Electron Energy and Electron Energy Levels in Hydrogen Atom Questions in Hindi

(C) हाइड्रोजन परमाणु में $n$ वीं कक्षा से इलेक्ट्रॉन को बाहर निकालने के लिए आवश्यक ऊर्जा का सूत्र: $E_n = \frac{13.6 \, Z^2}{n^2} \, eV$ है।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए परमाणु क्रमांक $Z = 1$ होता है।
दी गई अवस्था $n = 10$ के लिए,मानों को सूत्र में रखने पर:
$E_{10} = \frac{13.6 \times (1)^2}{(10)^2} \, eV$.
$E_{10} = \frac{13.6}{100} \, eV$.
$E_{10} = 0.136 \, eV$.

(D) $H$-परमाणु में इलेक्ट्रॉन की बंधन ऊर्जा का सूत्र निम्नलिखित है:
बंधन ऊर्जा $= \frac{13.6}{n^2} \ eV$
यहाँ $n = 4$ दिया गया है,इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
बंधन ऊर्जा $= \frac{13.6}{4^2} \ eV$
बंधन ऊर्जा $= \frac{13.6}{16} \ eV$
बंधन ऊर्जा $= 0.85 \ eV$

(A) हाइड्रोजन परमाणु की मूल अवस्था मुख्य क्वांटम संख्या $n = 1$ के अनुरूप होती है।
दूसरी उत्तेजित अवस्था मुख्य क्वांटम संख्या $n = 3$ के अनुरूप होती है।
हाइड्रोजन परमाणु की $n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \; eV$ द्वारा दी जाती है।
दूसरी उत्तेजित अवस्था $(n = 3)$ के लिए,ऊर्जा $E_3 = -\frac{13.6}{3^2} = -\frac{13.6}{9} = -1.51 \; eV$ है।
परमाणु को आयनित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा वह ऊर्जा है जो इलेक्ट्रॉन को वर्तमान अवस्था से उस अवस्था में लाने के लिए आवश्यक है जहाँ $E = 0$ हो।
अतः,आयनन ऊर्जा $E_{ion} = 0 - E_3 = 0 - (-1.51) = 1.51 \; eV$ है।

(C) दो ऊर्जा स्तरों के बीच का अंतर उत्सर्जित फोटॉन की तरंगदैर्ध्य से $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ संबंध द्वारा संबंधित है।
दिए गए संक्रमणों के लिए:
$1$. $C$ से $B$ का संक्रमण: $E_C - E_B = \frac{hc}{\lambda_1}$
$2$. $B$ से $A$ का संक्रमण: $E_B - E_A = \frac{hc}{\lambda_2}$
$3$. $C$ से $A$ का संक्रमण: $E_C - E_A = \frac{hc}{\lambda_3}$
ऊर्जा स्तर आरेख से,हम देख सकते हैं कि:
$(E_C - E_A) = (E_C - E_B) + (E_B - E_A)$
तरंगदैर्ध्य के संदर्भ में ऊर्जा समीकरणों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{hc}{\lambda_3} = \frac{hc}{\lambda_1} + \frac{hc}{\lambda_2}$
दोनों पक्षों को $hc$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{\lambda_3} = \frac{1}{\lambda_1} + \frac{1}{\lambda_2}$
$\frac{1}{\lambda_3} = \frac{\lambda_2 + \lambda_1}{\lambda_1 \lambda_2}$
अतः,$\lambda_3 = \frac{\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_1 + \lambda_2}$।

(A) आयनन विभव $I.P. = 122.4 \, V$ दिया गया है। अतः मूल अवस्था की ऊर्जा $E_1 = -122.4 \, eV$ है।
किसी भी $n$ वीं कक्षा के लिए ऊर्जा $E_n = -\frac{122.4}{n^2} \, eV$ होती है।
प्रथम उत्तेजित अवस्था $n = 2$ के लिए उत्तेजन विभव $E_2 - E_1 = -\frac{122.4}{4} - (-122.4) = 122.4(1 - \frac{1}{4}) = 122.4 \times \frac{3}{4} = 91.8 \, V$ होगा।
द्वितीय उत्तेजित अवस्था $n = 3$ के लिए उत्तेजन विभव $E_3 - E_1 = -\frac{122.4}{9} - (-122.4) = 122.4(1 - \frac{1}{9}) = 122.4 \times \frac{8}{9} = 108.8 \, V$ होगा।

(D) अवशोषित विकिरण की तरंगदैर्ध्य $\lambda = 975 \, \text{\AA} = 975 \times 10^{-10} \, m$ है।
मूल अवस्था $(n_1 = 1)$ से उत्तेजित अवस्था $(n_2 = n)$ में संक्रमण के लिए रिडबर्ग सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$
मान रखने पर $(R \approx 1.097 \times 10^7 \, m^{-1})$:
$\frac{1}{975 \times 10^{-10}} = 1.097 \times 10^7 \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)$
$1.0256 \times 10^7 \approx 1.097 \times 10^7 \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)$
$0.935 \approx 1 - \frac{1}{n^2}$
$\frac{1}{n^2} \approx 1 - 0.935 = 0.065$
$n^2 \approx \frac{1}{0.065} \approx 15.38$
चूंकि $n$ एक पूर्णांक होना चाहिए, निकटतम पूर्ण वर्ग संख्या $n^2 = 16$ लेने पर, $n = 4$ प्राप्त होता है।
अतः, परमाणु $n = 4$ ऊर्जा स्तर में जाएगा।

(B) हाइड्रोजन परमाणु की $n^{th}$ कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ द्वारा दी जाती है।
$n^{th}$ कक्षा का आयनन विभव वह ऊर्जा है जो एक इलेक्ट्रॉन को उस कक्षा से अनंत $(n = \infty)$ तक ले जाने के लिए आवश्यक होती है,जिसे $I.P._n = E_{\infty} - E_n = 0 - E_n = -E_n$ द्वारा दर्शाया जाता है।
तीसरी कक्षा $(n = 3)$ के लिए:
$I.P._3 = -E_3 = -\left( -\frac{13.6}{3^2} \right) \ eV$.
$I.P._3 = \frac{13.6}{9} \ eV \approx 1.51 \ eV$.

