Electron Energy and Electron Energy Levels in Hydrogen Atom Questions in Hindi

(D) उत्सर्जित विकिरण की तरंग दैर्ध्य के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$ है,जहाँ $R$ रिडबर्ग नियतांक है और $Z$ परमाणु क्रमांक है।
$M$-शेल $(n_i = 3)$ से $L$-शेल $(n_f = 2)$ के संक्रमण के लिए:
$\frac{1}{\lambda} = K \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = K \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = K \left( \frac{9-4}{36} \right) = \frac{5K}{36}$,जहाँ $K = R Z^2$ है।
$N$-शेल $(n_i = 4)$ से $L$-शेल $(n_f = 2)$ के संक्रमण के लिए:
$\frac{1}{\lambda'} = K \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = K \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = K \left( \frac{4-1}{16} \right) = \frac{3K}{16}$ है।
अब,दोनों समीकरणों का अनुपात लेने पर:
$\frac{\lambda'}{\lambda} = \frac{5K/36}{3K/16} = \frac{5}{36} \times \frac{16}{3} = \frac{5 \times 4}{9 \times 3} = \frac{20}{27}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda' = \frac{20}{27} \lambda$।

(B) हाइड्रोजन परमाणु की $n$वीं कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ है।
$n=2$ कक्षा से एक इलेक्ट्रॉन को अनंत तक हटाने (आयनन) के लिए,हमें उस स्तर पर बंधन ऊर्जा के परिमाण के बराबर ऊर्जा प्रदान करनी होगी।
$n=2$ अवस्था में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -\frac{13.6}{4} = -3.4 \ eV$ है।
इस इलेक्ट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा अनंत पर ऊर्जा $(0 \ eV)$ और $n=2$ पर ऊर्जा के बीच का अंतर है $(E_{\text{req}} = 0 - (-3.4) = 3.4 \ eV)$।

(A) उत्सर्जित फोटॉनों की तरंग दैर्ध्य के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$ है।
तीसरी उत्तेजित अवस्था $(n_i = 4)$ से दूसरी उत्तेजित अवस्था $(n_f = 3)$ में पहले कूद के लिए:
$\frac{1}{\lambda_1} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{16 - 9}{144} \right) = R \left( \frac{7}{144} \right)$.
दूसरी उत्तेजित अवस्था $(n_i = 3)$ से पहली उत्तेजित अवस्था $(n_f = 2)$ में दूसरी कूद के लिए:
$\frac{1}{\lambda_2} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{9 - 4}{36} \right) = R \left( \frac{5}{36} \right)$.
अब,अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{1/\lambda_2}{1/\lambda_1} = \frac{R(5/36)}{R(7/144)} = \frac{5}{36} \times \frac{144}{7} = \frac{5 \times 4}{7} = \frac{20}{7}$.

(B) दो ऊर्जा स्तरों $E_i$ और $E_f$ के बीच संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = E_i - E_f = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
$4E$ से $E$ तक संक्रमण के लिए:
$\Delta E_1 = 4E - E = 3E$
अतः,$3E = \frac{hc}{\lambda_1} \implies \lambda_1 = \frac{hc}{3E}$ --- $(1)$
$\frac{7}{3}E$ से $E$ तक संक्रमण के लिए:
$\Delta E_2 = \frac{7}{3}E - E = \frac{4}{3}E$
अतः,$\frac{4}{3}E = \frac{hc}{\lambda_2} \implies \lambda_2 = \frac{3hc}{4E}$ --- $(2)$
$\lambda_1$ और $\lambda_2$ का अनुपात लेने पर:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \left( \frac{hc}{3E} \right) / \left( \frac{3hc}{4E} \right) = \frac{hc}{3E} \times \frac{4E}{3hc} = \frac{4}{9}$

(D) परमाणु के बोहर मॉडल में,$n$ वीं कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $(E)$,गतिज ऊर्जा $(K)$,और स्थितिज ऊर्जा $(U)$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$K = -E$
$U = 2E$
यहाँ गतिज ऊर्जा $K = 13.6 \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ दी गई है।
चूंकि $K = -E$,इसलिए कुल ऊर्जा $E = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ होगी।
स्थितिज ऊर्जा $U$ का मान $U = 2E$ होता है।
$E$ का मान रखने पर:
$U = 2 \times (-13.6 \frac{Z^2}{n^2} \ eV) = -27.2 \frac{Z^2}{n^2} \ eV$।
अतः,स्थितिज ऊर्जा $-27.2 \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ होगी।

(D) उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा ऊर्जा स्तरों के अंतर के बराबर होती है।
$2E$ से $E$ तक के संक्रमण के लिए:
$\Delta E_1 = 2E - E = E = \frac{hc}{\lambda} \Rightarrow E = \frac{hc}{\lambda} \quad ... (1)$
$\frac{4E}{3}$ से $E$ तक के संक्रमण के लिए:
$\Delta E_2 = \frac{4E}{3} - E = \frac{E}{3} = \frac{hc}{\lambda'} \quad ... (2)$
समीकरण $(1)$ से $E$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$\frac{1}{3} \left( \frac{hc}{\lambda} \right) = \frac{hc}{\lambda'}$
$\frac{1}{3\lambda} = \frac{1}{\lambda'} \Rightarrow \lambda' = 3\lambda$
अतः, उत्पन्न फोटॉन की तरंगदैर्ध्य $3\lambda$ है।

(A) हाइड्रोजन जैसे परमाणु की $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र है: $E_n = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 1$ है,इसलिए $E_n(H) = -13.6 \frac{1^2}{n^2} = E_n$।
एकल आयनित हीलियम परमाणु $(He^+)$ के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 2$ है।
$He^+$ के लिए $n^{th}$ कक्षा में ऊर्जा $E_n(He^+) = -13.6 \frac{2^2}{n^2} = 4 \times (-13.6 \frac{1^2}{n^2}) = 4E_n$ होगी।
अतः,ऊर्जा $4E_n$ है।

