Power in AC and Power Factor Questions in Gujarati

(A) $AC$ સર્કિટમાં તત્કાલ પાવર $P$ એ $P = V \cdot I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $V = 5 \cos(\omega t)$ અને $I = 2 \sin(\omega t)$.
આપણે $V$ ને $V = 5 \sin(\omega t + \pi/2)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi = \pi/2$ છે.
$AC$ સર્કિટમાં સરેરાશ પાવર વ્યય $P_{avg} = V_{rms} I_{rms} \cos(\phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\phi = \pi/2$ હોવાથી,પાવર ફેક્ટર $\cos(\phi) = \cos(\pi/2) = 0$ થાય છે.
તેથી,વ્યય થતો પાવર $P_{avg} = V_{rms} I_{rms} \times 0 = 0 \, W$ થાય.

(C) તત્કાલીન વોલ્ટેજ $V = 100 \sin(100t) \text{ V}$ છે,તેથી મહત્તમ વોલ્ટેજ $V_0 = 100 \text{ V}$ છે.
તત્કાલીન પ્રવાહ $I = 100 \sin(100t + \frac{\pi}{3}) \text{ mA}$ છે,તેથી મહત્તમ પ્રવાહ $I_0 = 100 \times 10^{-3} \text{ A} = 0.1 \text{ A}$ છે.
વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi = \frac{\pi}{3}$ છે.
$ac$ સર્કિટમાં વપરાતો સરેરાશ પાવર $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}}$ અને $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$.
કિંમતો મૂકતા: $P = \left( \frac{100}{\sqrt{2}} \right) \times \left( \frac{0.1}{\sqrt{2}} \right) \times \cos\left( \frac{\pi}{3} \right)$.
$P = \frac{100 \times 0.1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{10}{4} = 2.5 \text{ W}$.

(B) $AC$ પ્રવાહ દ્વારા અવરોધકમાં વ્યય થતો પાવર $P = I_{rms}^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સાઇનસૉઇડલ પ્રવાહ માટે,રૂટ-મીન-સ્ક્વેર $(RMS)$ પ્રવાહ $I_{rms}$ એ મહત્તમ પ્રવાહ $I_p$ સાથે $I_{rms} = \frac{I_p}{\sqrt{2}}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
આ કિંમતને પાવરના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $P = \left( \frac{I_p}{\sqrt{2}} \right)^2 R$ મળે છે.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા,$P = \frac{I_p^2}{2} R = \frac{1}{2} I_p^2 R$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપેલ વોલ્ટેજ $E = E_0 \sin(\omega t)$ છે.
આપેલ પ્રવાહ $I = I_0 \sin(\omega t - \frac{\pi}{2})$ છે.
વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi = \omega t - (\omega t - \frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}$ અથવા $90^{\circ}$ છે.
$AC$ પરિપથમાં સરેરાશ પાવર વપરાશનું સૂત્ર $P = E_{rms} I_{rms} \cos \phi$ છે.
અહીં $\phi = 90^{\circ}$ હોવાથી,પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \cos(90^{\circ}) = 0$ થાય.
તેથી,પાવરનો વપરાશ $P = E_{rms} I_{rms} \times 0 = 0$ થશે.

(D) આપેલ પ્રવાહ $i = 5 \sin \left( 100 t - \frac{\pi}{2} \right)$ છે અને પોટેન્શિયલ $V = 200 \sin (100 t)$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપો $i = I_0 \sin(\omega t + \phi_1)$ અને $V = V_0 \sin(\omega t + \phi_2)$ સાથે સરખાવતા,આપણને પ્રવાહનો ફેઝ $\phi_1 = -\frac{\pi}{2}$ અને વોલ્ટેજનો ફેઝ $\phi_2 = 0$ મળે છે.
વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો ફેઝ તફાવત $\phi = \phi_2 - \phi_1 = 0 - \left( -\frac{\pi}{2} \right) = \frac{\pi}{2}$ છે.
$ac$ સર્કિટમાં સરેરાશ પાવર વપરાશ $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $\phi = \frac{\pi}{2}$,પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \cos \left( \frac{\pi}{2} \right) = 0$ થાય છે.
તેથી,પાવર વપરાશ $P = V_{rms} I_{rms} \times 0 = 0 \text{ watts}$ છે.

(D) $ac$ સર્કિટમાં પાવર $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત છે.
પાવર એ પાવર ફેક્ટર $\cos \phi$ પર આધાર રાખતો હોવાથી,સર્કિટમાં વ્યય થતો પાવર $V$ અને $I$ વચ્ચેના કળા તફાવત પર આધાર રાખે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપેલ છે: $V = 15 \sin \omega t$ અને $I = 20 \cos \omega t$.
આપણે પ્રવાહના સમીકરણને $I = 20 \sin(\omega t + 90^\circ)$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi = 90^\circ$ છે.
$AC$ સર્કિટમાં વપરાતો સરેરાશ પાવર $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\phi = 90^\circ$ હોવાથી,પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \cos 90^\circ = 0$ થાય.
તેથી,સરેરાશ પાવર $P = V_{rms} I_{rms} \times 0 = 0 \ W$ થાય.

