Kirchhoff's Law and Whitestone Bridge Circuit solving Questions in Gujarati

(D) સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટેની શરત $P/Q = R/S$ છે.
જ્યારે બ્રિજ સંતુલિત હોય,ત્યારે ગેલ્વેનોમીટર દ્વારા જોડાયેલા બે બિંદુઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય હોય છે.
કી $K$ બંધ કરવાથી બે બિંદુઓ જોડાય છે,પરંતુ વિદ્યુતસ્થિતિમાન સમાન હોવાથી,ગેલ્વેનોમીટરની શાખામાંથી કોઈ વધારાનો પ્રવાહ વહેતો નથી.
તેથી,ગેલ્વેનોમીટર તેનું અગાઉનું વિચલન (જો કોઈ હોય તો) જાળવી રાખશે અથવા તેની સ્થિતિમાં કોઈ ફેરફાર દર્શાવશે નહીં. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,વિચલન તે જ રહેશે જે પહેલા હતું,જે સર્કિટની પ્રારંભિક સ્થિતિના આધારે કોઈપણ દિશામાં હોઈ શકે છે.

(A) સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન નેટવર્કમાં,શરત $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો $Q$ અને $S$ ભુજાઓના અવરોધોની અદલાબદલી કરવામાં આવે,તો નવો ગુણોત્તર $\frac{P}{S}$ અને $\frac{R}{Q}$ બને છે.
નેટવર્ક સંતુલિત રહે તે માટે,આપણે $\frac{P}{S} = \frac{R}{Q}$ ની જરૂર પડે,જેનો અર્થ છે કે $PQ = RS$. આ સામાન્ય રીતે સાચું નથી જ્યાં સુધી $Q = S$ ન હોય.
તેથી,$\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$ શરત હવે સંતોષાતી નથી,અને નેટવર્ક સંતુલિત રહેતું નથી.

(C) પોસ્ટ ઓફિસ બોક્સ એ વ્હીટસ્ટોન બ્રિજનું વ્યવહારુ સ્વરૂપ છે. આ ગોઠવણીમાં,અજ્ઞાત અવરોધ $X$ ને ટર્મિનલ $A$ અને $D$ ની વચ્ચે જોડવામાં આવે છે. ભુજાઓ $AB$ અને $BC$ એ ગુણોત્તર ભુજાઓ ($P$ અને $Q$) તરીકે કાર્ય કરે છે,જ્યારે ભુજા $CD$ માં જાણીતા અવરોધનું બોક્સ $(R)$ હોય છે. જ્યારે બ્રિજ સંતુલિત હોય,ત્યારે અજ્ઞાત અવરોધ $X = (Q/P) \times R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(C) જ્યારે ગેલ્વેનોમીટર $(G)$ માંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી ત્યારે વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ સંતુલિત છે તેમ કહેવાય છે.
આપેલ સર્કિટમાં,અવરોધો $P$ અને $S$ એક ભુજામાં છે,અને $R$ અને $Q$ બીજી ભુજામાં છે.
સંતુલિત બ્રિજ માટે,વિરુદ્ધ ભુજાઓમાં રહેલા અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,ગેલ્વેનોમીટરના બે ટર્મિનલ પરનો પોટેન્શિયલ સમાન હોવો જોઈએ.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજની શરત લાગુ પાડતા,પાસપાસેની ભુજાઓમાં રહેલા અવરોધોનો ગુણોત્તર $\frac{P}{S} = \frac{R}{Q}$ થવો જોઈએ,જેને $\frac{P}{R} = \frac{S}{Q}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો સંબંધ છે.

(B) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ બે લૂપ માટે કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
લૂપ $1$ માટે:
$E_1 - I_1 R_1 - (I_1 - I_2) R_3 = 0$
$4 - 2I_1 - 2(I_1 - I_2) = 0$
$4 - 4I_1 + 2I_2 = 0$
$2I_1 - I_2 = 2$ ... $(i)$
લૂપ $2$ માટે:
આપેલ લૂપ આકૃતિનો ઉપયોગ કરતા:
$-2(I_1 - I_2) + 4I_2 - 6 = 0$
$-2I_1 + 2I_2 + 4I_2 = 6$
$-2I_1 + 6I_2 = 6$
$-I_1 + 3I_2 = 3$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ઉકેલતા:
$(i)$ પરથી,$I_2 = 2I_1 - 2$.
આ કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$-I_1 + 3(2I_1 - 2) = 3$
$-I_1 + 6I_1 - 6 = 3$
$5I_1 = 9$
$I_1 = 1.8 \,A$.

(C) વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ એ અવરોધ $R_6$ થી સ્વતંત્ર રહે તે માટે,$R_6$ ની આસપાસનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય હોવો જોઈએ,અથવા $R_6$ માંથી કોઈ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેવો જોઈએ નહીં.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે સર્કિટ સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ બનાવે છે.
આપેલ સર્કિટમાં,$R_1, R_2, R_3$ અને $R_4$ એ વ્હીટસ્ટોન બ્રિજની ભુજાઓ બનાવે છે અને $R_6$ એ મધ્યવર્તી ગેલ્વેનોમીટર ભુજા તરીકે કાર્ય કરે છે.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટેની શરત એ છે કે સામસામેની ભુજાઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ,એટલે કે $\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_4}$.
આનો ક્રોસ-ગુણાકાર કરતા આપણને $R_1 R_4 = R_2 R_3$ મળે છે.

(B) $1$. પ્રથમ,બે $10 \ \Omega$ ના અવરોધોના સમાંતર જોડાણને સરળ બનાવો: $R_p = \frac{10 \times 10}{10 + 10} = 5 \ \Omega$.
$2$. ત્યારબાદ,બે $6 \ \Omega$ ના અવરોધોના સમાંતર જોડાણને સરળ બનાવો: $R_p' = \frac{6 \times 6}{6 + 6} = 3 \ \Omega$.
$3$. હવે આ પરિપથ $5 \ \Omega, 5 \ \Omega, 3 \ \Omega, 3 \ \Omega$ ના ભુજાઓ અને વચ્ચેના $8 \ \Omega$ ના અવરોધ સાથે વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ જેવો બને છે.
$4$. કારણ કે ભુજાઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન છે $(\frac{5}{5} = \frac{3}{3} = 1)$,તેથી બ્રિજ સંતુલિત છે અને વચ્ચેના $8 \ \Omega$ ના અવરોધમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
$5$. પરિપથ બે સમાંતર શાખાઓમાં સરળ બને છે,જેમાંથી દરેકનો અવરોધ $(5 + 3) = 8 \ \Omega$ છે.
$6$. સમતુલ્ય અવરોધ $R_{AB} = \frac{8 \times 8}{8 + 8} = \frac{64}{16} = 4 \ \Omega$ થાય છે.

