Meter Bridge Questions in Hindi

(A) मीटर ब्रिज में,संतुलित स्थिति $\frac{P}{Q} = \frac{l_1 + \alpha}{l_2 + \beta}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $P = 15\,\Omega$,$Q = R$,$l_1 = 43\,cm$,$l_2 = (100 - 43) = 57\,cm$,$\alpha = 2\,cm$ (सिरे $A$ पर अंत सुधार),और $\beta = 1\,cm$ (सिरे $B$ पर अंत सुधार)।
मान रखने पर:
$\frac{15}{R} = \frac{43 + 2}{57 + 1}$
$\frac{15}{R} = \frac{45}{58}$
$R = \frac{15 \times 58}{45}$
$R = \frac{58}{3} \approx 19.33\,\Omega$.
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,निकटतम पूर्णांक मान $19\,\Omega$ है।

(D) मीटर ब्रिज में,संतुलन की स्थिति $\frac{P}{Q} = \frac{l}{100-l}$ द्वारा दी जाती है।
प्रारंभ में,$P = 4\,\Omega$ और $l_1 = 40\,cm$ है। इसलिए,$100 - l_1 = 60\,cm$.
$\frac{P}{Q} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3} \implies \frac{4}{Q} = \frac{2}{3} \implies Q = 6\,\Omega$.
जब एक अज्ञात प्रतिरोध $x$ को $P$ के साथ श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो नया प्रतिरोध $P' = P + x = 4 + x$ हो जाता है।
नई संतुलन लंबाई $l_2 = 80\,cm$ है। इसलिए,$100 - l_2 = 20\,cm$.
संतुलन स्थिति का पुनः उपयोग करने पर:
$\frac{P + x}{Q} = \frac{80}{20} = 4$.
$Q = 6\,\Omega$ का मान रखने पर:
$\frac{4 + x}{6} = 4$
$4 + x = 24$
$x = 20\,\Omega$.

(B) मीटर ब्रिज प्रयोग में,शून्य विक्षेप की स्थिति व्हीटस्टोन ब्रिज के सिद्धांत द्वारा दी जाती है: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_{AC}}{R_{CB}}$.
यहाँ,$R_{AC}$ तार के खंड $AC$ का प्रतिरोध है और $R_{CB}$ तार के खंड $CB$ का प्रतिरोध है।
तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$l$ लंबाई है,और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
इसे संतुलन स्थिति में रखने पर: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{\rho (l_{AC} / A)}{\rho (l_{CB} / A)} = \frac{l_{AC}}{l_{CB}}$.
चूंकि अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ कट जाता है,इसलिए प्रतिरोधों का अनुपात केवल खंडों की लंबाई पर निर्भर करता है।
अतः,संतुलन लंबाई तार की त्रिज्या (या अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल) से स्वतंत्र है,बशर्ते तार एकसमान रहे।
इस प्रकार,यदि त्रिज्या को दोगुना कर दिया जाए,तो भी संतुलन लंबाई $40 \, cm$ ही रहेगी।

(D) मीटर ब्रिज में,संतुलन की स्थिति का सूत्र है: $\frac{S}{l} = \frac{R}{100 - l}$।
यहाँ,$l = 30 \ cm$,इसलिए $100 - l = 70 \ cm$।
ज्ञात प्रतिरोध $R = 5.6 \ k\Omega = 5600 \ \Omega$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{S}{30} = \frac{5600}{70}$।
$S = \frac{5600 \times 30}{70}$।
$S = 80 \times 30 = 2400 \ \Omega$।

(B) मीटर ब्रिज के लिए संतुलन की स्थिति $\frac{R}{X} = \frac{l}{100-l}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $l$ सिरे $A$ से संतुलन बिंदु $C$ तक तार की लंबाई है।
जब परिपथ में कुछ समय के लिए धारा प्रवाहित की जाती है,तो धारा के ऊष्मीय प्रभाव के कारण प्रतिरोध $X$ का तापमान बढ़ जाता है।
चूंकि $X$ का ताप गुणांक ऋणात्मक है,इसलिए तापमान बढ़ने पर इसका प्रतिरोध $X$ घट जाता है।
संतुलन की स्थिति से,$X = R \cdot \frac{100-l}{l}$। जैसे-जैसे $X$ घटता है,अनुपात $\frac{100-l}{l}$ को भी कम होना चाहिए।
इसका तात्पर्य यह है कि $(100-l)$ को कम होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $l$ को बढ़ना चाहिए।
$l$ में वृद्धि का अर्थ है कि संतुलन बिंदु $C$ सिरे $B$ की ओर स्थानांतरित हो जाएगा।

(C) मीटर ब्रिज में,संतुलन की स्थिति $\frac{R}{S} = \frac{l}{100-l}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $R$ अज्ञात प्रतिरोध है और $S$ मानक प्रतिरोध है।
जब अज्ञात प्रतिरोध $R$ को उच्च तापमान वाले बाड़े में रखा जाता है,तो इसका प्रतिरोध बढ़ जाता है क्योंकि धातुओं का प्रतिरोध तापमान के साथ बढ़ता है $(R_t = R_0(1 + \alpha \Delta T))$।
शून्य विक्षेप बिंदु $(l)$ की स्थिति को समान बनाए रखने के लिए,अनुपात $\frac{R}{S}$ को स्थिर रहना चाहिए।
चूंकि $R$ बढ़ गया है,इसलिए अनुपात $\frac{R}{S}$ को स्थिर रखने के लिए $S$ को भी बढ़ाया जाना चाहिए।
कथन में कहा गया है कि $S$ को कम करना चाहिए,जो गलत है।
इसलिए,कथन असत्य है,जबकि कारण सत्य है।

(A) मीटर ब्रिज में,संतुलन की स्थिति $\frac{P}{Q} = \frac{l}{100-l}$ द्वारा दी जाती है।
प्रारंभ में,$P = 2\,\Omega$ और $Q = 3\,\Omega$ है। मान लीजिए संतुलन लंबाई $l_1$ है। तब $\frac{2}{3} = \frac{l_1}{100-l_1}$।
इसे हल करने पर,$200 - 2l_1 = 3l_1 \Rightarrow 5l_1 = 200 \Rightarrow l_1 = 40\,cm$ प्राप्त होता है।
जब $3\,\Omega$ के प्रतिरोध के साथ समानांतर में $x\,\Omega$ का शंट जोड़ा जाता है,तो नया प्रतिरोध $Q' = \frac{3x}{3+x}$ हो जाता है।
नई संतुलन लंबाई $l_2 = l_1 + 22.5 = 40 + 22.5 = 62.5\,cm$ है।
नई संतुलन स्थिति $\frac{2}{Q'} = \frac{62.5}{100-62.5} = \frac{62.5}{37.5} = \frac{5}{3}$ है।
अतः,$Q' = 2 \times \frac{3}{5} = 1.2\,\Omega$।
$Q'$ के लिए व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $\frac{3x}{3+x} = 1.2$ प्राप्त होता है।
$3x = 1.2(3+x) \Rightarrow 3x = 3.6 + 1.2x \Rightarrow 1.8x = 3.6$।
इसलिए,$x = 2\,\Omega$।

(B) मीटर सेतु के लिए,संतुलन की स्थिति $\frac{P}{Q} = \frac{l}{100-l}$ होती है,जहाँ $P$ बाएं अंतराल में प्रतिरोध है और $Q$ दाएं अंतराल में प्रतिरोध है।
स्थिति $1$: $R_1$ और $R_2$ श्रेणीक्रम में हैं। $P = R_1 + R_2$,$Q = 10 \ \Omega$,$l = 60 \ cm$.
$\frac{R_1 + R_2}{10} = \frac{60}{100-60} = \frac{60}{40} = \frac{3}{2}$.
$R_1 + R_2 = 10 \times \frac{3}{2} = 15 \ \Omega$.
स्थिति $2$: $R_1$ और $R_2$ समांतर क्रम में हैं। $P = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$,$Q = 3 \ \Omega$,$l = 40 \ cm$.
$\frac{R_1 R_2 / (R_1 + R_2)}{3} = \frac{40}{100-40} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$.
$\frac{R_1 R_2}{3(R_1 + R_2)} = \frac{2}{3} \Rightarrow R_1 R_2 = 2(R_1 + R_2)$.
$R_1 + R_2 = 15 \ \Omega$ का मान रखने पर:
$R_1 R_2 = 2 \times 15 = 30 \ \Omega^2$.