(B) $AC$ સર્કિટમાં સરેરાશ પાવર $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi = \frac{1}{2} V_0 I_0 \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં પીક પાવર $P_{peak} = V_0 I_0$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,વપરાશમાં લેવાયેલ પાવર $P = 0.5 P_{peak} = \frac{1}{2} V_0 I_0$ છે.
તેથી,$\frac{1}{2} V_0 I_0 \cos \phi = \frac{1}{2} V_0 I_0$.
આના પરથી $\cos \phi = 0.5$ મળે છે.
તેથી,$\phi = \frac{\pi}{3}$.

(B) $AC$ પરિપથમાં વપરાતો સરેરાશ પાવર $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\cos \phi$ એ પાવર ફેક્ટર છે.
વૈકલ્પિક રીતે, પરિપથમાં વપરાતો પાવર $P = I_{rms}^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો પરિપથ દ્વારા વપરાતો સરેરાશ પાવર શૂન્ય $(P = 0)$ હોય, તો પ્રવાહને 'વોટલેસ' કહેવામાં આવે છે.
$P = I_{rms}^2 R$ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે જો પરિપથનો અવરોધ $R$ શૂન્ય હોય, તો તેમાંથી વહેતા પ્રવાહને ધ્યાનમાં લીધા વગર વપરાતો પાવર શૂન્ય થશે.
તેથી, વોટલેસ પ્રવાહ માટેની સાચી શરત એ છે કે પરિપથમાં અવરોધ શૂન્ય હોવો જોઈએ.

(B) $AC$ સર્કિટનો ઈમ્પીડન્સ $Z$ એ સૂત્ર $Z = \sqrt{R^2 + X^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $R$ એ અવરોધ છે અને $X$ એ રિએક્ટન્સ છે。
અહીં $R = 3 \, \Omega$ અને $X = 4 \, \Omega$ આપેલ છે。
કિંમતો મૂકતા, આપણને $Z = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \, \Omega$ મળે છે。
$AC$ સર્કિટનો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે。
તેથી, $\cos \phi = \frac{3}{5} = 0.6$ થાય.

(A) $AC$ સર્કિટનો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ અવરોધ છે અને $Z$ એ ઈમ્પીડન્સ છે.
એક સારી ચોક કોઈલમાં,અવરોધ $R$ એ ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ ની સરખામણીમાં ખૂબ જ નાનો હોય છે,જેના કારણે ફેઝ એંગલ $\phi$ એ $90^\circ$ ની ખૂબ નજીક હોય છે.
કારણ કે $\cos 90^\circ = 0$ થાય છે,તેથી સારી ચોક કોઈલ માટે પાવર ફેક્ટર $\cos \phi$ લગભગ શૂન્ય હોય છે.

(B) $LR$ સર્કિટનો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Z$ એ ઈમ્પીડન્સ છે.
$Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{R^2 + (\omega L)^2} = \sqrt{R^2 + (2\pi f L)^2}$.
આપેલ છે: $R = 12\,\Omega$,$L = 0.1\,H$,$f = 60\,Hz$.
સૌ પ્રથમ,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 2\pi f L = 2 \times 3.14 \times 60 \times 0.1 \approx 37.7\,\Omega$ ગણો.
હવે,ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{12^2 + 37.7^2} = \sqrt{144 + 1421.29} = \sqrt{1565.29} \approx 39.56\,\Omega$ ગણો.
પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{12}{39.56} \approx 0.303$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,પાવર ફેક્ટર $0.3$ છે.

(D) પાવર ફેક્ટરને $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ અવરોધ છે અને $Z$ એ સર્કિટનો ઇમ્પીડન્સ છે.
કિસ્સો $1$: જ્યારે સર્કિટમાં માત્ર આદર્શ અવરોધ હોય,ત્યારે ઇમ્પીડન્સ $Z = R$ થાય છે.
તેથી,પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{R} = 1$ (એકમ) થાય છે.
કિસ્સો $2$: જ્યારે સર્કિટમાં માત્ર આદર્શ ઇન્ડક્ટન્સ હોય,ત્યારે અવરોધ $R = 0$ થાય છે.
તેથી,પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{0}{Z} = 0$ થાય છે.
આમ,વિધાન $(b)$ અને $(c)$ બંને સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(B) $ac$ શ્રેણી $LR$ પરિપથમાં,ઇમ્પિડન્સ $(Z)$ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$X_L = \omega L$ એ ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ છે.
તેથી,$Z = \sqrt{R^2 + (\omega L)^2} = \sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}$.
પાવર ફેક્ટર $(\cos \phi)$ એ અવરોધ અને ઇમ્પિડન્સના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}}$.

(A) $AC$ સર્કિટનો પાવર ફેક્ટર એ અવરોધ $(R)$ અને ઈમ્પીડન્સ $(Z)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
સૂત્ર: $\cos \phi = \frac{R}{Z}$
આપેલ છે: $R = 12 \; \Omega$ અને $Z = 15 \; \Omega$.
કિંમતો મૂકતા: $\cos \phi = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} = 0.8$.
તેથી,સર્કિટનો પાવર ફેક્ટર $0.8$ છે.

(B) અવરોધમાં વ્યય થતો તત્કાલીન પાવર $P = I^2R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$AC$ પ્રવાહ માટે,રૂટ મીન સ્ક્વેર $(RMS)$ પ્રવાહ $I_{rms} = \frac{I_p}{\sqrt{2}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $I_p$ એ મહત્તમ પ્રવાહ છે.
અવરોધમાં વ્યય થતો સરેરાશ પાવર $P_{avg} = I_{rms}^2 R$ છે.
$I_{rms}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $P_{avg} = \left( \frac{I_p}{\sqrt{2}} \right)^2 R = \frac{I_p^2}{2} R = \frac{1}{2} I_p^2 R$ મળે છે.