(A) ધારો કે મધ્ય જંકશનનું પોટેન્શિયલ $V$ છે. આ બિંદુએ કિર્ચોફનો જંકશનનો નિયમ લાગુ પાડતા,જંકશનમાં પ્રવેશતા વિદ્યુતપ્રવાહનો સરવાળો તેમાંથી બહાર નીકળતા વિદ્યુતપ્રવાહ જેટલો હોવો જોઈએ.
ધારો કે વિદ્યુતપ્રવાહ $i_1$ અને $i_2$ અનુક્રમે $20 \ V$ અને $5 \ V$ ના સ્ત્રોતમાંથી જંકશનમાં પ્રવેશે છે,અને $i_3$ સ્વિચ દ્વારા ગ્રાઉન્ડ $(0 \ V)$ માં જાય છે:
$\frac{20 - V}{2} + \frac{5 - V}{4} = \frac{V - 0}{2}$
છેદ દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $4$ વડે ગુણતા:
$2(20 - V) + (5 - V) = 2V$
$40 - 2V + 5 - V = 2V$
$45 - 3V = 2V$
$5V = 45$
$V = 9 \ V$
સ્વિચમાંથી પસાર થતો વિદ્યુતપ્રવાહ $i_3$ નીચે મુજબ મળે છે:
$i_3 = \frac{V - 0}{2} = \frac{9}{2} = 4.5 \ A$.

(C) ધારો કે લૂપમાં વહેતો પ્રવાહ $I_1$ અને $I_2$ છે. કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ નો ઉપયોગ કરતા:
લૂપ $1$ માટે: $-1I_1 - 3(I_1 - I_{XY}) = 0$.
નોડ $X$ અને $Y$ પર કિર્ચોફના કરંટ નિયમ $(KCL)$ નો ઉપયોગ કરતા, અને આપેલ ઉકેલ પદ્ધતિ મુજબ ગણતરી કરતા, $I_{XY} = 2 \, A$ મળે છે.

(D) કિર્ચોફનો પ્રથમ નિયમ,જેને જંકશનનો નિયમ અથવા પ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે,તે જણાવે છે કે જંકશન પર મળતા પ્રવાહોનો બેઝિક સરવાળો શૂન્ય હોય છે $(\Sigma i = 0)$. આ વિધુતભારના સંરક્ષણના નિયમનું સીધું પરિણામ છે,કારણ કે જંકશન પર વિધુતભાર એકઠો થઈ શકતો નથી.
કિર્ચોફનો બીજો નિયમ,જેને લૂપનો નિયમ અથવા વોલ્ટેજનો નિયમ $(KVL)$ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે,તે જણાવે છે કે કોઈપણ બંધ લૂપની આસપાસના પોટેન્શિયલ તફાવતોનો બેઝિક સરવાળો શૂન્ય હોય છે $(\Sigma iR = \Sigma E)$. આ ઊર્જાના સંરક્ષણના નિયમનું સીધું પરિણામ છે,કારણ કે સ્થિર વિધુત ક્ષેત્રમાં બંધ લૂપની આસપાસ એકમ વિધુતભારને ખસેડવા માટે કરવામાં આવેલું કાર્ય શૂન્ય હોય છે.

(A) લૂપ માટે કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ લાગુ પાડતા:
બિંદુ $A$ થી શરૂ કરીને ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં આગળ વધતા,આપણને $10 \ \Omega$ નો અવરોધ,$5 \ V$ ની બેટરી,$20 \ \Omega$ નો અવરોધ અને $2 \ V$ ની બેટરી મળે છે.
ધારો કે વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં વહે છે.
લૂપનો નિયમ લાગુ પાડતા: $5 \ V - 10 \ I - 2 \ V - 20 \ I = 0$
$3 \ V - 30 \ I = 0$
$30 \ I = 3 \ V$
$I = \frac{3}{30} \ A = 0.1 \ A$

(C) પરિપથમાં કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ લગાડતા,પ્રવાહ $I$ ની ગણતરી કરીએ:
કુલ $EMF$ $= 12 \, V - 8 \, V = 4 \, V$
કુલ અવરોધ $R = 1 \, \Omega + 2 \, \Omega + 9 \, \Omega = 12 \, \Omega$
તેથી,પ્રવાહ $I = \frac{V}{R} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \, A$
બિંદુ $P$ અને $Q$ વચ્ચેનો સ્થિતિમાન તફાવત $9 \, \Omega$ ના અવરોધ દ્વારા મળે છે:
$V_P - V_Q = I \times 9 \, \Omega = \frac{1}{3} \times 9 = 3 \, V$.

(A) આ પરિપથ વ્હીસ્ટન બ્રિજની ગોઠવણી દર્શાવે છે.
જ્યારે $5\,\Omega$ ના મધ્ય અવરોધમાંથી કોઈ વિદ્યુત પ્રવાહ વહેતો નથી,ત્યારે બ્રિજ સંતુલિત સ્થિતિમાં છે.
સંતુલિત વ્હીસ્ટન બ્રિજની શરત મુજબ,સામસામેની બાજુઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ:
$\frac{X}{18} = \frac{2}{6}$
$X = \frac{18 \times 2}{6}$
$X = 6\,\Omega$.

(C) કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ $(KCL)$ મુજબ,જંકશનમાં દાખલ થતા પ્રવાહનો સરવાળો જંકશનમાંથી બહાર નીકળતા પ્રવાહના સરવાળા જેટલો હોવો જોઈએ.
ચાલો સર્કિટના જંકશનનું વિશ્લેષણ કરીએ.
$1$. ડાબા જંકશન પર: $10 \, A$ દાખલ થાય છે,અને તે બે શાખાઓમાં વહેંચાય છે. ધારો કે ઉપરની શાખાનો પ્રવાહ $I_1$ છે અને નીચેની શાખાનો પ્રવાહ $6 \, A$ છે. તેથી,$10 = I_1 + 6$,જે $I_1 = 4 \, A$ આપે છે.
$2$. ઉપરના જંકશન પર: ઉપરથી $1 \, A$ દાખલ થાય છે અને ડાબી બાજુથી $I_1 = 4 \, A$ દાખલ થાય છે. આ બંને ભેગા થઈને જમણી શાખામાં વહે છે. ધારો કે આ પ્રવાહ $I_2$ છે. તેથી,$I_2 = 1 + 4 = 5 \, A$.
$3$. નીચેના જંકશન પર: ડાબી શાખામાંથી $6 \, A$ પ્રવાહ આવે છે અને નીચેથી $2 \, A$ પ્રવાહ દાખલ થાય છે. આ જંકશનથી જમણી શાખામાં વહેતો પ્રવાહ $I_3$ છે. $KCL$ મુજબ,$I_3 = 6 + 2 = 8 \, A$.
$4$. જમણા જંકશન પર: ઉપરથી $I_2 = 5 \, A$ દાખલ થાય છે અને નીચેથી $I_3 = 8 \, A$ દાખલ થાય છે. આ બંને ભેગા થઈને આઉટપુટ પ્રવાહ $I$ બનાવે છે. તેથી,$I = 5 + 8 = 13 \, A$.

