Power in AC and Power Factor Questions in Gujarati

(A) $AC$ સર્કિટમાં પાવર ફેક્ટરને વોલ્ટેજ અને કરંટ વચ્ચેના ફેઝ એંગલ $\phi$ ના કોસાઇન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તે $\cos \phi = R/Z$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ અવરોધ છે અને $Z$ એ સર્કિટનો ઇમ્પિડન્સ છે.
$AC$ સર્કિટમાં,વોલ્ટેજ અને કરંટ સામાન્ય રીતે સમાન ફેઝમાં હોતા નથી. આ સંબંધ $V = V_m \sin(\omega t)$ અને $I = I_m \sin(\omega t - \phi)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ ફેઝ તફાવત દર્શાવે છે.

(N/A) ધારો કે લાગુ પાડવામાં આવેલ $EMF$,$E = E_m \sin \omega t$ છે અને પ્રવાહ $I = I_m \sin(\omega t \pm \phi)$ છે.
તત્કાલીન પાવર $P = EI = E_m I_m \sin(\omega t) \sin(\omega t \pm \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P = \frac{E_m I_m}{2} [\cos(\phi) - \cos(2\omega t \pm \phi)]$.
જેમ કે પદ $\cos(2\omega t \pm \phi)$ એ $-1$ અને $1$ ની વચ્ચે દોલન કરે છે,તેથી જ્યારે $\cos(2\omega t \pm \phi) > \cos(\phi)$ હોય ત્યારે તત્કાલીન પાવર $P$ ઋણ હોઈ શકે છે. આ ચક્રના એવા ભાગો દરમિયાન થાય છે જ્યારે પ્રવાહ અને વોલ્ટેજ વિરુદ્ધ ચિહ્નો ધરાવે છે,જે દર્શાવે છે કે ઉર્જા સ્ત્રોતને પાછી આપવામાં આવી રહી છે.
પૂર્ણ ચક્ર પર સરેરાશ પાવર $P_{avg} = \frac{E_m I_m}{2} \cos \phi = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ છે. પેસિવ સર્કિટ માટે $V_{rms}$,$I_{rms}$ અને $\cos \phi$ (પાવર ફેક્ટર) સામાન્ય રીતે ધન હોવાથી,સરેરાશ પાવર ઋણ હોઈ શકે નહીં. તે એકમ સમય દીઠ સર્કિટ દ્વારા વપરાતી ચોખ્ખી ઉર્જા દર્શાવે છે.

(C) $LCR$ સર્કિટનો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શ્રેણી $LCR$ સર્કિટનો ઇમ્પિડન્સ $Z$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$
આપેલ કિંમતો $R = 6\, \Omega$,$X_L = 10\, \Omega$,અને $X_C = 4\, \Omega$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$Z = \sqrt{6^2 + (10 - 4)^2}$
$Z = \sqrt{36 + 6^2}$
$Z = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\, \Omega$
હવે,પાવર ફેક્ટરની ગણતરી કરતા:
$\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{6}{6\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

(B) $AC$ સર્કિટનો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ અવરોધ છે અને $Z$ એ સર્કિટનો ઈમ્પિડન્સ (પ્રતિબાધા) છે.
આદર્શ ચોક કોઈલ માટે,અવરોધ $R = 0$ હોય છે.
કોઈલ સંપૂર્ણપણે ઇન્ડક્ટિવ હોવાથી,ઈમ્પિડન્સ $Z = X_L = \omega L$ થાય છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $\cos \phi = \frac{0}{Z} = 0$ મળે છે.
તેથી,આદર્શ ચોક કોઈલનો પાવર ફેક્ટર $0$ છે.

(C) તત્કાલીન વોલ્ટેજ $V = V_0 \cos \omega t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શુદ્ધ અવરોધક પરિપથ માટે,રૂટ મીન સ્ક્વેર $(RMS)$ વોલ્ટેજ $V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}}$ છે.
$RMS$ પ્રવાહ $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{R} = \frac{V_0}{R \sqrt{2}}$ છે.
$AC$ પરિપથમાં સરેરાશ પાવર વ્યય $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\cos \phi$ એ પાવર ફેક્ટર છે.
અવરોધક માટે,વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi = 0$ છે,તેથી $\cos \phi = 1$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $P = \left( \frac{V_0}{\sqrt{2}} \right) \left( \frac{V_0}{R \sqrt{2}} \right) (1)$ મળે છે.
તેથી,$P = \frac{V_0^2}{2R}$.

(D) આપેલા સમીકરણો $V = 10 \sqrt{2} \sin \omega t$ અને $I = 2 \sqrt{2} \cos \omega t$ છે.
આપણે પ્રવાહના સમીકરણને $I = 2 \sqrt{2} \sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપો $V = V_m \sin \omega t$ અને $I = I_m \sin(\omega t + \phi)$ સાથે સરખાવતા,આપણને ફેઝ તફાવત $\phi = \frac{\pi}{2}$ મળે છે.
$AC$ સર્કિટમાં વપરાતો પાવર $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $\phi = \frac{\pi}{2}$,પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \cos \frac{\pi}{2} = 0$ થાય છે.
તેથી,$P = V_{rms} I_{rms} \times 0 = 0 \ W$.

