Scalar triple product and their applications Questions in Hindi

(D) समांतर षट्फलक का आयतन $V$,जिसकी संलग्न कोर $\vec{a}, \vec{b},$ और $\vec{c}$ हैं,अदिश त्रिक गुणनफल $|[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}]|$ द्वारा दिया जाता है।
$V = |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| = \left| \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -4 & 5 \\ 3 & -5 & 2 \end{vmatrix} \right|$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$V = |1((-4)(2) - (5)(-5)) - (-1)((2)(2) - (5)(3)) + 1((2)(-5) - (-4)(3))|$
$V = |1(-8 + 25) + 1(4 - 15) + 1(-10 + 12)|$
$V = |1(17) + 1(-11) + 1(2)|$
$V = |17 - 11 + 2| = |8| = 8 \text{ घन इकाई.}$

(D) हम जानते हैं कि अदिश त्रिक गुणन $[a, b, c]$ चक्रीय गुणधर्म का पालन करता है: $[a, b, c] = [b, c, a] = [c, a, b]$.
साथ ही,किन्हीं दो सदिशों को आपस में बदलने पर अदिश त्रिक गुणन का चिह्न बदल जाता है: $[a, b, c] = -[b, a, c]$.
दी गई अभिव्यक्ति: $[i, k, j] + [k, j, i] + [j, k, i]$.
$1$. $[i, k, j] = -[i, j, k] = -1$.
$2$. $[k, j, i] = [i, k, j] = -1$.
$3$. $[j, k, i] = [i, j, k] = 1$.
इनका योग: $(-1) + (-1) + (1) = -1$.

(B) हमें अदिश त्रिगुणित गुणनफल $(u + v - w) \cdot [(u - v) \times (v - w)]$ का मूल्यांकन करना है।
सबसे पहले,क्रॉस प्रोडक्ट का विस्तार करें: $(u - v) \times (v - w) = u \times v - u \times w - v \times v + v \times w$.
चूंकि $v \times v = 0$,यह $u \times v - u \times w + v \times w$ में सरल हो जाता है।
अब,$(u + v - w)$ के साथ डॉट प्रोडक्ट की गणना करें:
$(u + v - w) \cdot (u \times v - u \times w + v \times w) = u \cdot (u \times v) - u \cdot (u \times w) + u \cdot (v \times w) + v \cdot (u \times v) - v \cdot (u \times w) + v \cdot (v \times w) - w \cdot (u \times v) + w \cdot (u \times w) - w \cdot (v \times w)$.
इस गुणधर्म का उपयोग करते हुए कि यदि कोई दो सदिश समान हों तो अदिश त्रिगुणित गुणनफल शून्य होता है:
$u \cdot (u \times v) = 0, u \cdot (u \times w) = 0, v \cdot (u \times v) = 0, v \cdot (v \times w) = 0, w \cdot (u \times w) = 0, w \cdot (v \times w) = 0$.
इस प्रकार,व्यंजक सरल होकर प्राप्त होता है:
$u \cdot (v \times w) - v \cdot (u \times w) - w \cdot (u \times v)$.
अदिश त्रिगुणित गुणनफल के चक्रीय गुणधर्म का उपयोग करते हुए $[u, v, w] = [v, w, u] = [w, u, v]$ और $[v, u, w] = -[u, v, w]$:
$= [u, v, w] - (-[u, v, w]) - [w, u, v] = [u, v, w] + [u, v, w] - [u, v, w] = [u, v, w] = u \cdot (v \times w)$.

(D) हमें व्यंजक $a \cdot [(b + c) \times (a + b + c)]$ दिया गया है।
क्रॉस उत्पाद के वितरण नियम का उपयोग करते हुए,कोष्ठक के अंदर के पद का विस्तार करने पर:
$(b + c) \times (a + b + c) = (b \times a) + (b \times b) + (b \times c) + (c \times a) + (c \times b) + (c \times c)$.
चूंकि किसी भी सदिश का स्वयं के साथ क्रॉस उत्पाद शून्य होता है ($b \times b = 0$ और $c \times c = 0$),इसलिए व्यंजक सरल होकर प्राप्त होता है:
$(b \times a) + (b \times c) + (c \times a) + (c \times b)$.
अब,$a$ के साथ डॉट उत्पाद लेने पर:
$a \cdot [(b \times a) + (b \times c) + (c \times a) + (c \times b)] = a \cdot (b \times a) + a \cdot (b \times c) + a \cdot (c \times a) + a \cdot (c \times b)$.
इसे अदिश त्रिक गुणन के रूप में लिखने पर:
$[a \, b \, a] + [a \, b \, c] + [a \, c \, a] + [a \, c \, b]$.
अदिश त्रिक गुणन में,यदि कोई भी दो सदिश समान हों,तो उसका मान $0$ होता है। अतः,$[a \, b \, a] = 0$ और $[a \, c \, a] = 0$.
साथ ही,$[a \, c \, b] = -[a \, b \, c]$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$0 + [a \, b \, c] + 0 - [a \, b \, c] = 0$.