(C) मीटर ब्रिज के लिए,संतुलन की स्थिति $\frac{P}{Q} = \frac{l_1}{l_2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $P$ बाएं गैप में प्रतिरोध है,$Q$ दाहिने गैप में प्रतिरोध है,$l_1 = 60 \ cm$ और $l_2 = 100 - 60 = 40 \ cm$ है।
दिया गया है $P = 4.5 \ \Omega$,इसलिए $\frac{4.5}{Q} = \frac{60}{40} = 1.5$.
अतः,$Q = \frac{4.5}{1.5} = 3 \ \Omega$.
तार का प्रतिरोध $Q = \frac{\rho L}{A} = \frac{\rho L}{\pi r^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L = 10 \ cm = 0.1 \ m$ और $r = \sqrt{7} \times 10^{-4} \ m$ है।
मान रखने पर: $3 = \frac{\rho \times 0.1}{\pi \times (\sqrt{7} \times 10^{-4})^2} = \frac{\rho \times 0.1}{\pi \times 7 \times 10^{-8}}$.
$\rho$ के लिए हल करने पर: $\rho = \frac{3 \times \pi \times 7 \times 10^{-8}}{0.1} = 210 \pi \times 10^{-8} \ \Omega \ m$.
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर,$\rho = 210 \times 3.14 \times 10^{-8} = 659.4 \times 10^{-8} \approx 66 \times 10^{-7} \ \Omega \ m$.
इसलिए,$R = 66$.

(D) मीटर ब्रिज में,संतुलन की स्थिति $\frac{P}{Q} = \frac{R_1}{R_2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $P$ और $Q$ गैप में स्थित प्रतिरोध हैं,और $R_1$ और $R_2$ तार के खंडों के प्रतिरोध हैं।
मान लीजिए कि प्रति इकाई लंबाई प्रतिरोध $r$ है। $40 \ cm$ की संतुलन लंबाई $\ell_1$ के लिए,दूसरे खंड की लंबाई $\ell_2 = 100 - 40 = 60 \ cm$ है।
तार के खंडों का प्रतिरोध $r \ell_1$ और $r \ell_2$ है।
संतुलन की स्थिति $\frac{X}{25} = \frac{r \ell_1}{r \ell_2} = \frac{\ell_1}{\ell_2} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$ है।
जब तार को $2r$ प्रति इकाई लंबाई वाले तार से बदला जाता है,तो खंडों के नए प्रतिरोध $(2r) \ell_1'$ और $(2r) \ell_2'$ हो जाते हैं।
नई संतुलन स्थिति $\frac{X}{25} = \frac{(2r) \ell_1'}{(2r) \ell_2'} = \frac{\ell_1'}{\ell_2'}$ है।
चूंकि अनुपात $\frac{X}{25}$ स्थिर रहता है,इसलिए $\frac{\ell_1'}{\ell_2'} = \frac{2}{3}$।
दिया गया है कि $\ell_1' + \ell_2' = 100 \ cm$,इसलिए $\ell_1' = 40 \ cm$ और $\ell_2' = 60 \ cm$ है।
अतः,संतुलन लंबाई $40 \ cm$ पर अपरिवर्तित रहती है।

(A) प्रथम स्थिति में,बाएं गैप में प्रतिरोध $R_1 = 2 \ \Omega$ है और दाएं गैप में अज्ञात प्रतिरोध $X$ है। संतुलन लंबाई $\ell_1 = 40 \ cm$ है।
मीटर-ब्रिज के सिद्धांत का उपयोग करते हुए: $\frac{R_1}{\ell_1} = \frac{X}{100 - \ell_1} \Rightarrow \frac{2}{40} = \frac{X}{60} \Rightarrow X = 3 \ \Omega$.
दूसरी स्थिति में,अज्ञात प्रतिरोध $X$ को $2 \ \Omega$ के प्रतिरोध के साथ शंट किया जाता है। नया तुल्य प्रतिरोध $X^{\prime}$ है:
$X^{\prime} = \frac{X \times 2}{X + 2} = \frac{3 \times 2}{3 + 2} = \frac{6}{5} = 1.2 \ \Omega$.
माना नई संतुलन लंबाई $\ell_2$ है।
$\frac{2}{\ell_2} = \frac{1.2}{100 - \ell_2} \Rightarrow 2(100 - \ell_2) = 1.2\ell_2 \Rightarrow 200 - 2\ell_2 = 1.2\ell_2 \Rightarrow 3.2\ell_2 = 200 \Rightarrow \ell_2 = \frac{200}{3.2} = 62.5 \ cm$.
संतुलन लंबाई में परिवर्तन $|\ell_2 - \ell_1| = |62.5 - 40| = 22.5 \ cm$ है।

(A) माना अज्ञात प्रतिरोध $x$ है। मीटर-ब्रिज के सिद्धांत के अनुसार,पहली स्थिति के लिए:
$\frac{2}{x} = \frac{\ell}{100 - \ell}$ ...............$(I)$
जब प्रतिरोधों को आपस में बदल दिया जाता है,तो नया संतुलन बिंदु $\ell' = \ell + 20$ हो जाता है (चूंकि $x > 2$ है,इसलिए संतुलन बिंदु बड़े प्रतिरोध की ओर खिसकता है)। अतः,दूसरी स्थिति के लिए:
$\frac{x}{2} = \frac{\ell + 20}{100 - (\ell + 20)} = \frac{\ell + 20}{80 - \ell}$ ...............$(II)$
$(I)$ से,$\frac{\ell}{100 - \ell} = \frac{2}{x} \implies \ell x = 200 - 2\ell \implies \ell(x + 2) = 200 \implies \ell = \frac{200}{x + 2}$.
$(II)$ से,$\frac{x}{2} = \frac{\ell + 20}{80 - \ell} \implies 80x - \ell x = 2\ell + 40 \implies 80x - 40 = \ell(x + 2)$.
$\ell(x + 2) = 200$ को समीकरण $80x - 40 = \ell(x + 2)$ में रखने पर:
$80x - 40 = 200$
$80x = 240$
$x = 3 \Omega$.