(C) संक्रमण $I$ एक फोटॉन के अवशोषण को दर्शाता है क्योंकि इलेक्ट्रॉन निचले ऊर्जा स्तर से उच्च ऊर्जा स्तर की ओर जाता है।
शेष तीन संक्रमणों $(II, III, IV)$ में से प्रत्येक फोटॉन के उत्सर्जन को दर्शाता है क्योंकि इलेक्ट्रॉन उच्च ऊर्जा स्तर से निचले ऊर्जा स्तर की ओर जाता है।
उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = E_{initial} - E_{final} = 13.6 \text{ eV} \times Z^2 \left( \frac{1}{n_{final}^2} - \frac{1}{n_{initial}^2} \right)$ द्वारा दी जाती है।
संक्रमणों की तुलना करने पर:
संक्रमण $II$: $n=4$ से $n=3$,$\Delta E \propto (1/9 - 1/16) = 7/144 \approx 0.048$
संक्रमण $III$: $n=2$ से $n=1$,$\Delta E \propto (1/1 - 1/4) = 3/4 = 0.75$
संक्रमण $IV$: $n=4$ से $n=2$,$\Delta E \propto (1/4 - 1/16) = 3/16 = 0.1875$
इन मानों की तुलना करने पर,संक्रमण $III$ सबसे अधिक ऊर्जा अंतर के अनुरूप है,इसलिए यह सबसे अधिक ऊर्जा वाले फोटॉन के उत्सर्जन को दर्शाता है।

(B) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की बंधन ऊर्जा का सूत्र: $E_n = \frac{13.6 \ eV}{n^2}$ है।
मूल अवस्था $(n = 1)$ के लिए:
$E_1 = \frac{13.6}{1^2} = 13.6 \ eV$.
प्रथम उत्तेजित अवस्था $(n = 2)$ के लिए:
$E_2 = \frac{13.6}{2^2} = \frac{13.6}{4} = 3.4 \ eV$.
द्वितीय उत्तेजित अवस्था $(n = 3)$ के लिए:
$E_3 = \frac{13.6}{3^2} = \frac{13.6}{9} \approx 1.51 \ eV$.
अतः,इन स्तरों से इलेक्ट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा क्रमशः $13.6 \ eV, 3.4 \ eV$ और $1.5 \ eV$ है।

(D) उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
$2E$ से $E$ तक के पहले संक्रमण के लिए:
$\Delta E_1 = 2E - E = E = \frac{hc}{\lambda} \implies E = \frac{hc}{\lambda}$.
$\frac{4E}{3}$ से $E$ तक के दूसरे संक्रमण के लिए:
$\Delta E_2 = \frac{4E}{3} - E = \frac{E}{3} = \frac{hc}{\lambda'}$.
दूसरे समीकरण में $E = \frac{hc}{\lambda}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{3} \left( \frac{hc}{\lambda} \right) = \frac{hc}{\lambda'}$.
अतः,$\lambda' = 3\lambda$.

(A) उत्सर्जित विकिरण की आवृत्ति $f$ इस प्रकार दी जाती है: $f = c / \lambda = cR [1/(n-1)^2 - 1/n^2]$.
व्यंजक को सरल करने पर: $f = Rc [n^2 - (n-1)^2] / [n^2(n-1)^2]$.
$f = Rc [n^2 - (n^2 - 2n + 1)] / [n^2(n-1)^2] = Rc (2n - 1) / [n^2(n-1)^2]$.
चूंकि $n >> 1$ है,हम $(n-1) \approx n$ और $(2n - 1) \approx 2n$ का अनुमान लगा सकते हैं।
इन अनुमानों को प्रतिस्थापित करने पर: $f \approx Rc (2n) / [n^2(n^2)] = 2Rc / n^3$.
अतः,$f \propto 1/n^3$.

(A) हाइड्रोजन जैसे परमाणुओं के लिए,$n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ होता है।
बंधन ऊर्जा इस ऊर्जा का परिमाण है,अर्थात $E = 13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$।
$Li^{++}$ आयन के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 3$ है।
प्रथम उत्तेजित अवस्था के लिए $n = 2$ होता है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$E = 13.6 \times \frac{3^2}{2^2} \ eV$
$E = 13.6 \times \frac{9}{4} \ eV$
$E = 13.6 \times 2.25 \ eV$
$E = 30.6 \ eV$।

(C) $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र $E_n = - \frac{13.6}{n^2} \ eV$ है।
पहली कक्षा के लिए $(n = 1)$: $E_1 = - \frac{13.6}{1^2} = - 13.6 \ eV$.
तीसरी कक्षा के लिए $(n = 3)$: $E_3 = - \frac{13.6}{3^2} = - \frac{13.6}{9} \approx - 1.51 \ eV$.
इलेक्ट्रॉन को पहली कक्षा से तीसरी कक्षा में ले जाने के लिए आवश्यक ऊर्जा $\Delta E = E_3 - E_1$ है।
$\Delta E = - 1.51 - (- 13.6) = 12.09 \ eV$.

(B) हाइड्रोजन जैसे आयन की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र है: $E_n = -\frac{13.6 \times Z^2}{n^2} \ eV$।
$Li^{++}$ (लिथियम आयन) के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 3$ है।
प्रथम उत्तेजित अवस्था के लिए $n = 2$ होता है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$E_2 = -\frac{13.6 \times 3^2}{2^2} \ eV$
$E_2 = -\frac{13.6 \times 9}{4} \ eV$
$E_2 = -30.6 \ eV$।
इलेक्ट्रॉन को निकालने के लिए (इस अवस्था से आयनन ऊर्जा) आवश्यक ऊर्जा वह है जो इलेक्ट्रॉन को $n = \infty$ तक ले जाने के लिए चाहिए (जहाँ $E = 0$ होता है)।
अतः,आवश्यक ऊर्जा $E_{\infty} - E_2 = 0 - (-30.6 \ eV) = 30.6 \ eV$ होगी।

(A) हाइड्रोजन परमाणु की $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \, eV$ है।
इलेक्ट्रॉन को $n_1 = 2$ कक्षा से $n_2 = 3$ कक्षा में ले जाने के लिए आवश्यक ऊर्जा $\Delta E$ इस प्रकार है:
$\Delta E = E_3 - E_2$
$\Delta E = \left( -\frac{13.6}{3^2} \right) - \left( -\frac{13.6}{2^2} \right)$
$\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right)$
$\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right)$
$\Delta E = 13.6 \left( \frac{9 - 4}{36} \right) = 13.6 \times \frac{5}{36}$
$\Delta E \approx 1.888 \, eV \approx 1.9 \, eV$.