(A) अवशोषण संक्रमण में,निम्न ऊर्जा अवस्था में एक इलेक्ट्रॉन एक फोटॉन को अवशोषित करता है और उच्च ऊर्जा अवस्था में कूदता है। $A, B, C$ ऊर्जा स्तरों वाली प्रणाली के लिए (जहाँ $A < B < C$),अवशोषण केवल ग्राउंड स्टेट $A$ से $B$ या $A$ से $C$ तक हो सकता है। इस प्रकार,$2$ संभावित अवशोषण संक्रमण हैं।
उत्सर्जन संक्रमण में,उच्च ऊर्जा अवस्था में एक इलेक्ट्रॉन एक फोटॉन उत्सर्जित करके निम्न ऊर्जा अवस्था में आता है। समान स्तरों के लिए,उत्सर्जन $C \rightarrow B$,$C \rightarrow A$,और $B \rightarrow A$ से हो सकता है। इस प्रकार,$3$ संभावित उत्सर्जन संक्रमण हैं।
चूंकि $2 < 3$,अवशोषण संक्रमणों की संख्या उत्सर्जन संक्रमणों की संख्या से कम है। कारण सही ढंग से बताता है कि अवशोषण निचले स्तर से शुरू होने तक सीमित है,जबकि उत्सर्जन किन्हीं भी दो स्तरों के बीच हो सकता है जहाँ प्रारंभिक अवस्था अंतिम अवस्था से उच्च होती है।

(C) परमाणु की कक्षा में इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $(TE)$ $-3.4 \; eV$ दी गई है।
हाइड्रोजन जैसे परमाणु में इलेक्ट्रॉन के लिए कुल ऊर्जा $(TE)$,गतिज ऊर्जा $(KE)$ और स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$KE = -TE$
$PE = 2 \times TE$
यहाँ $TE = -3.4 \; eV$ का मान रखने पर:
$KE = -(-3.4 \; eV) = +3.4 \; eV$
$PE = 2 \times (-3.4 \; eV) = -6.8 \; eV$
अतः,गतिज ऊर्जा $3.4 \; eV$ है और स्थितिज ऊर्जा $-6.8 \; eV$ है।

(B) परमाणु में दो ऊर्जा स्तरों के बीच का ऊर्जा अंतर $E = 2.3 \; eV$ दिया गया है।
इस ऊर्जा को जूल में बदलने के लिए,हम इसे इलेक्ट्रॉन के आवेश $(1.6 \times 10^{-19} \; C)$ से गुणा करते हैं:
$E = 2.3 \times 1.6 \times 10^{-19} \; J = 3.68 \times 10^{-19} \; J$.
बोर मॉडल के अनुसार,उत्सर्जित विकिरण की आवृत्ति $\nu$ ऊर्जा अंतर से $E = h\nu$ समीकरण द्वारा संबंधित है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक $(6.626 \times 10^{-34} \; Js)$ है।
आवृत्ति के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\nu = \frac{E}{h}$.
मान रखने पर: $\nu = \frac{3.68 \times 10^{-19}}{6.626 \times 10^{-34}} \approx 5.55 \times 10^{14} \; Hz$.
दो सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $\nu \approx 5.6 \times 10^{14} \; Hz$ प्राप्त होता है।

मूल स्तर के लिए,$n_{1} = 1$ है।
इस स्तर की ऊर्जा $E_{1} = \frac{-13.6}{n_{1}^{2}} \, eV = -13.6 \, eV$ द्वारा दी जाती है।
परमाणु $n_{2} = 4$ स्तर तक उत्तेजित होता है।
इस स्तर की ऊर्जा $E_{2} = \frac{-13.6}{n_{2}^{2}} \, eV = \frac{-13.6}{16} = -0.85 \, eV$ है।
अवशोषित फोटॉन की ऊर्जा $E = E_{2} - E_{1} = -0.85 - (-13.6) = 12.75 \, eV$ है।
ऊर्जा को जूल में बदलने पर: $E = 12.75 \times 1.6 \times 10^{-19} \, J = 2.04 \times 10^{-18} \, J$।
संबंध $E = \frac{hc}{\lambda}$ का उपयोग करते हुए,तरंगदैर्घ्य $\lambda = \frac{hc}{E}$ है।
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{2.04 \times 10^{-18}} \approx 9.75 \times 10^{-8} \, m = 97.5 \, nm$।
आवृत्ति $\nu = \frac{c}{\lambda} = \frac{3 \times 10^{8}}{9.75 \times 10^{-8}} \approx 3.08 \times 10^{15} \, Hz$ है।

(N/A) इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $E = -3.4 \; eV$ है। हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $(K)$ उसकी कुल ऊर्जा के ऋणात्मक मान के बराबर होती है।
$\Rightarrow K = -E$
$K = -(-3.4 \; eV) = +3.4 \; eV$
अतः,इस अवस्था में इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $+3.4 \; eV$ है।
$(b)$ हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन की स्थितिज ऊर्जा $(U)$ उसकी गतिज ऊर्जा की $-2$ गुनी होती है।
$\Rightarrow U = -2K$
$U = -2 \times 3.4 \; eV = -6.8 \; eV$
अतः,इस अवस्था में इलेक्ट्रॉन की स्थितिज ऊर्जा $-6.8 \; eV$ है।
$(c)$ स्थितिज ऊर्जा को एक संदर्भ बिंदु के सापेक्ष परिभाषित किया जाता है जहाँ इसे शून्य माना जाता है। यदि संदर्भ बिंदु बदल दिया जाता है,तो स्थितिज ऊर्जा $(U)$ और परिणामस्वरूप कुल ऊर्जा $(E = K + U)$ बदल जाएगी। हालाँकि,गतिज ऊर्जा $(K)$ अपरिवर्तित रहेगी क्योंकि यह केवल इलेक्ट्रॉन के वेग पर निर्भर करती है।

(A) बोर के परमाणु मॉडल के अनुसार,एक इलेक्ट्रॉन एक धनावेशित नाभिक के चारों ओर स्थिर कक्षाओं में घूमता है। इलेक्ट्रॉन और नाभिक के बीच का स्थिर-वैद्युत आकर्षण बल $F_{e}$ इलेक्ट्रॉन को उसकी कक्षा में बनाए रखने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल $F_{c}$ प्रदान करता है।
हाइड्रोजन परमाणु में एक स्थिर कक्षा के लिए:
$F_{e} = F_{c}$
$\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{e^{2}}{r^{2}} = \frac{m v^{2}}{r}$
इससे हमें त्रिज्या का संबंध प्राप्त होता है: $r = \frac{e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} m v^{2}} \quad \dots (1)$
इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K$ है:
$K = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{e^{2}}{8 \pi \epsilon_{0} r} \quad \dots (2)$
नाभिक के क्षेत्र में इलेक्ट्रॉन की स्थितिज ऊर्जा $U$ (हाइड्रोजन के लिए $Z=1$) है:
$U = -\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{e^{2}}{r} \quad \dots (3)$
कुल ऊर्जा $E$ गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग है:
$E = K + U = \frac{e^{2}}{8 \pi \epsilon_{0} r} - \frac{e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} r} = -\frac{e^{2}}{8 \pi \epsilon_{0} r}$
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि इलेक्ट्रॉन नाभिक से बंधा हुआ है।

