Electron Energy and Electron Energy Levels in Hydrogen Atom Questions in Hindi

(C) बामर श्रेणी की किसी भी रेखा को देखने के लिए, हाइड्रोजन परमाणु को कम से कम $n = 3$ ऊर्जा स्तर तक उत्तेजित होना चाहिए, क्योंकि बामर श्रेणी की पहली रेखा $n = 3$ से $n = 2$ में संक्रमण के अनुरूप होती है।
इलेक्ट्रॉन को मूल अवस्था $(n = 1)$ से $n = 3$ अवस्था में उत्तेजित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा है:
$\Delta E = E_3 - E_1 = 13.6 \left( 1 - \frac{1}{3^2} \right) \,eV$
$\Delta E = 13.6 \left( 1 - \frac{1}{9} \right) \,eV = 13.6 \times \frac{8}{9} \,eV$
$\Delta E = 12.088... \,eV \approx 12.09 \,eV$
चूंकि बमबारी करने वाले इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $eV$ है, इसलिए आवश्यक विभवांतर $V = 12.09 \,V$ है।
यह दिया गया है कि विभवांतर $\frac{\alpha}{10} \,V$ है, इसलिए:
$\frac{\alpha}{10} = 12.1$
$\alpha = 121$.

(C) हाइड्रोजन परमाणु में एक इलेक्ट्रॉन के लिए,गतिज ऊर्जा $(KE)$ और स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ विरियल प्रमेय द्वारा संबंधित हैं।
$KE = -\frac{1}{2} PE$
स्थितिज ऊर्जा का परिमाण लेने पर,हमें $|PE| = 2 KE$ प्राप्त होता है।
इसलिए,गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा के परिमाण का अनुपात $\frac{KE}{|PE|} = \frac{1}{2}$ है।
यह संबंध किसी भी कक्षा $n$ के लिए सत्य है,जिसमें $5^{\text{th}}$ उत्तेजित अवस्था $(n = 6)$ भी शामिल है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ होता है।
दिया गया है $E_n = -0.85 \ eV$,अतः:
$-\frac{13.6}{n^2} = -0.85$
$n^2 = \frac{13.6}{0.85} = 16$
$n = 4$।
उत्तेजित अवस्था $n$ से निम्न ऊर्जा स्तरों में होने वाले संक्रमणों की संख्या का सूत्र $\frac{n(n-1)}{2}$ है।
$n = 4$ रखने पर:
संक्रमणों की संख्या $= \frac{4(4-1)}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$।

(D) बामर श्रेणी में विकिरण उत्सर्जित करने के लिए,एक इलेक्ट्रॉन को उच्च ऊर्जा स्तर $(n > 2)$ से $n=2$ ऊर्जा स्तर में संक्रमण करना आवश्यक है।
न्यूनतम ऊर्जा के लिए,इलेक्ट्रॉन को ग्राउंड स्टेट $(n=1)$ से उस ऊर्जा स्तर में उत्तेजित करना होगा जहाँ से वह $n=2$ में संक्रमण कर सके,जो कि $n=3$ है।
हाइड्रोजन परमाणु के $n$-वें स्तर की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6 \ eV}{n^2}$ द्वारा दी जाती है।
इलेक्ट्रॉन को $n=1$ से $n=3$ में उत्तेजित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा $\Delta E = E_3 - E_1$ है।
$E_1 = -13.6 \ eV$.
$E_3 = -\frac{13.6}{3^2} = -\frac{13.6}{9} \approx -1.51 \ eV$.
$\Delta E = -1.51 - (-13.6) = 12.09 \ eV \approx 12.1 \ eV$.

(C) $H$-परमाणु की मूल अवस्था में इलेक्ट्रॉन विकिरण को अवशोषित करने के बाद $n$-वीं अवस्था में कूदता है।
विकिरण की तरंगदैर्ध्य,$\lambda = 970 \mathring A = 970 \times 10^{-10} \text{ m}$ है।
इलेक्ट्रॉन द्वारा प्राप्त ऊर्जा,$E' = \frac{hc}{e\lambda} = \frac{1.237 \times 10^{-6}}{970 \times 10^{-10}} \text{ eV} = 12.75 \text{ eV}$ है।
अतः,$n$-वीं अवस्था की ऊर्जा,$E_n = -13.6 + 12.75 = -0.85 \text{ eV}$ है।
सूत्र $E_n = \frac{-13.6}{n^2} \text{ eV}$ का उपयोग करने पर:
$-0.85 = \frac{-13.6}{n^2}$
$n^2 = \frac{13.6}{0.85} = 16$
$n = 4$ प्राप्त होता है।
उत्सर्जन स्पेक्ट्रल रेखाओं की संख्या $N = \frac{n(n-1)}{2}$ द्वारा दी जाती है।
$N = \frac{4(4-1)}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$ रेखाएँ।

(D) हाइड्रोजन परमाणु की $n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की स्थितिज ऊर्जा $V_n = -\frac{ke^2}{r_n} = -\frac{27.2}{n^2} \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,स्थितिज ऊर्जा मुख्य क्वांटम संख्या के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $V \propto \frac{1}{n^2}$.
दिए गए अनुपात $\frac{V_i}{V_f} = 6.25$ से,हम लिख सकते हैं:
$\frac{V_i}{V_f} = \frac{n_f^2}{n_i^2} = 6.25$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{n_f}{n_i} = \sqrt{6.25} = 2.5 = \frac{5}{2}$.
इसका अर्थ है $n_f = 2.5 n_i$. चूँकि $n_f$ और $n_i$ पूर्णांक होने चाहिए,इसलिए $2$ से गुणा करने पर हमें $n_f = 5$ और $n_i = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$n_f$ का न्यूनतम संभव मान $5$ है।