(D) આપેલ છે:
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_{L} = 31\,\Omega$
અવરોધ $R = 8\,\Omega$
કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_{C} = 25\,\Omega$
શ્રેણી $LCR$ પરિપથનું ઈમ્પીડન્સ $Z$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$Z = \sqrt{R^{2} + (X_{L} - X_{C})^{2}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$Z = \sqrt{8^{2} + (31 - 25)^{2}}$
$Z = \sqrt{64 + 6^{2}}$
$Z = \sqrt{64 + 36}$
$Z = \sqrt{100} = 10\,\Omega$
પરિપથનો પાવર ફેક્ટર નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$\cos \phi = \frac{R}{Z}$
$R$ અને $Z$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\cos \phi = \frac{8}{10} = 0.8$

(B) $A.C.$ પરિપથમાં તત્કાલિન પાવર $p$ એ તત્કાલિન $e.m.f.$ અને તત્કાલિન પ્રવાહનો ગુણાકાર છે:
$p = E \cdot i = (E_o \sin \omega t) \cdot (I_o \sin(\omega t - \phi))$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A-B) - \cos(A+B)]$ નો ઉપયોગ કરતા:
$p = \frac{E_o I_o}{2} [\cos \phi - \cos(2\omega t - \phi)]$
એક સંપૂર્ણ ચક્ર $T$ પર સરેરાશ પાવર $P_{av}$ એ તત્કાલિન પાવરની સરેરાશ છે:
$P_{av} = \frac{1}{T} \int_0^T p \, dt = \frac{1}{T} \int_0^T \frac{E_o I_o}{2} [\cos \phi - \cos(2\omega t - \phi)] \, dt$
સંપૂર્ણ ચક્ર પર $\cos(2\omega t - \phi)$ ની સરેરાશ $0$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$P_{av} = \frac{E_o I_o}{2} \cos \phi$
આમ,સરેરાશ પાવર $\frac{E_o I_o}{2} \cos \phi$ છે.

(D) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં વ્યય થતો સરેરાશ પાવર $P = E_{rms} I_{rms} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પરિપથનું ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ છે,જ્યાં $X_L = \omega L$ અને $X_C = \frac{1}{\omega C}$ છે.
પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ છે.
રૂટ-મીન-સ્ક્વેર પ્રવાહ $I_{rms} = \frac{E_{rms}}{Z}$ છે.
આ કિંમતોને પાવરના સૂત્રમાં મૂકતા: $P = E_{rms} \cdot \frac{E_{rms}}{Z} \cdot \frac{R}{Z} = \frac{E_{rms}^2 R}{Z^2}$.
$Z^2 = R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2$ અને $E_{rms} = \varepsilon$ મૂકતા,આપણને $P = \frac{\varepsilon^2 R}{R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે: $i = \frac{1}{\sqrt{2}} \sin(100\pi t) \text{ A}$.
$i = i_0 \sin(\omega t)$ સાથે સરખાવતા,મહત્તમ પ્રવાહ $i_0 = \frac{1}{\sqrt{2}} \text{ A}$ મળે છે.
આપેલ છે: $e = \frac{1}{\sqrt{2}} \sin(100\pi t + \frac{\pi}{3}) \text{ V}$.
$e = e_0 \sin(\omega t + \phi)$ સાથે સરખાવતા,મહત્તમ વોલ્ટેજ $e_0 = \frac{1}{\sqrt{2}} \text{ V}$ અને ફેઝ તફાવત $\phi = \frac{\pi}{3}$ મળે છે.
$RMS$ મૂલ્યોની ગણતરી:
$i_{rms} = \frac{i_0}{\sqrt{2}} = \frac{1/\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \text{ A}$.
$e_{rms} = \frac{e_0}{\sqrt{2}} = \frac{1/\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \text{ V}$.
સર્કિટમાં વપરાતો સરેરાશ પાવર $P = i_{rms} e_{rms} \cos \phi$ દ્વારા મળે છે.
$P = (\frac{1}{2}) (\frac{1}{2}) \cos(\frac{\pi}{3}) = (\frac{1}{4}) (\frac{1}{2}) = \frac{1}{8} \text{ W}$.

(A) આપેલ છે: $V_{R} = 80 \, V$,$V_{C} = 40 \, V$,$V_{L} = 100 \, V$.
$L-C-R$ સર્કિટનો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ કે $V = IZ$ અને $V_{R} = IR$,આપણે લખી શકીએ $\cos \phi = \frac{V_{R}}{V}$.
$L-C-R$ સર્કિટમાં કુલ વોલ્ટેજ $V = \sqrt{V_{R}^{2} + (V_{L} - V_{C})^{2}}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$V = \sqrt{80^{2} + (100 - 40)^{2}}$
$V = \sqrt{80^{2} + 60^{2}}$
$V = \sqrt{6400 + 3600} = \sqrt{10000} = 100 \, V$.
હવે,પાવર ફેક્ટરની ગણતરી કરતા:
$\cos \phi = \frac{V_{R}}{V} = \frac{80}{100} = 0.8$.