(A) एक परमाणु में,इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $E$ उसकी गतिज ऊर्जा $K$ और स्थितिज ऊर्जा $U$ का योग होती है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन स्थिर-वैद्युत आकर्षण बल द्वारा नाभिक से बंधा होता है,इसलिए स्थितिज ऊर्जा $U$ ऋणात्मक होती है।
गणितीय रूप से,$U = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Ze^2}{r}$।
गतिज ऊर्जा $K$ धनात्मक होती है,जो $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Ze^2}{2r}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,कुल ऊर्जा $E = K + U = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Ze^2}{2r}$ होती है।
ऋणात्मक कुल ऊर्जा यह दर्शाती है कि इलेक्ट्रॉन एक बद्ध अवस्था (bound state) में है,जिसका अर्थ है कि वह नाभिक की ओर आकर्षित है और उसे परमाणु से बाहर निकालने के लिए बाहरी ऊर्जा की आवश्यकता होती है। इसलिए,यह तथ्य कि इलेक्ट्रॉन नाभिक द्वारा आकर्षित होता है,उसकी ऋणात्मक कुल ऊर्जा का कारण है।

(N/A) परमाणु में इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा इस प्रकार दी जाती है:
$E_{n} = -\frac{m Z^{2} e^{4}}{8 n^{2} h^{2} \epsilon_{0}^{2}}$
इसे सरल करने पर:
$E_{n} = -\frac{13.6 Z^{2}}{n^{2}} \text{ eV}$
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि जैसे-जैसे $n$ का मान बढ़ता है,ऋणात्मक ऊर्जा का परिमाण घटता है,जिसका अर्थ है कि नाभिक से दूर की कक्षाओं में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा बढ़ती है।
जब इलेक्ट्रॉन नाभिक के सबसे निकट की कक्षा $(n = 1)$ में होता है,तो उसकी ऊर्जा सबसे कम (अधिकतम ऋणात्मक मान) होती है। इस अवस्था को मूल अवस्था (ground state) कहा जाता है।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए $(Z = 1, n = 1)$:
$E_{1} = -13.6 \text{ eV}$
आयनन ऊर्जा वह न्यूनतम ऊर्जा है जो इलेक्ट्रॉन को मूल अवस्था से अनंत तक ले जाने के लिए आवश्यक है। हाइड्रोजन के लिए यह $13.6 \text{ eV}$ है।
उत्तेजन ऊर्जा वह ऊर्जा है जो इलेक्ट्रॉन को मूल अवस्था से उच्च ऊर्जा अवस्था में ले जाने के लिए आवश्यक है। पहली उत्तेजित अवस्था $(n = 2)$ के लिए:
$E_{2} = -\frac{13.6}{2^{2}} = -3.4 \text{ eV}$
$\Delta E = E_{2} - E_{1} = -3.4 - (-13.6) = 10.2 \text{ eV}$

(A) परमाणु की मूल अवस्था (ground state) उसकी सबसे कम ऊर्जा वाली अवस्था होती है। जब परमाणु ऊर्जा को अवशोषित करता है,तो उसके इलेक्ट्रॉन निचले ऊर्जा स्तर से उच्च ऊर्जा स्तर में चले जाते हैं। यह अवस्था,जिसमें मूल अवस्था की तुलना में अधिक ऊर्जा होती है,परमाणु की उत्तेजित अवस्था (excited state) कहलाती है।

(C) परमाणु में एक कक्षा में इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
जैसे-जैसे नाभिक से दूरी बढ़ती है,मुख्य क्वांटम संख्या $n$ बढ़ती है।
अनंत दूरी पर,$n \to \infty$ होता है।
इसलिए,कुल ऊर्जा $E_{\infty} = \lim_{n \to \infty} \left( -\frac{13.6}{n^2} \right) = 0 \text{ eV}$ होती है।
अतः,नाभिक से अनंत दूरी पर स्थित इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा शून्य होती है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु की $n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ है।
मूल अवस्था (ground state) के लिए,$n = 1$ है।
पहली उत्तेजित अवस्था $n = 2$ के अनुरूप है।
दूसरी उत्तेजित अवस्था $n = 3$ के अनुरूप है।
सूत्र में $n = 3$ रखने पर,हमें $E_3 = -\frac{13.6}{3^2} = -\frac{13.6}{9} \approx -1.51 \ eV$ प्राप्त होता है।
इलेक्ट्रॉन को मुक्त करने (परमाणु का आयनीकरण करने) के लिए,हमें उसकी कुल ऊर्जा को $0 \ eV$ तक लाने के लिए पर्याप्त ऊर्जा प्रदान करनी होगी।
अतः,आवश्यक ऊर्जा $E_{\text{ionization}} = 0 - E_3 = 0 - (-1.51 \ eV) = 1.51 \ eV$ है।

(N/A) $1$. उत्सर्जन रेखाएँ: जब उत्तेजित अवस्था में कोई परमाणु निम्न ऊर्जा अवस्था में संक्रमण करता है,तो वह दो ऊर्जा स्तरों के अंतर के बराबर ऊर्जा वाला एक फोटॉन उत्सर्जित करता है $(E_2 - E_1 = h
u)$। इसके परिणामस्वरूप स्पेक्ट्रम में एक विशिष्ट तरंगदैर्घ्य पर एक चमकीली रेखा प्राप्त होती है,जिसे उत्सर्जन रेखा कहा जाता है।
$2$. अवशोषण रेखाएँ: जब निम्न ऊर्जा अवस्था में कोई परमाणु अपनी वर्तमान अवस्था और उच्च ऊर्जा अवस्था के अंतर के बराबर ऊर्जा वाले फोटॉन का अवशोषण करता है $(h
u = E_2 - E_1)$,तो वह उच्च अवस्था में संक्रमण कर जाता है। निरंतर स्पेक्ट्रम से विशिष्ट तरंगदैर्घ्य के हट जाने के कारण जो काली रेखाएँ बनती हैं,उन्हें अवशोषण रेखाएँ कहा जाता है।