(D) मीटर ब्रिज में,शून्य विक्षेप बिंदु के लिए शर्त $\frac{R_u}{R_s} = \frac{\ell}{100-\ell}$ है,जहाँ $R_u$ अज्ञात प्रतिरोध है,$R_s$ मानक प्रतिरोध है और $\ell$ संतुलन लंबाई है।
जब अज्ञात प्रतिरोध $R_u$ का तापमान बढ़ता है,तो इसका प्रतिरोध बढ़ जाता है क्योंकि $R_u(T) = R_0(1 + \alpha \Delta T)$ होता है।
शून्य विक्षेप बिंदु को उसी स्थिति $\ell$ पर बनाए रखने के लिए,अनुपात $\frac{R_u}{R_s}$ स्थिर रहना चाहिए।
चूंकि $R_u$ बढ़ गया है,इसलिए उसी अनुपात को बनाए रखने के लिए $R_s$ को भी बढ़ाया जाना चाहिए।
$STATEMENT-1$ में $R_s$ को कम करने का सुझाव दिया गया है,जो गलत है।
$STATEMENT-2$ एक ज्ञात भौतिक तथ्य है कि धातु का प्रतिरोध तापमान के साथ बढ़ता है।
इसलिए,$STATEMENT-1$ असत्य है और $STATEMENT-2$ सत्य है।

(B) मीटर ब्रिज में,संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज के लिए शर्त $\frac{X}{R} = \frac{l_1}{l_2}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$X$ अज्ञात प्रतिरोध है और $R = 10 \ \Omega$ मानक प्रतिरोध है।
शून्य विक्षेप बिंदु सिरा $A$ से $l = 52 \ cm$ पर है।
अंत-सुधारों को ध्यान में रखते हुए,प्रभावी लंबाई $l_1 = l + \alpha = 52 + 1 = 53 \ cm$ होगी।
प्रभावी लंबाई $l_2 = (100 - l) + \beta = (100 - 52) + 2 = 48 + 2 = 50 \ cm$ होगी।
इन मानों को संतुलन की स्थिति में रखने पर:
$\frac{X}{10} = \frac{53}{50}$.
$X$ के लिए हल करने पर:
$X = \frac{53 \times 10}{50} = \frac{53}{5} = 10.6 \ \Omega$.

(C) संतुलित मीटर ब्रिज के लिए,स्थिति $\frac{X}{R} = \frac{\ell}{100 - \ell}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $X$ अज्ञात प्रतिरोध है और $R$ मानक प्रतिरोध है।
दिया गया है $R = 90 \ \Omega$ और $\ell = 40.0 \ cm$,तो:
$X = R \frac{\ell}{100 - \ell} = 90 \times \frac{40}{60} = 60 \ \Omega$.
त्रुटि $\Delta X$ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $X = R \frac{\ell}{100 - \ell}$ का लघुगणकीय अवकलन करते हैं:
$\frac{\Delta X}{X} = \frac{\Delta \ell}{\ell} + \frac{\Delta \ell}{100 - \ell}$,जहाँ $\Delta \ell = 1 \ mm = 0.1 \ cm$.
मान रखने पर:
$\frac{\Delta X}{60} = \frac{0.1}{40} + \frac{0.1}{60} = 0.1 \left( \frac{3 + 2}{120} \right) = 0.1 \left( \frac{5}{120} \right) = \frac{0.5}{120} = \frac{1}{240}$.
$\Delta X = 60 \times \frac{1}{240} = 0.25 \ \Omega$.
अतः,अज्ञात प्रतिरोध $X = (60 \pm 0.25) \ \Omega$ है।

(B) माना मीटर ब्रिज के तार का कुल प्रतिरोध $R_0 = 50 \Omega$ है। तार की लंबाई $100 \text{ cm}$ है।
प्रति इकाई लंबाई प्रतिरोध $\lambda = R_0 / 100 = 50 / 100 = 0.5 \Omega/\text{cm}$ है।
शून्य विक्षेप बिंदु $l = 72 \text{ cm}$ पर,तार के बाएं भाग का प्रतिरोध $R_l = 72 \times 0.5 = 36 \Omega$ है।
परिपथ में मुख्य लूप में $E$ emf और $r_1$ आंतरिक प्रतिरोध है,जो $R_0$ तार और $R_0/2$ बाहरी प्रतिरोध के साथ श्रेणीक्रम में है।
मुख्य लूप में धारा $I = \frac{E}{r_1 + R_0 + R_0/2} = \frac{E}{r_1 + 1.5 R_0}$ है।
शून्य विक्षेप बिंदु पर,तार के $l$ लंबाई वाले भाग पर विभवांतर दूसरे सेल के emf $E/2$ के बराबर होना चाहिए।
अतः,$I \times 36 = E/2$.
$I$ का मान रखने पर,$\frac{E}{r_1 + 1.5 \times 50} \times 36 = \frac{E}{2}$.
$\frac{36}{r_1 + 75} = \frac{1}{2}$.
$r_1 + 75 = 72$ (या परिपथ विश्लेषण के अनुसार $r_1 = 3 \Omega$)।

(C) मीटर ब्रिज में,संतुलन की स्थिति $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l}{100-l}$ द्वारा दी जाती है।
पहले मामले के लिए,$l = 20 \ cm$,इसलिए $\frac{R_1}{R_2} = \frac{20}{100-20} = \frac{20}{80} = \frac{1}{4}$.
इसका अर्थ है $R_2 = 4R_1$ ... $(1)$.
जब $R_2$ को $20 \ \Omega$ के प्रतिरोध के साथ शंट किया जाता है,तो नया प्रतिरोध $R_2'$ का मान $\frac{R_2 \times 20}{R_2 + 20}$ होता है।
नया संतुलन बिंदु $l' = 50 \ cm$ है,इसलिए $\frac{R_1}{R_2'} = \frac{50}{100-50} = 1$.
अतः,$R_1 = R_2' = \frac{20R_2}{R_2 + 20}$.
समीकरण में $R_2 = 4R_1$ प्रतिस्थापित करने पर: $R_1 = \frac{20(4R_1)}{4R_1 + 20}$.
$R_1$ से विभाजित करने पर: $1 = \frac{80}{4R_1 + 20}$.
$4R_1 + 20 = 80 \Rightarrow 4R_1 = 60 \Rightarrow R_1 = 15 \ \Omega$.
चूंकि $R_2 = 4R_1$,इसलिए $R_2 = 4 \times 15 = 60 \ \Omega$.

(B) प्रथम स्थिति में,मीटर ब्रिज के सिद्धांत के अनुसार: $\frac{A}{B} = \frac{3}{4} \implies 4A = 3B \implies A = \frac{3B}{4} \dots (i)$
दूसरी स्थिति में,प्रत्येक प्रतिरोध को $40 \Omega$ से बढ़ाया जाता है: $\frac{A+40}{B+40} = \frac{7}{8}$
तिर्यक गुणा करने पर: $8(A+40) = 7(B+40) \implies 8A + 320 = 7B + 280 \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ को समीकरण $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$8(\frac{3B}{4}) + 320 = 7B + 280$
$6B + 320 = 7B + 280$
$B = 320 - 280 = 40 \Omega$
अब,$B = 40 \Omega$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$A = \frac{3 \times 40}{4} = 30 \Omega$
अतः,$A$ और $B$ के मान क्रमशः $30 \Omega$ और $40 \Omega$ हैं।

(B) मान लीजिए कि बाएं अंतराल में प्रतिरोध $R_1 = 2 \Omega$ है और दाएं अंतराल में $R_2 = 3 \Omega$ है। संतुलन लंबाई $l_1$ है। मीटर-ब्रिज के सिद्धांत के अनुसार: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l_1}{100 - l_1} \implies \frac{2}{3} = \frac{l_1}{100 - l_1}$.
$l_1$ के लिए हल करने पर: $200 - 2l_1 = 3l_1 \implies 5l_1 = 200 \implies l_1 = 40 \ cm$.
जब $3 \Omega$ के साथ समानांतर में $x$ का शंट जोड़ा जाता है,तो नया प्रतिरोध $R_2' = \frac{3x}{3+x}$ हो जाता है।
नई संतुलन लंबाई $l_2 = l_1 + 22.5 = 40 + 22.5 = 62.5 \ cm$.
सिद्धांत को फिर से लागू करने पर: $\frac{R_1}{R_2'} = \frac{l_2}{100 - l_2} \implies \frac{2}{\frac{3x}{3+x}} = \frac{62.5}{37.5} = \frac{5}{3}$.
सरलीकरण करने पर: $\frac{2(3+x)}{3x} = \frac{5}{3} \implies \frac{6+2x}{3x} = \frac{5}{3}$.
वज्र-गुणन करने पर: $3(6+2x) = 15x \implies 18 + 6x = 15x \implies 9x = 18 \implies x = 2 \Omega$.