(A) પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + X^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,$\frac{R}{\sqrt{R^2 + X^2}} = \frac{1}{3}$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{R^2}{R^2 + X^2} = \frac{1}{9} \implies 9R^2 = R^2 + X^2 \implies X^2 = 8R^2 \implies X = R\sqrt{8}$.
અંતે,$\frac{R}{\sqrt{R^2 + (X')^2}} = \frac{1}{9}$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{R^2}{R^2 + (X')^2} = \frac{1}{81} \implies 81R^2 = R^2 + (X')^2 \implies (X')^2 = 80R^2 \implies X' = R\sqrt{80}$.
રિએક્ટન્સનો ગુણોત્તર $\frac{X'}{X} = \frac{R\sqrt{80}}{R\sqrt{8}} = \sqrt{10} \approx 3.16$ છે.
રિએક્ટન્સમાં ટકાવારી ફેરફાર $\frac{X' - X}{X} \times 100 = (\sqrt{10} - 1) \times 100 \approx (3.16 - 1) \times 100 = 216 \%$ છે.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,રિએક્ટન્સમાં આશરે $200 \%$ નો વધારો થાય છે.

(C) શ્રેણી $R-L$ સર્કિટનો પાવર ફેક્ટર $\cos \theta = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega = 2 \pi f$ છે.
જો આવૃત્તિ $f$ બમણી કરવામાં આવે,તો $\omega$ વધે છે,જેનો અર્થ છે કે ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}$ વધે છે.
કારણ કે $\cos \theta = \frac{R}{Z}$,જેમ $Z$ વધે છે,તેમ પાવર ફેક્ટર $\cos \theta$ ઘટે છે. તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
કારણ $(R)$ માં આપેલ સૂત્ર $\cos \theta = \frac{2R}{\sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}}$ છે,જે ખોટું છે કારણ કે અંશમાં $2$ નો ગુણાંક ખોટો છે. તેથી,કારણ $(R)$ ખોટું છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(c)$ છે.

(B) $LCR$ સર્કિટનો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૌ પ્રથમ,$Z = \sqrt{R^2 + (X_C - X_L)^2}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સર્કિટનો ઇમ્પિડન્સ $Z$ શોધો.
અહીં $R = 80\,\Omega$,$X_L = 70\,\Omega$,અને $X_C = 130\,\Omega$ આપેલ છે,તેથી:
$Z = \sqrt{80^2 + (130 - 70)^2}$
$Z = \sqrt{80^2 + 60^2}$
$Z = \sqrt{6400 + 3600} = \sqrt{10000} = 100\,\Omega$.
હવે,પાવર ફેક્ટરની ગણતરી કરો:
$\cos \phi = \frac{80}{100} = \frac{8}{10}$.
આને આપેલ પાવર ફેક્ટર $\frac{x}{10}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 8$ મળે છે.

(C) $a.c.$ સર્કિટમાં વ્યય થતો સરેરાશ પાવર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P_{\text{avg}} = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \cos(\phi)$.
આપેલ છે કે $V = 100 \sin(100t) \ V$,તેથી મહત્તમ વોલ્ટેજ $V_0 = 100 \ V$.
આપેલ છે કે $I = 100 \sin(100t + \frac{\pi}{3}) \ mA$,તેથી મહત્તમ પ્રવાહ $I_0 = 100 \ mA = 100 \times 10^{-3} \ A = 0.1 \ A$.
ફેઝ તફાવત $\phi = \frac{\pi}{3}$ છે.
$V_{\text{rms}} = \frac{V_0}{\sqrt{2}} = \frac{100}{\sqrt{2}} \ V$.
$I_{\text{rms}} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} = \frac{0.1}{\sqrt{2}} \ A$.
$P_{\text{avg}} = \left(\frac{100}{\sqrt{2}}\right) \times \left(\frac{0.1}{\sqrt{2}}\right) \times \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$.
$P_{\text{avg}} = \frac{100 \times 0.1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{10}{4} = 2.5 \ W$.

(D) આપેલ વોલ્ટેજ $V = V_0 \sin(\omega t)$ છે,જ્યાં $V_0 = 20 \ V$ છે.
આપેલ પ્રવાહ $I = I_0 \sin(\omega t + \phi)$ છે,જ્યાં $I_0 = 10 \ A$ અને કળા તફાવત $\phi = \frac{\pi}{3} = 60^{\circ}$ છે.
$AC$ સર્કિટમાં વ્યય થતો સરેરાશ પાવર શોધવાનું સૂત્ર $\langle P \rangle = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}}$ અને $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\langle P \rangle = \frac{20}{\sqrt{2}} \times \frac{10}{\sqrt{2}} \times \cos(60^{\circ})$.
$\langle P \rangle = \frac{200}{2} \times \frac{1}{2} = 100 \times 0.5 = 50 \ W$.

(C) $AC$ સર્કિટમાં વપરાતો સરેરાશ પાવર $P_{av} = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ વોલ્ટેજ $V_{s} = 200 \sqrt{2} \sin(\omega t + 15^{\circ})$ છે,તેથી પીક વોલ્ટેજ $V_{0} = 200 \sqrt{2} \text{ V}$ થાય.
આમ,$V_{rms} = \frac{V_{0}}{\sqrt{2}} = \frac{200 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 200 \text{ V}$.
આપેલ પ્રવાહ $I = 2 \sin(\omega t + 45^{\circ})$ છે,તેથી પીક પ્રવાહ $I_{0} = 2 \text{ A}$ થાય.
આમ,$I_{rms} = \frac{I_{0}}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \text{ A}$.
ફેઝ તફાવત $\phi$ એ વોલ્ટેજ અને પ્રવાહના ફેઝ વચ્ચેનો તફાવત છે: $\phi = 45^{\circ} - 15^{\circ} = 30^{\circ}$.
આ કિંમતોને પાવરના સૂત્રમાં મૂકતા:
$P_{av} = 200 \times \sqrt{2} \times \cos(30^{\circ})$
$P_{av} = 200 \times \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 100 \sqrt{6} \text{ watt}$.