(B) ગેલ્વેનોમીટરનું અવલોકન શૂન્ય છે,જેનો અર્થ છે કે ગેલ્વેનોમીટર અને $2 \text{ V}$ ના કોષવાળી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
તેથી,અવરોધ $x$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત તે શાખામાં રહેલા કોષના વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ જેટલો એટલે કે $2 \text{ V}$ હોવો જોઈએ.
ધારો કે $500 \text{ } \Omega$ ના અવરોધ અને અવરોધ $x$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ છે.
ગેલ્વેનોમીટર વાળી શાખામાં પ્રવાહ શૂન્ય હોવાથી,સમગ્ર પ્રવાહ $I$ એ અવરોધ $x$ માંથી વહે છે.
$x$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_x = I \cdot x = 2 \text{ V}$ છે.
$12 \text{ V}$ ના ઉદગમ,$500 \text{ } \Omega$ ના અવરોધ અને અવરોધ $x$ ધરાવતા બાહ્ય લૂપ માટે કિર્ચોફનો વોલ્ટેજનો નિયમ $(KVL)$ લાગુ પાડતા:
$12 - I(500) - I(x) = 0$
$12 - 500I - 2 = 0$
$10 = 500I$
$I = \frac{10}{500} = \frac{1}{50} \text{ A}$.
હવે,$I$ ની કિંમત $I \cdot x = 2$ સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{50} \cdot x = 2$
$x = 2 \cdot 50 = 100 \text{ } \Omega$.

(B) કિર્ચોફના પ્રથમ નિયમ (જંકશનનો નિયમ) મુજબ,જંકશન પાસે ભેગા મળતા વિધુતપ્રવાહોનો બૈજિક સરવાળો શૂન્ય થાય છે.
આકૃતિ મુજબ,$5 \ A$ અને $4 \ A$ પ્રવાહ બિંદુ $x$ તરફ આવે છે,જ્યારે $3 \ A$ અને $5 \ A$ પ્રવાહ બિંદુ $x$ થી દૂર જાય છે.
ધારો કે પાંચમો પ્રવાહ $I$ એ $x$ થી દૂર જાય છે.
જંકશન પાસે આવતો કુલ પ્રવાહ = જંકશનથી દૂર જતો કુલ પ્રવાહ
$5 \ A + 4 \ A = 3 \ A + 5 \ A + I$
$9 \ A = 8 \ A + I$
$I = 9 \ A - 8 \ A = 1 \ A$
આમ,$1 \ A$ પ્રવાહ $x$ થી દૂર જતી દિશામાં વહે છે.

(C) આપેલ પરિપથ વ્હિસ્ટન બ્રિજ છે. ધારો કે અવરોધો $R_1 = 3\, \Omega$,$R_2 = 4\, \Omega$,$R_3 = 6\, \Omega$,અને $R_4 = 8\, \Omega$ છે. વચ્ચેનો અવરોધ $R_5 = 7\, \Omega$ છે.
ભુજાઓનો ગુણોત્તર તપાસતા: $R_1/R_3 = 3/6 = 1/2$ અને $R_2/R_4 = 4/8 = 1/2$.
અહીં $R_1/R_3 = R_2/R_4$ હોવાથી,બ્રિજ સંતુલિત છે. તેથી,$7\, \Omega$ ના અવરોધમાંથી કોઈ પ્રવાહ પસાર થશે નહીં.
પરિપથ બે સમાંતર શાખાઓમાં સરળ બને છે: ઉપરની શાખામાં $3\, \Omega$ અને $4\, \Omega$ શ્રેણીમાં $(3+4 = 7\, \Omega)$ અને નીચેની શાખામાં $6\, \Omega$ અને $8\, \Omega$ શ્રેણીમાં $(6+8 = 14\, \Omega)$ છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ માટે: $1/R_{eq} = 1/7 + 1/14 = (2+1)/14 = 3/14$.
તેથી,$R_{eq} = 14/3\, \Omega$.

(C) ગેલ્વેનોમીટર કોઈ આવર્તન બતાવતું ન હોવાથી,આ પરિપથ સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ છે.
ધારો કે $R_1$ એ $x \ \Omega$ અને $6 \ \Omega$ ના સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ છે,અને $R_2 = 2 \ \Omega$ છે.
ધારો કે $R_3 = 6 \ \Omega$ અને $R_4 = 3 \ \Omega$ છે.
સંતુલિત બ્રિજ માટેની શરત $\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_4}$ છે.
અહીં,$R_1 = \frac{x \cdot 6}{x + 6}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\frac{6x}{x+6}}{2} = \frac{6}{3}$.
$\frac{6x}{2(x+6)} = 2$.
$\frac{3x}{x+6} = 2$.
$3x = 2x + 12$.
$x = 12 \ \Omega$.

(A) પરિપથ $X$ અને $Y$ વચ્ચે ખુલ્લો છે.
પરિપથ ખુલ્લો હોવાથી, તેમાંથી કોઈ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતો નથી $(I = 0 \, A)$.
બિંદુ $X$ થી બિંદુ $Y$ સુધી બેટરીના માર્ગે કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ લાગુ પાડતા:
$X$ આગળનું સ્થિતિમાન $V_X$ છે.
$20 \, \Omega$ ના અવરોધમાંથી પસાર થતા, કોઈ વોલ્ટેજ ડ્રોપ થતો નથી કારણ કે $I = 0$ છે.
બેટરીના ધન ટર્મિનલથી ઋણ ટર્મિનલ તરફ જતાં, સ્થિતિમાનમાં $120 \, V$ નો ઘટાડો થાય છે.
બીજા $20 \, \Omega$ ના અવરોધમાંથી પસાર થતા, કોઈ વોલ્ટેજ ડ્રોપ થતો નથી.
આમ, સમીકરણ આ મુજબ મળે: $V_X - 120 \, V = V_Y$.
પદોને ગોઠવતા, આપણને $V_X - V_Y = 120 \, V$ મળે છે.
તેથી, $X$ અને $Y$ વચ્ચેનો સ્થિતિમાન તફાવત $120 \, V$ છે.