(A) दो अवस्थाओं के बीच ऊर्जा का अंतर $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दिया जाता है।
अवस्था $A$ से अवस्था $C$ में संक्रमण के लिए:
$E_A - E_C = \frac{hc}{2000 \ \mathring A} \quad \dots (i)$
अवस्था $B$ से अवस्था $C$ में संक्रमण के लिए:
$E_B - E_C = \frac{hc}{6000 \ \mathring A} \quad \dots (ii)$
अवस्था $A$ से अवस्था $B$ में संक्रमण के लिए,ऊर्जा का अंतर है:
$E_A - E_B = (E_A - E_C) - (E_B - E_C)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ से मान रखने पर:
$\frac{hc}{\lambda_{AB}} = \frac{hc}{2000 \ \mathring A} - \frac{hc}{6000 \ \mathring A}$
$\frac{1}{\lambda_{AB}} = \frac{3 - 1}{6000 \ \mathring A} = \frac{2}{6000 \ \mathring A} = \frac{1}{3000 \ \mathring A}$
अतः,$\lambda_{AB} = 3000 \ \mathring A$।

(A) जब एक इलेक्ट्रॉन $n^{\text{th}}$ ऊर्जा स्तर में होता है,तो मूल अवस्था (ground state) में संक्रमण के दौरान उत्सर्जित स्पेक्ट्रमी रेखाओं की कुल संख्या निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$N = \frac{n(n-1)}{2}$
यहाँ,$n = 4$ है।
सूत्र में $n$ का मान रखने पर:
$N = \frac{4(4-1)}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$
अतः,उत्सर्जित स्पेक्ट्रमी रेखाओं की कुल संख्या $6$ है।

(C) ऊर्जा स्तर आरेख से,उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
दिखाए गए संक्रमणों के लिए:
$1$) $E_3$ से $E_1$ तक संक्रमण तरंगदैर्ध्य $\lambda_1$ के अनुरूप है: $E_3 - E_1 = \frac{hc}{\lambda_1} \quad (1)$
$2$) $E_2$ से $E_1$ तक संक्रमण तरंगदैर्ध्य $\lambda_2$ के अनुरूप है: $E_2 - E_1 = \frac{hc}{\lambda_2} \quad (2)$
$3$) $E_3$ से $E_2$ तक संक्रमण तरंगदैर्ध्य $\lambda_3$ के अनुरूप है: $E_3 - E_2 = \frac{hc}{\lambda_3} \quad (3)$
हम देख सकते हैं कि $(E_3 - E_1) = (E_3 - E_2) + (E_2 - E_1)$.
समीकरण $(1), (2)$ और $(3)$ से मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{hc}{\lambda_1} = \frac{hc}{\lambda_3} + \frac{hc}{\lambda_2}$
दोनों पक्षों को $hc$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{\lambda_1} = \frac{1}{\lambda_2} + \frac{1}{\lambda_3}$

(C) हाइड्रोजन जैसे परमाणु के लिए,ऊर्जाएं इस प्रकार हैं:
स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ = $-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Ze^2}{r}$
गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ = $-\frac{1}{2} (P.E.) = \frac{1}{8 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Ze^2}{r}$
कुल ऊर्जा $(T.E.)$ = $\frac{1}{2} (P.E.) = -\frac{1}{8 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Ze^2}{r}$
जब इलेक्ट्रॉन उत्तेजित अवस्था से मूल अवस्था में संक्रमण करता है,तो कक्षा की त्रिज्या $(r)$ घट जाती है।
चूंकि $K.E. = \frac{k}{r}$,जैसे-जैसे $r$ घटता है,$K.E.$ बढ़ती है।
चूंकि $P.E. = -\frac{k'}{r}$,जैसे-जैसे $r$ घटता है,$P.E.$ अधिक ऋणात्मक हो जाती है,जिसका अर्थ है कि यह घटती है।
चूंकि $T.E. = -\frac{k''}{r}$,जैसे-जैसे $r$ घटता है,$T.E.$ अधिक ऋणात्मक हो जाती है,जिसका अर्थ है कि यह घटती है।
इसलिए,$K.E.$ बढ़ती है,जबकि $P.E.$ और $T.E.$ घटती हैं।

(D) उत्सर्जित विकिरण की तरंगदैर्ध्य के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$ है।
तीसरी कक्षा से दूसरी कक्षा में संक्रमण के लिए:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{9-4}{36} \right) = \frac{5R}{36}$.
चौथी कक्षा से तीसरी कक्षा में संक्रमण के लिए,मान लीजिए तरंगदैर्ध्य $\lambda'$ है:
$\frac{1}{\lambda'} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{16-9}{144} \right) = \frac{7R}{144}$.
अब,दोनों समीकरणों का अनुपात लेने पर:
$\frac{\lambda'}{\lambda} = \frac{5R/36}{7R/144} = \frac{5}{36} \times \frac{144}{7} = \frac{5 \times 4}{7} = \frac{20}{7}$.
अतः,$\lambda' = \frac{20}{7} \lambda$.