(B) हाइड्रोजन परमाणु की $n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{K}{n^2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $K = 13.6 \ eV$ है।
$n = 2$ और $n = 3$ कक्षाओं के बीच ऊर्जा का अंतर $E = E_3 - E_2 = -\frac{K}{3^2} - (-\frac{K}{2^2}) = K(\frac{1}{4} - \frac{1}{9}) = K(\frac{5}{36})$ है।
अतः,$E = \frac{5}{36}K$,जिसका अर्थ है कि $K = \frac{36}{5}E$ है।
मूल अवस्था $(n = 1)$ से इलेक्ट्रॉन को अनंत $(n = \infty)$ तक हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा (आयनन ऊर्जा) है: $E_{ion} = E_{\infty} - E_1 = 0 - (-\frac{K}{1^2}) = K$ है।
पहले समीकरण से $K$ का मान रखने पर: $E_{ion} = \frac{36}{5}E = 7.2 \ E$।

(D) $3 \to 1$ संक्रमण के लिए,ऊर्जा का अंतर $\Delta E_{31} = 2E - E = E = \frac{hc}{\lambda} \implies E = \frac{hc}{\lambda} \dots (i)$
$2 \to 1$ संक्रमण के लिए,ऊर्जा का अंतर $\Delta E_{21} = \frac{4E}{3} - E = \frac{E}{3} = \frac{hc}{\lambda'}$
समीकरण $(i)$ से $E$ का मान रखने पर: $\frac{1}{3} \left( \frac{hc}{\lambda} \right) = \frac{hc}{\lambda'}$
अतः,$\lambda' = 3\lambda$.

(B) कक्षाओं $n_1$ और $n_2$ के बीच संक्रमण के लिए आवश्यक ऊर्जा का सूत्र इस प्रकार है:
$\Delta E = 13.6 \, Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \, eV$
यहाँ $\Delta E = 47.2 \, eV$,$n_1 = 2$,और $n_2 = 3$ दिया गया है:
$47.2 = 13.6 \times Z^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right)$
$47.2 = 13.6 \times Z^2 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right)$
$47.2 = 13.6 \times Z^2 \left( \frac{9 - 4}{36} \right)$
$47.2 = 13.6 \times Z^2 \left( \frac{5}{36} \right)$
$Z^2 = \frac{47.2 \times 36}{13.6 \times 5}$
$Z^2 = \frac{1699.2}{68} \approx 24.988 \approx 25$
$Z = \sqrt{25} = 5$
अतः,परमाणु क्रमांक $Z$ का मान $5$ है।

(B) हाइड्रोजन परमाणु की मूल अवस्था $(n = 1)$ में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_1 = -13.6 \, eV$ होती है।
जब $12.4 \, eV$ ऊर्जा दी जाती है,तो इलेक्ट्रॉन की नई ऊर्जा $E_n$ होगी:
$E_n = E_1 + E_{given} = -13.6 \, eV + 12.4 \, eV = -1.2 \, eV$.
$n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \, eV$ है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$-\frac{13.6}{n^2} = -1.2$
$n^2 = \frac{13.6}{1.2} \approx 11.33$.
चूंकि $n$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए हम निकटतम कक्षा देखेंगे। इलेक्ट्रॉन $n = 3$ कक्षा में जाएगा $(E_3 = -1.51 \, eV)$,क्योंकि उसके पास $n = 4$ कक्षा $(E_4 = -0.85 \, eV)$ तक पहुँचने के लिए पर्याप्त ऊर्जा नहीं है।

(D) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $E_n = \frac{-13.6}{n^2} \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
मूल अवस्था के लिए,$n = 1$,इसलिए $E_1 = -13.6 \text{ eV}$।
प्रथम उत्तेजित अवस्था के लिए,$n = 2$।
अतः,प्रथम उत्तेजित अवस्था में कुल ऊर्जा $E_2 = \frac{-13.6}{2^2} = \frac{-13.6}{4} = -3.4 \text{ eV}$ है।
किसी भी कक्षा में,गतिज ऊर्जा $K$,कुल ऊर्जा $E$ के ऋणात्मक मान के बराबर होती है,अर्थात $K = -E$।
इस प्रकार,प्रथम उत्तेजित अवस्था में इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K = -(-3.4 \text{ eV}) = 3.4 \text{ eV}$ है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु की $n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \, eV$ द्वारा दी जाती है।
मूल अवस्था $(n=1)$ के लिए,$E_1 = -13.6 \, eV$ है।
पहली उत्तेजित अवस्था $(n=2)$ के लिए,$E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -\frac{13.6}{4} = -3.4 \, eV$ है।
इलेक्ट्रॉन को मूल अवस्था से पहली उत्तेजित अवस्था में ले जाने के लिए आवश्यक उत्तेजन ऊर्जा $\Delta E = E_2 - E_1$ है।
$\Delta E = -3.4 \, eV - (-13.6 \, eV) = 10.2 \, eV$।