(B) સંતુલિત વ્હીસ્ટન બ્રીજ માટે,પાસપાસેની ભુજાઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ: $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S_{eq}}$,જ્યાં $S_{eq}$ એ ચોથી ભુજાનો સમતુલ્ય અવરોધ છે.
અહીં $S_1$ અને $S_2$ સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી,તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $S_{eq} = \frac{S_1 S_2}{S_1 + S_2}$ થાય.
આ કિંમતને સંતુલનની શરતમાં મૂકતા,આપણને મળે: $\frac{P}{Q} = \frac{R}{(\frac{S_1 S_2}{S_1 + S_2})}$.
તેનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને મળે: $\frac{P}{Q} = \frac{R(S_1 + S_2)}{S_1 S_2}$.

(B) ડાબા લૂપ માટે કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ લગાડતા:
$2 - I_1(2 + 3) = 0$
$5I_1 = 2$
$I_1 = 0.4 \, A$
જમણા લૂપ માટે કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ લગાડતા:
$4 - I_2(3 + 5) = 0$
$8I_2 = 4$
$I_2 = 0.5 \, A$
$A$ અને $B$ વચ્ચેનો સ્થિતિમાન તફાવત શોધવા માટે,$A$ થી $B$ સુધીનો માર્ગ લઈએ:
$V_A - 3I_1 - 4 + 3I_2 = V_B$
$V_A - V_B = 3(0.4) + 4 - 3(0.5)$
$V_A - V_B = 1.2 + 4 - 1.5 = 3.7 \, V$
આમ,સ્થિતિમાન તફાવત $-3.7 \, V$ મળે છે.

(C) ધારો કે $5\,V$ ની બેટરીમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ છે અને $10\,\Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_1$ છે. નોડ $P_2$ પર કિર્ચોફના જંકશનના નિયમ મુજબ,$2\,V$ ની બેટરીની શાખામાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_2 = I - I_1$ થશે.
ડાબા લૂપ $(AD P_2 P_1 D)$ માટે કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ લાગુ પાડતા: $5 - 2I - 10I_1 = 0 \implies 2I + 10I_1 = 5$.
$I = I_1 + I_2$ મૂકતા: $2(I_1 + I_2) + 10I_1 = 5 \implies 12I_1 + 2I_2 = 5$ (સમીકરણ $1$).
જમણા લૂપ $(P_2 B C P_1 P_2)$ માટે $KVL$ લાગુ પાડતા: $10I_1 - 1I_2 - 2 = 0 \implies 10I_1 - I_2 = 2$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ ને $2$ વડે ગુણતા: $20I_1 - 2I_2 = 4$ (સમીકરણ $3$).
સમીકરણ $1$ અને સમીકરણ $3$ નો સરવાળો કરતા: $(12I_1 + 2I_2) + (20I_1 - 2I_2) = 5 + 4 \implies 32I_1 = 9 \implies I_1 = 9/32 = 0.28125\,A \approx 0.27\,A$.
$I_1$ ધન હોવાથી,પ્રવાહ $P_2$ થી $P_1$ ની દિશામાં વહેશે.

(D) વ્હીસ્ટન બ્રિજ સંતુલિત સ્થિતિમાં હોવાથી,સામસામેની બાજુઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે,એટલે કે $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$.
બાહ્ય લૂપને જોતા,જો $\frac{10}{R_1} = \frac{30}{9}$ હોય તો બ્રિજ સંતુલિત છે.
$R_1$ માટે ગણતરી કરતા: $R_1 = \frac{10 \times 9}{30} = 3 \ \Omega$.
સંતુલિત વ્હીસ્ટન બ્રિજમાં,મધ્યની ગેલ્વેનોમીટર શાખા (જેમાં $R_2$ છે) ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય હોય છે. તેથી,$R_2$ ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતો નથી. પરિણામે,$R_2$ નું મૂલ્ય સંતુલન સ્થિતિને અસર કરતું નથી અને તે કોઈપણ મૂલ્ય હોઈ શકે છે.

(D) સંતુલિત વ્હીટસ્ટન બ્રિજમાં,ગેલ્વેનોમીટર શૂન્ય વિચલન દર્શાવે છે,જેનો અર્થ છે કે ગેલ્વેનોમીટર શાખા $(BD)$ માંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ $B$ પરનો સ્થિતિમાન બિંદુ $D$ પરના સ્થિતિમાન જેટલું છે $(V_B = V_D)$.
તેથી,$AB$ વચ્ચેનો સ્થિતિમાન તફાવત એ $AD$ વચ્ચેના સ્થિતિમાન તફાવત જેટલો છે:
$I_1 P = I_2 R$ --- $(i)$
તે જ રીતે,$BC$ વચ્ચેનો સ્થિતિમાન તફાવત એ $DC$ વચ્ચેના સ્થિતિમાન તફાવત જેટલો છે:
$I_1 Q = I_2 S$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{I_1 P}{I_1 Q} = \frac{I_2 R}{I_2 S}$
$\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$

(B) આ પરિપથને વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ તરીકે ફરીથી દોરી શકાય છે.
સંમિતિને કારણે,ઉપરના બિંદુ $C$ અને નીચેના બિંદુ $D$ પરનું સ્થિતિમાન સમાન છે,અથવા સરળ રીતે કહીએ તો,બ્રિજ સંતુલિત છે.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજમાં,બિંદુ $C$ અને $D$ વચ્ચે જોડાયેલા મધ્ય અવરોધમાંથી કોઈ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતો નથી.
આમ,પરિપથ બે સમાંતર શાખાઓમાં સરળ બને છે,જેમાં દરેક શાખામાં $R$ અવરોધના બે અવરોધો શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
દરેક શાખાનો અવરોધ $R + R = 2R$ થાય છે.
આ બે શાખાઓ સમાંતરમાં હોવાથી,કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ માટે $1/R_{eq} = 1/(2R) + 1/(2R) = 2/(2R) = 1/R$,એટલે કે $R_{eq} = R$ થાય.
બેટરીમાંથી ખેંચાતો કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $I = V/R_{eq} = V/R$ છે.
બંને શાખાઓ સમાન હોવાથી (દરેકનો અવરોધ $2R$ છે),વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ બંને શાખાઓમાં સમાન રીતે વહેંચાય છે.
તેથી,$AFCEB$ શાખામાંથી પસાર થતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I/2 = (V/R) / 2 = V/(2R)$ થાય.