(B) તત્કાલિન મૂલ્યો $e = E_0 \sin(\omega t)$ અને $I = I_0 \sin(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણો સાથે સરખાવતા,$E_0 = 10 \text{ V}$,$I_0 = 10 \text{ A}$,અને કળા તફાવત $\phi = \frac{\pi}{3}$ છે.
$A.C.$ સર્કિટમાં વપરાતો સરેરાશ પાવર $P_{\text{avg}} = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \cos \phi$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $V_{\text{rms}} = \frac{E_0}{\sqrt{2}}$ અને $I_{\text{rms}} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $P_{\text{avg}} = \left(\frac{10}{\sqrt{2}}\right) \times \left(\frac{10}{\sqrt{2}}\right) \times \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$.
$P_{\text{avg}} = \left(\frac{100}{2}\right) \times \frac{1}{2} = 50 \times 0.5 = 25 \text{ W}$.

(B) .$C$. સર્કિટમાં વપરાતો પાવર $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\cos \phi$ એ પાવર ફેક્ટર છે.
આપેલ છે: $P = 1500 \ W$,$V_{rms} = 250 \ V$,$I_{rms} = 10 \ A$.
કિંમતો મૂકતા: $1500 = 250 \times 10 \times \cos \phi$.
$1500 = 2500 \cos \phi \implies \cos \phi = \frac{1500}{2500} = \frac{3}{5} = 0.6$.
કારણ કે $\sin^2 \phi + \cos^2 \phi = 1$,તેથી $\sin \phi = \sqrt{1 - (0.6)^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8 = \frac{4}{5}$.
વોટલેસ પ્રવાહ $I_{wattless} = I_{rms} \sin \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I_{wattless} = 10 \times 0.8 = 8 \ A$.

(B) આપેલ પ્રવાહ $i = 5 \sin(100t - \frac{\pi}{2}) \ A$ છે અને વોલ્ટેજ $e = 200 \sin(100t) \ V$ છે.
આ સમીકરણોને પ્રમાણિત સમીકરણો $i = I_0 \sin(\omega t + \phi_1)$ અને $e = E_0 \sin(\omega t + \phi_2)$ સાથે સરખાવતા,આપણને પ્રવાહનો ફેઝ $\phi_1 = -\frac{\pi}{2}$ અને વોલ્ટેજનો ફેઝ $\phi_2 = 0$ મળે છે.
વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો ફેઝ તફાવત $\phi = \phi_2 - \phi_1 = 0 - (-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} = 90^{\circ}$ છે.
$AC$ સર્કિટમાં સરેરાશ પાવર વપરાશનું સૂત્ર $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ છે.
અહીં $\phi = 90^{\circ}$ હોવાથી,પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \cos 90^{\circ} = 0$ થાય.
તેથી,$P = V_{rms} I_{rms} \times 0 = 0 \ W$.

(D) $AC$ સર્કિટમાં વપરાતો સાચો પાવર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P = V_{\text{rms}} \cdot I_{\text{rms}} \cdot \cos \phi$.
કારણ કે $I_{\text{rms}} = \frac{V_{\text{rms}}}{Z}$ અને પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z}$,આપણે લખી શકીએ:
$P = V_{\text{rms}} \cdot \left( \frac{V_{\text{rms}}}{Z} \right) \cdot \left( \frac{R}{Z} \right) = \frac{V_{\text{rms}}^2 \cdot R}{Z^2}$.
અહીં $V_{\text{rms}} = 220 \ V$,$R = 18 \ \Omega$,અને $Z = 33 \ \Omega$ આપેલ છે:
$P = \frac{220 \times 220 \times 18}{33 \times 33}$.
પદને સરળ બનાવતા:
$P = \left( \frac{220}{33} \right) \times \left( \frac{220}{33} \right) \times 18 = \left( \frac{20}{3} \right) \times \left( \frac{20}{3} \right) \times 18$.
$P = \frac{400}{9} \times 18 = 400 \times 2 = 800 \ W$.

(B) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં વ્યય થતો સરેરાશ પાવર $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\cos \phi$ એ પાવર ફેક્ટર છે.
અહીં $X_L = 3R$ અને $X_C = R$ આપેલ છે,તેથી કુલ રિએક્ટન્સ $X = X_L - X_C = 3R - R = 2R$ થાય.
પરિપથનું ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X^2} = \sqrt{R^2 + (2R)^2} = \sqrt{R^2 + 4R^2} = \sqrt{5R^2} = R\sqrt{5}$ છે.
રૂટ મીન સ્ક્વેર વોલ્ટેજ $V_{rms} = \frac{E_0}{\sqrt{2}}$ છે.
રૂટ મીન સ્ક્વેર પ્રવાહ $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{E_0}{\sqrt{2} \cdot R\sqrt{5}} = \frac{E_0}{R\sqrt{10}}$ છે.
પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{R\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ છે.
આ કિંમતોને પાવરના સૂત્રમાં મૂકતા: $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi = \left( \frac{E_0}{\sqrt{2}} \right) \left( \frac{E_0}{R\sqrt{10}} \right) \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right) = \frac{E_0^2}{R \sqrt{2} \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{5}} = \frac{E_0^2}{R \sqrt{100}} = \frac{E_0^2}{10R}$.