(B) उत्सर्जन रेखा एक स्पेक्ट्रल रेखा है जो तब बनती है जब किसी परमाणु या अणु में एक इलेक्ट्रॉन उच्च ऊर्जा अवस्था $(E_2)$ से निचली ऊर्जा अवस्था $(E_1)$ में संक्रमण करता है।
इस संक्रमण के दौरान,अतिरिक्त ऊर्जा एक फोटॉन के रूप में मुक्त होती है।
उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा समीकरण द्वारा दी जाती है: $E = E_2 - E_1 = h\nu$,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $\nu$ उत्सर्जित विकिरण की आवृत्ति है।
इसके परिणामस्वरूप उत्सर्जन स्पेक्ट्रम में एक विशिष्ट तरंग दैर्ध्य पर एक चमकीली रेखा प्राप्त होती है।

(B) हाइड्रोजन परमाणु में,$n^{\text{th}}$ स्तर की ऊर्जा $E_n = -\frac{E_0}{n^2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $E_0$ हाइड्रोजन की आयनन ऊर्जा है।
$(n+1)$ से $n$ में संक्रमण के लिए,उत्सर्जित विकिरण की ऊर्जा $\Delta E$ ऊर्जा स्तरों के बीच का अंतर है:
$\Delta E = E_{n+1} - E_n = E_0 \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \right)$
$\Delta E = h\nu$ संबंध का उपयोग करते हुए:
$h\nu = E_0 \left( \frac{(n+1)^2 - n^2}{n^2(n+1)^2} \right) = E_0 \left( \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2} \right)$
जब $n >> 1$ हो,तो हम $(n+1) \approx n$ और $(2n+1) \approx 2n$ मान सकते हैं:
$h\nu \approx E_0 \left( \frac{2n}{n^2 \cdot n^2} \right) = E_0 \left( \frac{2n}{n^4} \right) = \frac{2E_0}{n^3}$
अतः,आवृत्ति $\nu$,$\frac{1}{n^3}$ के समानुपाती है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु के बोहर मॉडल के अनुसार,$n^{th}$ स्थिर कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$E_{n} = -\frac{13.6}{n^{2}} \; eV$
जहाँ $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है जो कक्षा की संख्या को दर्शाती है $(n = 1, 2, 3, \dots)$.

(A) हाइड्रोजन परमाणु में एक इलेक्ट्रॉन को $n_1$ अवस्था से $n_2$ अवस्था में उत्तेजित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा का सूत्र इस प्रकार है:
$\Delta E = 13.6 Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) eV$
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$Z = 1$ है। इलेक्ट्रॉन मूल अवस्था $(n_1 = 1)$ से $n_2 = 3$ अवस्था में उत्तेजित होता है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\Delta E = 13.6 \times (1)^2 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right) eV$
$\Delta E = 13.6 \left( 1 - \frac{1}{9} \right) eV$
$\Delta E = 13.6 \left( \frac{8}{9} \right) eV$
$\Delta E = 13.6 \times 0.888... eV$
$\Delta E \approx 12.088 eV \approx 12.1 eV$
अतः,परमाणु में स्थानांतरित ऊर्जा $12.1 eV$ है।

(B) हाइड्रोजन जैसे आयन की $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र इस प्रकार है:
$E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$
$He^{+}$ आयन के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 2$ है।
$2^{nd}$ कक्षा के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n = 2$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$E_2 = -13.6 \times \frac{2^2}{2^2} \ eV$
$E_2 = -13.6 \times \frac{4}{4} \ eV$
$E_2 = -13.6 \ eV$

(A) हाइड्रोजन परमाणु की $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र है:
$E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$
$4^{th}$ कक्षा $(n=4)$ के लिए:
$E_4 = -\frac{13.6}{4^2} = -\frac{13.6}{16} = -0.85 \ eV$
जब इलेक्ट्रॉन को $15 \ eV$ की बाहरी ऊर्जा दी जाती है,तो परमाणु से बाहर निकलने के बाद इलेक्ट्रॉन की अंतिम ऊर्जा $(E_f)$ इस प्रकार होगी:
$E_f = E_{supplied} + E_4$
$E_f = 15 \ eV + (-0.85 \ eV)$
$E_f = 14.15 \ eV$
अतः,इलेक्ट्रॉन की अंतिम गतिज ऊर्जा $14.15 \ eV$ है।

(B) हाइड्रोजन जैसे परमाणु में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र $E_n = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ है।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 1$ और मूल अवस्था (ground state) के लिए,$n = 1$ है।
अतः,हाइड्रोजन की मूल अवस्था ऊर्जा $E_H = -13.6 \times \frac{1^2}{1^2} = -13.6 \text{ eV}$ है।
सिंगली आयनित कार्बन परमाणु $(C^+)$ के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 6$ है।
हम वह ऊर्जा स्तर $n$ ज्ञात करना चाहते हैं जिसके लिए ऊर्जा $E_C$ हाइड्रोजन की मूल अवस्था ऊर्जा के बराबर हो:
$-13.6 \frac{6^2}{n^2} = -13.6$.
दोनों पक्षों को $-13.6$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{36}{n^2} = 1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$n^2 = 36$,जिसका अर्थ है कि $n = 6$।

(B) संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = h\nu = 13.6 \text{ eV} \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $\nu = \frac{\Delta E}{h}$,आवृत्ति $\nu$ तब अधिकतम होती है जब ऊर्जा का अंतर $\Delta E$ अधिकतम होता है।
ऊर्जा अंतराल की तुलना करने पर:
$n = 4$ से $n = 3$ के लिए: $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) \approx 0.66 \text{ eV}$.
$n = 2$ से $n = 1$ के लिए: $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{4} \right) = 13.6 \times 0.75 = 10.2 \text{ eV}$.
$n = 5$ से $n = 4$ के लिए: $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{16} - \frac{1}{25} \right) \approx 0.31 \text{ eV}$.
$n = 3$ से $n = 2$ के लिए: $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) \approx 1.89 \text{ eV}$.
$n = 2$ से $n = 1$ का संक्रमण सबसे बड़ा ऊर्जा अंतर देता है,इसलिए इसकी आवृत्ति अधिकतम होगी।