(A) संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$c$ प्रकाश की गति है,और $\lambda$ तरंग दैर्ध्य है।
इस संबंध से,हमारे पास $E \propto \frac{1}{\lambda}$ है।
इसका अर्थ है कि अधिकतम तरंग दैर्ध्य के विकिरण के उत्सर्जन के लिए,ऊर्जा का अंतर $(E)$ न्यूनतम होना चाहिए।
न्यूनतम तरंग दैर्ध्य के विकिरण के उत्सर्जन के लिए,ऊर्जा का अंतर $(E)$ अधिकतम होना चाहिए।
आइए दिए गए संक्रमणों के लिए ऊर्जा अंतर की गणना करें:
संक्रमण $A$: $\Delta E = 0 - (-2) = 2 \text{ eV}$ (न्यूनतम ऊर्जा अंतर)
संक्रमण $B$: $\Delta E = 0 - (-4.5) = 4.5 \text{ eV}$
संक्रमण $C$: $\Delta E = -2 - (-4.5) = 2.5 \text{ eV}$
संक्रमण $D$: $\Delta E = -2 - (-10) = 8 \text{ eV}$ (अधिकतम ऊर्जा अंतर)
चूंकि संक्रमण $A$ में ऊर्जा का अंतर न्यूनतम है,इसलिए यह अधिकतम तरंग दैर्ध्य के अनुरूप है।
चूंकि संक्रमण $D$ में ऊर्जा का अंतर अधिकतम है,इसलिए यह न्यूनतम तरंग दैर्ध्य के अनुरूप है।
अतः,अधिकतम और न्यूनतम तरंग दैर्ध्य के लिए संक्रमण क्रमशः $A$ और $D$ हैं।

(D) बोर के हाइड्रोजन परमाणु सिद्धांत के अनुसार,$n^{th}$ स्थिर कक्षा में इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $E_n$ का सूत्र इस प्रकार है:
$E_n = -\frac{m Z^2 e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^2 n^2}$
जहाँ $m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है,$Z$ परमाणु क्रमांक है,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,$\varepsilon_0$ मुक्त स्थान की विद्युतशीलता है,$h$ प्लांक नियतांक है,और $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि कुल ऊर्जा $E_n$,मुख्य क्वांटम संख्या $n$ के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
अतः,$E_n \propto \frac{1}{n^2}$।

(D) उत्सर्जित फोटॉन की आवृत्ति $\Delta E = h\nu$ संबंध द्वारा दी जाती है,जहाँ $\Delta E$ दो ऊर्जा स्तरों के बीच का ऊर्जा अंतर है।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$n$ वें स्तर की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6 \ eV}{n^2}$ है।
$n_i$ से $n_f$ में संक्रमण के लिए ऊर्जा अंतर $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) \ eV$ है।
सबसे अधिक आवृत्ति प्राप्त करने के लिए,हमें सबसे बड़ा ऊर्जा अंतर $\Delta E$ चाहिए।
प्रत्येक विकल्प के लिए $\Delta E$ की गणना:
$A$: $n=1$ से $n=3$ (अवशोषण,उत्सर्जन नहीं)
$B$: $n=2$ से $n=4$ (अवशोषण,उत्सर्जन नहीं)
$C$: $n=5$ से $n=3$: $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{5^2} \right) = 13.6 \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{25} \right) \approx 0.96 \ eV$.
$D$: $n=2$ से $n=1$: $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = 13.6 \times 0.75 = 10.2 \ eV$.
चूंकि $10.2 \ eV > 0.96 \ eV$,इसलिए $n=2$ से $n=1$ का संक्रमण सबसे अधिक ऊर्जा मुक्त करता है और इस प्रकार सबसे अधिक आवृत्ति वाले फोटॉन का उत्सर्जन करता है।

(B) इलेक्ट्रॉनिक संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की आवृत्ति $E = h\nu = E_i - E_f$ संबंध द्वारा दी जाती है,जहाँ $E_i$ प्रारंभिक ऊर्जा स्तर है और $E_f$ अंतिम ऊर्जा स्तर है।
उत्सर्जन होने के लिए,इलेक्ट्रॉन को उच्च ऊर्जा स्तर से निम्न ऊर्जा स्तर $(n_i > n_f)$ में संक्रमण करना चाहिए।
अतः,विकल्प $A$ ($n=1$ से $n=2$) और $C$ ($n=2$ से $n=6$) में अवशोषण होता है,उत्सर्जन नहीं,इसलिए इन्हें हटाया जा सकता है।
उत्सर्जन संक्रमणों की तुलना करने पर:
$1$. $n=2$ से $n=1$ के लिए: $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = 13.6 \times 0.75 = 10.2 \text{ eV}$.
$2$. $n=6$ से $n=2$ के लिए: $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{6^2} \right) = 13.6 \left( 0.25 - 0.0277 \right) = 13.6 \times 0.2223 \approx 3.02 \text{ eV}$.
चूंकि आवृत्ति $\nu = \frac{\Delta E}{h}$ होती है,इसलिए सबसे बड़ा ऊर्जा अंतर $\Delta E$ वाला संक्रमण उच्चतम आवृत्ति वाले फोटॉन का उत्सर्जन करेगा।
अतः,$n=2$ से $n=1$ का संक्रमण उच्चतम आवृत्ति के फोटॉन का उत्सर्जन करता है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु की $n^{\text{वीं}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र: $E_n = \frac{E_0}{n^2}$ है, जहाँ $E_0 = -13.6 \ eV$ है।
पहली कक्षा $(n=1)$ के लिए: $E_1 = \frac{E_0}{1^2} = E_0$।
तीसरी कक्षा $(n=3)$ के लिए: $E_3 = \frac{E_0}{3^2} = \frac{E_0}{9}$।
दिए गए संबंध $E_3 = x E_1$ में मान रखने पर:
$\frac{E_0}{9} = x E_0$।
दोनों पक्षों को $E_0$ से विभाजित करने पर, हमें $x = \frac{1}{9}$ प्राप्त होता है।