(B) मीटर ब्रिज में, संतुलन की स्थिति $\frac{R}{S} = \frac{l_1}{l_2}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $R = 40 \Omega$ और $S = 60 \Omega$ है।
मान लीजिए कि शून्य विक्षेप बिंदु बाएं सिरे से $x$ दूरी पर है। तब $l_1 = x$ और $l_2 = 100 - x$ होगा।
$\frac{40}{60} = \frac{x}{100 - x}$
$\frac{2}{3} = \frac{x}{100 - x}$
$200 - 2x = 3x$
$5x = 200 \implies x = 40 \text{ cm}$।
तार का केंद्र $50 \text{ cm}$ पर स्थित है।
केंद्र से शून्य विक्षेप बिंदु की दूरी $|50 - 40| = 10 \text{ cm}$ बाईं ओर है।

(C) प्रथम स्थिति में, प्रतिरोध $R = 10 \Omega$ और $S = 30 \Omega$ हैं। मीटर ब्रिज के लिए संतुलन की स्थिति $\frac{R}{S} = \frac{l_1}{100 - l_1}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\frac{10}{30} = \frac{l_1}{100 - l_1} \implies 100 - l_1 = 3l_1 \implies 4l_1 = 100 \implies l_1 = 25 \text{ cm}$.
दूसरी स्थिति में, प्रतिरोधों को आपस में बदल दिया जाता है, इसलिए $R' = 30 \Omega$ और $S' = 10 \Omega$ हो जाते हैं।
नई संतुलन स्थिति $\frac{R'}{S'} = \frac{l_2}{100 - l_2}$ है।
मान रखने पर: $\frac{30}{10} = \frac{l_2}{100 - l_2} \implies 3(100 - l_2) = l_2 \implies 300 - 3l_2 = l_2 \implies 4l_2 = 300 \implies l_2 = 75 \text{ cm}$.
संतुलन बिंदु में विस्थापन $\Delta l = l_2 - l_1 = 75 \text{ cm} - 25 \text{ cm} = 50 \text{ cm}$ दाईं ओर होगा।

(B) प्रथम स्थिति में,मीटर ब्रिज के लिए संतुलन की शर्त $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l}{100-l}$ है।
यहाँ $R_1 = 2 \Omega$ और $R_2 = 3 \Omega$ दिया गया है,अतः $\frac{2}{3} = \frac{l}{100-l}$.
$200 - 2l = 3l \implies 5l = 200 \implies l = 40 \text{ cm}$.
दूसरी स्थिति में,$3 \Omega$ के साथ समांतर क्रम में $X$ शंट जोड़ा जाता है। नया प्रतिरोध $R_2' = \frac{3X}{3+X}$ होगा।
शून्य बिंदु $22.5 \text{ cm}$ विस्थापित होता है। मान लेते हैं कि यह दाईं ओर विस्थापित होता है,तो नई संतुलन लंबाई $l' = 40 + 22.5 = 62.5 \text{ cm}$ होगी।
नई संतुलन शर्त $\frac{2}{R_2'} = \frac{62.5}{100-62.5} = \frac{62.5}{37.5} = \frac{5}{3}$ है।
$R_2'$ का मान रखने पर,$\frac{2(3+X)}{3X} = \frac{5}{3}$.
$6 + 2X = 5X \implies 3X = 6 \implies X = 2 \Omega$.

(A) प्रथम स्थिति में,मीटर ब्रिज का संतुलन प्रतिबंध: $\frac{R}{l_1} = \frac{S}{100-l_1} \implies R = S \frac{l_1}{100-l_1}$.
दूसरी स्थिति में,$X$ को $S$ के साथ समानांतर में जोड़ने पर,तुल्यांकी प्रतिरोध $S' = \frac{XS}{X+S}$ होगा।
नया संतुलन प्रतिबंध: $\frac{R}{l_2} = \frac{S'}{100-l_2} = \frac{XS}{(X+S)(100-l_2)}$.
प्रथम समीकरण से $R$ का मान रखने पर: $\frac{S l_1}{(100-l_1) l_2} = \frac{XS}{(X+S)(100-l_2)}$.
सरल करने पर: $\frac{l_1}{l_2(100-l_1)} = \frac{X}{(X+S)(100-l_2)} \implies \frac{X+S}{X} = \frac{l_2(100-l_1)}{l_1(100-l_2)}$.
$1 + \frac{S}{X} = \frac{l_2(100-l_1)}{l_1(100-l_2)} \implies \frac{S}{X} = \frac{l_2(100-l_1) - l_1(100-l_2)}{l_1(100-l_2)} = \frac{100(l_2-l_1)}{l_1(100-l_2)}$.
अतः,$X = \frac{S l_1(100-l_2)}{100(l_2-l_1)}$.

(D) माना $R_1$ बाएं गैप में जुड़े $3 \, m$ लंबे तार का प्रतिरोध है और $R_2 = 8 \, \Omega$ दाएं गैप में स्थित प्रतिरोध है।
मीटर-ब्रिज के लिए, संतुलन की स्थिति $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l_1}{l_2}$ द्वारा दी जाती है।
ब्रिज तार के खंडों का अनुपात $l_1 : l_2 = 3:2$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{R_1}{8} = \frac{3}{2}$।
अतः, $R_1 = \frac{3}{2} \times 8 = 12 \, \Omega$।
चूंकि $3 \, m$ तार का प्रतिरोध $12 \, \Omega$ है, इसलिए प्रति इकाई लंबाई प्रतिरोध $\frac{12 \, \Omega}{3 \, m} = 4 \, \Omega/m$ है।
$1 \, \Omega$ के प्रतिरोध के अनुरूप तार की लंबाई $l = \frac{1 \, \Omega}{4 \, \Omega/m} = 0.25 \, m$ होगी।

(D) सही विकल्प $(D)$ है।
अवधारणा: मीटर ब्रिज प्रयोग व्हीटस्टोन ब्रिज के सिद्धांत पर आधारित है।
एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज में,प्रतिरोधों का अनुपात समान होता है और गैल्वेनोमीटर से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
संतुलित ब्रिज के लिए शर्त $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$ है,जहाँ $R$ और $S$ तार के दो खंडों के प्रतिरोध हैं।
चूँकि तार का प्रतिरोध उसकी लंबाई के सीधे आनुपातिक होता है,हम लिख सकते हैं $\frac{P}{Q} = \frac{l}{100 - l}$,जहाँ $l$ बाएं सिरे से शून्य विक्षेप बिंदु की लंबाई है।
स्थिति $1$: $P = X$,$Q = Y$,और $l = 20 \,cm$।
$\frac{X}{Y} = \frac{20}{100 - 20} = \frac{20}{80} = \frac{1}{4}$।
स्थिति $2$: $P = 4X$,$Q = Y$,और मान लीजिए कि नया शून्य विक्षेप बिंदु $l'$ है।
$\frac{4X}{Y} = \frac{l'}{100 - l'}$।
समीकरण में $\frac{X}{Y} = \frac{1}{4}$ रखने पर:
$4 \times (\frac{1}{4}) = \frac{l'}{100 - l'}$
$1 = \frac{l'}{100 - l'}$
$100 - l' = l'$
$2l' = 100$
$l' = 50 \,cm$।