(A) जब इलेक्ट्रॉन $n = 5$ से $n = 1$ में संक्रमण करता है,तो मुक्त होने वाली ऊर्जा:
$\Delta E = E_5 - E_1 = -0.54 \, eV - (-13.6 \, eV) = 13.06 \, eV$.
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,परमाणु का प्रारंभिक संवेग शून्य है,इसलिए परमाणु का अंतिम संवेग उत्सर्जित फोटॉन के संवेग के बराबर और विपरीत दिशा में होना चाहिए:
$P_{\text{atom}} = P_{\text{photon}} = \frac{h}{\lambda}$.
चूंकि फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ है,इसलिए $\frac{1}{\lambda} = \frac{\Delta E}{hc}$ प्राप्त होता है।
इस मान को संवेग समीकरण में रखने पर,परमाणु का प्रतिक्षेप संवेग $Mv = \frac{\Delta E}{c}$ प्राप्त होता है,जहाँ $M$ हाइड्रोजन परमाणु का द्रव्यमान $(M \approx 1.67 \times 10^{-27} \, kg)$ है और $c$ प्रकाश की गति $(3 \times 10^8 \, m/s)$ है।
प्रतिक्षेप वेग $v$ इस प्रकार है:
$v = \frac{\Delta E}{Mc} = \frac{13.06 \times 1.6 \times 10^{-19} \, J}{1.67 \times 10^{-27} \, kg \times 3 \times 10^8 \, m/s} \approx 4.17 \, m/s$.

(C) टक्कर से पहले निकाय की कुल ऊर्जा मुक्त इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा है,क्योंकि बहुत अधिक दूरी पर स्थितिज ऊर्जा $0$ होती है। कुल ऊर्जा $E_i = 2.6 \, eV + 0 = 2.6 \, eV$ है।
हाइड्रोजन परमाणु पहली उत्तेजित अवस्था $(n=2)$ में बनता है। $n$-वीं अवस्था में हाइड्रोजन परमाणु की ऊर्जा $E_n = -13.6/n^2 \, eV$ द्वारा दी जाती है। $n=2$ के लिए,$E_f = -13.6/4 = -3.4 \, eV$ है।
फोटॉन के रूप में उत्सर्जित ऊर्जा प्रारंभिक और अंतिम कुल ऊर्जा का अंतर है: $\Delta E = E_i - E_f = 2.6 - (-3.4) = 6.0 \, eV$ है।
ऊर्जा को जूल में बदलने पर: $\Delta E = 6.0 \times 1.6 \times 10^{-19} \, J = 9.6 \times 10^{-19} \, J$ है।
संबंध $\Delta E = hf$ का उपयोग करते हुए,आवृत्ति $f = \Delta E / h = (9.6 \times 10^{-19}) / (6.6 \times 10^{-34}) \approx 1.45 \times 10^{15} \, Hz$ प्राप्त होती है।
चूंकि $1 \, MHz = 10^6 \, Hz$ है,इसलिए $MHz$ में आवृत्ति $1.45 \times 10^{15} / 10^6 = 1.45 \times 10^9 \, MHz$ होगी।

(C) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
पहली उत्तेजित अवस्था $n = 2$ के अनुरूप है।
इसलिए,$T_1 = -\frac{13.6}{2^2} = -\frac{13.6}{4} \text{ eV}$।
दूसरी उत्तेजित अवस्था $n = 3$ के अनुरूप है।
इसलिए,$T_2 = -\frac{13.6}{3^2} = -\frac{13.6}{9} \text{ eV}$।
अनुपात $T_1 : T_2$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{-13.6/4}{-13.6/9} = \frac{9}{4}$।
अतः,अनुपात $9:4$ है।

(B) हाइड्रोजन परमाणु के लिए बोहर मॉडल में,ऊर्जा स्तर $E_n = -\frac{13.6 \text{ eV}}{n^2}$ द्वारा दिए जाते हैं। जैसे-जैसे इलेक्ट्रॉन उच्च स्तर ($n$ बढ़ता है) पर संक्रमण करता है,$E$ बढ़ता है (कम ऋणात्मक हो जाता है)।
हाइड्रोजन जैसे परमाणु के लिए,गतिज ऊर्जा $K = -E = \frac{13.6 \text{ eV}}{n^2}$ होती है। जैसे-जैसे $n$ बढ़ता है,$K$ घटता है।
स्थितिज ऊर्जा $P = 2E = -\frac{27.2 \text{ eV}}{n^2}$ होती है। जैसे-जैसे $n$ बढ़ता है,$P$ का परिमाण घटता है,जिसका अर्थ है कि $P$ कम ऋणात्मक हो जाता है,इसलिए $P$ बढ़ता है।
अतः,जैसे-जैसे इलेक्ट्रॉन उच्च ऊर्जा स्तर पर जाता है,$K$ घटता है,जबकि $P$ और $E$ बढ़ते हैं।

(B) $n_2$ से $n_1$ स्तर पर संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $E = 13.6 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
संक्रमण $(i)$ के लिए $n=3$ से $n=2$: $E_1 = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = 13.6 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = 13.6 \left( \frac{5}{36} \right)$.
संक्रमण $(ii)$ के लिए $n=\infty$ से $n=2$: $E_2 = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = 13.6 \left( \frac{1}{4} - 0 \right) = 13.6 \left( \frac{1}{4} \right)$.
अनुपात $\frac{E_1}{E_2} = \frac{13.6(5/36)}{13.6(1/4)} = \frac{5/36}{1/4} = \frac{5}{9}$ है।
चूंकि अनुपात $\frac{x}{x+4}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{x}{x+4} = \frac{5}{9}$ है।
तिर्यक गुणा करने पर $9x = 5x + 20$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $4x = 20$ मिलता है,अतः $x = 5$।

(A) हाइड्रोजन परमाणु की $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
दूसरे ऊर्जा स्तर $(n=2)$ से प्रथम ऊर्जा स्तर $(n=1)$ तक संक्रमण के लिए,उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा है:
$\Delta E_1 = E_2 - E_1 = -\frac{13.6}{2^2} - (-\frac{13.6}{1^2}) = 13.6(1 - \frac{1}{4}) = 13.6 \times \frac{3}{4} \text{ eV}$.
उच्चतम अनुमत ऊर्जा स्तर $(n=\infty)$ से प्रथम अनुमत ऊर्जा स्तर $(n=1)$ तक संक्रमण के लिए,उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा है:
$\Delta E_2 = E_{\infty} - E_1 = 0 - (-\frac{13.6}{1^2}) = 13.6 \text{ eV}$.
ऊर्जाओं का अनुपात है:
$\frac{\Delta E_1}{\Delta E_2} = \frac{13.6 \times \frac{3}{4}}{13.6} = \frac{3}{4}$.