(A) આપેલ મૂલ્યો $L = 20 \, mH = 20 \times 10^{-3} \, H$,$C = 100 \, \mu F = 100 \times 10^{-6} \, F$,$R = 50 \, \Omega$,અને $V = 10 \sin(314 \, t)$ છે.
$V = V_0 \sin(\omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $V_0 = 10 \, V$ અને $\omega = 314 \, rad/s$ મળે છે.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = 314 \times 20 \times 10^{-3} = 6.28 \, \Omega$ છે.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{314 \times 100 \times 10^{-6}} = \frac{1}{0.0314} \approx 31.85 \, \Omega$ છે.
ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_C - X_L)^2} = \sqrt{50^2 + (31.85 - 6.28)^2} = \sqrt{2500 + (25.57)^2} = \sqrt{2500 + 653.8} = \sqrt{3153.8} \approx 56.16 \, \Omega$ છે.
$RMS$ વોલ્ટેજ $V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} \, V$ છે.
પાવરનો વ્યય $P_{av} = I_{rms}^2 R = \left(\frac{V_{rms}}{Z}\right)^2 R = \left(\frac{10}{\sqrt{2} \times 56.16}\right)^2 \times 50$ છે.
$P_{av} = \left(\frac{10}{79.42}\right)^2 \times 50 = (0.1259)^2 \times 50 = 0.01585 \times 50 \approx 0.79 \, W$.

(C) $r.m.s.$ પ્રવાહ $I_{rms} = 2 \ A$ આપેલ છે.
વોટલેસ પ્રવાહનું સૂત્ર $I_{WL} = I_{rms} \sin \phi$ છે.
આપેલી કિંમતો મૂકતા: $\sqrt{3} = 2 \sin \phi$.
તેથી,$\sin \phi = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આનો અર્થ એ છે કે ફેઝ એંગલ $\phi = 60^{\circ}$ છે.
પાવર ફેક્ટરને $\cos \phi$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આમ,$p.f. = \cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$.

(B) $AC$ સર્કિટમાં પાવરનું સૂત્ર $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ છે.
અહીં $P = 1000 \text{ W}$ અને પીક વોલ્ટેજ $V_0 = 200 \text{ V}$ આપેલ છે.
$rms$ વોલ્ટેજ $V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}} = \frac{200}{\sqrt{2}} = 100\sqrt{2} \text{ V}$ થાય.
જો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \cos 60^\circ = 0.5$ લેવામાં આવે,તો $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ મુજબ,
$1000 = (100\sqrt{2}) \times I_{rms} \times 0.5$.
$I_{rms} = \frac{1000}{50\sqrt{2}} = \frac{20}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2} \text{ A}$.

(C) એ.સી. પરિપથમાં સરેરાશ પાવર $P$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$
આપણે જાણીએ છીએ કે $V_{rms} = I_{rms} Z$ અને પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z}$,જ્યાં $Z$ એ પરિપથનો ઇમ્પિડન્સ છે અને $R$ એ અવરોધ છે.
આ કિંમતો પાવરના સૂત્રમાં મૂકતા:
$P = (I_{rms} Z) \times I_{rms} \times \left( \frac{R}{Z} \right)$
$P = I_{rms}^2 R$
અહીં $I_{rms} = 2 A$ અને $R = 5 \Omega$ આપેલ છે:
$P = (2)^2 \times 5$
$P = 4 \times 5 = 20 \, W$
આમ,પરિપથમાં સરેરાશ પાવર $20 \, W$ છે.

(C) મુખ્ય ખ્યાલ: $a.c.$ પરિપથમાં વપરાતો સરેરાશ પાવર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P = E_{rms} I_{rms} \cos \phi$.
આપેલ છે:
વોલ્ટેજ $E = E_o \sin \omega t$
પ્રવાહ $I = I_o \sin \left( \omega t - \frac{\pi}{2} \right)$
આ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $E = E_o \sin \omega t$ અને $I = I_o \sin (\omega t - \phi)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કળા તફાવત $\phi = \frac{\pi}{2}$ મળે છે.
પાવરના સૂત્રમાં $\phi$ ની કિંમત મૂકતા:
$P = E_{rms} I_{rms} \cos \left( \frac{\pi}{2} \right)$
કારણ કે $\cos \left( \frac{\pi}{2} \right) = 0$,તેથી પાવરનો વપરાશ:
$P = E_{rms} I_{rms} \times 0 = 0$.

(A) ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = 100\pi \times \frac{1}{\pi} = 100\, \Omega$ છે.
આપેલ છે કે $I_{rms} = 2.2\, A$ અને $V_{rms} = 220\, V$,તેથી સર્કિટનો કુલ ઈમ્પીડન્સ $Z = \frac{V_{rms}}{I_{rms}} = \frac{220}{2.2} = 100\, \Omega$ થાય.
કુલ ઈમ્પીડન્સનું સૂત્ર $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $100 = \sqrt{100^2 + (100 - X_C)^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $100^2 = 100^2 + (100 - X_C)^2$,જેનો અર્થ છે કે $(100 - X_C)^2 = 0$,તેથી $X_C = 100\, \Omega$.
બોક્સમાં અવરોધ $R = 100\, \Omega$ અને કેપેસિટર $X_C = 100\, \Omega$ છે.
બોક્સનો ઈમ્પીડન્સ $Z_{box} = \sqrt{R^2 + X_C^2} = \sqrt{100^2 + 100^2} = 100\sqrt{2}\, \Omega$ થાય.
બોક્સનો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z_{box}} = \frac{100}{100\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.