(D) रिडबर्ग सूत्र के अनुसार:
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right]$
पहली स्थिति में,इलेक्ट्रॉन तीसरी उत्तेजित अवस्था $(n_i = 4)$ से दूसरी उत्तेजित अवस्था $(n_f = 3)$ में कूदता है:
$\frac{1}{\lambda_1} = R \left[ \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right] = R \left[ \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right] = R \left[ \frac{16 - 9}{144} \right] = \frac{7}{144} R$ .... $(i)$
दूसरी स्थिति में,इलेक्ट्रॉन दूसरी उत्तेजित अवस्था $(n_i = 3)$ से पहली उत्तेजित अवस्था $(n_f = 2)$ में कूदता है:
$\frac{1}{\lambda_2} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right] = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right] = R \left[ \frac{9 - 4}{36} \right] = \frac{5}{36} R$ .... $(ii)$
अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ ज्ञात करने के लिए,हम $\frac{1}{\lambda_1}$ को $\frac{1}{\lambda_2}$ से विभाजित करते हैं:
$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{\frac{5}{36} R}{\frac{7}{144} R} = \frac{5}{36} \times \frac{144}{7} = \frac{5 \times 4}{7} = \frac{20}{7}$
अतः,अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{20}{7}$ है।

(B) जब इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन एक-दूसरे से अनंत दूरी पर होते हैं,तो उनकी स्थिर-वैद्युत स्थितिज ऊर्जा शून्य मानी जाती है।
इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन को $n = 2$ अवस्था से अनंत दूरी तक अलग करने के लिए,हमें उस अवस्था की बंधन ऊर्जा के बराबर कार्य करना होगा।
हाइड्रोजन परमाणु की $n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
$n = 2$ के लिए,ऊर्जा $E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -\frac{13.6}{4} = -3.4 \text{ eV}$ है।
इलेक्ट्रॉन को अनंत (जहाँ $E_f = 0$) तक ले जाने के लिए आवश्यक कार्य $W = E_f - E_i = 0 - (-3.4 \text{ eV}) = 3.4 \text{ eV}$ है।
इसे जूल में बदलने पर: $W = 3.4 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J}$।

(C) अवशोषण स्पेक्ट्रम में काली रेखाओं की संख्या $(n - 1)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ परमाणुओं द्वारा प्राप्त उच्चतम उत्तेजित अवस्था की मुख्य क्वांटम संख्या है।
दिया गया है कि $5$ काली रेखाएँ हैं,इसलिए $n - 1 = 5$,जिसका अर्थ है $n = 6$ है।
जब ये परमाणु मूल अवस्था में वापस आते हैं,तो उत्सर्जन स्पेक्ट्रम में चमकीली रेखाओं की संख्या $\frac{n(n - 1)}{2}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
सूत्र में $n = 6$ रखने पर,हमें $\frac{6(6 - 1)}{2} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$ प्राप्त होता है।
अतः,उत्सर्जन स्पेक्ट्रम में चमकीली रेखाओं की संख्या $15$ है।

(C) उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = E_2 - E_1 = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $\lambda = \frac{hc}{\Delta E}$,तरंग दैर्ध्य $\lambda$ ऊर्जा अंतर $\Delta E$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
सबसे छोटी तरंग दैर्ध्य के लिए,ऊर्जा अंतर $\Delta E$ अधिकतम होना चाहिए। आरेख को देखने पर,संक्रमण $C$ ($n=4$ से $n=2$) संक्रमण $D$ ($n=4$ से $n=3$) या $B$ ($n=3$ से $n=2$) की तुलना में बड़ा ऊर्जा अंतराल कवर करता है।
सबसे लंबी तरंग दैर्ध्य के लिए,ऊर्जा अंतर $\Delta E$ न्यूनतम होना चाहिए। संक्रमण $D$ ($n=4$ से $n=3$) दिए गए संक्रमणों में सबसे छोटा ऊर्जा अंतराल दर्शाता है।
इसलिए,सबसे छोटी तरंग दैर्ध्य संक्रमण $C$ के अनुरूप है और सबसे लंबी तरंग दैर्ध्य संक्रमण $D$ के अनुरूप है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{E_1}{n^2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $E_1 = 2.18 \times 10^{-18} \ J$ मूल अवस्था $(n=1)$ की आयनन ऊर्जा है।
$n = 3$ के लिए,इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_3 = -\frac{2.18 \times 10^{-18}}{3^2} \ J$ है।
$E_3 = -\frac{2.18 \times 10^{-18}}{9} \ J$.
परमाणु को आयनित करने के लिए,हमें इलेक्ट्रॉन को $E = 0$ स्तर तक लाने के लिए उसकी ऊर्जा के परिमाण के बराबर ऊर्जा प्रदान करनी होगी।
आवश्यक ऊर्जा $= |E_3| = \frac{2.18 \times 10^{-18}}{9} \ J$.
आवश्यक ऊर्जा $= 0.2422 \times 10^{-18} \ J = 2.42 \times 10^{-19} \ J$.

(D) हाइड्रोजन जैसे परमाणु की $n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{Z^2 E_0}{n^2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $E_0 = 13.6 \text{ eV}$ है।
ऊर्जा अंतर की गणना:
$E_{4n} - E_{2n} = -\frac{Z^2 E_0}{(4n)^2} - \left( -\frac{Z^2 E_0}{(2n)^2} \right) = Z^2 E_0 \left( \frac{1}{4n^2} - \frac{1}{16n^2} \right) = Z^2 E_0 \left( \frac{4-1}{16n^2} \right) = \frac{3 Z^2 E_0}{16n^2}$.
$E_{2n} - E_n = -\frac{Z^2 E_0}{(2n)^2} - \left( -\frac{Z^2 E_0}{n^2} \right) = Z^2 E_0 \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{4n^2} \right) = Z^2 E_0 \left( \frac{4-1}{4n^2} \right) = \frac{3 Z^2 E_0}{4n^2}$.
अनुपात लेने पर:
$\frac{E_{4n} - E_{2n}}{E_{2n} - E_n} = \frac{3 Z^2 E_0 / 16n^2}{3 Z^2 E_0 / 4n^2} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$.
चूंकि परिणाम एक स्थिरांक है,यह $Z$ और $n$ से स्वतंत्र है,जिसे $Z^0 n^0$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