(D) तरंगदैर्ध्य $\lambda$ वाले फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{12400 \, \text{eV} \cdot \mathring{A}}{\lambda (\mathring{A})}$ द्वारा दी जाती है।
दी गई तरंगदैर्ध्य के लिए ऊर्जा की गणना:
$E_1 = \frac{12400}{912} \approx 13.6 \, \text{eV}$
$E_2 = \frac{12400}{1026} \approx 12.08 \, \text{eV}$
$E_3 = \frac{12400}{1216} \approx 10.2 \, \text{eV}$
$E_4 = \frac{12400}{3646} \approx 3.4 \, \text{eV}$
कमरे के तापमान पर,हाइड्रोजन परमाणु अपनी मूल अवस्था (ground state,$n=1$) में होते हैं।
अवशोषण होने के लिए,फोटॉन की ऊर्जा मूल अवस्था और उत्तेजित अवस्था $(n > 1)$ के बीच के ऊर्जा अंतर के बराबर होनी चाहिए। उत्तेजना के लिए आवश्यक न्यूनतम ऊर्जा $E_2 - E_1 = -3.4 - (-13.6) = 10.2 \, \text{eV}$ है।
चूंकि $3.4 \, \text{eV}$,मूल अवस्था से उत्तेजना के लिए आवश्यक $10.2 \, \text{eV}$ से कम है,इसलिए $3646 \, \mathring{A}$ तरंगदैर्ध्य का मजबूती से अवशोषण नहीं होगा।

(B) मूल अवस्था $(n=1)$ में हाइड्रोजन परमाणु की प्रथम उत्तेजन ऊर्जा (first excitation energy),प्रथम उत्तेजित अवस्था $(n=2)$ तक जाने के लिए $E_2 - E_1 = -3.4 \,eV - (-13.6 \,eV) = 10.2 \,eV$ होती है।
यदि आपतित इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $E$,$10.2 \,eV$ से कम है,तो हाइड्रोजन परमाणु कोई ऊर्जा अवशोषित नहीं कर सकता क्योंकि $n=1$ और $n=2$ के बीच कोई ऊर्जा स्तर उपलब्ध नहीं है। परिणामस्वरूप,आंतरिक ऊर्जा में कोई परिवर्तन नहीं होता है और टक्कर प्रत्यास्थ होती है।
यदि गतिज ऊर्जा $E$,$10.2 \,eV$ या उससे अधिक है,तो हाइड्रोजन परमाणु $n=2$ अवस्था में जाने के लिए $10.2 \,eV$ ऊर्जा का अवशोषण कर सकता है। इस स्थिति में,टक्कर अप्रत्यास्थ (inelastic) होती है।
अतः,$E < 10.2 \,eV$ के लिए टक्कर प्रत्यास्थ होगी।

(C) $L$ लंबाई के एक-आयामी बॉक्स में सीमित $m$ द्रव्यमान वाले कण के लिए,ऊर्जा स्तर $E_k = \frac{k^2 h^2}{8 m L^2}$ द्वारा दिए जाते हैं।
दिया गया है $L = \sqrt{\frac{35 h \lambda}{8 m c}}$,इसलिए $L^2 = \frac{35 h \lambda}{8 m c}$.
ऊर्जा समीकरण में $L^2$ का मान रखने पर:
$E_k = \frac{k^2 h^2}{8 m (35 h \lambda / 8 m c)} = \frac{k^2 h c}{35 \lambda}$.
जब इलेक्ट्रॉन $\lambda$ तरंगदैर्ध्य के फोटॉन को अवशोषित करता है,तो वह $k=1$ से $n$ में संक्रमण करता है:
$E_n - E_1 = \frac{h c}{\lambda}$
$\frac{n^2 h c}{35 \lambda} - \frac{1^2 h c}{35 \lambda} = \frac{h c}{\lambda}$
$\frac{n^2 - 1}{35} = 1 \Rightarrow n^2 - 1 = 35 \Rightarrow n^2 = 36 \Rightarrow n = 6$.
इसके बाद,इलेक्ट्रॉन $\lambda^{\prime} = 1.75 \lambda = \frac{7}{4} \lambda$ तरंगदैर्ध्य के फोटॉन का उत्सर्जन करके $n=6$ से $m$ में संक्रमण करता है:
$E_6 - E_m = \frac{h c}{\lambda^{\prime}}$
$\frac{6^2 h c}{35 \lambda} - \frac{m^2 h c}{35 \lambda} = \frac{h c}{1.75 \lambda}$
$\frac{36 - m^2}{35} = \frac{1}{1.75} = \frac{1}{7/4} = \frac{4}{7}$
$36 - m^2 = 35 \times \frac{4}{7} = 5 \times 4 = 20$
$m^2 = 36 - 20 = 16 \Rightarrow m = 4$.
अतः,$n=6$ और $m=4$.

(B) हाइड्रोजन जैसे परमाणु के लिए $n$ वीं अवस्था में ऊर्जा का सूत्र $E_n = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \,eV$ है।
एकल आयनित हीलियम परमाणु के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 2$ है।
अतः,$n=4$ अवस्था के लिए ऊर्जा:
$E_4 = -13.6 \times \frac{2^2}{4^2} = -13.6 \times \frac{4}{16} = -3.4 \,eV$.
जब परमाणु $2.6 \,eV$ ऊर्जा का फोटॉन उत्सर्जित करता है,तो उसकी अंतिम ऊर्जा $E_f$ होगी:
$E_f = E_4 - 2.6 \,eV = -3.4 \,eV - 2.6 \,eV = -6.0 \,eV$.
अब,$E_n = -13.6 \frac{Z^2}{n^2}$ का उपयोग करके इस ऊर्जा स्तर के लिए क्वांटम संख्या $n$ ज्ञात करते हैं:
$-6.0 = -13.6 \times \frac{4}{n^2} \implies n^2 = \frac{13.6 \times 4}{6.0} \approx 9.06 \approx 9$.
इस प्रकार,$n = 3$.
अंतिम ऊर्जा $-6.0 \,eV$ है और क्वांटम संख्या $n=3$ है।