(C) આપેલા સમીકરણો $V = V_m \sin(\omega t)$ અને $I = I_m \sin(\omega t + \phi)$ છે.
આપેલા સમીકરણો સાથે સરખાવતા,$V_m = 150 \, V$,$I_m = 150 \, A$,અને કળા તફાવત $\phi = \frac{\pi}{3}$ મળે છે.
$RMS$ મૂલ્યો $V_{rms} = \frac{V_m}{\sqrt{2}} = \frac{150}{\sqrt{2}} \, V$ અને $I_{rms} = \frac{I_m}{\sqrt{2}} = \frac{150}{\sqrt{2}} \, A$ છે.
$AC$ સર્કિટમાં વ્યય થતો પાવર $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $P = \left( \frac{150}{\sqrt{2}} \right) \times \left( \frac{150}{\sqrt{2}} \right) \times \cos\left( \frac{\pi}{3} \right)$.
કારણ કે $\cos(60^{\circ}) = 0.5$,તેથી $P = \frac{150 \times 150}{2} \times 0.5 = \frac{22500}{4} = 5625 \, W$.

(B) $AC$ સર્કિટમાં વ્યય થતા સરેરાશ પાવરનું સૂત્ર $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ છે.
આપેલ છે:
$V_0 = 100 \, V$
$I_0 = 100 \, mA = 0.1 \, A$
ફેઝ તફાવત $\phi = \frac{\pi}{3}$.
$V_{rms}$ અને $I_{rms}$ ની ગણતરી:
$V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}} = \frac{100}{\sqrt{2}} \, V$
$I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} = \frac{0.1}{\sqrt{2}} \, A$
પાવર ફેક્ટરની ગણતરી:
$\cos \phi = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} = 0.5$.
પાવરના સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$P = (\frac{100}{\sqrt{2}}) \times (\frac{0.1}{\sqrt{2}}) \times 0.5$
$P = \frac{100 \times 0.1}{2} \times 0.5$
$P = \frac{10}{2} \times 0.5 = 5 \times 0.5 = 2.5 \, W$.

(D) તત્કાલીન પ્રવાહ $I = 5 \sin \left( 100t - \frac{\pi}{2} \right)$ અને તત્કાલીન વોલ્ટેજ $V = 200 \sin 100t$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $I = I_0 \sin(\omega t + \phi_1)$ અને $V = V_0 \sin(\omega t + \phi_2)$ સાથે સરખાવતા,આપણને પ્રવાહનો ફેઝ $\phi_1 = -\frac{\pi}{2}$ અને વોલ્ટેજનો ફેઝ $\phi_2 = 0$ મળે છે.
ફેઝ તફાવત $\phi = \phi_2 - \phi_1 = 0 - (- \frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}$ થાય છે.
$AC$ સર્કિટમાં વપરાતો સરેરાશ પાવર $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\phi = \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \cos \left( \frac{\pi}{2} \right) = 0$ થાય છે.
તેથી,વપરાતો પાવર $P = V_{rms} I_{rms} \times 0 = 0$ થાય છે.

(A) આપેલ સમીકરણો $V = V_m \sin(\omega t)$ અને $I = I_m \sin(\omega t + \phi)$ છે.
આપેલ સમીકરણો સાથે સરખાવતા,$V_m = 150 \, V$,$I_m = 150 \, A$,અને ફેઝ તફાવત $\phi = \frac{\pi}{3}$ મળે છે.
$AC$ સર્કિટમાં વ્યય થતો પાવર $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $V_{rms} = \frac{V_m}{\sqrt{2}}$ અને $I_{rms} = \frac{I_m}{\sqrt{2}}$.
આ કિંમતો મૂકતા,$P = \frac{V_m}{\sqrt{2}} \times \frac{I_m}{\sqrt{2}} \times \cos \phi = \frac{V_m I_m}{2} \cos \phi$.
$P = \frac{150 \times 150}{2} \times \cos(60^{\circ}) = \frac{22500}{2} \times 0.5 = 11250 \times 0.5 = 5625 \, W$.

(C) આપેલ સર્કિટ આકૃતિ પરથી,આપણી પાસે શ્રેણીમાં બે અવરોધો છે,$R_1 = 40\, \Omega$ અને $R_2 = 40\, \Omega$.
કુલ અવરોધ $R_{net} = R_1 + R_2 = 40 + 40 = 80\, \Omega$.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 100\, \Omega$ છે અને કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C = 40\, \Omega$ છે.
ચોખ્ખો રિએક્ટન્સ $X = |X_L - X_C| = |100 - 40| = 60\, \Omega$.
સર્કિટનું ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R_{net}^2 + X^2} = \sqrt{80^2 + 60^2} = \sqrt{6400 + 3600} = \sqrt{10000} = 100\, \Omega$.
પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R_{net}}{Z} = \frac{80}{100} = 0.8$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(C) આપેલ છે: $I_{\text{rms}} = 2 \ A$ અને વોટલેસ પ્રવાહ $= \sqrt{3} \ A$.
વોટલેસ પ્રવાહનું સૂત્ર $I_{\text{wattless}} = I_{\text{rms}} \sin \phi$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\sqrt{3} = 2 \sin \phi$.
તેથી,$\sin \phi = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\phi = 60^{\circ}$.
પાવર ફેક્ટર $\cos \phi$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આમ,$\text{Power factor} = \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$.