(A) जब एक इलेक्ट्रॉन ऊर्जा स्तर $n_2$ से निचले ऊर्जा स्तर $n_1$ में संक्रमण करता है,तो उत्सर्जित स्पेक्ट्रल रेखाओं की संख्या $N = \frac{(n_2 - n_1)(n_2 - n_1 + 1)}{2}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,इलेक्ट्रॉन $n^{th}$ उत्तेजित अवस्था से दूसरी उत्तेजित अवस्था में संक्रमण करता है।
$n^{th}$ उत्तेजित अवस्था मुख्य क्वांटम संख्या $n_2 = n + 1$ के अनुरूप है।
दूसरी उत्तेजित अवस्था मुख्य क्वांटम संख्या $n_1 = 3$ के अनुरूप है।
यह दिया गया है कि उत्सर्जित तरंग दैर्ध्य की संख्या $10$ है,इसलिए:
$10 = \frac{((n+1) - 3)((n+1) - 3 + 1)}{2}$
$10 = \frac{(n-2)(n-1)}{2}$
$20 = n^2 - 3n + 2$
$n^2 - 3n - 18 = 0$
$(n-6)(n+3) = 0$
चूंकि $n$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए हमें $n = 6$ प्राप्त होता है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ है।
दूसरी कक्षा के लिए,$n = 2$ है।
सूत्र में $n$ का मान रखने पर: $E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -\frac{13.6}{4} = -3.4 \ eV$ प्राप्त होता है।
दूसरी कक्षा से इलेक्ट्रॉन को निकालने के लिए आवश्यक ऊर्जा वह ऊर्जा है जो इलेक्ट्रॉन को $E_2 = -3.4 \ eV$ से $E = 0 \ eV$ (अनंत) तक लाने के लिए चाहिए।
अतः,आवश्यक ऊर्जा $0 - (-3.4) = 3.4 \ eV$ है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु के लिए बामर श्रेणी की सबसे लंबी तरंग दैर्ध्य $n=3$ अवस्था से $n=2$ अवस्था में इलेक्ट्रॉन के संक्रमण के अनुरूप होती है।
इसका अर्थ है कि जब हाइड्रोजन परमाणु टकराने वाले इलेक्ट्रॉन द्वारा उत्तेजित हुआ,तो इलेक्ट्रॉन $n=1$ मूल अवस्था से $n=3$ उत्तेजित अवस्था में चला गया।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए $n$-वीं क्वांटम अवस्था की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
मूल अवस्था $(n=1)$ के लिए: $E_1 = -\frac{13.6}{1^2} = -13.6 \text{ eV}$।
उत्तेजित अवस्था $(n=3)$ के लिए: $E_3 = -\frac{13.6}{3^2} = -1.51 \text{ eV}$।
इस उत्तेजना के लिए आवश्यक ऊर्जा $\Delta E = E_3 - E_1 = -1.51 - (-13.6) = 12.09 \text{ eV} \approx 12.1 \text{ eV}$ है।
चूंकि टकराने वाला इलेक्ट्रॉन परमाणु को उत्तेजित करने के लिए अपनी पूरी गतिज ऊर्जा खो देता है,इसलिए इलेक्ट्रॉन की न्यूनतम गतिज ऊर्जा उत्तेजना ऊर्जा के बराबर होनी चाहिए,जो कि $12.1 \text{ eV}$ है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु में,कुल ऊर्जा $E$,गतिज ऊर्जा $K$ और स्थितिज ऊर्जा $U$ के बीच संबंध $U = 2E$ और $K = -E$ है।
प्रथम उत्तेजित अवस्था $(n=2)$ के लिए,कुल ऊर्जा $E_2 = -13.6 / 2^2 = -3.4 \ eV$ है।
प्रथम उत्तेजित अवस्था में स्थितिज ऊर्जा $U_2 = 2E_2 = 2(-3.4) = -6.8 \ eV$ है।
यदि हम स्थितिज ऊर्जा के स्तर को इस प्रकार बदलते हैं कि नई स्थितिज ऊर्जा $U'_2 = 0$ हो जाए,तो हमने स्थितिज ऊर्जा में $+6.8 \ eV$ जोड़ा है।
चूंकि कुल ऊर्जा $E = K + U$ होती है,और स्थितिज ऊर्जा के संदर्भ बिंदु में परिवर्तन से गतिज ऊर्जा $K$ अपरिवर्तित रहती है,इसलिए नई कुल ऊर्जा $E' = E + \Delta U$ होगी।
मूल अवस्था $(n=1)$ के लिए,मूल कुल ऊर्जा $E_1 = -13.6 \ eV$ है।
लागू किया गया परिवर्तन $\Delta U = +6.8 \ eV$ है।
अतः,मूल अवस्था में नई कुल ऊर्जा $E'_1 = -13.6 + 6.8 = -6.8 \ eV$ होगी।

(B) हाइड्रोजन जैसे परमाणु में एक इलेक्ट्रॉन के लिए,कुल ऊर्जा $(TE)$ गतिज ऊर्जा $(KE)$ के ऋणात्मक मान के बराबर होती है: $TE = -KE$.
दिया गया है $TE = -3.4 \, eV$,इसलिए $-3.4 \, eV = -KE$,जिसका अर्थ है $KE = 3.4 \, eV$.
अतः,$E = 3.4 \, eV$.
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p}$ है,जहाँ $p = \sqrt{2mE}$.
मान रखने पर: $h = 6.63 \times 10^{-34} \, J \cdot s$,$m = 9.11 \times 10^{-31} \, kg$,और $E = 3.4 \times 1.6 \times 10^{-19} \, J$.
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 3.4 \times 1.6 \times 10^{-19}}}$
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{9.92 \times 10^{-49}}} \approx \frac{6.63 \times 10^{-34}}{9.96 \times 10^{-25}} \approx 0.665 \times 10^{-9} \, m = 6.65 \times 10^{-10} \, m$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$\lambda \approx 6.6 \times 10^{-10} \, m$.