(C) सदिश $\vec{a} = 4i + 11j + mk$,$\vec{b} = 7i + 2j + 6k$ और $\vec{c} = i + 5j + 4k$ समतलीय होते हैं यदि और केवल यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो,अर्थात $[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] = 0$।
यह उनके घटकों द्वारा निर्मित सारणिक के शून्य होने के बराबर है:
$\begin{vmatrix} 4 & 11 & m \\ 7 & 2 & 6 \\ 1 & 5 & 4 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$4(2 \times 4 - 6 \times 5) - 11(7 \times 4 - 6 \times 1) + m(7 \times 5 - 2 \times 1) = 0$
$4(8 - 30) - 11(28 - 6) + m(35 - 2) = 0$
$4(-22) - 11(22) + m(33) = 0$
$-88 - 242 + 33m = 0$
$-330 + 33m = 0$
$33m = 330$
$m = 10$
अतः,$m$ का मान $10$ है।

(C) माना कि चार बिंदु $A(2, 3, -1)$,$B(1, 2, 3)$,$C(3, 4, -2)$ और $D(1, -\lambda, 6)$ हैं।
प्राप्त सदिश:
$\overrightarrow{AB} = -i - j + 4k$
$\overrightarrow{AC} = i + j - k$
$\overrightarrow{AD} = -i - (\lambda + 3)j + 7k$
चार बिंदुओं के समतलीय होने के लिए,सदिशों $\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{AC}$ और $\overrightarrow{AD}$ का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$[\overrightarrow{AB} \, \overrightarrow{AC} \, \overrightarrow{AD}] = 0$
$\begin{vmatrix} -1 & -1 & 4 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & -(\lambda + 3) & 7 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$-1[7 - (\lambda + 3)] + 1[6] + 4[-\lambda - 2] = 0$
$-4 + \lambda + 6 - 4\lambda - 8 = 0$
$-3\lambda - 6 = 0$
$\lambda = -2$.

(C) चूंकि $a, b, c$ असमतलीय सदिश हैं,इसलिए उनका अदिश त्रिक गुणनफल $[a, b, c] \neq 0$ है।
सदिश $a + 2b + 3c, \lambda b + 4c$ और $(2\lambda - 1)c$ असमतलीय होंगे यदि और केवल यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य न हो:
$[(a + 2b + 3c), (\lambda b + 4c), (2\lambda - 1)c] \neq 0$.
अदिश त्रिक गुणनफल के गुणों का उपयोग करते हुए:
$(a + 2b + 3c) \cdot [(\lambda b + 4c) \times (2\lambda - 1)c] \neq 0$
$(a + 2b + 3c) \cdot [\lambda(2\lambda - 1)(b \times c)] \neq 0$
चूंकि $a \cdot (b \times c) = [a, b, c]$,$b \cdot (b \times c) = 0$,और $c \cdot (b \times c) = 0$,इसलिए व्यंजक सरल होकर निम्न रूप लेता है:
$\lambda(2\lambda - 1)[a, b, c] \neq 0$.
दिया गया है कि $[a, b, c] \neq 0$,इसलिए असमतलीयता के लिए शर्त $\lambda(2\lambda - 1) \neq 0$ है।
इसका अर्थ है कि $\lambda \neq 0$ और $\lambda \neq \frac{1}{2}$।
अतः,सदिश $\lambda = 0$ और $\lambda = \frac{1}{2}$ को छोड़कर $\lambda$ के सभी मानों के लिए असमतलीय हैं।

(D) अदिश त्रिक गुणन $[a, b, c]$ को $a \cdot (b \times c)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
अदिश त्रिक गुणन के चक्रीय गुणधर्म के अनुसार,सदिशों के चक्रीय क्रम में परिवर्तन करने पर इसका मान अपरिवर्तित रहता है।
इसलिए,$[a, b, c] = [b, c, a] = [c, a, b]$।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$[a, b, c] = [b, c, a]$।
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(C) दिया गया है कि $a \cdot b = 0$,$b \cdot c = 0$,और $c \cdot a = 0$ है।
इसका अर्थ है कि सदिश $a$,$b$,और $c$ एक-दूसरे के परस्पर लंबवत हैं।
मान लीजिए कि $a$,$b$,और $c$ क्रमशः $X$,$Y$,और $Z$ अक्षों के अनुदिश सदिश हैं,ताकि $a = |a|i$,$b = |b|j$,और $c = |c|k$ हो।
अदिश त्रिक गुणनफल को $[a b c] = (a \times b) \cdot c$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
मान रखने पर,हमें $a \times b = (|a|i \times |b|j) = |a||b|k$ प्राप्त होता है।
अतः,$[a b c] = (|a||b|k) \cdot (|c|k) = |a||b||c|(k \cdot k) = |a||b||c|(1) = |a||b||c|$।
इस प्रकार,अदिश त्रिक गुणनफल का मान $|a||b||c|$ है।