(B) આપેલ આવૃત્તિ $f = \frac{50}{\pi} \, Hz$.
અવરોધ $R = 1 \, \Omega$.
ઇન્ડક્ટન્સ $L = 10 \, mH = 10 \times 10^{-3} \, H = 0.01 \, H$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi f = 2\pi \times \frac{50}{\pi} = 100 \, rad/s$.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = 100 \times 0.01 = 1 \, \Omega$.
પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z}$,જ્યાં $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$.
$Z = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \, \Omega$.
પાવર ફેક્ટર $= \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(C) આપેલ $LCR$ શ્રેણી સર્કિટમાં,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 100 \ \Omega$,કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C = 50 \ \Omega$ અને અવરોધ $R = 50 \ \Omega$ છે.
સર્કિટનો ઇમ્પિડન્સ $Z$ એ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$Z = \sqrt{50^2 + (100 - 50)^2} = \sqrt{50^2 + 50^2} = \sqrt{2 \times 50^2} = 50\sqrt{2} \ \Omega$ મળે.
પાવર ફેક્ટરને $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેથી,$\cos \phi = \frac{50}{50\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ થાય.

(C) તત્કાલીન વોલ્ટેજ $V = V_0 \sin(\omega t)$ છે,જ્યાં $V_0 = 100 \text{ V}$ છે.
તત્કાલીન પ્રવાહ $I = I_0 \sin(\omega t + \phi)$ છે,જ્યાં $I_0 = 100 \text{ mA} = 0.1 \text{ A}$ અને $\phi = \pi/3$ છે.
$A.C.$ સર્કિટમાં વ્યય થતો સરેરાશ પાવર $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}} = \frac{100}{\sqrt{2}} \text{ V}$.
$I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} = \frac{0.1}{\sqrt{2}} \text{ A}$.
કિંમતો મૂકતા:
$P = \left(\frac{100}{\sqrt{2}}\right) \times \left(\frac{0.1}{\sqrt{2}}\right) \times \cos(\pi/3)$.
$P = \frac{100 \times 0.1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{10}{2} \times 0.5 = 5 \times 0.5 = 2.5 \text{ W}$.

(B) $AC$ સર્કિટમાં વપરાતો પાવર $P = I_{rms}^2 \times R$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૌ પ્રથમ,$I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z}$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને રૂટ મીન સ્ક્વેર કરંટ $I_{rms}$ ની ગણતરી કરો,જ્યાં $V_{rms} = 220\,V$ અને $Z = 44\,\Omega$ છે.
$I_{rms} = \frac{220}{44} = 5\,A$.
હવે,આ કિંમતોને પાવરના સૂત્રમાં મૂકો:
$P = (5)^2 \times 22 = 25 \times 22 = 550\,W$.

(B) સાઇનસૉઇડલ એસી પ્રવાહનું રૂટ મીન સ્ક્વેર $(RMS)$ મૂલ્ય $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R$ અવરોધ ધરાવતા હીટરનો સરેરાશ પાવર આઉટપુટ $(P)$ $RMS$ પ્રવાહનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:
$P = I_{rms}^2 R$
$I_{rms}$ નું મૂલ્ય મૂકતા:
$P = \left(\frac{I_0}{\sqrt{2}}\right)^2 R$
$P = \frac{I_0^2}{2} R = \frac{I_0^2 R}{2}$

(B) $AC$ પરિપથમાં વ્યય થતો પાવર $P = V_{rms} I_{rms} \cos \theta$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શુદ્ધ અવરોધ $R$ માટે,વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\theta = 0^\circ$ હોય છે,તેથી $\cos \theta = 1$ થાય.
જોકે,સામાન્ય $LCR$ પરિપથ માટે,વ્યય થતો પાવર $P = I_{rms}^2 R$ છે.
મહત્તમ પ્રવાહ $I_0$ અને રૂટ મીન સ્ક્વેર પ્રવાહ $I_{rms}$ વચ્ચેનો સંબંધ $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$ છે.
આ કિંમતને પાવરના સૂત્રમાં મૂકતા: $P = \left( \frac{I_0}{\sqrt{2}} \right)^2 R = \frac{I_0^2 R}{2}$.
પાવર ફક્ત અવરોધક પર જ વ્યય થાય છે,તેથી $LCR$ પરિપથમાં કુલ વોલ્ટેજ અને કુલ પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\theta$ અવરોધ $R$ માં વ્યય થતા પાવરને સીધી અસર કરતું નથી,કારણ કે $P = I_{rms}^2 R$ એ પ્રમાણિત સ્વરૂપ છે.

(B) તત્કાલિન પ્રવાહ $i = \sin \omega t$ છે,તેથી મહત્તમ પ્રવાહ $i_0 = 1 \ A$ છે.
તત્કાલિન પોટેન્શિયલ તફાવત $E = 100 \cos \omega t = 100 \sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $E = E_0 \sin(\omega t + \phi)$ સાથે સરખાવતા,વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi = \frac{\pi}{2}$ મળે છે.
વોટલેસ પ્રવાહ એ પ્રવાહનો એવો ઘટક છે જે વોલ્ટેજ સાથે $90^\circ$ ના કળા તફાવતે હોય છે,જે $i_w = i \sin \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વોટલેસ પ્રવાહનું $r.m.s.$ મૂલ્ય $I_{w,rms} = \frac{i_0}{\sqrt{2}} \sin \phi$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $I_{w,rms} = \frac{1}{\sqrt{2}} \sin(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \times 1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \ A$.