(B) ऊर्जा स्तर $n_2$ से $n_1$ में संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
संक्रमण $(i)$ के लिए,$n_2 = 3$ से $n_1 = 2$:
$\Delta E_1 = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = 13.6 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = 13.6 \left( \frac{5}{36} \right) \text{ eV}$.
संक्रमण (ii) के लिए,$n_2 = \infty$ से $n_1 = 3$:
$\Delta E_2 = 13.6 \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = 13.6 \left( \frac{1}{9} - 0 \right) = 13.6 \left( \frac{1}{9} \right) \text{ eV}$.
अनुपात $\frac{\Delta E_1}{\Delta E_2} = \frac{13.6 \times (5/36)}{13.6 \times (1/9)} = \frac{5}{36} \times 9 = \frac{5}{4}$ है।

(B) हाइड्रोजन जैसे परमाणु की $n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र $E_n = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ है।
अतः,$E \propto \frac{Z^2}{n^2}$.
हाइड्रोजन परमाणु $(Z_H = 1)$ के लिए तीसरी कक्षा $(n_H = 3)$ में ऊर्जा $E = k \frac{1^2}{3^2} = \frac{k}{9}$ है,जहाँ $k$ एक नियतांक है।
हीलियम आयन $(Z_{He} = 2)$ के लिए पांचवीं कक्षा $(n_{He} = 5)$ में ऊर्जा $E_{He} = k \frac{2^2}{5^2} = \frac{4k}{25}$ है।
दोनों समीकरणों का अनुपात लेने पर: $\frac{E_{He}}{E} = \frac{4k/25}{k/9} = \frac{4}{25} \times 9 = \frac{36}{25}$.
इसलिए,$E_{He} = \frac{36}{25} E$.

(A) हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ का सूत्र $K.E. = \frac{kZe^2}{2r}$ है।
चूंकि $K.E. \propto \frac{1}{r}$,जैसे-जैसे इलेक्ट्रॉन उच्च ऊर्जा स्तर (उत्तेजित अवस्था) में जाता है,त्रिज्या $r$ बढ़ती है,जिससे $K.E.$ घट जाती है।
स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ का सूत्र $P.E. = -\frac{kZe^2}{r}$ है।
चूंकि $P.E. \propto -\frac{1}{r}$,जैसे-जैसे $r$ बढ़ता है,ऋणात्मक मान का परिमाण कम हो जाता है,जिसका अर्थ है कि $P.E.$ का मान कम ऋणात्मक हो जाता है (अर्थात यह बढ़ता है)।
इसलिए,जब एक हाइड्रोजन परमाणु को मूल अवस्था से उत्तेजित अवस्था में ले जाया जाता है,तो उसकी स्थितिज ऊर्जा बढ़ती है और उसकी गतिज ऊर्जा घटती है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ द्वारा दी जाती है।
मूल अवस्था के लिए,$n_1 = 1$,इसलिए $E_1 = -13.6 \ eV$।
अगली उच्च अवस्था (प्रथम उत्तेजित अवस्था) के लिए,$n_2 = 2$,इसलिए $E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -3.4 \ eV$।
परमाणु को उत्तेजित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा $\Delta E = E_2 - E_1$ है।
$\Delta E = -3.4 \ eV - (-13.6 \ eV) = 10.2 \ eV$।

(B) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6 \text{ eV}}{n^2}$ द्वारा दी जाती है।
पहले संक्रमण के लिए (दूसरे से पहले स्तर): $n_i = 2$ से $n_f = 1$ तक।
उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E_1 = E_2 - E_1 = -\frac{13.6}{2^2} - (-\frac{13.6}{1^2}) = 13.6(1 - \frac{1}{4}) = 13.6 \times \frac{3}{4} \text{ eV}$ है।
दूसरे संक्रमण के लिए (अनंत से दूसरे स्तर): $n_i = \infty$ से $n_f = 2$ तक।
उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E_2 = E_{\infty} - E_2 = 0 - (-\frac{13.6}{2^2}) = \frac{13.6}{4} \text{ eV}$ है।
ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{\Delta E_1}{\Delta E_2} = \frac{13.6 \times \frac{3}{4}}{13.6 \times \frac{1}{4}} = \frac{3}{1}$ है।
अतः,अनुपात $3: 1$ है।

(B) उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\Delta E = h c R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
यहाँ,संक्रमण $n_2 = 4$ से $n_1 = 1$ तक है।
$\Delta E = R h c \left( 1 - \frac{1}{4^2} \right) = R h c \left( 1 - \frac{1}{16} \right) = \frac{15}{16} R h c$.
फोटॉन की ऊर्जा को उसके सापेक्ष द्रव्यमान $m$ का उपयोग करके $E = m c^2$ के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है।
ऊर्जा के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $m c^2 = \frac{15}{16} R h c$.
दोनों पक्षों को $m c$ से विभाजित करने पर,हमें फोटॉन का वेग $c = \frac{15 R h}{16 m}$ प्राप्त होता है।

(C) हाइड्रोजन जैसे परमाणु में,$r$ त्रिज्या की कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन की स्थितिज ऊर्जा $U$ और गतिज ऊर्जा $K$ विरियल प्रमेय द्वारा संबंधित हैं।
कूलम्ब विभव $U = -\frac{kZe^2}{r}$ के लिए,स्थिर-वैद्युत बल आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$\frac{kZe^2}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$
दोनों पक्षों को $\frac{r}{2}$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{kZe^2}{2r} = \frac{1}{2} mv^2 = K$
चूंकि स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{kZe^2}{r}$ है,हम देख सकते हैं कि $K = -\frac{U}{2}$ होता है।
यह देखते हुए कि स्थितिज ऊर्जा $U = -E$ है,गतिज ऊर्जा है:
$K = -\frac{(-E)}{2} = \frac{E}{2}$।