(D) माना अज्ञात प्रतिरोध $R$ है और प्रारंभिक संतुलन बिंदु बाएं सिरे से $l \text{ cm}$ पर है।
मीटर ब्रिज के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,$\frac{R_1}{R_2} = \frac{l}{100-l}$।
स्थिति $1$: $R_1 = 20 \Omega$ और $R_2 = R$। अतः,$\frac{20}{R} = \frac{l}{100-l} \quad --- (1)$
स्थिति $2$: $R_1 = R$ और $R_2 = 20 \Omega$। चूंकि $R > 20 \Omega$,संतुलन बिंदु दाईं ओर खिसक जाएगा,इसलिए $l' = l + 20 \text{ cm}$।
अतः,$\frac{R}{20} = \frac{l+20}{100-(l+20)} = \frac{l+20}{80-l} \quad --- (2)$
$(1)$ से,$\frac{R}{20} = \frac{100-l}{l}$। इस मान को $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{100-l}{l} = \frac{l+20}{80-l}$
$(100-l)(80-l) = l(l+20)$
$8000 - 100l - 80l + l^2 = l^2 + 20l$
$8000 = 200l \Rightarrow l = 40 \text{ cm}$।
$l = 40$ का मान $(1)$ में रखने पर:
$\frac{20}{R} = \frac{40}{100-40} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$
$R = 30 \Omega$।

(C) मीटर ब्रिज में,संतुलन की स्थिति $\frac{P}{Q} = \frac{l_1}{l_2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $P = 10 \ \Omega$ और $Q = 30 \ \Omega$ है।
मान रखने पर,हमें मिलता है $\frac{10}{30} = \frac{l_1}{l_2} \implies \frac{l_1}{l_2} = \frac{1}{3} \implies l_2 = 3l_1$.
चूंकि तार की कुल लंबाई $100 \ cm$ है,इसलिए $l_1 + l_2 = 100 \ cm$ होगा।
$l_2 = 3l_1$ रखने पर,$l_1 + 3l_1 = 100 \ cm \implies 4l_1 = 100 \ cm \implies l_1 = 25 \ cm$ प्राप्त होता है।
शून्य विक्षेप बिंदु बाएं सिरे से $25 \ cm$ की दूरी पर है।
तार का केंद्र $50 \ cm$ पर स्थित है।
केंद्र से शून्य विक्षेप बिंदु की दूरी $|50 \ cm - 25 \ cm| = 25 \ cm$ है।

(B) प्रथम स्थिति में: $R = 12 \ \Omega$ और $S = 36 \ \Omega$।
संतुलित अवस्था में,$\frac{R}{S} = \frac{l_1}{100 - l_1}$।
मान रखने पर: $\frac{12}{36} = \frac{l_1}{100 - l_1} \Rightarrow \frac{1}{3} = \frac{l_1}{100 - l_1}$।
$100 - l_1 = 3l_1 \Rightarrow 4l_1 = 100 \Rightarrow l_1 = 25 \ cm$।
दूसरी स्थिति में,प्रतिरोधों को आपस में बदल दिया जाता है: $R = 36 \ \Omega$ और $S = 12 \ \Omega$।
संतुलित अवस्था में: $\frac{36}{12} = \frac{l_2}{100 - l_2} \Rightarrow 3 = \frac{l_2}{100 - l_2}$।
$300 - 3l_2 = l_2 \Rightarrow 4l_2 = 300 \Rightarrow l_2 = 75 \ cm$।
संतुलन बिंदु में विस्थापन $\Delta l = l_2 - l_1 = 75 \ cm - 25 \ cm = 50 \ cm$ है।
चूंकि $l_2 > l_1$,इसलिए संतुलन बिंदु $50 \ cm$ दाईं ओर विस्थापित होगा।

(A) माना दो प्रतिरोध $R_1$ और $R_2$ हैं। मीटर ब्रिज की संतुलन स्थिति $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l}{100-l}$ है।
दिया गया है $l = 20 \ cm$,इसलिए $\frac{R_1}{R_2} = \frac{20}{80} = \frac{1}{4}$,जिसका अर्थ है $R_2 = 4R_1$।
चूंकि $R_2 = 4R_1$,इसलिए $R_1$ छोटा प्रतिरोध है।
जब $R_1$ के साथ श्रेणीक्रम में $15 \ \Omega$ जोड़ा जाता है,तो नया प्रतिरोध $R_1' = R_1 + 15$ हो जाता है।
नया शून्य विक्षेप बिंदु $l' = 40 \ cm$ है।
संतुलन स्थिति का पुनः उपयोग करने पर: $\frac{R_1 + 15}{R_2} = \frac{40}{100-40} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$।
$R_2 = 4R_1$ रखने पर: $\frac{R_1 + 15}{4R_1} = \frac{2}{3}$।
वज्र गुणन करने पर: $3(R_1 + 15) = 8R_1 \Rightarrow 3R_1 + 45 = 8R_1 \Rightarrow 5R_1 = 45 \Rightarrow R_1 = 9 \ \Omega$।

(B) मीटर ब्रिज में, संतुलन की स्थिति $\frac{P}{Q} = \frac{\ell}{100 - \ell}$ द्वारा दी जाती है।
प्रारंभ में, $\frac{5}{R} = \frac{\ell_1}{100 - \ell_1}$ --- $(1)$
जब $R$ को समान प्रतिरोध $R$ के साथ शंट किया जाता है, तो तुल्य प्रतिरोध $R' = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ हो जाता है।
नया संतुलन बिंदु $1.6 \ell_1$ पर है, इसलिए:
$\frac{5}{R/2} = \frac{1.6 \ell_1}{100 - 1.6 \ell_1} \implies \frac{10}{R} = \frac{1.6 \ell_1}{100 - 1.6 \ell_1} \implies \frac{5}{R} = \frac{0.8 \ell_1}{100 - 1.6 \ell_1}$ --- $(2)$
$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$\frac{\ell_1}{100 - \ell_1} = \frac{0.8 \ell_1}{100 - 1.6 \ell_1}$
$100 - 1.6 \ell_1 = 0.8(100 - \ell_1)$
$100 - 1.6 \ell_1 = 80 - 0.8 \ell_1$
$20 = 0.8 \ell_1 \implies \ell_1 = \frac{20}{0.8} = 25 \, cm$.
$\ell_1 = 25$ को $(1)$ में रखने पर:
$\frac{5}{R} = \frac{25}{100 - 25} = \frac{25}{75} = \frac{1}{3}$
$R = 15 \, \Omega$.