(D) $AC$ સર્કિટમાં વપરાતો સાચો પાવર $P$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P = V_{rms} \cdot I_{rms} \cdot \cos \phi$,જ્યાં $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ છે.
સૌ પ્રથમ,$AC$ સર્કિટ માટે ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $rms$ પ્રવાહ $I_{rms}$ શોધો: $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{210 \ V}{30 \ \Omega} = 7 \ A$.
ત્યારબાદ,પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{18 \ \Omega}{30 \ \Omega} = 0.6$ ગણો.
હવે,આ કિંમતોને પાવરના સૂત્રમાં મૂકો: $P = 210 \ V \times 7 \ A \times 0.6$.
$P = 1470 \times 0.6 = 882 \ W$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત લેતા,વપરાતો સાચો પાવર આશરે $900 \ W$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણો $V = 100 \sin(100t) \text{ V}$ અને $I = 100 \sin(100t + \frac{\pi}{3}) \text{ mA}$ છે.
પ્રમાણિત સ્વરૂપો $V = V_0 \sin(\omega t)$ અને $I = I_0 \sin(\omega t + \phi)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$V_0 = 100 \text{ V}$
$I_0 = 100 \text{ mA} = 100 \times 10^{-3} \text{ A} = 0.1 \text{ A}$
ફેઝ તફાવત $\phi = \frac{\pi}{3}$.
$A$.$C$. સર્કિટમાં વ્યય થતો સરેરાશ પાવર $P = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$P = \left(\frac{V_0}{\sqrt{2}}\right) \left(\frac{I_0}{\sqrt{2}}\right) \cos \phi = \frac{V_0 I_0}{2} \cos \phi$.
કિંમતો મૂકતા:
$P = \frac{100 \times 0.1}{2} \times \cos(\frac{\pi}{3})$
$P = \frac{10}{2} \times \frac{1}{2} = 5 \times 0.5 = 2.5 \text{ W}$.

(D) આપેલ સમીકરણો $E = 200 \sin(50t) \text{ V}$ અને $I = 100 \sin(50t + \frac{\pi}{3}) \text{ mA}$ છે.
આ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $E = E_0 \sin(\omega t)$ અને $I = I_0 \sin(\omega t + \phi)$ સાથે સરખાવતા:
$E_0 = 200 \text{ V}$
$I_0 = 100 \text{ mA} = 0.1 \text{ A}$
ફેઝ તફાવત $\phi = \frac{\pi}{3} = 60^{\circ}$.
$AC$ સર્કિટમાં વ્યય થતો સરેરાશ પાવર $P = E_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $E_{\text{rms}} = \frac{E_0}{\sqrt{2}}$ અને $I_{\text{rms}} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$.
કિંમતો મૂકતા:
$P = \left( \frac{E_0}{\sqrt{2}} \right) \left( \frac{I_0}{\sqrt{2}} \right) \cos \phi = \frac{E_0 I_0}{2} \cos 60^{\circ}$.
$P = \frac{200 \times 0.1}{2} \times 0.5 = 10 \times 0.5 = 5 \text{ W}$.

(C) આપેલ સમીકરણો $e = 160 \sin(100t) \text{ V}$ અને $i = 250 \sin(100t + \frac{\pi}{3}) \text{ mA}$ છે.
આ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $e = e_0 \sin(\omega t)$ અને $i = i_0 \sin(\omega t + \phi)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
પીક વોલ્ટેજ $e_0 = 160 \text{ V}$.
પીક પ્રવાહ $i_0 = 250 \text{ mA} = 250 \times 10^{-3} \text{ A} = 0.25 \text{ A}$.
ફેઝ તફાવત $\phi = \frac{\pi}{3}$.
$AC$ પરિપથમાં વ્યય થતો સરેરાશ પાવર $P_{avg} = V_{rms} I_{rms} \cos(\phi) = \frac{e_0}{\sqrt{2}} \cdot \frac{i_0}{\sqrt{2}} \cos(\phi) = \frac{e_0 i_0}{2} \cos(\phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$P_{avg} = \frac{160 \times 0.25}{2} \times \cos(\frac{\pi}{3})$
$P_{avg} = \frac{40}{2} \times \frac{1}{2} = 20 \times 0.5 = 10 \text{ W}$.

(C) $AC$ પરિપથમાં વપરાતો સરેરાશ પાવર $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો ફેઝ તફાવત છે.
જ્યારે પ્રવાહ વોટલેસ હોય,ત્યારે વપરાતો સરેરાશ પાવર શૂન્ય હોય છે,એટલે કે $P = 0$.
તેથી,$V_{rms} I_{rms} \cos \phi = 0$.
અહીં $V_{rms}$ અને $I_{rms}$ શૂન્ય નથી,તેથી $\cos \phi = 0$ હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે ફેઝ તફાવત $\phi = 90^{\circ}$ છે.