(D) संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$c$ प्रकाश की गति है और $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है।
पहले तीन ऊर्जा स्तरों $(n=1, 2, 3)$ के लिए,संभावित संक्रमण हैं:
$1$. $n=3 \rightarrow n=1$ (ऊर्जा $E_1$,तरंगदैर्ध्य $\lambda_1$)
$2$. $n=2 \rightarrow n=1$ (ऊर्जा $E_2$,तरंगदैर्ध्य $\lambda_2$)
$3$. $n=3 \rightarrow n=2$ (ऊर्जा $E_3$,तरंगदैर्ध्य $\lambda_3$)
चूंकि ऊर्जा तरंगदैर्ध्य के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(E \propto \frac{1}{\lambda})$,सबसे अधिक ऊर्जा परिवर्तन वाला संक्रमण सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य के अनुरूप होता है। अतः,$\lambda_1$ सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य $(n=3 \rightarrow n=1)$ है और $\lambda_3$ सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य $(n=3 \rightarrow n=2)$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम से,$n=3$ से $n=1$ तक के संक्रमण की ऊर्जा $n=3$ से $n=2$ और $n=2$ से $n=1$ तक के संक्रमणों की ऊर्जा के योग के बराबर होती है:
$E_{3 \rightarrow 1} = E_{3 \rightarrow 2} + E_{2 \rightarrow 1}$
$E = \frac{hc}{\lambda}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{hc}{\lambda_1} = \frac{hc}{\lambda_3} + \frac{hc}{\lambda_2}$
दोनों पक्षों को $hc$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{\lambda_1} = \frac{1}{\lambda_2} + \frac{1}{\lambda_3}$

(C) हाइड्रोजन परमाणु की $n^{th}$ कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6 \ eV}{n^2}$ द्वारा दी जाती है।
दो क्रमिक कक्षाओं $n$ और $n+1$ के बीच ऊर्जा का अंतर $\Delta E = E_{n+1} - E_n = -13.6 \left( \frac{1}{(n+1)^2} - \frac{1}{n^2} \right) = 13.6 \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \right) = 13.6 \left( \frac{(n+1)^2 - n^2}{n^2(n+1)^2} \right) = 13.6 \left( \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2} \right)$ है।
जैसे-जैसे $n$ बढ़ता है,हर $n^2(n+1)^2$ अंश $(2n+1)$ की तुलना में बहुत तेजी से बढ़ता है,जिससे $\Delta E$ का मान घट जाता है।
इसलिए,जैसे-जैसे $n$ बढ़ता है,क्रमिक ऊर्जा स्तरों के बीच ऊर्जा का अंतर घटता जाता है।

(D) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र निम्नलिखित है:
$E_n = -\frac{13.6 \,eV}{n^2}$
$n=7$ के संगत ऊर्जा स्तर के लिए:
$E_7 = -\frac{13.6}{7^2} \,eV$
$E_7 = -\frac{13.6}{49} \,eV$
$E_7 \approx -0.27755 \,eV$
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$E_7 \approx -0.28 \,eV$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) ऊर्जा स्तरों $n_i$ और $n_f$ के बीच संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) \, eV$ द्वारा दी जाती है।
$n = 4$ से $n = 1$ के संक्रमण के लिए,$\Delta E = 13.6 \left( 1 - \frac{1}{16} \right) = 13.6 \times \frac{15}{16} = 12.75 \, eV$.
फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा भी दी जाती है।
दिया है कि $h = 4 \times 10^{-15} \, eV \cdot s$ और $c = 3 \times 10^8 \, m/s$,इसलिए $hc = 12 \times 10^{-7} \, eV \cdot m = 1200 \, eV \cdot nm$.
अतः,$\lambda = \frac{hc}{\Delta E} = \frac{1200 \, eV \cdot nm}{12.75 \, eV} \approx 94.11 \, nm$.
इसलिए,तरंगदैर्ध्य लगभग $94.1 \, nm$ है।

(D) हाइड्रोजन परमाणु के लिए,संक्रमण की ऊर्जा $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
स्थिति $1$: दूसरी उत्तेजित अवस्था $(n_i = 3)$ से पहली उत्तेजित अवस्था $(n_f = 2)$ तक।
$\frac{hc}{\lambda_0} = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = 13.6 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = 13.6 \left( \frac{5}{36} \right) \ldots (i)$
स्थिति $2$: तीसरी उत्तेजित अवस्था $(n_i = 4)$ से दूसरी कक्षा $(n_f = 2)$ तक।
$\frac{hc}{\lambda'} = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = 13.6 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = 13.6 \left( \frac{3}{16} \right) \ldots (ii)$
दिया गया है कि $\lambda' = \frac{20}{x} \lambda_0$,इसलिए समीकरण $(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\lambda'}{\lambda_0} = \frac{13.6 \left( \frac{5}{36} \right)}{13.6 \left( \frac{3}{16} \right)} = \frac{5}{36} \times \frac{16}{3} = \frac{5 \times 4}{9 \times 3} = \frac{20}{27}$
$\frac{\lambda'}{\lambda_0} = \frac{20}{27}$ की तुलना $\frac{20}{x}$ से करने पर,हमें $x = 27$ प्राप्त होता है।

(D) संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $\lambda = 124.1 \, nm = 124.1 \times 10^{-9} \, m$।
$hc \approx 1241 \, eV \cdot nm$ का उपयोग करते हुए,आवश्यक ऊर्जा अंतर $\Delta E = \frac{1241 \, eV \cdot nm}{124.1 \, nm} = 10 \, eV$ है।
चित्र से:
संक्रमण $A$: $\Delta E = 0 - (-2.2) = 2.2 \, eV$।
संक्रमण $B$: $\Delta E = 0 - (-5.2) = 5.2 \, eV$।
संक्रमण $C$: $\Delta E = -2.2 - (-5.2) = 3.0 \, eV$।
संक्रमण $D$: $\Delta E = 0 - (-10.0) = 10.0 \, eV$।
चूंकि संक्रमण $D$ ऊर्जा अंतर $10 \, eV$ के अनुरूप है,इसलिए यह $124.1 \, nm$ तरंगदैर्ध्य के फोटॉन के उत्सर्जन का कारण बनेगा।

(C) हाइड्रोजन जैसे परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2}\,eV$ द्वारा दी जाती है।
$Li^{2+}$ के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 3$ है।
दूसरी उत्तेजित अवस्था $n = 3$ के अनुरूप है।
इसलिए,दूसरी उत्तेजित अवस्था में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_3 = -13.6 \times \frac{3^2}{3^2} = -13.6\,eV$ है।
इलेक्ट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा (बंधन ऊर्जा) इस ऊर्जा का परिमाण है,जो $13.6\,eV$ है।
हमें दिया गया है कि यह ऊर्जा $x \times 10^{-1}\,eV$ है।
इसलिए,$13.6 = x \times 10^{-1} \implies x = 136$.