(B) ગેલ્વેનોમીટર $G$ શૂન્ય આવર્તન દર્શાવતું હોવાથી,ગેલ્વેનોમીટર ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
ધારો કે ડાબી બાજુના લૂપમાં વહેતો પ્રવાહ $i$ છે.
$12 \text{ V}$ ની બેટરી અને $500 \, \Omega$ ના અવરોધ ધરાવતા લૂપ માટે કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ લાગુ પાડતા:
$12 - 500i - iR = 0$
$12 = i(500 + R)$
$2 \text{ V}$ ની બેટરી અને અવરોધ $R$ ધરાવતા લૂપ માટે $KVL$ લાગુ પાડતા:
ગેલ્વેનોમીટરમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો ન હોવાથી,$R$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત એ બેટરી $A$ ના $EMF$ જેટલો જ હોય.
$iR = 2 \text{ V}$
પ્રથમ સમીકરણમાં $i = \frac{2}{R}$ મુકતા:
$12 = \left(\frac{2}{R}\right)(500 + R)$
$12R = 1000 + 2R$
$10R = 1000$
$R = 100 \, \Omega$

(D) ધારો કે ડાબા જંકશન પરનું સ્થિતિમાન $V_C$ અને જમણા જંકશન પરનું સ્થિતિમાન $V_D$ છે. ધારો કે $V_C = V$ અને $V_D = 0$ છે.
ઉપરની શાખામાં વોલ્ટેજ ડિવાઈડરના નિયમ મુજબ બિંદુ $A$ આગળનું સ્થિતિમાન: $V_A = V \times \frac{4}{4+4} = \frac{V}{2}$ મળે.
નીચેની શાખામાં વોલ્ટેજ ડિવાઈડરના નિયમ મુજબ બિંદુ $B$ આગળનું સ્થિતિમાન: $V_B = V \times \frac{3}{1+3} = \frac{3V}{4}$ મળે.
સ્થિતિમાનની સરખામણી કરતા,$V_B = 0.75V$ અને $V_A = 0.5V$ છે. તેથી $V_B > V_A$ હોવાથી,સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_B - V_A = 0.25V > 0$ થાય.
જ્યારે $A$ અને $B$ વચ્ચે સુવાહક તાર જોડવામાં આવે,ત્યારે વિદ્યુતપ્રવાહ ઊંચા સ્થિતિમાનથી નીચા સ્થિતિમાન તરફ વહે છે. તેથી,પ્રવાહ $B$ થી $A$ તરફ વહેશે.

(C) લૂપ $ABCDA$ માં,વિદ્યુતપ્રવાહ $I_1 = \frac{4}{2+2} = 1\ A$ (ક્લોકવાઇઝ).
લૂપ $EFGHE$ માં,વિદ્યુતપ્રવાહ $I_2 = \frac{4}{3+3} = \frac{2}{3}\ A$ (ક્લોકવાઇઝ).
$V_A - V_G$ શોધવા માટે,આપણે $A-D-E-G$ માર્ગ પર કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ લાગુ કરીએ છીએ:
$V_A - I_1(2\ \Omega) - 4\ V - I_2(3\ \Omega) = V_G$
$V_A - (1\ A)(2\ \Omega) - 4\ V - (\frac{2}{3}\ A)(3\ \Omega) = V_G$
$V_A - 2 - 4 - 2 = V_G$
$V_A - 8 = V_G$
$V_A - V_G = 8\ V$.

(C) લૂપ $ABD$ માટે કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ લાગુ પાડતા:
$2I_1 + I_2(G) - 3(I - I_1) = 0$. અહીં $G = 1 \, \Omega$ લેતા,સમીકરણ $5I_1 + I_2 = 3I \dots(1)$ મળે છે.
લૂપ $BCD$ માટે $KVL$ લાગુ પાડતા:
$3(I_1 - I_2) - 2(I - I_1 + I_2) - I_2 = 0 \Rightarrow 5I_1 - 6I_2 = 2I \dots(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા:
$7I_2 = I \Rightarrow I_2 = I/7$.
$I = 7I_2$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$5I_1 = 20I_2 \Rightarrow I_1 = 4I_2$.
બાહ્ય લૂપ માટે $KVL$ લાગુ પાડતા:
$10 - 1(I) - 2I_1 - 3(I_1 - I_2) = 0$
$10 - 7I_2 - 8I_2 - 9I_2 = 0 \Rightarrow 10 = 24I_2 \Rightarrow I_2 = 5/12 \, A$.
તેથી $I = 7 \times (5/12) = 35/12 = 70/24 \, A$.

(C) એમીટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ શોધવા માટે,આપણે કિર્ચોફના નિયમોનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ અથવા નેટવર્કને સરળ બનાવી શકીએ છીએ.
બે $2 \ V$ ના કોષો તેમના સંબંધિત $2 \ \Omega$ ના આંતરિક અવરોધો સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલા છે.
સમતુલ્ય $EMF$ $E_{eq} = \frac{E_1/r_1 + E_2/r_2}{1/r_1 + 1/r_2} = \frac{2/2 + 2/2}{1/2 + 1/2} = 2 \ V$ મળે છે.
સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ $r_{eq} = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2} = \frac{2 \times 2}{2 + 2} = 1 \ \Omega$ મળે છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = r_{eq} + 2 \ \Omega = 1 + 2 = 3 \ \Omega$ થાય છે.
આમ,એમીટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{E_{eq}}{R_{total}} = \frac{2}{3} \ A$ મળે છે.

(D) સંતુલિત વ્હીસ્ટન બ્રીજ માટે,સામસામેની બાજુઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ. $100 \ \Omega$ અને $R$ ના સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{100 \times R}{100 + R}$ છે.
બ્રીજ સંતુલિત હોવાની શરત:
$\frac{100}{200} = \frac{R_{eq}}{40}$
$R_{eq}$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{1}{2} = \frac{100R}{40(100 + R)}$
$\frac{1}{2} = \frac{10R}{4(100 + R)}$
$4(100 + R) = 20R$
$400 + 4R = 20R$
$16R = 400$
$R = \frac{400}{16} = 25 \ \Omega$.