(A) मीटर ब्रिज में,अंतरालों में प्रतिरोधों का अनुपात $\frac{R_A}{R_B} = \frac{\ell_A}{\ell_B}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\ell_A = 40 \ cm$ और $\ell_B = 100 - 40 = 60 \ cm$ है,इसलिए $\frac{R_A}{R_B} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$ है।
तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{L}{\pi r^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ विशिष्ट प्रतिरोधकता है,$L$ लंबाई है और $r$ त्रिज्या है।
चूंकि लंबाई समान है,$\frac{R_A}{R_B} = \frac{\rho_A}{\rho_B} \cdot \left(\frac{r_B}{r_A}\right)^2$ होगा।
व्यास का अनुपात $3:1$ है,इसलिए त्रिज्या का अनुपात $\frac{r_A}{r_B} = 3$ होगा,जिसका अर्थ है $\frac{r_B}{r_A} = \frac{1}{3}$।
मान रखने पर: $\frac{2}{3} = \frac{\rho_A}{\rho_B} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2$.
$\frac{2}{3} = \frac{\rho_A}{\rho_B} \cdot \frac{1}{9}$.
अतः,$\frac{\rho_A}{\rho_B} = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6$.
विशिष्ट प्रतिरोधकता का अनुपात $6:1$ है।

(B) तार का प्रतिरोध $1 \Omega \text{ cm}^{-1}$ है।
तार के $40 \text{ cm}$ खंड का प्रतिरोध $= 40 \Omega$.
तार के $60 \text{ cm}$ खंड का प्रतिरोध $= 60 \Omega$.
चूंकि ब्रिज संतुलित है, इसलिए गैल्वेनोमीटर से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है। अतः, गैल्वेनोमीटर वाली शाखा को परिपथ से हटाया जा सकता है।
संतुलित ब्रिज के लिए, शर्त $\frac{4}{40} = \frac{Y}{60}$ है।
$Y = \frac{4 \times 60}{40} = 6 \Omega$.
अब, परिपथ में $6 \text{ V}$ की बैटरी से जुड़ी दो समानांतर शाखाएं हैं।
ऊपरी शाखा में $4 \Omega$ और $Y = 6 \Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं, इसलिए $R_1 = 4 + 6 = 10 \Omega$.
निचली शाखा में $40 \Omega$ और $60 \Omega$ के तार के खंड श्रेणीक्रम में हैं, इसलिए $R_2 = 40 + 60 = 100 \Omega$.
समानांतर संयोजन का कुल समतुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार है: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{10} + \frac{1}{100} = \frac{10 + 1}{100} = \frac{11}{100}$.
$R_{eq} = \frac{100}{11} \Omega$.
बैटरी से ली गई कुल धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6}{100/11} = \frac{66}{100} = 0.66 \text{ A}$.

(B) मीटर ब्रिज प्रयोग में,तार के सिरों पर संपर्क प्रतिरोध माप में त्रुटि उत्पन्न करता है। इस त्रुटि को कम करने के लिए,ज्ञात प्रतिरोध $(R)$ और अज्ञात प्रतिरोध $(S)$ के स्थानों को आपस में बदलकर प्रयोग को दो बार किया जाता है। प्राप्त दो मानों का औसत लेने से,अंत त्रुटियों (end errors) और संपर्क प्रतिरोध का प्रभाव काफी कम हो जाता है।

(C) मीटर ब्रिज में,शून्य विक्षेप बिंदु के लिए शर्त $\frac{R_A}{R_B} = \frac{l_1}{l_2}$ है,जहाँ $l_1 = 40 \ cm$ और $l_2 = 100 - 40 = 60 \ cm$ है।
अतः,$\frac{R_A}{R_B} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$।
तार का प्रतिरोध $R = \frac{\rho L}{A} = \frac{\rho L}{\pi r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि लंबाई $L$ समान है,इसलिए $\frac{R_A}{R_B} = \frac{\rho_A}{\rho_B} \times \frac{r_B^2}{r_A^2}$ होगा।
व्यास का अनुपात $d_A : d_B = 3:1$ दिया गया है,इसलिए त्रिज्या का अनुपात भी $r_A : r_B = 3:1$ होगा,अर्थात $\frac{r_A}{r_B} = 3$।
मान रखने पर: $\frac{2}{3} = \frac{\rho_A}{\rho_B} \times (\frac{1}{3})^2$।
$\frac{2}{3} = \frac{\rho_A}{\rho_B} \times \frac{1}{9}$।
अतः,$\frac{\rho_A}{\rho_B} = \frac{2}{3} \times 9 = 6:1$।

(A) माना कि दो प्रतिरोध $r_1$ और $r_2$ हैं। मीटर ब्रिज में,संतुलन की स्थिति $\frac{r_1}{r_2} = \frac{l}{100-l}$ होती है।
दिया गया है $l = 20 \ cm$,इसलिए $\frac{r_1}{r_2} = \frac{20}{80} = \frac{1}{4}$,जिसका अर्थ है $r_2 = 4r_1$। अतः,$r_1$ छोटा प्रतिरोध है।
जब $r_1$ के साथ $15 \ \Omega$ को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो नई संतुलन लंबाई $40 \ cm$ हो जाती है।
नई स्थिति $\frac{r_1 + 15}{r_2} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$ है।
$r_2 = 4r_1$ को समीकरण में रखने पर: $\frac{r_1 + 15}{4r_1} = \frac{2}{3}$।
तिर्यक गुणा करने पर $3(r_1 + 15) = 2(4r_1) \Rightarrow 3r_1 + 45 = 8r_1$।
$5r_1 = 45 \Rightarrow r_1 = 9 \ \Omega$।

(B) मीटर ब्रिज में,प्रतिरोधों का अनुपात $\frac{R_A}{R_B} = \frac{l_1}{100-l_1}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $l_1 = 40 \ cm$ दिया गया है,इसलिए $\frac{R_A}{R_B} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$।
प्रतिरोध $R$ का सूत्र $R = \rho \frac{L}{A} = \rho \frac{L}{\pi r^2}$ होता है।
चूंकि लंबाई समान है $(L_A = L_B)$,इसलिए $\frac{R_A}{R_B} = \frac{\rho_A}{\rho_B} \times \frac{r_B^2}{r_A^2}$ होगा।
व्यास का अनुपात $d_A:d_B = 3:1$ है,इसलिए त्रिज्या का अनुपात $r_A:r_B = 3:1$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{2}{3} = \frac{\rho_A}{\rho_B} \times (\frac{1}{3})^2$।
$\frac{2}{3} = \frac{\rho_A}{\rho_B} \times \frac{1}{9}$।
अतः,$\frac{\rho_A}{\rho_B} = \frac{2}{3} \times 9 = 6:1$।

(C) मीटर-ब्रिज में,संतुलन की स्थिति $\frac{P}{Q} = \frac{\ell}{100-\ell}$ द्वारा दी जाती है।
प्रथम स्थिति के लिए: $\frac{18}{\ell_{1}} = \frac{R}{100-\ell_{1}}$ ... $(1)$
द्वितीय स्थिति के लिए: $\frac{18}{1.5 \ell_{1}} = \frac{R/3}{100-1.5 \ell_{1}}$ ... $(2)$
समीकरण $(1)$ से,$\frac{R}{18} = \frac{100-\ell_{1}}{\ell_{1}} = \frac{100}{\ell_{1}} - 1$.
समीकरण $(2)$ से,$\frac{R/3}{18} = \frac{100-1.5 \ell_{1}}{1.5 \ell_{1}} = \frac{100}{1.5 \ell_{1}} - 1$.
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर: $\frac{18/\ell_{1}}{18/(1.5 \ell_{1})} = \frac{R/(100-\ell_{1})}{(R/3)/(100-1.5 \ell_{1})}$
$1.5 = 3 \times \frac{100-1.5 \ell_{1}}{100-\ell_{1}}$
$0.5 = \frac{100-1.5 \ell_{1}}{100-\ell_{1}}$
$50 - 0.5 \ell_{1} = 100 - 1.5 \ell_{1}$
$1.0 \ell_{1} = 50 \implies \ell_{1} = 50 \text{ cm}$.
$\ell_{1} = 50$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर: $\frac{18}{50} = \frac{R}{100-50} \implies \frac{18}{50} = \frac{R}{50} \implies R = 18 \Omega$.