(B) एक सामान्य हाइड्रोजन परमाणु में,स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{27.2 \ eV}{n^2}$ होती है और कुल ऊर्जा $E = -\frac{13.6 \ eV}{n^2}$ होती है।
यदि हम संदर्भ स्तर को इस प्रकार बदलते हैं कि मूल अवस्था $(n=1)$ पर स्थितिज ऊर्जा शून्य हो जाए,तो हम स्थितिज ऊर्जा व्यंजक में एक स्थिरांक $C$ जोड़ते हैं।
चूंकि $U(1) = -27.2 + C = 0$,हमें $C = 27.2 \ eV$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,नई स्थितिज ऊर्जा $U' = -\frac{27.2}{n^2} + 27.2 \ eV$ है।
कुल ऊर्जा $E'$ का मान $E' = K + U' = \frac{13.6}{n^2} + (-\frac{27.2}{n^2} + 27.2) = 27.2 - \frac{13.6}{n^2} \ eV$ हो जाता है।
$n=1$ के लिए,$E' = 27.2 - 13.6 = 13.6 \ eV$ है।
जैसे-जैसे $n$ बढ़ता है,$\frac{13.6}{n^2}$ घटता है,इसलिए $E'$ बढ़ता है। अतः,कथन $B$ गलत है।

(A) इलेक्ट्रॉनिक संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = E_{initial} - E_{final} = h\nu$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\nu$ आवृत्ति है।
उत्सर्जन होने के लिए,इलेक्ट्रॉन को उच्च ऊर्जा स्तर से निम्न ऊर्जा स्तर में संक्रमण करना चाहिए। इसलिए,विकल्प $(b)$ और $(d)$ को हटा दिया गया है क्योंकि वे अवशोषण को दर्शाते हैं।
शेष संक्रमणों के लिए ऊर्जा अंतर की तुलना करने पर:
$n = 2$ से $n = 1$ के लिए: $\Delta E_1 = 13.6 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = 13.6 \times 0.75 = 10.2 \text{ eV}$.
$n = 6$ से $n = 2$ के लिए: $\Delta E_2 = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{6^2} \right) = 13.6 \times 0.2223 \approx 3.02 \text{ eV}$.
चूंकि $\nu = \frac{\Delta E}{h}$,जिस संक्रमण में ऊर्जा का अंतर सबसे अधिक होगा,वह सबसे अधिक आवृत्ति वाला फोटॉन उत्सर्जित करेगा।
$\Delta E_1$ और $\Delta E_2$ की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $\Delta E_1 > \Delta E_2$ है।
इसलिए,$n = 2$ से $n = 1$ का संक्रमण सबसे अधिक आवृत्ति वाले फोटॉन का उत्सर्जन करता है।

(D) हाइड्रोजन-जैसे परमाणु के लिए,कक्षा की त्रिज्या $r_n \propto n^2$ द्वारा दी जाती है। जैसे ही इलेक्ट्रॉन उत्तेजित अवस्था से मूल अवस्था में संक्रमण करता है,मुख्य क्वांटम संख्या $n$ घटती है,इसलिए त्रिज्या $r$ घटती है।
गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{kZe^2}{2r}$ है। चूँकि $r$ घटता है,इसलिए $K.E.$ बढ़ती है।
स्थितिज ऊर्जा $P.E. = -\frac{kZe^2}{r}$ है। चूँकि $r$ घटता है,इसलिए $P.E.$ का परिमाण बढ़ता है,जिसका अर्थ है कि $P.E.$ अधिक ऋणात्मक हो जाती है (घटती है)।
कुल ऊर्जा $T.E. = -\frac{kZe^2}{2r}$ है। चूँकि $r$ घटता है,इसलिए $T.E.$ का परिमाण बढ़ता है,जिसका अर्थ है कि $T.E.$ अधिक ऋणात्मक हो जाती है (घटती है)।
अतः,गतिज ऊर्जा बढ़ती है,जबकि स्थितिज ऊर्जा और कुल ऊर्जा घटती है।

(D) ऊर्जा स्तर आरेख से,हम संबंध $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ का उपयोग करते हैं।
तरंगदैर्ध्य $\lambda_1$ के अनुरूप संक्रमण के लिए,ऊर्जा अंतर $\Delta E_1 = -E - (-2E) = E$ है।
अतः,$\frac{hc}{\lambda_1} = E$,जिससे $\lambda_1 = \frac{hc}{E}$ प्राप्त होता है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda_2$ के अनुरूप संक्रमण के लिए,ऊर्जा अंतर $\Delta E_2 = -E - (-\frac{4}{3}E) = \frac{1}{3}E$ है।
अतः,$\frac{hc}{\lambda_2} = \frac{E}{3}$,जिससे $\lambda_2 = \frac{3hc}{E}$ प्राप्त होता है।
अनुपात $r = \frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{hc/E}{3hc/E} = \frac{1}{3}$ है।

(C) $\lambda = 800 \ nm$ तरंग दैर्ध्य वाले फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{1240}{800} = 1.55 \ eV$ है।
चूंकि फिल्टर से केवल $\lambda > 800 \ nm$ वाले फोटॉन गुजरते हैं,इसलिए उत्सर्जित फोटॉनों की ऊर्जा $E < 1.55 \ eV$ होनी चाहिए।
हाइड्रोजन परमाणु के ऊर्जा स्तर $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ हैं।
$n=1, 2, 3, 4, 5$ के लिए ऊर्जा क्रमशः $-13.6, -3.4, -1.51, -0.85, -0.54 \ eV$ है।
$n=4$ से $n=3$ संक्रमण के लिए ऊर्जा का अंतर $\Delta E = E_4 - E_3 = -0.85 - (-1.51) = 0.66 \ eV$ है।
चूंकि $0.66 \ eV < 1.55 \ eV$,यह फोटॉन फिल्टर से गुजरता है।
यदि नमूना $3^{rd}$ उत्तेजित अवस्था $(n=4)$ में है,तो केवल एक प्रकार का संक्रमण संभव है जिसकी ऊर्जा $1.55 \ eV$ से कम है। अतः,नमूना प्रारंभ में $3^{rd}$ उत्तेजित अवस्था में है।