(C) $AC$ સર્કિટમાં વપરાતો સરેરાશ પાવર $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\cos \phi$ એ પાવર ફેક્ટર છે.
શુદ્ધ ઇન્ડક્ટિવ સર્કિટમાં, વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi = 90^{\circ}$ હોય છે.
કારણ કે $\cos 90^{\circ} = 0$ થાય છે, તેથી વપરાતો પાવર $P = V_{rms} I_{rms} \times 0 = 0$ થાય છે.
તેથી, જો ઇન્ડક્ટન્સ ખૂબ વધારે હોય (શુદ્ધ ઇન્ડક્ટર તરીકે કામ કરે) અને અવરોધ નગણ્ય હોય, તો $AC$ સર્કિટમાં વપરાતો પાવર શૂન્ય થાય છે.

(D) $L-C-R$ સર્કિટનો સરેરાશ પાવર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$P_{\text{av}} = V_{\text{rms}} \cdot I_{\text{rms}} \cos \phi$
જ્યાં:
$V_{\text{rms}}$ એ ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ (emf) નું રૂટ મીન સ્ક્વેર મૂલ્ય છે,
$I_{\text{rms}}$ એ પ્રવાહનું રૂટ મીન સ્ક્વેર મૂલ્ય છે,
$\phi$ એ વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો ફેઝ તફાવત છે.
તેથી,સરેરાશ પાવર પ્રવાહ,emf અને ફેઝ તફાવત પર આધાર રાખે છે.

(C) આપેલ સમીકરણો $e = E_0 \sin(\omega t)$ અને $I = I_0 \sin(\omega t + \phi)$ છે.
આપેલ મૂલ્યો સાથે સરખાવતા,$E_0 = 200 \text{ V}$,$I_0 = 1 \text{ A}$,અને કળા તફાવત $\phi = \frac{\pi}{3}$ મળે છે.
રૂટ મીન સ્ક્વેર (rms) મૂલ્યો $V_{rms} = \frac{E_0}{\sqrt{2}} = \frac{200}{\sqrt{2}} \text{ V}$ અને $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \text{ A}$ છે.
વપરાતો સરેરાશ પાવર $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $P = \left(\frac{200}{\sqrt{2}}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$.
$P = \left(\frac{200}{2}\right) \times \frac{1}{2} = 100 \times 0.5 = 50 \text{ W}$.

(C) $AC$ સર્કિટમાં તત્કાલિન પાવર $p$ એ તત્કાલિન $emf$ અને પ્રવાહના ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$p = e \cdot i = (E_{0} \sin \omega t) \cdot (I_{0} \sin (\omega t - \phi))$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A-B) - \cos(A+B)]$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$p = \frac{E_{0} I_{0}}{2} [\cos \phi - \cos(2\omega t - \phi)]$
એક સંપૂર્ણ ચક્ર $T$ પર સરેરાશ પાવર $P_{av}$ એ સમય $T$ પર $p$ ની સરેરાશ છે:
$P_{av} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} p \, dt = \frac{E_{0} I_{0}}{2T} \int_{0}^{T} [\cos \phi - \cos(2\omega t - \phi)] \, dt$
પૂર્ણ ચક્ર પર $\cos(2\omega t - \phi)$ ની સરેરાશ $0$ હોવાથી,પદાવલિ નીચે મુજબ સરળ બને છે:
$P_{av} = \frac{E_{0} I_{0}}{2} \cos \phi$
અહીં,$\cos \phi$ ને $AC$ સર્કિટનો પાવર ફેક્ટર કહેવામાં આવે છે.

(B) $LCR$ સર્કિટનો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ અવરોધ છે અને $Z$ એ સર્કિટનું ઇમ્પિડન્સ છે.
આપેલ છે:
અવરોધ $R = 80 \ \Omega$
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 70 \ \Omega$
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = 130 \ \Omega$
શ્રેણી $LCR$ સર્કિટનું ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$Z = \sqrt{80^2 + (70 - 130)^2}$
$Z = \sqrt{80^2 + (-60)^2}$
$Z = \sqrt{6400 + 3600} = \sqrt{10000} = 100 \ \Omega$.
હવે,પાવર ફેક્ટર $x = \cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{80}{100} = 0.8$.

(B) $AC$ સર્કિટનો પાવર ફેક્ટર $(\cos \phi)$ $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $R$ એ અવરોધ છે અને $Z$ એ ઈમ્પિડન્સ છે。
આપેલ છે કે અવરોધ $R$ અચળ રહે છે, તેથી $R = Z_1 \cos \phi_1 = Z_2 \cos \phi_2$ થાય。
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $Z_1(0.5) = Z_2(0.25)$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $Z_1 = \frac{0.25}{0.5} Z_2$ મળે。
તેથી, $Z_1 = 0.5 Z_2$.
$Z_1 = x Z_2$ સાથે સરખાવતા, આપણને $x = 0.5$ મળે છે。

(D) $A.C.$ પરિપથમાં સાચો પાવર $P_{\text{true}} = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\cos \phi$ એ પાવર ફેક્ટર છે.
$A.C.$ પરિપથમાં આભાસી પાવર $P_{\text{apparent}} = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સાચા પાવર અને આભાસી પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{P_{\text{true}}}{P_{\text{apparent}}} = \frac{V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \cos \phi}{V_{\text{rms}} I_{\text{rms}}} = \cos \phi$ થાય.
$LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં,પાવર ફેક્ટર $\cos \phi$ ને અવરોધ અને ઈમ્પીડન્સના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,એટલે કે $\cos \phi = \frac{R}{Z}$.
તેથી,સાચા પાવર અને આભાસી પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{R}{Z}$ થાય છે.