(D) हाइड्रोजन जैसे परमाणु की $n^{\text{th}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
जब एक इलेक्ट्रॉन प्रारंभिक अवस्था $n_i$ से अंतिम अवस्था $n_f$ में कूदता है,तो मुक्त ऊर्जा $\Delta E = E_{n_i} - E_{n_f} = 13.6 Z^2 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) \text{ eV}$ होती है।
यहाँ $Z = 4$,$n_i = 4$,और $n_f = 2$ दिया गया है:
$\Delta E = 13.6 \times (4)^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) \text{ eV}$.
$\Delta E = 13.6 \times 16 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) \text{ eV}$.
$\Delta E = 13.6 \times 16 \left( \frac{4-1}{16} \right) \text{ eV}$.
$\Delta E = 13.6 \times 3 \text{ eV} = 40.8 \text{ eV}$.

(D) संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लैंक नियतांक है,$c$ प्रकाश की गति है,और $\lambda$ तरंग दैर्ध्य है।
इस संबंध से,हमारे पास $\lambda = \frac{hc}{\Delta E}$ है,जिसका अर्थ है कि $\lambda \propto \frac{1}{\Delta E}$।
सबसे छोटी तरंग दैर्ध्य के लिए,ऊर्जा का अंतर $\Delta E$ अधिकतम होना चाहिए।
दिए गए ऊर्जा स्तर आरेख को देखने पर:
संक्रमण $A$,$n=4$ से $n=3$ तक है।
संक्रमण $B$,$n=4$ से $n=2$ तक है।
संक्रमण $C$,$n=3$ से $n=2$ तक है।
संक्रमण $D$,$n=3$ से $n=1$ तक है।
$n=3$ से $n=1$ तक के संक्रमण के लिए ऊर्जा का अंतर सबसे अधिक है,जो संक्रमण $D$ के अनुरूप है।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(B) जब एक इलेक्ट्रॉन उत्तेजित अवस्था $n_2$ से ग्राउंड स्टेट $n_1=1$ में संक्रमण करता है,तो उत्सर्जित स्पेक्ट्रल रेखाओं की संख्या $N = \frac{n_2(n_2-1)}{2}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $N = 6$,इसलिए $\frac{n_2(n_2-1)}{2} = 6$,जिसका अर्थ है $n_2^2 - n_2 - 12 = 0$.
इस द्विघात समीकरण को हल करने पर,हमें $(n_2-4)(n_2+3) = 0$ प्राप्त होता है। चूँकि $n_2 > 0$,इसलिए $n_2 = 4$ है।
आपतित फोटॉन की ऊर्जा ग्राउंड स्टेट $(n=1)$ और उत्तेजित अवस्था $(n=4)$ के बीच ऊर्जा अंतर के बराबर होनी चाहिए:
$h\nu = E_4 - E_1 = -0.85 \ eV - (-13.6 \ eV) = 12.75 \ eV$.
दिया गया है $h = 4.25 \times 10^{-15} \ eVs$,इसलिए आवृत्ति $\nu$ है:
$\nu = \frac{12.75 \ eV}{4.25 \times 10^{-15} \ eVs} = 3 \times 10^{15} \ Hz$.
इसे $x \times 10^{15} \ Hz$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 3$ प्राप्त होता है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु के लिए ऊर्जा स्तर $n=1$ (मूल अवस्था),$n=2$ (प्रथम उत्तेजित अवस्था),$n=3$ (द्वितीय उत्तेजित अवस्था) और $n=4$ (तृतीय उत्तेजित अवस्था) द्वारा दिए जाते हैं।
आकृति से,$A$,$n=2$ के अनुरूप है,$B$,$n=3$ के अनुरूप है और $C$,$n=4$ के अनुरूप है।
$n_2$ से $n_1$ में संक्रमण के लिए तरंग दैर्ध्य $\lambda$,रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$.
$\lambda_1$ संक्रमण के लिए ($n=3$ से $n=2$): $\frac{1}{\lambda_1} = R(1)^2 \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right] = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right] = R \left( \frac{5}{36} \right)$.
$\lambda_2$ संक्रमण के लिए ($n=4$ से $n=3$): $\frac{1}{\lambda_2} = R(1)^2 \left[ \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right] = R \left[ \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right] = R \left( \frac{7}{144} \right)$.
अब,अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ की गणना करें:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{1/\lambda_2}{1/\lambda_1} = \frac{R(7/144)}{R(5/36)} = \frac{7}{144} \times \frac{36}{5} = \frac{7}{4 \times 5} = \frac{7}{20}$.
दिया गया अनुपात $\frac{7}{4n}$ है,इसलिए $\frac{7}{20} = \frac{7}{4n}$,जिसका अर्थ है कि $4n = 20$,इसलिए $n = 5$.

(A) $n=2$ और $n=1$ स्तरों के बीच ऊर्जा का अंतर $\Delta E = E_2 - E_1 = -3.4 \,eV - (-13.6 \,eV) = 10.2 \,eV$ है।
संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार, उत्सर्जित फोटॉन का संवेग हाइड्रोजन परमाणु के प्रतिक्षेप संवेग के परिमाण के बराबर होना चाहिए।
$p_{\text{atom}} = p_{\text{photon}} = \frac{\Delta E}{c}$
चूंकि $p_{\text{atom}} = m \cdot v$, जहां $m$ हाइड्रोजन परमाणु का द्रव्यमान है और $v$ प्रतिक्षेप गति है:
$v = \frac{\Delta E}{m \cdot c}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$v = \frac{10.2 \,eV}{(1.6 \times 10^{-27} \,kg) \times (3 \times 10^8 \,m/s)}$
$eV$ को जूल में बदलने पर $(1 \,eV = 1.6 \times 10^{-19} \,J)$:
$v = \frac{10.2 \times 1.6 \times 10^{-19} \,J}{1.6 \times 10^{-27} \,kg \times 3 \times 10^8 \,m/s}$
$v = \frac{10.2 \times 10^{-19}}{3 \times 10^{-19}} \,m/s = 3.4 \,m/s$
$3.4 \,m/s$ को हर $5$ वाले भिन्न के रूप में व्यक्त करने पर:
$v = \frac{3.4 \times 5}{5} = \frac{17}{5} \,m/s$
इसे $\frac{x}{5} \,m/s$ के साथ तुलना करने पर, हमें $x = 17$ प्राप्त होता है।