(B) આ પરિપથ એક વ્હીસ્ટન બ્રિજ છે. સંતુલિત વ્હીસ્ટન બ્રિજ માટેની શરત $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$ છે.
અહીં,$\frac{4}{2} = 2$ અને $\frac{10}{5} = 2$ છે. ગુણોત્તર સમાન હોવાથી,બ્રિજ સંતુલિત છે.
સંતુલિત વ્હીસ્ટન બ્રિજમાં,મધ્યની શાખા $BD$ માંથી કોઈ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતો નથી.
ધારો કે ઉપરની શાખા $ABC$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I_1$ છે અને નીચેની શાખા $ADC$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I_2$ છે.
કુલ પ્રવાહ $7 \ A$ હોવાથી,$I_1 + I_2 = 7 \ A$ થાય.
ઉપરની શાખા $AC$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AC} = I_1(4 + 2) = 6I_1$ છે.
નીચેની શાખા $AC$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AC} = I_2(10 + 5) = 15I_2$ છે.
બંનેને સરખાવતા,$6I_1 = 15I_2$,જે આપણને $I_1 = 2.5I_2$ આપે છે.
$I_1 = 2.5I_2$ ને $I_1 + I_2 = 7$ માં મૂકતા,આપણને $2.5I_2 + I_2 = 7$ મળે છે,તેથી $3.5I_2 = 7$,જેનો અર્થ છે કે $I_2 = 2 \ A$.
તેથી $I_1 = 7 - 2 = 5 \ A$.
$B$ અને $C$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{BC} = I_1 \times R_{BC} = 5 \ A \times 2 \ \Omega = 10 \ V$ થાય.

(A) ધારો કે નોડ્સ $X$,$A$,$B$ અને $Y$ છે. પરિપથ આકૃતિ મુજબ:
$1$. $10 \, \Omega$ નો અવરોધ $X$ અને $A$ વચ્ચે જોડાયેલ છે.
$2$. $10 \, \Omega$ નો અવરોધ $X$ અને $B$ વચ્ચે જોડાયેલ છે.
$3$. $20 \, \Omega$ નો અવરોધ $A$ અને $B$ વચ્ચે જોડાયેલ છે.
$4$. $10 \, \Omega$ નો અવરોધ $A$ અને $Y$ વચ્ચે જોડાયેલ છે.
$5$. $10 \, \Omega$ નો અવરોધ $B$ અને $Y$ વચ્ચે જોડાયેલ છે.
આ વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ જેવી રચના છે. અહીં અવરોધોનો ગુણોત્તર $\frac{10}{10} = \frac{10}{10}$ હોવાથી,બ્રિજ સંતુલિત છે.
તેથી,$A$ અને $B$ વચ્ચે જોડાયેલા $20 \, \Omega$ ના અવરોધમાંથી કોઈ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેશે નહીં.
પરિપથ બે સમાંતર શાખાઓમાં સરળ બને છે,જેમાં દરેક શાખામાં બે $10 \, \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે:
શાખા $1$ $(X-A-Y)$: $10 \, \Omega + 10 \, \Omega = 20 \, \Omega$
શાખા $2$ $(X-B-Y)$: $10 \, \Omega + 10 \, \Omega = 20 \, \Omega$
હવે,આ બે $20 \, \Omega$ ની શાખાઓ સમાંતરમાં છે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{20} + \frac{1}{20} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$
$R_{eq} = 10 \, \Omega$

(C) પરિપથનું વિશ્લેષણ વ્હીટસ્ટોન બ્રિજની રચનાને ઓળખીને કરી શકાય છે.
પરિપથને જોતા,મધ્ય ભાગ એક સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ બનાવે છે કારણ કે ભુજાઓમાં અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન છે $(10/10 = 10/10)$.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજમાં,મધ્યના અવરોધમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી,તેથી તેને દૂર કરી શકાય છે.
મધ્યના અવરોધને દૂર કર્યા પછી,પરિપથ બિંદુ $A$ અને $D$ વચ્ચે ત્રણ $10 \,\Omega$ અવરોધોના શ્રેણી જોડાણમાં સરળ બને છે.
આમ,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = 10 \,\Omega + 10 \,\Omega + 10 \,\Omega = 30 \,\Omega$ થાય છે.

(D) $1$. પ્રથમ,સમાંતર જોડાણોનું સાદું રૂપ આપો: સમાંતરમાં રહેલા બે $10 \ \Omega$ ના અવરોધો $R_1 = (10 \times 10) / (10 + 10) = 5 \ \Omega$ આપે છે. સમાંતરમાં રહેલા બે $6 \ \Omega$ ના અવરોધો $R_2 = (6 \times 6) / (6 + 6) = 3 \ \Omega$ આપે છે.
$2$. હવે પરિપથ વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ જેવી રચનામાં ફેરવાય છે. ડાબી બાજુએ $5 \ \Omega$ અને $5 \ \Omega$ ના ભુજાઓ છે,અને જમણી બાજુએ $3 \ \Omega$ અને $3 \ \Omega$ ના ભુજાઓ છે,જેમાં વચ્ચે $8 \ \Omega$ નો અવરોધ છે.
$3$. સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજની શરત તપાસો: $P/Q = 5/5 = 1$ અને $R/S = 3/3 = 1$. કારણ કે $P/Q = R/S$,તેથી બ્રિજ સંતુલિત છે.
$4$. સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજમાં,મધ્યના $8 \ \Omega$ ના અવરોધમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી. તેથી,તેને દૂર કરી શકાય છે.
$5$. હવે સમતુલ્ય અવરોધ $(5 + 5) \ \Omega$ અને $(3 + 3) \ \Omega$ નું સમાંતર જોડાણ છે,જે $10 \ \Omega$ અને $6 \ \Omega$ નું સમાંતર જોડાણ છે.
$6$. $R_{eq} = (10 \times 6) / (10 + 6) = 60 / 16 = 3.75 \ \Omega$.

(B) આ પરિપથ વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ દર્શાવે છે જ્યાં બિંદુઓ $B$ અને $D$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય છે. આનો અર્થ એ છે કે બ્રિજ સંતુલિત છે.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટે,વિરુદ્ધ બાજુઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ: $\frac{R_{AB}}{R_{BC}} = \frac{R_{AD}}{R_{DC}}$.
અહીં,$R_{AB} = 12 \, \Omega + 4 \, \Omega = 16 \, \Omega$.
$R_{BC} = x$.
$R_{AD} = 1 \, \Omega + 3 \, \Omega = 4 \, \Omega$.
$R_{DC}$ એ સમાંતરમાં જોડાયેલા બે $1 \, \Omega$ ના અવરોધો છે,તેથી $R_{DC} = \frac{1 \times 1}{1 + 1} = 0.5 \, \Omega$.
સંતુલન શરત લાગુ પાડતા: $\frac{16}{x} = \frac{4}{0.5}$.
$\frac{16}{x} = 8$.
$x = \frac{16}{8} = 2 \, \Omega$.