(A) हाइड्रोजन परमाणु में नाभिक से $r$ दूरी पर स्थित इलेक्ट्रॉन की स्थितिज ऊर्जा $U$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$U = -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{e^2}{r}$
जैसे-जैसे इलेक्ट्रॉन ग्राउंड स्टेट $(n=1)$ से $5^{\text{वीं}}$ कक्षा $(n=5)$ में जाता है,कक्षा की त्रिज्या $r$ बढ़ती है $(r \propto n^2)$।
चूंकि $U$,$r$ के व्युत्क्रमानुपाती है और इसमें ऋणात्मक चिह्न है,इसलिए जैसे-जैसे $r$ बढ़ता है,$U$ का मान कम ऋणात्मक होता जाता है,जिसका अर्थ है कि यह बढ़ता है।
अतः,इलेक्ट्रॉन की स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि होती है।

(C) हाइड्रोजन जैसे परमाणु में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र: $E_n = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ है।
हाइड्रोजन परमाणु की दूसरी कक्षा के लिए $(Z=1, n=2)$: $E = -13.6 \frac{1^2}{2^2} = -\frac{13.6}{4} \text{ eV}$।
अतः,$13.6 \text{ eV} = 4E$।
हीलियम आयन की तीसरी कक्षा के लिए $(Z=2, n=3)$: $E_3 = -13.6 \frac{2^2}{3^2} = -13.6 \frac{4}{9} \text{ eV}$।
$13.6 = -4E$ का मान रखने पर: $E_3 = -(-4E) \frac{4}{9} = \frac{16E}{9}$।

(B) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6 \ eV}{n^2}$ द्वारा दी जाती है।
पहले संक्रमण के लिए (ii से i): $n_i = 2$ से $n_f = 1$ तक।
उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E_1 = E_2 - E_1 = -\frac{13.6}{2^2} - (-\frac{13.6}{1^2}) = 13.6(1 - \frac{1}{4}) = 13.6 \times \frac{3}{4} \ eV$ है।
दूसरे संक्रमण के लिए (उच्चतम से ii): $n_i = \infty$ से $n_f = 2$ तक।
उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E_2 = E_{\infty} - E_2 = 0 - (-\frac{13.6}{2^2}) = \frac{13.6}{4} \ eV$ है।
ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{\Delta E_1}{\Delta E_2} = \frac{13.6 \times \frac{3}{4}}{\frac{13.6}{4}} = \frac{3}{1} = 3:1$ है।

(C) हाइड्रोजन-समान परमाणु के लिए,ऊर्जा स्तर इस प्रकार हैं:
$T.E. = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$
$P.E. = 2 \times T.E. = -27.2 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$
$K.E. = -T.E. = 13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$
जब एक इलेक्ट्रॉन उत्तेजित अवस्था से मूल अवस्था में संक्रमण करता है,तो मुख्य क्वांटम संख्या $n$ घटती है।
जैसे-जैसे $n$ घटता है:
$1$. $K.E. = 13.6 \frac{Z^2}{n^2}$ बढ़ता है।
$2$. $T.E. = -13.6 \frac{Z^2}{n^2}$ अधिक ऋणात्मक हो जाता है,इसलिए यह घटता है।
$3$. $P.E. = -27.2 \frac{Z^2}{n^2}$ अधिक ऋणात्मक हो जाता है,इसलिए यह घटता है।
अतः,$K.E.$ बढ़ता है,जबकि $P.E.$ और $T.E.$ घटते हैं।

(D) इलेक्ट्रॉनिक संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $E = Rhc \left( \frac{1}{n_{1}^{2}} - \frac{1}{n_{2}^{2}} \right)$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$R$ रिडबर्ग नियतांक है,$h$ प्लैंक नियतांक है,और $c$ प्रकाश की गति है।
$(i)$ दूसरे $(n_2 = 2)$ से पहले $(n_1 = 1)$ ऊर्जा स्तर के संक्रमण के लिए:
$E_{1} = Rhc \left( \frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{2^{2}} \right) = Rhc \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3}{4} Rhc$.
$(ii)$ उच्चतम ऊर्जा स्तर $(n_2 = \infty)$ से दूसरे $(n_1 = 2)$ ऊर्जा स्तर के संक्रमण के लिए:
$E_{2} = Rhc \left( \frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{\infty^{2}} \right) = Rhc \left( \frac{1}{4} - 0 \right) = \frac{1}{4} Rhc$.
ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{E_{1}}{E_{2}} = \frac{\frac{3}{4} Rhc}{\frac{1}{4} Rhc} = \frac{3}{1}$ है।
अतः,अनुपात $3: 1$ है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$n$ वीं कक्षा की ऊर्जा $E_n = \frac{-13.6}{n^2} \ eV$ द्वारा दी जाती है।
दूसरी उत्तेजित अवस्था के लिए,$n = 3$ होता है।
अतः,कुल ऊर्जा $E_3 = \frac{-13.6}{3^2} = \frac{-13.6}{9} \approx -1.51 \ eV$ है।
किसी भी बोहर कक्षा में,गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ कुल ऊर्जा $(E)$ के ऋणात्मक मान के बराबर होती है: $K.E. = -E = -(-1.51 \ eV) = +1.51 \ eV$।
स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ कुल ऊर्जा $(E)$ के दोगुने के बराबर होती है: $P.E. = 2E = 2 \times (-1.51 \ eV) = -3.02 \ eV$।
इस प्रकार,गतिज ऊर्जा $+1.51 \ eV$ है और स्थितिज ऊर्जा $-3.02 \ eV$ है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
मूल अवस्था $(n=1)$ के लिए,$E_1 = -13.6 \text{ eV}$ है।
पहली उत्तेजित अवस्था $n=2$ के अनुरूप होती है।
अतः,पहली उत्तेजित अवस्था में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -\frac{13.6}{4} = -3.4 \text{ eV}$ है।
इलेक्ट्रॉन को मूल अवस्था से पहली उत्तेजित अवस्था में ले जाने के लिए आवश्यक उत्तेजन ऊर्जा $\Delta E = E_2 - E_1$ है।
$\Delta E = -3.4 \text{ eV} - (-13.6 \text{ eV}) = 10.2 \text{ eV}$।