(D) $AC$ પરિપથનો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ અવરોધ છે અને $Z$ એ ઈમ્પીડન્સ છે.
જ્યારે પાવર ફેક્ટર એકમ હોય,ત્યારે $\cos \phi = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\phi = 0^\circ$.
કારણ કે $\cos \phi = \frac{R}{Z} = 1$,તેથી આપણને $R = Z$ મળે છે.
આ સ્થિતિ $LCR$ પરિપથમાં રેઝોનન્સ વખતે જોવા મળે છે,જ્યાં ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ અને કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે $(X_L = X_C)$.
પરિણામે,પરિપથ શુદ્ધ અવરોધક (resistive) પરિપથ તરીકે વર્તે છે.

(B) $AC$ સર્કિટમાં વપરાતો પાવર $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો ફેઝ તફાવત છે.
મહત્તમ પાવર $P_{max}$ ત્યારે મળે છે જ્યારે $\cos \phi = 1$ હોય,તેથી $P_{max} = V_{rms} I_{rms}$.
આપેલ છે કે લેમ્પ મહત્તમ પાવરના $50 \%$ વપરાશ કરે છે:
$P = 0.5 \times P_{max}$
$V_{rms} I_{rms} \cos \phi = 0.5 \times V_{rms} I_{rms}$
$\cos \phi = 0.5 = \frac{1}{2}$
$\phi = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3} \ rad$.

(D) $AC$ સર્કિટમાં પાવરનું સૂત્ર આ મુજબ છે: $P = VI \cos \phi$,જ્યાં $\cos \phi$ એ પાવર ફેક્ટર છે.
આપેલ કિંમતો છે: $P = 63 \ W$,$V = 210 \ V$,અને $I = 3 \ A$.
પાવર ફેક્ટર શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $\cos \phi = \frac{P}{VI}$.
કિંમતો મૂકતા: $\cos \phi = \frac{63}{3 \times 210}$.
$\cos \phi = \frac{63}{630} = 0.1$.
તેથી,પાવર ફેક્ટર $0.1$ છે.

(B) એસી પરિપથમાં તાત્કાલિક પાવર $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\phi$ એ વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત છે.
આપેલ વોલ્ટેજ $V = V_{0} \sin \omega t$ અને પ્રવાહ $I = I_{0} \sin (\omega t - \frac{\pi}{2})$ છે.
કળા તફાવત $\phi = \frac{\pi}{2}$ છે.
વપરાતો પાવર $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi = \frac{V_{0}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{I_{0}}{\sqrt{2}} \cdot \cos(\frac{\pi}{2})$ છે.
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ હોવાથી, વપરાતો પાવર $P = 0$ વોટ થાય છે.

$(D)$ $AC$ સર્કિટનો પાવર ફેક્ટર $(\cos \phi)$ એ $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $R$ એ અવરોધ છે અને $Z$ એ સર્કિટનું ઈમ્પીડન્સ છે.
પાવર ફેક્ટર શૂન્ય થવા માટે, અવરોધ $R$ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
શ્રેણીમાં માત્ર ઇન્ડક્ટર $(L)$ અને કેપેસિટર $(C)$ ધરાવતી આદર્શ સર્કિટમાં, અવરોધ $R = 0$ હોય છે.
તેથી, પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{0}{Z} = 0$ થાય છે.
આમ, સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(D) $AC$ પરિપથમાં વહન પામતો પાવર $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\cos \phi$ એ પાવર ફેક્ટર છે.
આના પરથી,પ્રવાહ $I_{rms} = \frac{P}{V_{rms} \cos \phi}$ થાય છે.
નિશ્ચિત પાવર $P$ અને વોલ્ટેજ $V_{rms}$ માટે,જો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi$ નીચો હોય,તો સમાન પાવરનું વહન કરવા માટે પ્રવાહ $I_{rms}$ મોટો હોવો જોઈએ.
ટ્રાન્સમિશન લાઈનોમાં પાવર વ્યય $P_{loss} = I_{rms}^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ કે $I_{rms}$ મોટો છે,તેથી પાવર વ્યય $I_{rms}^2 R$ પણ મોટો થશે.
તેથી,નીચો પાવર ફેક્ટર ટ્રાન્સમિશનમાં મોટા પાવર વ્યયને સૂચવે છે.

(B) $AC$ સર્કિટમાં વ્યય થતો સરેરાશ પાવર સૂત્ર $P_{avg} = v_{rms} i_{rms} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
emf $v = v_{0} \sin \omega t$ અને પ્રવાહ $i = i_{0} \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{3}\right)$ ના સમીકરણો આપેલ છે,તેથી ફેઝ તફાવત $\phi = \frac{\pi}{3}$ છે.
રૂટ મીન સ્ક્વેર મૂલ્યો $v_{rms} = \frac{v_{0}}{\sqrt{2}}$ અને $i_{rms} = \frac{i_{0}}{\sqrt{2}}$ છે.
આ મૂલ્યોને પાવરના સૂત્રમાં મૂકતા:
$P_{avg} = \left(\frac{v_{0}}{\sqrt{2}}\right) \left(\frac{i_{0}}{\sqrt{2}}\right) \cos \left(\frac{\pi}{3}\right)$
$P_{avg} = \frac{v_{0} i_{0}}{2} \times \frac{1}{2}$
$P_{avg} = \frac{v_{0} i_{0}}{4}$.