(C) चूंकि सदिश $a$,$b$,और $c$ समतलीय हैं,इसलिए उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए,अर्थात $[a, b, c] = 0$।
अदिश त्रिक गुणनफल सदिशों के घटकों के सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & \alpha & 0 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(3(0) - 1(\alpha)) - 1(2(0) - 1(1)) + (-1)(2(\alpha) - 3(1)) = 0$
$-\alpha + 1 - 2\alpha + 3 = 0$
$-3\alpha + 4 = 0$
$3\alpha = 4$
$\alpha = \frac{4}{3}$।

(D) तीन सदिशों $a, b, c$ का अदिश त्रिक गुणनफल $[a, b, c] = a \cdot (b \times c)$ के रूप में परिभाषित होता है।
अदिश त्रिक गुणनफल के गुणों के अनुसार,यह चक्रीय होता है,जिसका अर्थ है $a \cdot (b \times c) = (b \times c) \cdot a = (a \times b) \cdot c$.
विकल्प $A$,$B$,और $C$ अदिश त्रिक गुणनफल $[a, b, c]$ को दर्शाते हैं।
विकल्प $D$ $(a \cdot c) \times b$ है,जो एक अदिश $(a \cdot c)$ और एक सदिश $b$ का सदिश गुणनफल है। इसका परिणाम एक सदिश होता है,जबकि अदिश त्रिक गुणनफल का परिणाम एक अदिश होता है।
इसलिए,$(a \cdot c) \times b$ अदिश त्रिक गुणनफल के बराबर नहीं है और इस संदर्भ में एक मानक सर्वसमिका नहीं है।

(C) अदिश त्रिक गुणन (scalar triple product) को $[a \; b \; c] = a \cdot (b \times c)$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
चूंकि $a$,$b$ और $c$ दोनों पर लंब है,इसलिए $a$ को सदिश $b \times c$ के समानांतर होना चाहिए।
मान लीजिए $n$ वह इकाई सदिश है जो $b$ और $c$ वाले तल पर लंब है,ताकि $b \times c = |b||c| \sin(\theta) n$,जहाँ $\theta = \frac{2\pi}{3}$ है।
तब $b \times c = 3 \times 4 \times \sin(\frac{2\pi}{3}) n = 12 \times \frac{\sqrt{3}}{2} n = 6\sqrt{3} n$ होगा।
चूंकि $a$,$b$ और $c$ पर लंब है,इसलिए $a$,$n$ के समानांतर है। अतः,$a = \pm 2n$ होगा।
इसलिए,$[a \; b \; c] = a \cdot (b \times c) = (\pm 2n) \cdot (6\sqrt{3} n) = \pm 12\sqrt{3} (n \cdot n) = \pm 12\sqrt{3}$ होगा।
अतः,सही मान $12\sqrt{3}$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $[\lambda(a + b), \lambda^2 b, \lambda c] = [a, b + c, b]$
अदिश त्रिक गुणनफल $[x, y, z] = x \cdot (y \times z)$ के गुण का उपयोग करते हुए:
$\lambda(a + b) \cdot (\lambda^2 b \times \lambda c) = a \cdot ((b + c) \times b)$
बाएँ पक्ष को सरल करने पर:
$\lambda(a + b) \cdot (\lambda^3 (b \times c)) = \lambda^4 (a \cdot (b \times c) + b \cdot (b \times c))$
चूंकि $b \times b = 0$,यह $\lambda^4 [a, b, c]$ हो जाता है।
दाएँ पक्ष को सरल करने पर:
$a \cdot (b \times b + c \times b) = a \cdot (0 + c \times b) = a \cdot (c \times b) = [a, c, b]$
गुण $[a, c, b] = -[a, b, c]$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\lambda^4 [a, b, c] = -[a, b, c]$
पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$[a, b, c](\lambda^4 + 1) = 0$
चूंकि $a, b, c$ असमतलीय हैं,$[a, b, c] \neq 0$। इसलिए,$\lambda^4 + 1 = 0$,जिसका अर्थ है $\lambda^4 = -1$।
चूंकि $\lambda$ एक वास्तविक संख्या है,$\lambda^4$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होना चाहिए। अतः,$\lambda$ का कोई भी वास्तविक मान समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है।