(B) दो स्तरों के बीच ऊर्जा का अंतर $\Delta E = 5.4 \ eV$ है।
इस ऊर्जा को जूल में बदलने पर: $\Delta E = 5.4 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J = 8.64 \times 10^{-19} \ J$।
उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा और आवृत्ति $\nu$ के बीच संबंध $\Delta E = h\nu$ है।
इसलिए,आवृत्ति $\nu = \frac{\Delta E}{h}$।
मान रखने पर: $\nu = \frac{8.64 \times 10^{-19}}{6.625 \times 10^{-34}} \ Hz$।
परिणाम की गणना करने पर: $\nu \approx 1.304 \times 10^{15} \ Hz$।

(A) हाइड्रोजन परमाणु में एक इलेक्ट्रॉन के लिए,कुल ऊर्जा $(E)$,गतिज ऊर्जा $(K)$ और स्थितिज ऊर्जा $(U)$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$E = -K = \frac{U}{2}$
अतः,स्थितिज ऊर्जा $U = 2 \times E$ होती है।
दिया गया है कि कुल ऊर्जा $E = -3.4 \ eV$ है,इसलिए:
$U = 2 \times (-3.4 \ eV) = -6.8 \ eV$.
इस प्रकार,प्रथम उत्तेजित अवस्था में इलेक्ट्रॉन की स्थितिज ऊर्जा $-6.8 \ eV$ है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु में एक इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा का सूत्र इस प्रकार है:
$E_{n} = \frac{-13.6}{n^{2}} \text{ eV}$
इससे हम देख सकते हैं कि ऊर्जा मुख्य क्वांटम संख्या के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होती है:
$E_{n} \propto \frac{1}{n^{2}}$
प्रथम उत्तेजित अवस्था के लिए $n = 2$ और तीसरी उत्तेजित अवस्था के लिए $n = 4$ रखने पर।
अतः,प्रथम उत्तेजित अवस्था $(E_{2})$ और तीसरी उत्तेजित अवस्था $(E_{4})$ में ऊर्जा का अनुपात है:
$\frac{E_{2}}{E_{4}} = \frac{n_{4}^{2}}{n_{2}^{2}} = \left(\frac{4}{2}\right)^{2}$
$\frac{E_{2}}{E_{4}} = (2)^{2} = \frac{4}{1}$
इस प्रकार,अनुपात $4: 1$ है।

(D) दिए गए ऊर्जा स्तर आरेख से,संक्रमणों के लिए ऊर्जा का अंतर इस प्रकार है:
$E_2 - E_1 = \frac{hc}{\lambda_1}$ $(i)$
$E_3 - E_2 = \frac{hc}{\lambda_3}$ (ii)
$E_3 - E_1 = \frac{hc}{\lambda_2}$ (iii)
समीकरण $(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$(E_2 - E_1) + (E_3 - E_2) = \frac{hc}{\lambda_1} + \frac{hc}{\lambda_3}$
$E_3 - E_1 = \frac{hc}{\lambda_1} + \frac{hc}{\lambda_3}$
समीकरण (iii) से मान रखने पर:
$\frac{hc}{\lambda_2} = \frac{hc}{\lambda_1} + \frac{hc}{\lambda_3}$
दोनों पक्षों को $hc$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{\lambda_2} = \frac{1}{\lambda_1} + \frac{1}{\lambda_3}$
$\frac{1}{\lambda_2} = \frac{\lambda_3 + \lambda_1}{\lambda_1 \lambda_3}$
अतः,$\lambda_2 = \frac{\lambda_1 \lambda_3}{\lambda_1 + \lambda_3}$.

(B) हाइड्रोजन जैसे परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र इस प्रकार है:
$E_{n} = -13.6 \text{ eV} \times \frac{Z^{2}}{n^{2}}$
इसका अर्थ है कि $E_{n} \propto \frac{Z^{2}}{n^{2}}$.
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 1$ है। अतः,दूसरी कक्षा $(n = 2)$ के लिए:
$E_{2} = k \times \frac{1^{2}}{2^{2}} = \frac{k}{4}$,जहाँ $k = -13.6 \text{ eV}$.
$He^{+}$ आयन के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 2$ है। तीसरी कक्षा $(n = 3)$ के लिए:
$E_{3} = k \times \frac{2^{2}}{3^{2}} = \frac{4k}{9}$.
अब,$E_{3}$ और $E_{2}$ का अनुपात ज्ञात करने पर:
$\frac{E_{3}}{E_{2}} = \frac{4k/9}{k/4} = \frac{4}{9} \times 4 = \frac{16}{9}$.
अतः,$E_{3} = \frac{16}{9} E_{2}$.