(C) વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $(V_A - V_B)$ શોધવા માટે,આપણે બિંદુ $A$ થી બિંદુ $B$ સુધી કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
બિંદુ $A$ પર વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_A$ છે.
પ્રવાહ $(2 \ A)$ ની દિશામાં $2 \ \Omega$ ના અવરોધમાંથી પસાર થતા,વિદ્યુતસ્થિતિમાનમાં $I \times R = 2 \ A \times 2 \ \Omega = 4 \ V$ નો ઘટાડો થાય છે.
ત્યારબાદ,આપણે $3 \ V$ ની બેટરીને ઋણ ટર્મિનલથી ધન ટર્મિનલ તરફ પસાર કરીએ છીએ,જે $+ 3 \ V$ નો વધારો દર્શાવે છે.
પછી,આપણે પ્રવાહની દિશામાં $1 \ \Omega$ ના અવરોધમાંથી પસાર થઈએ છીએ,જે $I \times R = 2 \ A \times 1 \ \Omega = 2 \ V$ નો ઘટાડો દર્શાવે છે.
આને બિંદુ $B$ ના વિદ્યુતસ્થિતિમાન $(V_B)$ સાથે સરખાવતા:
$V_A - 4 \ V + 3 \ V - 2 \ V = V_B$
$V_A - 3 \ V = V_B$
$V_A - V_B = + 3 \ V$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ધારો કે ડાબા લૂપમાં પ્રવાહ $i_1$ છે અને $BD$ શાખામાં રહેલા અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i_2$ છે.
ડાબા લૂપ માટે કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ લાગુ કરતા ($D$ થી $A$ થી $B$ થી $D$ સુધી):
$15 - 6i_1 - 3i_2 = 0 \implies 6i_1 + 3i_2 = 15 \implies 2i_1 + i_2 = 5$ ... $(i)$
જમણા લૂપ માટે $KVL$ લાગુ કરતા ($D$ થી $B$ થી $C$ થી $D$ સુધી):
$-3(i_1 - i_2) - 30 + 3i_2 = 0$ (નોંધ: $B$ આગળ જંકશનના નિયમ મુજબ $BC$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $i_1 - i_2$ છે)
$-3i_1 + 3i_2 + 3i_2 = 30 \implies -3i_1 + 6i_2 = 30 \implies -i_1 + 2i_2 = 10$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $1$ વડે અને સમીકરણ $(ii)$ ને $2$ વડે ગુણતા:
$2i_1 + i_2 = 5$
$-2i_1 + 4i_2 = 20$
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$5i_2 = 25 \implies i_2 = 5 \, A$.
આમ,$BD$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $5 \, A$ છે.

(C) કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ $(KCL)$ મુજબ,જંકશનમાં દાખલ થતા પ્રવાહનો સરવાળો એ જંકશનમાંથી બહાર નીકળતા પ્રવાહના સરવાળા જેટલો હોય છે.
આખા પરિપથને એક જ નોડ તરીકે ગણતા અથવા જંકશન પર $KCL$ લાગુ પાડતા,પરિપથમાં દાખલ થતો કુલ પ્રવાહ એ પરિપથમાંથી બહાર નીકળતા કુલ પ્રવાહ જેટલો હોવો જોઈએ.
દાખલ થતો કુલ પ્રવાહ = $15\,A + 3\,A + 5\,A = 23\,A$.
બહાર નીકળતો કુલ પ્રવાહ = $i$.
તેથી,$i = 23\,A$.

(D) ધારો કે ઉપરના જંકશન પરનું સ્થિતિમાન $V$ છે અને નીચેના જંકશન પર $0 \, V$ છે.
લૂપ $1$ (ડાબી બાજુ) માટે: $28 i_1 + 6 + 8 = 0 \Rightarrow 28 i_1 = -14 \Rightarrow i_1 = -0.5 \, A$.
લૂપ $2$ (જમણી બાજુ) માટે: $54 i_2 + 6 + 12 = 0 \Rightarrow 54 i_2 = -18 \Rightarrow i_2 = -1/3 \, A$.
કેન્દ્રીય જંકશન પર,કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ $(KCL)$ મુજબ: $i_3 = i_1 + i_2 = -0.5 - 1/3 = -3/6 - 2/6 = -5/6 \, A$.

(A) આપેલ પરિપથ એક સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ દર્શાવે છે કારણ કે એમીટરમાંથી કોઈ પ્રવાહ પસાર થતો નથી.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટે,ભુજાઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ: $\frac{X}{P} = \frac{R}{Q}$.
અહીં $P = 20\,r$,$Q = 80\,r$,અને $R = 1\,\Omega$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સંતુલન શરતમાં મૂકતા: $\frac{X}{20\,r} = \frac{1}{80\,r}$.
$X$ માટે ઉકેલતા: $X = \frac{20\,r}{80\,r} = \frac{20}{80} = 0.25\,\Omega$.

(A) કિર્ચોફનો પ્રથમ નિયમ,જેને જંકશનના નિયમ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે,તે જણાવે છે કે જંકશન પર મળતા પ્રવાહોનો બેઝિક સરવાળો શૂન્ય હોય છે. આ વિદ્યુતભારના સંરક્ષણના નિયમનું સીધું પરિણામ છે,કારણ કે જંકશન પર વિદ્યુતભાર એકઠો થઈ શકતો નથી.
કિર્ચોફનો બીજો નિયમ,જેને લૂપના નિયમ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે,તે જણાવે છે કે કોઈપણ બંધ લૂપમાં વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતોનો બેઝિક સરવાળો શૂન્ય હોય છે. આ ઉર્જાના સંરક્ષણના નિયમનું સીધું પરિણામ છે,કારણ કે સ્થિર વિદ્યુતક્ષેત્રમાં બંધ લૂપની આસપાસ એકમ વિદ્યુતભારને ખસેડવા માટે કરવામાં આવેલું કાર્ય શૂન્ય હોય છે.

(A) ધારો કે $S$ અને $6 \,\Omega$ સમાંતરમાં જોડાયેલા હોય ત્યારે તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $X$ છે.
સમાંતર જોડાણ માટે,સમતુલ્ય અવરોધ $X$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{X} = \frac{1}{S} + \frac{1}{6} \quad \dots(i)$
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટે,શરત $\frac{P}{Q} = \frac{R}{X}$ છે.
આપેલ છે કે $P = Q = R = 2 \,\Omega$,આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{2}{2} = \frac{2}{X} \implies 1 = \frac{2}{X} \implies X = 2 \,\Omega$.
હવે,સમીકરણ $(i)$ માં $X = 2 \,\Omega$ મૂકતા:
$\frac{1}{2} = \frac{1}{S} + \frac{1}{6}$
$\frac{1}{S} = \frac{1}{2} - \frac{1}{6}$
$\frac{1}{S} = \frac{3 - 1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
તેથી,$S = 3 \,\Omega$.