(B) ऊर्जा स्तर $E_1 = -12\, eV$,$E_2 = -7\, eV$,$E_3 = -3\, eV$,और $E_4 = -1\, eV$ हैं।
इलेक्ट्रॉन $E_4 = -1\, eV$ से शुरू होता है और $E_1 = -12\, eV$ पर समाप्त होता है। मुक्त होने वाली कुल ऊर्जा $\Delta E = (-1\, eV) - (-12\, eV) = 11\, eV$ है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन ठीक दो फोटॉन उत्सर्जित करता है,इसलिए दोनों फोटॉनों की ऊर्जा का योग $11\, eV$ $(h\nu_1 + h\nu_2 = 11\, eV)$ होना चाहिए।
$E_4 = -1\, eV$ से $E_1 = -12\, eV$ तक दो चरणों में संभावित संक्रमण:
$1$. $E_4 \to E_3 \to E_1$: ऊर्जाएं $(-1 - (-3)) = 2\, eV$ और $(-3 - (-12)) = 9\, eV$ हैं।
$2$. $E_4 \to E_2 \to E_1$: ऊर्जाएं $(-1 - (-7)) = 6\, eV$ और $(-7 - (-12)) = 5\, eV$ हैं।
संभावित फोटॉन ऊर्जाएं $2\, eV, 9\, eV, 6\, eV, 5\, eV$ हैं।
इन विकल्पों की तुलना करने पर,$4\, eV$ संभावित फोटॉन ऊर्जाओं में नहीं है।

(D) उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = E_2 - E_1 = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
इस संबंध से,हम देखते हैं कि तरंग दैर्ध्य $\lambda = \frac{hc}{\Delta E}$ है।
इसलिए,तरंग दैर्ध्य $\lambda$ के अधिकतम होने के लिए,ऊर्जा का अंतर $\Delta E$ न्यूनतम होना चाहिए।
दिखाए गए उत्सर्जन संक्रमणों $(II, III, IV)$ में से,संक्रमण $II$ $n=4$ और $n=3$ के बीच होता है,जिसमें सबसे कम ऊर्जा अंतराल $(\Delta E = 0.66 \ eV)$ है।
अतः,संक्रमण $II$ अधिकतम तरंग दैर्ध्य वाले फोटॉन के उत्सर्जन के अनुरूप है।

(B) इलेक्ट्रॉन $-1\,eV$ से शुरू होता है और $-12\,eV$ पर समाप्त होता है। मुक्त होने वाली कुल ऊर्जा $\Delta E = (-1\,eV) - (-12\,eV) = 11\,eV$ है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन ठीक दो फोटॉन उत्सर्जित करके संक्रमण करता है, इसलिए दोनों फोटॉनों की ऊर्जा का योग $11\,eV$ $(E_1 + E_2 = 11\,eV)$ होना चाहिए।
संभावित मध्यवर्ती स्तर $-3\,eV$ और $-7\,eV$ हैं।
स्थिति $1$: $-3\,eV$ स्तर के माध्यम से संक्रमण:
फोटॉन $1$: $(-1\,eV) - (-3\,eV) = 2\,eV$
फोटॉन $2$: $(-3\,eV) - (-12\,eV) = 9\,eV$
स्थिति $2$: $-7\,eV$ स्तर के माध्यम से संक्रमण:
फोटॉन $1$: $(-1\,eV) - (-7\,eV) = 6\,eV$
फोटॉन $2$: $(-7\,eV) - (-12\,eV) = 5\,eV$
संभावित फोटॉन ऊर्जाएं $2\,eV, 9\,eV, 6\,eV, 5\,eV$ हैं।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर, $4\,eV$ संभावित फोटॉन ऊर्जाओं में नहीं है।

(B) $C$ से $A$ तक संक्रमण के लिए ऊर्जा का अंतर $C$ से $B$ और $B$ से $A$ तक के संक्रमणों के लिए ऊर्जा अंतर का योग है।
$E_C - E_A = (E_C - E_B) + (E_B - E_A)$
$E = \frac{hc}{\lambda}$ संबंध का उपयोग करते हुए, हम लिख सकते हैं:
$\frac{hc}{\lambda_3} = \frac{hc}{\lambda_1} + \frac{hc}{\lambda_2}$
दोनों पक्षों को $hc$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{\lambda_3} = \frac{1}{\lambda_1} + \frac{1}{\lambda_2}$
$\frac{1}{\lambda_3} = \frac{\lambda_2 + \lambda_1}{\lambda_1 \lambda_2}$
अतः, $\lambda_3 = \frac{\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_1 + \lambda_2}$।

(C) स्पेक्ट्रल रेखाओं की तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{1500p^2}{p^2 - 1}$ द्वारा दी गई है।
आयनीकरण ऊर्जा ज्ञात करने के लिए,हम $n = \infty$ से $n = 1$ तक के संक्रमण पर विचार करते हैं,जो श्रेणी सीमा (न्यूनतम तरंगदैर्ध्य) के अनुरूप है।
जैसे $p \to \infty$,$\lambda_{\min} = \lim_{p \to \infty} \frac{1500p^2}{p^2 - 1} = 1500 \mathring{A}$।
इस तरंगदैर्ध्य के अनुरूप फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = \frac{hc}{\lambda_{\min}}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\Delta E = \frac{12420 \text{ eV-} \mathring{A}}{1500 \mathring{A}} = 8.28 \text{ eV}$।
चूंकि आयनीकरण विभव जमीनी अवस्था $(n=1)$ से एक इलेक्ट्रॉन को अनंत तक हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा है,इसलिए आयनीकरण विभव $8.28 \text{ V}$ है।

(A) उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
हाइड्रोजन परमाणु $(Z=1)$ के लिए $n_2 = 4$ से $n_1 = 1$ में संक्रमण के लिए:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{16} \right) = \frac{15R}{16}$.
उत्सर्जित फोटॉन का संवेग $p = \frac{h}{\lambda}$ है।
$\frac{1}{\lambda}$ का मान रखने पर: $p = h \left( \frac{15R}{16} \right) = \frac{15Rh}{16}$.
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,हाइड्रोजन परमाणु का संवेग फोटॉन के संवेग के बराबर और विपरीत दिशा में होना चाहिए: $p_{\text{atom}} = p_{\text{photon}} = mv$.
अतः,$mv = \frac{15Rh}{16}$,जिससे हमें $v = \frac{15}{16} \frac{Rh}{m}$ प्राप्त होता है।