(C) हाइड्रोजन परमाणु की $n$-वीं कक्षा में परिक्रमा कर रहे एक इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा का सूत्र है:
$E_{n} = \frac{-13.6}{n^{2}} \text{ eV}$
दूसरी कक्षा के लिए,$n = 2$ है।
सूत्र में $n$ का मान रखने पर:
$E_{2} = \frac{-13.6}{2^{2}} \text{ eV}$
$E_{2} = \frac{-13.6}{4} \text{ eV}$
$E_{2} = -3.4 \text{ eV}$
अतः,दूसरी कक्षा में इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $-3.4 \text{ eV}$ है।

(A) जब इलेक्ट्रॉन $3E$ से $E$ तक डी-एक्साइट होता है,तो ऊर्जा का अंतर $\Delta E_1 = 3E - E = 2E$ होता है।
उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\frac{hc}{\lambda} = 2E$ द्वारा दी जाती है ... $(i)$
जब इलेक्ट्रॉन $\frac{5E}{3}$ से $E$ तक डी-एक्साइट होता है,तो ऊर्जा का अंतर $\Delta E_2 = \frac{5E}{3} - E = \frac{2E}{3}$ होता है।
उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\frac{hc}{\lambda'} = \frac{2E}{3}$ है ... (ii)
समीकरण $(i)$ को समीकरण (ii) से विभाजित करने पर:
$\frac{hc/\lambda}{hc/\lambda'} = \frac{2E}{2E/3}$
$\frac{\lambda'}{\lambda} = \frac{2E \times 3}{2E} = 3$
$\lambda' = 3\lambda$

(B) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र है: $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$.
जैसे-जैसे $n$ का मान बढ़ता है,हर $n^2$ बढ़ता है,जिससे भिन्न $\frac{13.6}{n^2}$ का परिमाण छोटा हो जाता है।
चूंकि ऊर्जा ऋणात्मक है,इसलिए परिमाण छोटा होने का अर्थ है कि मान शून्य की ओर बढ़ता है (अर्थात यह बढ़ता है)।
अतः,जैसे-जैसे $n$ बढ़ता है,इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा बढ़ती है।

(B) दिया गया है,इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $(E)$ $= -3.4 \text{ eV}$ है।
हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन के लिए,कुल ऊर्जा $(E)$,गतिज ऊर्जा $(K)$ और स्थितिज ऊर्जा $(U)$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$E = -K$
$U = 2E$
अतः,गतिज ऊर्जा $K = -E = -(-3.4 \text{ eV}) = 3.4 \text{ eV}$ है।
स्थितिज ऊर्जा $U = 2 \times E = 2 \times (-3.4 \text{ eV}) = -6.8 \text{ eV}$ है।
इस प्रकार,इस अवस्था में इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $3.4 \text{ eV}$ और स्थितिज ऊर्जा $-6.8 \text{ eV}$ है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु में,$n$ अवस्था में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
एक इलेक्ट्रॉन को $n_i = 2$ अवस्था से $n_f = 4$ अवस्था में उत्तेजित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा $\Delta E = E_4 - E_2$ है।
सबसे पहले,$n=2$ अवस्था की ऊर्जा की गणना करें: $E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -\frac{13.6}{4} = -3.4 \text{ eV}$।
इसके बाद,$n=4$ अवस्था की ऊर्जा की गणना करें: $E_4 = -\frac{13.6}{4^2} = -\frac{13.6}{16} = -0.85 \text{ eV}$।
आवश्यक ऊर्जा $\Delta E = -0.85 - (-3.4) = 3.4 - 0.85 = 2.55 \text{ eV}$ है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु की $ n^{\text{th}} $ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र है: $ E_n = \frac{-13.6 \ eV}{n^2} $।
तीसरी कक्षा के लिए,हम समीकरण में $ n = 3 $ रखते हैं:
$ E_3 = \frac{-13.6}{3^2} = \frac{-13.6}{9} $।
इसकी गणना करने पर,हमें $ E_3 \approx -1.51 \ eV $ प्राप्त होता है।
अतः,तीसरी कक्षा में परिक्रमा कर रहे इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $ -1.51 \ eV $ है।

(D) जब किसी परमाणु के आंतरिक कोशों में इलेक्ट्रॉन उच्च ऊर्जा स्तर से निचले ऊर्जा स्तर में संक्रमण करते हैं,तो वे उच्च-ऊर्जा फोटॉन के रूप में विद्युत चुम्बकीय विकिरण उत्सर्जित करते हैं।
इन संक्रमणों में ऊर्जा का अंतर बहुत अधिक होता है,जो विद्युत चुम्बकीय स्पेक्ट्रम के पराबैंगनी (ultraviolet) क्षेत्र के अनुरूप होता है।

(D) ऊर्जा स्तर आरेख से,$C$ से $A$ तक के संक्रमण के लिए ऊर्जा का अंतर $C$ से $B$ और $B$ से $A$ तक के संक्रमणों के लिए ऊर्जा अंतर के योग के बराबर है।
$(E_C - E_A) = (E_C - E_B) + (E_B - E_A)$
संबंध $E = \frac{hc}{\lambda}$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं:
$\frac{hc}{\lambda_3} = \frac{hc}{\lambda_1} + \frac{hc}{\lambda_2}$
दोनों पक्षों को $hc$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{\lambda_3} = \frac{1}{\lambda_1} + \frac{1}{\lambda_2}$
$\frac{1}{\lambda_3} = \frac{\lambda_2 + \lambda_1}{\lambda_1 \lambda_2}$
अतः,$\lambda_3 = \frac{\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_1 + \lambda_2}$।