(D) લૂપ $ABFE$ માટે કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
બિંદુ $A$ થી શરૂ કરીને $B$ તરફ જતા,અવરોધ $R$ પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $-(i_1 + i_2)R$ છે.
શાખા $F$ થી $E$ તરફ જતા,જેમાં $\varepsilon_1$ અને $r_1$ છે,આપણે પહેલા બેટરીના ઋણ ટર્મિનલનો સામનો કરીએ છીએ,તેથી આપણે $\varepsilon_1$ ઉમેરીએ છીએ,અને પછી આપણે પ્રવાહ $i_1$ ની દિશામાં અવરોધ $r_1$ માંથી પસાર થઈએ છીએ,જેના પરિણામે $-i_1 r_1$ નો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ મળે છે.
પોટેન્શિયલ ફેરફારોનો સરવાળો શૂન્ય લેતા,આપણને મળે છે:
$-(i_1 + i_2)R + \varepsilon_1 - i_1 r_1 = 0$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$\varepsilon_1 - (i_1 + i_2)R - i_1 r_1 = 0$

(D) કિર્ચોફનો જંકશનનો નિયમ,જેને કિર્ચોફનો પ્રથમ નિયમ પણ કહેવામાં આવે છે,તે જણાવે છે કે જંકશન પર મળતા પ્રવાહોનો બેઝિક સરવાળો શૂન્ય હોય છે. આ વિદ્યુતભારના સંરક્ષણનું સીધું પરિણામ છે,કારણ કે જંકશન પર વિદ્યુતભાર ઉત્પન્ન કે નાશ પામી શકતો નથી.
કિર્ચોફનો લૂપનો નિયમ,જેને કિર્ચોફનો બીજો નિયમ પણ કહેવામાં આવે છે,તે જણાવે છે કે કોઈપણ બંધ લૂપમાં સ્થિતિમાનના તફાવતોનો બેઝિક સરવાળો શૂન્ય હોય છે. આ ઉર્જાના સંરક્ષણનું સીધું પરિણામ છે,કારણ કે એકમ વિદ્યુતભારને બંધ લૂપમાં ફેરવવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય શૂન્ય હોવું જોઈએ.
તેથી,વિધાન $(A)$ અને $(B)$ બંને સાચા છે.

(A) સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટે, શરત $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$ છે。
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{10 \, \Omega}{30 \, \Omega} = \frac{30 \, \Omega}{90 \, \Omega}$, જેનું સાદું રૂપ $\frac{1}{3} = \frac{1}{3}$ થાય છે。
બ્રિજ સંતુલિત હોવાથી, ગેલ્વેનોમીટરની શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી। તેથી, $50 \, \Omega$ નો ગેલ્વેનોમીટર અવરોધ નિષ્ક્રિય બને છે。
પરિપથ બે સમાંતર શાખાઓમાં સરળ બને છે: $(P+Q)$ અને $(R+S)$ સમાંતરમાં, જે આંતરિક અવરોધ $r = 5 \, \Omega$ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે。
સમાંતર ભાગનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{(P+Q)(R+S)}{(P+Q)+(R+S)} = \frac{(10+30)(30+90)}{(10+30)+(30+90)} = \frac{40 \times 120}{40+120} = \frac{4800}{160} = 30 \, \Omega$ છે。
પરિપથનો કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = r + R_p = 5 \, \Omega + 30 \, \Omega = 35 \, \Omega$ છે。
કોષમાંથી ખેંચાતો પ્રવાહ $I = \frac{E}{R_{eq}} = \frac{7 \, V}{35 \, \Omega} = 0.2 \, A$ છે।

(B) કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ $(KCL)$ મુજબ,જંકશનમાં દાખલ થતા પ્રવાહોનો સરવાળો તેમાંથી બહાર નીકળતા પ્રવાહોના સરવાળા જેટલો હોય છે.
પરિપથનું ડાબેથી જમણે સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ વિશ્લેષણ કરતા:
$1$. પ્રથમ જંકશન પર,$2 \ A$ અને $3 \ A$ દાખલ થાય છે,તેથી $5 \ A$ પ્રવાહ આગળના જંકશન તરફ જાય છે.
$2$. પછીના ઊભા જંકશન પર,ડાબેથી $5 \ A$ અને નીચેથી $4 \ A$ દાખલ થાય છે,જેનો કુલ સરવાળો $9 \ A$ થાય છે. તેમાંથી $1 \ A$ ઉપરની તરફ અને $2 \ A$ જમણી તરફ જાય છે,તેથી $9 - 1 - 2 = 6 \ A$ પ્રવાહ નીચેના જંકશન તરફ વહેવો જોઈએ.
$3$. જમણી બાજુના અંતિમ જંકશન પર,ડાબેથી $6 \ A$ અને જમણેથી $2 \ A$ દાખલ થાય છે. તેથી,આ જંકશનમાંથી બહાર નીકળતો કુલ પ્રવાહ $i = 6 \ A + 2 \ A = 8 \ A$ જમણી તરફ હશે.

(A) ધારો કે નોડ $D$ પરનું સ્થિતિમાન $0 \, V$ છે. તો નોડ $B$ પરનું સ્થિતિમાન $V_B$ છે.
નોડ $B$ પર કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ $(KCL)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{V_B - 15}{6} + \frac{V_B - 0}{3} + \frac{V_B - 30}{3} = 0$
$6$ વડે ગુણતા:
$(V_B - 15) + 2V_B + 2(V_B - 30) = 0$
$V_B - 15 + 2V_B + 2V_B - 60 = 0$
$5V_B = 75$
$V_B = 15 \, V$
શાખા $BD$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I_{BD} = \frac{V_B - V_D}{3} = \frac{15 - 0}{3} = 5 \, A$ છે.

(C) ધારો કે વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ પરિપથમાં ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં વહે છે.
આખા લૂપ માટે કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ લાગુ પાડતા:
$15 + 3 = (1 + 2 + R) I$
$18 = (3 + R) I$
$I = \frac{18}{3 + R}$
આપેલ છે કે બિંદુ $a$ અને $b$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય છે $(V_{ab} = 0)$:
$a$ થી $b$ સુધી $3\,V$ ની બેટરીમાંથી પસાર થતા:
$V_a - 3 + I(1) = V_b$
$V_a - V_b = 3 - I = 0$
$I = 3\,A$
લૂપના સમીકરણમાં $I$ ની કિંમત મૂકતા:
$3 = \frac{18}{3 + R}$
$3 + R = 6$
$R = 3\,\Omega$