(A) આપેલ સમીકરણો $V = V_0 \sin(\omega t + \phi_1)$ અને $i = i_0 \sin(\omega t + \phi_2)$ છે.
અહીં,$V_0 = 200 \text{ V}$,$i_0 = 50 \text{ mA} = 50 \times 10^{-3} \text{ A} = 0.05 \text{ A}$ છે.
ફેઝ તફાવત $\phi = \phi_1 - \phi_2 = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{3}$ છે.
સરેરાશ પાવર $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi = \frac{V_0}{\sqrt{2}} \frac{i_0}{\sqrt{2}} \cos \phi = \frac{V_0 i_0}{2} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $P = \frac{200 \times 0.05}{2} \cos(-\frac{\pi}{3}) = \frac{10}{2} \times \frac{1}{2} = 5 \times 0.5 = 2.5 \text{ W}$.

(D) તત્કાલીન પ્રવાહ $I = 5\,sin\,(100\,t - \pi/2)\,A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તત્કાલીન વોલ્ટેજ $V = 200\,sin\,(100\,t)\,V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વોલ્ટેજનો ફેઝ $\phi_V = 100\,t$ છે અને પ્રવાહનો ફેઝ $\phi_I = 100\,t - \pi/2$ છે.
વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો ફેઝ તફાવત $\phi = \phi_V - \phi_I = \pi/2$ છે.
$A.C.$ સર્કિટમાં વપરાતો સરેરાશ પાવર $P = V_{rms} I_{rms} \cos\,\phi$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ફેઝ તફાવત $\phi = \pi/2$ હોવાથી,પાવર ફેક્ટર $\cos(\pi/2) = 0$ થાય છે.
તેથી,પાવરનો વપરાશ $P = V_{rms} I_{rms} \times 0 = 0\,W$ થાય છે.

(N/A) આપણે જાણીએ છીએ કે $P = IV \cos \phi$, જ્યાં $\cos \phi$ એ પાવર ફેક્ટર છે. આપેલ વોલ્ટેજ $V$ પર આપેલ પાવર $P$ પૂરો પાડવા માટે, જો $\cos \phi$ નાનું હોય, તો પ્રવાહ $I = P / (V \cos \phi)$ મોટો હોવો જોઈએ. આનાથી ટ્રાન્સમિશન લાઈનોમાં મોટો પાવર વ્યય $I^2 R$ થાય છે.
$(b)$ ધારો કે એક પરિપથમાં, પ્રવાહ $I$ એ વોલ્ટેજ $V$ કરતા $\phi$ ખૂણા જેટલો પાછળ છે. તો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = R / Z$ છે. આપણે ઈમ્પિડન્સ $Z$ ને અવરોધ $R$ ની નજીક લાવીને પાવર ફેક્ટરમાં સુધારો ($1$ ની નજીક) કરી શકીએ છીએ. આ કેપેસિટરનો ઉપયોગ કરીને પ્રાપ્ત થાય છે. ચાલો પ્રવાહ $I$ ને બે ઘટકોમાં વિભાજિત કરીએ: $I_p$ (પાવર ઘટક) જે લાગુ પાડેલ વોલ્ટેજ $V$ ની દિશામાં છે, અને $I_q$ (વોટલેસ ઘટક) જે લાગુ પાડેલ વોલ્ટેજને લંબ છે. $I_q$ ને વોટલેસ ઘટક કહેવામાં આવે છે કારણ કે તે પાવર વ્યયમાં કોઈ ફાળો આપતું નથી. $I_p$ એ વોલ્ટેજ સાથે સમાન કળામાં છે અને તે પાવર વ્યય સાથે સંબંધિત છે. પાવર ફેક્ટરમાં સુધારો કરવા માટે, આપણે લેગિંગ વોટલેસ પ્રવાહ $I_q$ ને સમાંતર જોડેલા કેપેસિટર દ્વારા પૂરા પાડવામાં આવતા સમાન લીડિંગ વોટલેસ પ્રવાહ $I_q'$ દ્વારા તટસ્થ કરવો જોઈએ। આમ, $I_q$ અને $I_q'$ એકબીજાને રદ કરે છે, અને પાવર $P = I_p V$ બને છે.

(N/A) વિદ્યુત પાવર એટલે વિદ્યુત પરિપથમાં ઉર્જા વપરાશનો દર. $AC$ પરિપથમાં તાત્ક્ષણિક પાવર માપી શકાતો નથી,તેથી સાચો પાવર (true power) માપવામાં આવે છે. $AC$ પરિપથમાં સાચો પાવર એટલે પૂર્ણ આવર્તકાળ દરમિયાન સરેરાશ પાવરનું મૂલ્ય.
ધારો કે $AC$ પરિપથને લાગુ પાડેલ વોલ્ટેજ $V = V_{m} \sin \omega t$ છે,જે પરિપથમાં પ્રવાહ $I = I_{m} \sin (\omega t + \phi)$ ઉત્પન્ન કરે છે.
જ્યાં $I_{m} = \frac{V_{m}}{Z}$ અને $\phi = \tan^{-1} \left( \frac{X_{L} - X_{C}}{R} \right)$ છે.
સ્ત્રોત દ્વારા અપાતો તાત્ક્ષણિક પાવર:
$P = VI = (V_{m} \sin \omega t) [I_{m} \sin (\omega t + \phi)]$
$P = V_{m} I_{m} \sin \omega t \cdot \sin (\omega t + \phi)$
નિત્યસમ $2 \sin A \sin B = \cos (A - B) - \cos (A + B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P = \frac{V_{m} I_{m}}{2} [\cos \phi - \cos (2 \omega t + \phi)]$
એક ચક્ર પર સરેરાશ પાવર એ જમણી બાજુના બે પદોની સરેરાશ છે. સમય પર આધારિત પદ $\cos (2 \omega t + \phi)$ ની એક પૂર્ણ ચક્ર પર સરેરાશ શૂન્ય થાય છે.
તેથી,સરેરાશ પાવર:
$P_{avg} = \frac{V_{m} I_{m}}{2} \cos \phi = \frac{V_{m}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{I_{m}}{\sqrt{2}} \cos \phi$
$P_{avg} = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$
અહીં,$\cos \phi$ ને પાવર ફેક્ટર કહેવામાં આવે છે,જ્યાં $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ છે.