(A) આપેલ સમીકરણો $V = V_0 \sin(\omega t)$ અને $I = I_0 \sin(\omega t + \phi)$ છે.
આપેલ કિંમતો સાથે સરખાવતા,$V_0 = 150 \text{ V}$,$I_0 = 150 \text{ A}$,અને ફેઝ તફાવત $\phi = \pi/3 = 60^\circ$ છે.
$AC$ સર્કિટમાં વ્યય થતો સરેરાશ પાવર $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$V_{rms} = V_0 / \sqrt{2}$ અને $I_{rms} = I_0 / \sqrt{2}$ હોવાથી,સૂત્ર $P = \frac{1}{2} V_0 I_0 \cos \phi$ બને છે.
કિંમતો મૂકતા: $P = \frac{1}{2} \times 150 \times 150 \times \cos(60^\circ)$.
$\cos(60^\circ) = 0.5$ હોવાથી,$P = 0.5 \times 150 \times 150 \times 0.5$.
$P = 0.25 \times 22500 = 5625 \text{ W}$.

(B) આપેલ છે,પાવર ફેક્ટર $= \frac{1}{\sqrt{3}}$.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ,$X_{L} = 2 \Omega$.
$R-L$ સર્કિટમાં પાવર ફેક્ટરનું સૂત્ર:
$\text{પાવર ફેક્ટર} = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{R^{2} + X_{L}^{2}}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{R}{\sqrt{R^{2} + 2^{2}}} = \frac{R}{\sqrt{R^{2} + 4}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{1}{3} = \frac{R^{2}}{R^{2} + 4}$
$R^{2} + 4 = 3R^{2}$
$2R^{2} = 4$
$R^{2} = 2$
$R = \sqrt{2} \Omega$.

(A) $A.C.$ સર્કિટમાં સરેરાશ પાવર વ્યયનું સૂત્ર: $P = I_{rms}^2 Z \cos \phi$ છે,જ્યાં $P$ એ પાવર છે,$I_{rms}$ એ પ્રવાહ છે,$Z$ એ ઈમ્પીડન્સ છે અને $\cos \phi$ એ પાવર ફેક્ટર છે.
આપેલ કિંમતો: $P = 2 \ W$,$I = 2 \ A$,અને $Z = 1 \ \Omega$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $2 = (2)^2 \times 1 \times \cos \phi$.
$2 = 4 \times \cos \phi$.
$\cos \phi = \frac{2}{4} = 0.5$.
આમ,$A.C.$ સર્કિટનો પાવર ફેક્ટર $0.5$ છે.

(C) આપેલ વોલ્ટેજ $V(t) = 100 \sin(100 \pi t) \ V$ છે. મહત્તમ વોલ્ટેજ $V_0 = 100 \ V$ છે.
રૂટ મીન સ્ક્વેર વોલ્ટેજ $V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}} = \frac{100}{\sqrt{2}} \ V$ થાય.
પરિપથનો ઇમ્પિડન્સ $Z = 50 \ \Omega$ અને અવરોધ $R = 25 \ \Omega$ છે.
પરિપથમાં રૂટ મીન સ્ક્વેર પ્રવાહ $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{100/\sqrt{2}}{50} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \ A$ થાય.
$AC$ પરિપથમાં સરેરાશ પાવરનો વ્યય $P = I_{rms}^2 R$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$P = (\sqrt{2})^2 \times 25 = 2 \times 25 = 50 \ W$ મળે.

(C) વોલ્ટેજ $V(t) = 50 \sin(50t) \text{ V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી પીક વોલ્ટેજ $V_0 = 50 \text{ V}$ છે.
પ્રવાહ $I(t) = 50 \sin(50t + \frac{\pi}{4}) \text{ mA}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી પીક પ્રવાહ $I_0 = 50 \text{ mA} = 50 \times 10^{-3} \text{ A} = 0.05 \text{ A}$ છે.
વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi = \frac{\pi}{4}$ છે.
$AC$ સર્કિટમાં વપરાતો સરેરાશ પાવર $P = V_{rms} I_{rms} \cos(\phi)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}}$ અને $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$.
આ કિંમતો મૂકતા,$P = \frac{V_0}{\sqrt{2}} \times \frac{I_0}{\sqrt{2}} \times \cos(\phi) = \frac{V_0 I_0}{2} \cos(\phi)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $P = \frac{50 \times 0.05}{2} \times \cos(\frac{\pi}{4})$.
$P = \frac{2.5}{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 1.25 \times 0.707 = 0.88375 \text{ W}$.
આ કિંમતને રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $P \approx 0.884 \text{ W}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે:
$I = 5 \sin \left(100 t - \frac{\pi}{2}\right) A$
$e = 200 \sin (100 t) V$
આ સમીકરણોને પ્રમાણિત સમીકરણો $I = I_0 \sin(\omega t + \phi_1)$ અને $e = E_0 \sin(\omega t + \phi_2)$ સાથે સરખાવતા,આપણને પ્રવાહનો કળા તફાવત $\phi_1 = -\frac{\pi}{2}$ અને વોલ્ટેજનો કળા તફાવત $\phi_2 = 0$ મળે છે.
કળા તફાવત $\phi = \phi_2 - \phi_1 = 0 - (-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}$.
$AC$ સર્કિટમાં સરેરાશ પાવર વપરાશનું સૂત્ર $P = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \cos(\phi)$ છે.
અહીં $\phi = \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,$\cos(\phi) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ થાય.
તેથી,$P = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \times 0 = 0 W$.