(C) उत्सर्जित फोटॉन की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है:
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right] = R \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{5^2} \right] = R \left[ 1 - \frac{1}{25} \right] = \frac{24}{25} R$.
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,परमाणु का संवेग $p_{atom}$ उत्सर्जित फोटॉन के संवेग $p_{photon}$ के बराबर होना चाहिए क्योंकि परमाणु शुरू में स्थिर था:
$p_{atom} = p_{photon} = \frac{h}{\lambda}$.
चूंकि $p_{atom} = mv$,इसलिए:
$mv = \frac{h}{\lambda}$.
$\frac{1}{\lambda}$ का मान रखने पर:
$v = \frac{h}{m} \cdot \frac{1}{\lambda} = \frac{h}{m} \cdot \left( \frac{24}{25} R \right) = \frac{24hR}{25m}$.

(B) $n = 2$ से $n = 1$ में संक्रमण के दौरान हाइड्रोजन परमाणु द्वारा उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा है:
$E = 13.6 \text{ eV} \times Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$
हाइड्रोजन $(Z = 1)$ के लिए,$E = 13.6 \times 1^2 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = 13.6 \times \frac{3}{4} = 10.2 \text{ eV}$.
यह फोटॉन उत्तेजित अवस्था $n$ में एक द्वि-आयनित लिथियम परमाणु ($Li^{2+}$,$Z = 3$) द्वारा अवशोषित किया जाता है। हाइड्रोजन जैसे आयन की $n$-वीं अवस्था से इलेक्ट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा है:
$E_n = 13.6 \text{ eV} \times \frac{Z^2}{n^2} = 13.6 \times \frac{3^2}{n^2} = 13.6 \times \frac{9}{n^2}$.
फोटॉन के लिए इलेक्ट्रॉन को पूरी तरह से हटाने के लिए,इसकी ऊर्जा $n$ अवस्था की आयनीकरण ऊर्जा से अधिक या उसके बराबर होनी चाहिए:
$10.2 \ge 13.6 \times \frac{9}{n^2}$
$\frac{10.2}{13.6} \ge \frac{9}{n^2}$
$0.75 \ge \frac{9}{n^2}$
$n^2 \ge \frac{9}{0.75} = 12$
$n \ge \sqrt{12} \approx 3.46$.
चूंकि $n$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए न्यूनतम क्वांटम संख्या $n = 4$ है।

(B) हाइड्रोजन जैसे परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र: $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \, eV$ है।
$Li^{++}$ के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 3$ है।
प्रथम उत्तेजित अवस्था $n = 2$ के अनुरूप होती है।
बंधन ऊर्जा (इलेक्ट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा) उस अवस्था में ऊर्जा का परिमाण है: $E = 13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \, eV$.
मान रखने पर: $E = 13.6 \times \frac{3^2}{2^2} = 13.6 \times \frac{9}{4} = 13.6 \times 2.25 = 30.6 \, eV$.

(A) हाइड्रोजन परमाणु के ऊर्जा स्तर $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ द्वारा दिए जाते हैं।
कमरे के तापमान पर,हाइड्रोजन परमाणु मूल अवस्था $(n=1)$ में होते हैं।
इलेक्ट्रॉन को $n=1$ से $n=2$ तक उत्तेजित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा $E_2 - E_1 = -3.4 - (-13.6) = 10.2 \ eV$ है।
इलेक्ट्रॉन को $n=1$ से $n=3$ तक उत्तेजित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा $E_3 - E_1 = -1.51 - (-13.6) = 12.09 \ eV$ है।
इलेक्ट्रॉन को $n=1$ से $n=4$ तक उत्तेजित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा $E_4 - E_1 = -0.85 - (-13.6) = 12.75 \ eV$ है।
चूंकि आपतित इलेक्ट्रॉन बीम की ऊर्जा $12.5 \ eV$ है,इसलिए यह हाइड्रोजन परमाणुओं को $n=3$ ऊर्जा स्तर तक उत्तेजित कर सकता है।
जब ये उत्तेजित परमाणु मूल अवस्था में वापस आते हैं,तो संभावित संक्रमण इस प्रकार हैं:
$n=3 \rightarrow n=2$ (बामर श्रेणी)
$n=3 \rightarrow n=1$ (लाइमन श्रेणी)
$n=2 \rightarrow n=1$ (लाइमन श्रेणी)
इस प्रकार,लाइमन श्रेणी में $2$ रेखाएं और बामर श्रेणी में $1$ रेखा प्राप्त होती है।

(B) उत्सर्जन के लिए संभावित संक्रमण उच्च ऊर्जा स्तरों से निम्न ऊर्जा स्तरों की ओर होते हैं। उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = E_f - E_i$ द्वारा दी जाती है। संभावित संक्रमण इस प्रकार हैं:
$1$. $E_3$ से $E_2$ में: $\Delta E_{32} = -2 \ eV - (-6 \ eV) = 4 \ eV$.
$2$. $E_3$ से $E_1$ में: $\Delta E_{31} = -2 \ eV - (-8 \ eV) = 6 \ eV$.
$3$. $E_2$ से $E_1$ में: $\Delta E_{21} = -6 \ eV - (-8 \ eV) = 2 \ eV$.
सूत्र $\lambda = \frac{hc}{\Delta E}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $hc \approx 1240 \ eV \cdot nm$ है:
- $\Delta E = 4 \ eV$ के लिए,$\lambda = \frac{1240}{4} = 310 \ nm$.
- $\Delta E = 6 \ eV$ के लिए,$\lambda = \frac{1240}{6} \approx 206.67 \ nm \approx 207 \ nm$.
- $\Delta E = 2 \ eV$ के लिए,$\lambda = \frac{1240}{2} = 620 \ nm$.
इन मानों की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,$465 \ nm$ तरंगदैर्ध्य उत्सर्जन स्पेक्ट्रम में उपस्थित नहीं है।