(A) આપેલ પરિપથ માટે સરેરાશ પાવરનું સમીકરણ,
$P = VI \cos \phi$
જ્યાં $V = \frac{V_{m}}{\sqrt{2}}$ અને $I = \frac{I_{m}}{\sqrt{2}}$ એ વોલ્ટેજ અને પ્રવાહના $RMS$ મૂલ્યો છે.
કિસ્સાઓ:
$(1)$ અવરોધક પરિપથ (માત્ર શુદ્ધ અવરોધ ધરાવતો પરિપથ):
આવા પરિપથમાં પ્રવાહ અને વોલ્ટેજ સમાન કળામાં હોય છે. તેથી,કળા તફાવત $\phi = 0^{\circ}$.
$\therefore$ સરેરાશ પાવર $P = VI \cos 0^{\circ} = VI$.
અહીં મહત્તમ પાવરનો વ્યય થાય છે.
$(2)$ શુદ્ધ ઇન્ડક્ટિવ અથવા કેપેસિટિવ પરિપથ:
શુદ્ધ ઇન્ડક્ટિવ પરિપથમાં,પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $\frac{\pi}{2}$ જેટલો પાછળ હોય છે. શુદ્ધ કેપેસિટિવ પરિપથમાં,પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $\frac{\pi}{2}$ જેટલો આગળ હોય છે. બંને કિસ્સામાં,$\phi = \frac{\pi}{2}$.
સરેરાશ પાવર $P = VI \cos \frac{\pi}{2} = 0$.
કોઈ પાવરનો વ્યય થતો નથી; આ પ્રવાહને વોટલેસ પ્રવાહ (wattless current) કહેવામાં આવે છે.
$(3)$ $L-C-R$ શ્રેણી પરિપથ:
$L-C-R$ શ્રેણી પરિપથમાં પાવરનો વ્યય $P = VI \cos \phi$ છે,જ્યાં $\phi = \tan^{-1}\left(\frac{X_{C} - X_{L}}{R}\right)$. પાવરનો વ્યય માત્ર અવરોધમાં જ થાય છે.
$(4)$ $L-C-R$ પરિપથમાં અનુનાદ (resonance) સમયે પાવરનો વ્યય:
અનુનાદ સમયે,$X_{C} - X_{L} = 0$,તેથી $\phi = 0^{\circ}$ અને $\cos \phi = 1$.
તેથી,$P = VI = I^{2}R$ (કારણ કે $Z = R$).
અનુનાદ સમયે પરિપથમાં મહત્તમ પાવરનો વ્યય થાય છે.

(N/A) એક અલ્ટરનેટિંગ કરંટ $(AC)$ સર્કિટમાં, તત્કાલીન પાવર $p(t)$ સમય સાથે બદલાય છે। સરેરાશ પાવર $(P_{avg})$, જેને સાચો પાવર પણ કહેવામાં આવે છે, તે અલ્ટરનેટિંગ કરંટના એક સંપૂર્ણ ચક્ર દરમિયાન તત્કાલીન પાવરનું સરેરાશ મૂલ્ય છે。
ગાણિતિક રીતે, તે સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P_{avg} = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$, જ્યાં $V_{rms}$ એ રૂટ-મીન-સ્ક્વેર વોલ્ટેજ છે, $I_{rms}$ એ રૂટ-મીન-સ્ક્વેર કરંટ છે, અને $\cos \phi$ એ સર્કિટનો પાવર ફેક્ટર છે。
આ સર્કિટના અવરોધક ઘટક દ્વારા વપરાતો વાસ્તવિક પાવર દર્શાવે છે, જે વોટ્સ $(W)$ માં માપવામાં આવે છે।

(D) $L-C-R$ શ્રેણી $AC$ પરિપથમાં સરેરાશ પાવરનું સૂત્ર $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ છે.
અહીં $V_{rms}$ એ વોલ્ટેજનું $RMS$ મૂલ્ય છે, $I_{rms}$ એ પ્રવાહનું $RMS$ મૂલ્ય છે, અને $\cos \phi$ એ પાવર ફેક્ટર છે, જ્યાં $\phi$ એ વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત છે.
$V_{rms}$ અને $I_{rms}$ એ પીક વોલ્ટેજ $(V_0)$ અને પીક પ્રવાહ $(I_0)$ પર આધારિત છે ($V_{rms} = V_0 / \sqrt{2}$ અને $I_{rms} = I_0 / \sqrt{2}$).
તેથી, પરિપથમાં વપરાતો પાવર પીક વોલ્ટેજ, પીક પ્રવાહ અને કળા તફાવત ત્રણેય પર આધાર રાખે છે.
આમ, સાચો વિકલ્પ $D$ છે.