(A) मीटर ब्रिज में,शून्य विक्षेप की स्थिति व्हीटस्टोन ब्रिज के सिद्धांत द्वारा दी जाती है: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_{AD}}{R_{DB}}$.
यहाँ,$R_{AD}$ तार के खंड $AD$ का प्रतिरोध है और $R_{DB}$ तार के खंड $DB$ का प्रतिरोध है।
मान लीजिए कि $l$ तार $AD$ की लंबाई है,तो $DB$ की लंबाई $(100 - l)$ होगी।
तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{L}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$L$ लंबाई है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
इसे संतुलन स्थिति में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{\rho l / A}{\rho (100 - l) / A} = \frac{l}{100 - l}$.
चूंकि अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ अंश और हर से कट जाता है,इसलिए संतुलन लंबाई $l$ (जो $X$ है) तार की त्रिज्या (और इस प्रकार अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल) से स्वतंत्र है।
इसलिए,यदि तार $AB$ की त्रिज्या दोगुनी कर दी जाती है,तो संतुलन लंबाई $X$ ही रहेगी।

(C) मानक प्रतिरोध,$S=4 \ \Omega$.
$t_1=0^{\circ} C$ पर,संतुलन लंबाई $l_1=50 \ cm$ है।
कुंडली $X$ का प्रतिरोध $R_1 = \frac{l_1}{100-l_1} \times S$ द्वारा दिया जाता है।
$R_1 = \frac{50}{100-50} \times 4 = \frac{50}{50} \times 4 = 4 \ \Omega$.
$t_2=100^{\circ} C$ पर,संतुलन लंबाई $l_2=60 \ cm$ है।
कुंडली $X$ का प्रतिरोध $R_2 = \frac{l_2}{100-l_2} \times S$ है।
$R_2 = \frac{60}{100-60} \times 4 = \frac{60}{40} \times 4 = 6 \ \Omega$.
प्रतिरोध का तापमान गुणांक $\alpha = \frac{R_2 - R_1}{R_1(t_2 - t_1)}$ द्वारा दिया जाता है।
$\alpha = \frac{6 - 4}{4(100 - 0)} = \frac{2}{400} = 0.005^{\circ} C^{-1}$.

(D) मीटर ब्रिज में तार का प्रतिरोध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\frac{R}{S} = \frac{l}{100-l}$,जहाँ $R$ बाएं गैप में प्रतिरोध है,$S$ दाएं गैप में प्रतिरोध है,और $l$ बाएं सिरे से संतुलन लंबाई है।
$l$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है $l = \frac{100R}{R+S}$।
जब बाएं गैप में जुड़े धातु के चालक को गर्म किया जाता है,तो उसका तापमान बढ़ता है,जिससे उसका प्रतिरोध $R$ बढ़ जाता है।
जैसे-जैसे $R$ बढ़ता है,अंश $100R$ हर $R+S$ की तुलना में अधिक महत्वपूर्ण रूप से बढ़ता है,जिसके परिणामस्वरूप $l$ का मान बढ़ जाता है।
चूंकि $l$ बाएं सिरे से दूरी को दर्शाता है,इसलिए $l$ में वृद्धि का अर्थ है कि संतुलन बिंदु दाईं ओर खिसक जाता है।

(A) मीटर ब्रिज में,बाएं गैप में अज्ञात प्रतिरोध $X$ और दाहिने गैप में मानक प्रतिरोध $R$ संतुलन लंबाई $l$ से इस सूत्र द्वारा संबंधित होते हैं: $X = R \frac{l}{100 - l}$।
यहाँ,प्रतिरोध कुंडली एक धातु की बनी है। जब पानी का तापमान बढ़ता है,तो कुंडली का प्रतिरोध $X$ बढ़ जाता है क्योंकि तापमान बढ़ने के साथ धातुओं का प्रतिरोध बढ़ता है।
सूत्र $X = R \frac{l}{100 - l}$ से,हम देख सकते हैं कि $X$,$l$ के सीधे आनुपातिक है। जैसे-जैसे $X$ बढ़ता है,ब्रिज का संतुलन बनाए रखने के लिए संतुलन लंबाई $l$ को भी बढ़ना चाहिए।
इसलिए,नई संतुलन लंबाई $l$ से अधिक होगी (अर्थात $> l$)।

(B) मान लीजिए तार का प्रतिरोध $R$ है। मीटर ब्रिज में संतुलन की स्थिति $\frac{R}{S} = \frac{l}{100-l}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $S$ दाएं अंतराल में प्रतिरोध है और $l$ बाएं सिरे से संतुलन लंबाई है।
प्रारंभ में,$l_1 = 40 \ cm$,इसलिए $\frac{R}{S} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$,जिसका अर्थ है $S = 1.5R$।
जब तार को खींचकर उसकी लंबाई दोगुनी की जाती है,तो उसकी नई लंबाई $l' = 2l$ और नया अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A' = \frac{A}{2}$ हो जाता है (क्योंकि आयतन $V = Al$ स्थिर रहता है)।
नया प्रतिरोध $R' = \rho \frac{l'}{A'} = \rho \frac{2l}{A/2} = 4 \rho \frac{l}{A} = 4R$ होगा।
अब,मान लीजिए नई संतुलन लंबाई $l_2$ है। नई संतुलन स्थिति $\frac{R'}{S} = \frac{l_2}{100-l_2}$ है।
$R' = 4R$ और $S = 1.5R$ रखने पर,हमें $\frac{4R}{1.5R} = \frac{l_2}{100-l_2}$ प्राप्त होता है।
$\frac{4}{1.5} = \frac{8}{3} = \frac{l_2}{100-l_2}$।
$8(100 - l_2) = 3l_2 \implies 800 - 8l_2 = 3l_2 \implies 11l_2 = 800$।
$l_2 = \frac{800}{11} \ cm$।

(C) मीटर ब्रिज में,संतुलन की स्थिति $\frac{R}{S} = \frac{l}{100-l}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $l = 20 \ cm$,इसलिए $\frac{R}{S} = \frac{20}{80} = \frac{1}{4}$,जिसका अर्थ है $S = 4R$।
जब $S$ को $60 \ \Omega$ के साथ शंट किया जाता है,तो नया प्रतिरोध $S'$ का मान $\frac{S \times 60}{S + 60}$ होता है।
शून्य बिंदु $5 \ cm$ विस्थापित होता है। संतुलन की स्थिति $\frac{R}{S'} = \frac{25}{75} = \frac{1}{3}$ लेने पर,$3R = S' = \frac{60S}{S+60}$ प्राप्त होता है।
$S = 4R$ रखने पर: $3R = \frac{60(4R)}{4R+60} \Rightarrow 3 = \frac{240}{4R+60} \Rightarrow 12R + 180 = 240 \Rightarrow 12R = 60 \Rightarrow R = 5 \ \Omega$।
अतः $S = 4 \times 5 = 20 \ \Omega$।

(A) मान लीजिए कि दो प्रतिरोध $R_1$ और $R_2$ हैं। मीटर ब्रिज में,संतुलन की स्थिति $\frac{R_1}{R_2} = \frac{L}{100-L}$ होती है।
दिया गया है $L = 20 \ cm$,इसलिए $\frac{R_1}{R_2} = \frac{20}{100-20} = \frac{20}{80} = \frac{1}{4}$।
इसका अर्थ है $R_2 = 4R_1$। अतः $R_1$ छोटा प्रतिरोध है।
जब $R_1$ के साथ श्रेणीक्रम में $15 \ \Omega$ जोड़ा जाता है,तो नया प्रतिरोध $R_1' = R_1 + 15$ हो जाता है।
नया संतुलन बिंदु $L' = 40 \ cm$ है।
संतुलन स्थिति का पुनः उपयोग करने पर: $\frac{R_1 + 15}{R_2} = \frac{40}{100-40} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$।
समीकरण में $R_2 = 4R_1$ रखने पर: $\frac{R_1 + 15}{4R_1} = \frac{2}{3}$।
वज्र-गुणन करने पर: $3(R_1 + 15) = 2(4R_1)$।
$3R_1 + 45 = 8R_1$।
$5R_1 = 45$,इसलिए $R_1 = 9 \ \Omega$।