(C) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
मूल अवस्था $(n=1)$ के लिए, $E_1 = -13.6 \text{ eV}$ है।
पहली उत्तेजित अवस्था $n=2$ के अनुरूप होती है।
पहली उत्तेजित अवस्था में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -\frac{13.6}{4} = -3.4 \text{ eV}$ है।
इस अवस्था से परमाणु को आयनित करने के लिए, हमें इलेक्ट्रॉन को $0 \text{ eV}$ के ऊर्जा स्तर (अनंत) तक लाने के लिए पर्याप्त ऊर्जा प्रदान करनी होगी।
अतः, आवश्यक ऊर्जा $\Delta E = 0 - (-3.4 \text{ eV}) = 3.4 \text{ eV}$ है।

(B) दो ऊर्जा स्तरों $E_i$ और $E_f$ के बीच संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = E_i - E_f = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए ऊर्जा स्तर आरेख से,$C$ से $A$ का संक्रमण $C$ से $B$ और $B$ से $A$ के संक्रमणों का योग है।
इसलिए,ऊर्जा का अंतर है:
$E_C - E_A = (E_C - E_B) + (E_B - E_A)$
ऊर्जा-तरंगदैर्घ्य संबंध $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{hc}{\lambda_3} = \frac{hc}{\lambda_1} + \frac{hc}{\lambda_2}$
दोनों पक्षों को $hc$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{\lambda_3} = \frac{1}{\lambda_1} + \frac{1}{\lambda_2}$
$\frac{1}{\lambda_3} = \frac{\lambda_2 + \lambda_1}{\lambda_1 \lambda_2}$
व्युत्क्रम लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\lambda_3 = \frac{\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_1 + \lambda_2}$

(D) इलेक्ट्रॉनिक संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
$n$ वीं कक्षा से पहली उत्तेजित अवस्था $(n=2)$ में संक्रमण के लिए:
$\frac{hc}{\lambda_1} = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right) = 13.6 \left( \frac{n^2-4}{4n^2} \right) \quad \dots(1)$
$n$ वीं कक्षा से मूल अवस्था $(n=1)$ में संक्रमण के लिए:
$\frac{hc}{\lambda_2} = 13.6 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{n^2} \right) = 13.6 \left( \frac{n^2-1}{n^2} \right) \quad \dots(2)$
समीकरण $(1)$ को $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{4(n^2-1)}{n^2-4}$
इसे हल करने पर,$n = \sqrt{\frac{4(\lambda_2-\lambda_1)}{4\lambda_2-\lambda_1}}$ प्राप्त होता है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु में $n_2$ से $n_1$ ऊर्जा स्तर में संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $E = 13.6 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \text{ eV}$.
प्रथम संक्रमण के लिए ($n_2 = 2$ से $n_1 = 1$): $E_1 = 13.6 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = 13.6 \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = 13.6 \times \frac{3}{4} \text{ eV}$.
द्वितीय संक्रमण के लिए ($n_2 = 5$ से $n_1 = 2$): $E_2 = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{5^2} \right) = 13.6 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{25} \right) = 13.6 \left( \frac{25 - 4}{100} \right) = 13.6 \times \frac{21}{100} \text{ eV}$.
ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{E_1}{E_2} = \frac{13.6 \times (3/4)}{13.6 \times (21/100)} = \frac{3}{4} \times \frac{100}{21} = \frac{25}{7}$ है।

(D) हाइड्रोजन जैसे परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ द्वारा दी जाती है।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,बंधन ऊर्जा वह ऊर्जा है जो इलेक्ट्रॉन को मूल अवस्था $(n=1)$ से हटाने के लिए आवश्यक है,जो $13.6 \ eV$ है।
$Li^{2+}$ के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 3$ है।
प्रथम उत्तेजित अवस्था $n = 2$ के अनुरूप है।
$Li^{2+}$ की प्रथम उत्तेजित अवस्था में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_2 = -13.6 \times \frac{3^2}{2^2} \ eV = -13.6 \times \frac{9}{4} \ eV = -30.6 \ eV$ है।
इलेक्ट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा (बंधन ऊर्जा) वह ऊर्जा है जो उसे अनंत ($n = \infty$,जहाँ $E = 0$) तक ले जाने के लिए आवश्यक है।
अतः,$\Delta E = E_{\infty} - E_2 = 0 - (-30.6 \ eV) = 30.6 \ eV$।

(A) हाइड्रोजन परमाणु में संक्रमण के दौरान मुक्त ऊर्जा का सूत्र है: $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \text{ eV}$।
यहाँ,अंतिम कक्षा $n_1 = 1$ और प्रारंभिक कक्षा $n_2 = n$ है।
मुक्त ऊर्जा $\Delta E = 12.75 \text{ eV}$ है।
मान रखने पर: $12.75 = 13.6 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{n^2} \right)$।
दोनों पक्षों को $13.6$ से विभाजित करने पर: $\frac{12.75}{13.6} = 1 - \frac{1}{n^2}$।
$0.9375 = 1 - \frac{1}{n^2}$।
$\frac{1}{n^2} = 1 - 0.9375 = 0.0625$।
$n^2 = \frac{1}{0.0625} = 16$।
अतः,$n = 4$।

(C) हाइड्रोजन परमाणु में एक इलेक्ट्रॉन के लिए,गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ इस प्रकार दी जाती है: $K.E. = \frac{kZe^2}{2r}$.
स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ इस प्रकार दी जाती है: $P.E. = -\frac{kZe^2}{r}$.
कुल ऊर्जा $(E)$ गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग है: $E = K.E. + P.E.$
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $E = \frac{kZe^2}{2r} - \frac{kZe^2}{r} = -\frac{kZe^2}{2r}$.
कुल ऊर्जा $(E)$ और स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ के व्यंजकों की तुलना करने पर:
$E = \frac{P.E.}{2}$.
अतः,$P.E. = 2E$.