारंभ में,मीटर ब्रिज के लिए संतुलन की स्थिति $\frac{P}{Q} = \frac{l}{100-l}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $P = 2 \Omega$ और $Q = 3 \Omega$ दिया गया है,इसलिए $\frac{2}{3} = \frac{l}{100-l}$।
$2(100-l) = 3l \Rightarrow 200 - 2l = 3l \Rightarrow 5l = 200 \Rightarrow l = 40 \text{ cm}$।
जब $3 \Omega$ प्रतिरोध के साथ समानांतर में एक अज्ञात प्रतिरोध $R$ जोड़ा जाता है,तो नया प्रतिरोध $Q' = \frac{3R}{3+R}$ हो जाता है।
शून्य विक्षेप बिंदु $Y$ की ओर $22.5 \text{ cm}$ विस्थापित होता है,इसलिए नई लंबाई $l' = 40 + 22.5 = 62.5 \text{ cm}$ होगी।
नई संतुलन स्थिति $\frac{2}{Q'} = \frac{62.5}{100-62.5} = \frac{62.5}{37.5} = \frac{5}{3}$ है।
$Q'$ का मान रखने पर,$\frac{2}{\frac{3R}{3+R}} = \frac{5}{3} \Rightarrow \frac{2(3+R)}{3R} = \frac{5}{3}$।
$6(3+R) = 15R \Rightarrow 18 + 6R = 15R \Rightarrow 9R = 18 \Rightarrow R = 2 \Omega$।

(C) मीटर ब्रिज के लिए,संतुलन की स्थिति $\frac{R_{1}}{R_{2}} = \frac{l}{100-l}$ द्वारा दी जाती है।
प्रारंभ में,शून्य बिंदु $40 \text{ cm}$ पर है,इसलिए $l = 40 \text{ cm}$:
$\frac{R_{1}}{R_{2}} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3} \implies R_{1} = \frac{2}{3}R_{2} \quad ... (1)$
जब $16 \ \Omega$ का प्रतिरोध $R_{2}$ के समानांतर जोड़ा जाता है,तो नया समतुल्य प्रतिरोध $R_{2}' = \frac{R_{2} \times 16}{R_{2} + 16}$ होता है।
नया शून्य बिंदु $50 \text{ cm}$ पर है,इसलिए $l = 50 \text{ cm}$:
$\frac{R_{1}}{R_{2}'} = \frac{50}{50} = 1 \implies R_{1} = R_{2}' = \frac{16R_{2}}{R_{2} + 16} \quad ... (2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$\frac{2}{3}R_{2} = \frac{16R_{2}}{R_{2} + 16}$
$\frac{1}{3} = \frac{8}{R_{2} + 16} \implies R_{2} + 16 = 24 \implies R_{2} = 8 \ \Omega$.
$R_{2} = 8 \ \Omega$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$R_{1} = \frac{2}{3} \times 8 = \frac{16}{3} \ \Omega$.

(D) व्हीटस्टोन ब्रिज में (जिसका मीटर ब्रिज एक रूप है),गैल्वेनोमीटर और सेल (बैटरी) संयुग्मी शाखाएं हैं।
पारस्परिकता प्रमेय (reciprocity theorem) के अनुसार,बैटरी और गैल्वेनोमीटर के स्थानों को आपस में बदलने से ब्रिज के संतुलन की स्थिति नहीं बदलती है।
यदि यह संतुलित था,तो यह संतुलित ही रहेगा; यदि यह असंतुलित था,तो विक्षेप का परिमाण या दिशा बदल सकती है,लेकिन यह अभी भी एक संतुलन बिंदु दिखाएगा।
इसलिए,जॉकी की स्थिति के आधार पर दोनों विक्षेप देखे जा सकते हैं,और संतुलन बिंदु पर शून्य विक्षेप अभी भी होगा।
अतः,विकल्प $D$ सही है।