(A) $AC$ સર્કિટમાં વ્યય થતો પાવર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$
આપેલ છે:
$V_0 = 50 \ V$
$I_0 = 50 \ mA = 50 \times 10^{-3} \ A$
ફેઝ તફાવત $\phi = \frac{\pi}{3}$
$RMS$ મૂલ્યો $V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}}$ અને $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$ છે.
આ કિંમતોને પાવરના સૂત્રમાં મૂકતા:
$P = \frac{V_0}{\sqrt{2}} \times \frac{I_0}{\sqrt{2}} \times \cos \phi = \frac{V_0 I_0}{2} \cos \phi$
$P = \frac{50 \times 50 \times 10^{-3}}{2} \times \cos(\frac{\pi}{3})$
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{3}) = 0.5$:
$P = \frac{2500 \times 10^{-3}}{2} \times 0.5 = 1.25 \times 0.5 = 0.625 \ W$

(B) $LCR$ પરિપથનો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ છે.
પરિપથ $A$ માટે,ઘટકો શ્રેણીમાં $R$,$L$ અને $C$ છે. સામાન્ય રીતે આવા પ્રશ્નોમાં,પરિપથ $A$ એ શ્રેણી $RL$ પરિપથ છે જ્યાં $R$ અને $X_L = \sqrt{3}R$ છે,તેથી $\cos \phi_A = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (\sqrt{3}R)^2}} = \frac{R}{2R} = 0.5$ મળે છે.
પરિપથ $B$ માટે,જો તે શ્રેણી $RC$ પરિપથ હોય જ્યાં $R$ અને $X_C = R$ હોય,તો $\cos \phi_B = \frac{R}{\sqrt{R^2 + R^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પોના આધારે,પરિપથ $B$ અને $A$ ના પાવર ફેક્ટરનો ગુણોત્તર $\sqrt{2}: 1$ થાય છે.

(C) આપેલ છે: પીક વોલ્ટેજ $V_0 = 150 \text{ V}$, અવરોધ $R = 25 \ \Omega$, ઈમ્પિડન્સ $Z = 75 \ \Omega$.
$AC$ સર્કિટમાં સરેરાશ પાવરનો વ્યય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$P_{\text{avg}} = I_{\text{rms}} V_{\text{rms}} \cos \phi$
કારણ કે $\cos \phi = \frac{R}{Z}$, $I_{\text{rms}} = \frac{V_{\text{rms}}}{Z}$, અને $V_{\text{rms}} = \frac{V_0}{\sqrt{2}}$, આપણે લખી શકીએ:
$P_{\text{avg}} = \left( \frac{V_{\text{rms}}}{Z} \right) V_{\text{rms}} \left( \frac{R}{Z} \right) = \frac{V_{\text{rms}}^2 R}{Z^2} = \frac{(V_0 / \sqrt{2})^2 R}{Z^2} = \frac{V_0^2 R}{2 Z^2}$
આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$P_{\text{avg}} = \frac{150^2 \times 25}{2 \times 75^2} = \frac{22500 \times 25}{2 \times 5625} = \frac{562500}{11250} = 50 \text{ W}$

(D) $AC$ સર્કિટનો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $\phi$ એ વોલ્ટેજ અને કરંટ વચ્ચેનો ફેઝ એંગલ (કળા તફાવત) છે.
આપેલ છે કે પાવર ફેક્ટર $1/2$ છે,તેથી:
$\cos \phi = 1/2$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 60^{\circ} = 1/2$,તેથી ફેઝ એંગલ $\phi = 60^{\circ}$ થાય.
આમ,વોલ્ટેજ અને કરંટ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે.

(C) $LCR$ શ્રેણી પરિપથનો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે પરિપથનો ઈમ્પીડન્સ $Z$ ગણીએ:
$Z = \sqrt{R^{2} + (X_{L} - X_{C})^{2}}$
અહીં $R = 60 \ \Omega$,$X_{L} = 70 \ \Omega$,અને $X_{C} = 150 \ \Omega$ આપેલ છે.
$Z = \sqrt{60^{2} + (70 - 150)^{2}}$
$Z = \sqrt{60^{2} + (-80)^{2}}$
$Z = \sqrt{3600 + 6400} = \sqrt{10000} = 100 \ \Omega$.
હવે,પાવર ફેક્ટર:
$\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{60}{100} = \frac{6}{10}$.
આપેલ પાવર ફેક્ટર $\frac{\alpha}{10}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 6$ મળે છે.

(A) $LCR$ શ્રેણી પરિપથનો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૌ પ્રથમ,$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પરિપથનું ઈમ્પિડન્સ (એમ્પીડન્સ) $Z$ શોધો.
આપેલ કિંમતો $R = 80 \text{ }\Omega$,$X_L = 20.0 \text{ }\Omega$ અને $X_C = 80.0 \text{ }\Omega$ છે.
આ કિંમતોને ઈમ્પિડન્સના સૂત્રમાં મૂકતા:
$Z = \sqrt{80^2 + (20 - 80)^2} = \sqrt{80^2 + (-60)^2} = \sqrt{6400 + 3600} = \sqrt{10000} = 100 \text{ }\Omega$.
હવે,પાવર ફેક્ટરની ગણતરી કરો:
$\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{80}{100} = 0.8$.