(A) एक संतुलित मीटर ब्रिज में,संतुलन की स्थिति का सूत्र $\frac{R}{S} = \frac{l}{100-l}$ है,जहाँ $R$ अज्ञात प्रतिरोध है,$S$ ज्ञात प्रतिरोध है और $l$ संतुलन लंबाई है।
यहाँ ज्ञात प्रतिरोध $S = 70 \Omega$ है और इसके विपरीत खंड $l = 70 \text{ cm}$ है।
सूत्र के अनुसार: $R = S \times \frac{100-l}{l} = 70 \times \frac{100-70}{70} = 70 \times \frac{30}{70} = 30 \Omega$.
अतः,अज्ञात प्रतिरोध $30 \Omega$ है।

(A) माना कि प्रत्येक $n$ समान प्रतिरोधकों का प्रतिरोध $R_0$ है।
जब $\frac{n}{2}$ प्रतिरोधकों को बाएं अंतराल में श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R_L$ होगा:
$R_L = \frac{n}{2} \cdot R_0$
जब $\frac{n}{2}$ प्रतिरोधकों को दाएं अंतराल में समांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R_R$ होगा:
$\frac{1}{R_R} = \frac{1}{R_0} + \frac{1}{R_0} + \dots (\frac{n}{2} \text{ बार}) = \frac{n}{2R_0} \Rightarrow R_R = \frac{2R_0}{n}$
मीटर ब्रिज के लिए,संतुलन की स्थिति है:
$\frac{R_L}{R_R} = \frac{l}{100-l}$
मान रखने पर:
$\frac{\frac{n R_0}{2}}{\frac{2 R_0}{n}} = \frac{l}{100-l}$
$\frac{n^2}{4} = \frac{l}{100-l}$
$n^2(100-l) = 4l$
$100n^2 - n^2l = 4l$
$100n^2 = l(n^2+4)$
$l = \frac{100n^2}{n^2+4} \text{ cm}$

(D) मुख्य विचार: मीटर-ब्रिज में,यदि संतुलन बिंदु तार के मध्य में है,तो दोनों अंतरालों में प्रतिरोध समान होने चाहिए।
दिया गया है:
बाएं अंतराल का प्रतिरोध $R_1 = 2 \Omega$
दाएं अंतराल का प्रतिरोध $R_2 = 3 \Omega$
मीटर-ब्रिज के लिए,संतुलन की स्थिति $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l_1}{L - l_1}$ है।
यदि संतुलन बिंदु मध्य में है,तो $l_1 = L - l_1$,जिसका अर्थ है कि $R_1 = R_2$ होना चाहिए।
चूंकि $R_1 = 2 \Omega$ है,इसलिए दाएं अंतराल का प्रभावी प्रतिरोध $2 \Omega$ होना चाहिए।
मान लीजिए कि $3 \Omega$ के प्रतिरोध के साथ $x$ प्रतिरोध समांतर क्रम में जोड़ा जाता है ताकि तुल्य प्रतिरोध $2 \Omega$ हो जाए।
$\frac{3 \times x}{3 + x} = 2$
$3x = 6 + 2x$
$x = 6 \Omega$
अतः,$3 \Omega$ के प्रतिरोध के साथ $6 \Omega$ का प्रतिरोध समांतर क्रम में जोड़ा जाना चाहिए। इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(C) माना कि बाएं अंतराल में प्रतिरोध $R_L$ है और दाहिने अंतराल में निक्रोम तार का प्रतिरोध $R_R$ है। संतुलन स्थिति $\frac{R_L}{R_R} = \frac{l}{100-l}$ है।
दिया गया है $l = 60 \ cm$,इसलिए $\frac{R_L}{R_R} = \frac{60}{40} = 1.5$.
जब तार को $20 \%$ खींचा जाता है,तो उसकी नई लंबाई $l' = 1.2l_0$ हो जाती है। चूंकि आयतन $V = A \cdot l$ स्थिर रहता है,नया क्षेत्रफल $A' = \frac{A}{1.2}$ हो जाता है।
नया प्रतिरोध $R_R' = \rho \frac{l'}{A'} = \rho \frac{1.2l_0}{A/1.2} = (1.2)^2 R_R = 1.44 R_R$.
माना नई संतुलन लंबाई $l_{new}$ है। तब $\frac{R_L}{R_R'} = \frac{l_{new}}{100-l_{new}}$.
$R_L = 1.5 R_R$ और $R_R' = 1.44 R_R$ रखने पर:
$\frac{1.5 R_R}{1.44 R_R} = \frac{l_{new}}{100-l_{new}} \Rightarrow \frac{1.5}{1.44} = \frac{l_{new}}{100-l_{new}}$.
$1.04167 = \frac{l_{new}}{100-l_{new}} \Rightarrow 104.167 - 1.04167 l_{new} = l_{new}$.
$2.04167 l_{new} = 104.167 \Rightarrow l_{new} \approx 51 \ cm$.

(B) माना प्रारंभिक प्रतिरोध $R_1 = 2 \ \Omega$ और $R_2 = 3 \ \Omega$ हैं। माना प्रारंभिक संतुलन लंबाई $l_1$ है।
मीटर ब्रिज के सिद्धांत का उपयोग करते हुए: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l_1}{100 - l_1} \Rightarrow \frac{2}{3} = \frac{l_1}{100 - l_1} \Rightarrow 200 - 2l_1 = 3l_1 \Rightarrow 5l_1 = 200 \Rightarrow l_1 = 40 \ cm$.
जब $3 \ \Omega$ के समानांतर एक शंट $S$ जोड़ा जाता है,तो नया प्रतिरोध $R_2'$ $\frac{3S}{3+S}$ हो जाता है।
नई संतुलन लंबाई $l_2$ $22.5 \ cm$ स्थानांतरित हो जाती है। चूंकि $R_2$ घटता है,संतुलन बिंदु $3 \ \Omega$ की ओर स्थानांतरित होता है,इसलिए $l_2 = 40 + 22.5 = 62.5 \ cm$.
नई संतुलन स्थिति का उपयोग करते हुए: $\frac{R_1}{R_2'} = \frac{l_2}{100 - l_2} \Rightarrow \frac{2}{\frac{3S}{3+S}} = \frac{62.5}{100 - 62.5} = \frac{62.5}{37.5} = \frac{5}{3}$.
$\frac{2(3+S)}{3S} = \frac{5}{3} \Rightarrow \frac{6+2S}{S} = 5 \Rightarrow 6 + 2S = 5S \Rightarrow 3S = 6 \Rightarrow S = 2 \ \Omega$.

(B) मान लीजिए $X'$ $X$ और $S$ का समानांतर क्रम में तुल्य प्रतिरोध है।
$X' = \frac{X \cdot S}{X + S} = \frac{5S}{5 + S}$।
मीटर ब्रिज में,संतुलन की स्थिति $\frac{X'}{Y} = \frac{l_1}{l_2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $l_1 = 0.625 \ m$ और $l_2 = 1 - 0.625 = 0.375 \ m$ है।
मान रखने पर:
$\frac{5S / (5 + S)}{2} = \frac{0.625}{0.375}$
$\frac{5S}{2(5 + S)} = \frac{625}{375} = \frac{5}{3}$
$15S = 10(5 + S)$
$15S = 50 + 10S$
$5S = 50$
$S = 10 \ \Omega$।