(C) तीन सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ समतलीय होते हैं यदि और केवल यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो,अर्थात $[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] = 0$।
दिए गए सदिश $\vec{a} = 2i + j - k$,$\vec{b} = -i + 2j + \lambda k$,और $\vec{c} = -5i + 2j - k$ हैं।
समतलीयता की शर्त सारणिक द्वारा दी जाती है:
$\left| \begin{matrix} 2 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & \lambda \\ -5 & 2 & -1 \end{matrix} \right| = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$2(2(-1) - 2(\lambda)) - 1((-1)(-1) - (-5)(\lambda)) + (-1)((-1)(2) - (-5)(2)) = 0$
$2(-2 - 2\lambda) - 1(1 + 5\lambda) - 1(-2 + 10) = 0$
$-4 - 4\lambda - 1 - 5\lambda - 8 = 0$
$-9\lambda - 13 = 0$
$-9\lambda = 13$
$\lambda = -\frac{13}{9}$।

(A) यदि एक सदिश $\alpha$,$\beta$ और $\gamma$ के समतल में स्थित है,तो सदिश $\alpha, \beta, \text{ और } \gamma$ समतलीय (coplanar) हैं।
किन्हीं तीन सदिशों के समतलीय होने के लिए,उनका अदिश त्रिक गुणनफल (scalar triple product) शून्य के बराबर होना चाहिए।
अतः,$[\alpha, \beta, \gamma] = \alpha \cdot (\beta \times \gamma) = 0$.
इस प्रकार,सही विकल्प $A$ है।

(D) दिया गया है $\alpha = 2i + 3j - k$,$\beta = -i + 2j - 4k$ और $\gamma = i + j + k$।
हम सदिश सर्वसमिका $(\alpha \times \beta) \cdot (\alpha \times \gamma) = (\alpha \cdot \alpha)(\beta \cdot \gamma) - (\alpha \cdot \gamma)(\beta \cdot \alpha)$ का उपयोग करेंगे।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल की गणना करें:
$\alpha \cdot \alpha = (2)^2 + (3)^2 + (-1)^2 = 4 + 9 + 1 = 14$.
$\beta \cdot \gamma = (-1)(1) + (2)(1) + (-4)(1) = -1 + 2 - 4 = -3$.
$\alpha \cdot \gamma = (2)(1) + (3)(1) + (-1)(1) = 2 + 3 - 1 = 4$.
$\beta \cdot \alpha = (-1)(2) + (2)(3) + (-4)(-1) = -2 + 6 + 4 = 8$.
अब,इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करें:
$(\alpha \times \beta) \cdot (\alpha \times \gamma) = (14)(-3) - (4)(8) = -42 - 32 = -74$.

(C) हम जानते हैं कि अदिश त्रिक गुणनफल $[x, y, z] = x \cdot (y \times z)$ होता है।
माना $x = b \times c$,$y = c \times a$,और $z = a \times b$ है।
तब $[b \times c, c \times a, a \times b] = (b \times c) \cdot ((c \times a) \times (a \times b))$ होगा।
सदिश त्रिक गुणनफल के सूत्र $(p \times q) \times r = (p \cdot r)q - (q \cdot r)p$ का उपयोग करने पर:
$(c \times a) \times (a \times b) = ((c \times a) \cdot b)a - ((c \times a) \cdot a)b$ प्राप्त होता है।
चूंकि $(c \times a) \cdot a = 0$,यह सरल होकर $((c \times a) \cdot b)a = [c, a, b]a = [a, b, c]a$ हो जाता है।
इस मान को अदिश त्रिक गुणनफल में प्रतिस्थापित करने पर:
$(b \times c) \cdot ([a, b, c]a) = [a, b, c]((b \times c) \cdot a) = [a, b, c][b, c, a]$ प्राप्त होता है।
चूंकि $[a, b, c] = [b, c, a]$,इसलिए हमें $[a, b, c][a, b, c] = [a, b, c]^2$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि $c$ एक इकाई सदिश है,इसलिए $|c| = 1,$ जिसका अर्थ है $|c|^2 = c_1^2 + c_2^2 + c_3^2 = 1$ .....$(i)$
चूंकि $c \perp a$ और $c \perp b,$ इसलिए $c \cdot a = 0$ और $c \cdot b = 0.$
इसका अर्थ है $a_1 c_1 + a_2 c_2 + a_3 c_3 = 0$ .....$(ii)$
और $b_1 c_1 + b_2 c_2 + b_3 c_3 = 0$ .....$(iii)$
$a$ और $b$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{6}$ है,इसलिए $a \cdot b = |a||b| \cos(\frac{\pi}{6}) = |a||b| \frac{\sqrt{3}}{2}.$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(a \cdot b)^2 = |a|^2 |b|^2 \frac{3}{4} \Rightarrow (a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3)^2 = \frac{3}{4} (\Sigma a_1^2)(\Sigma b_1^2)$ .....$(iv)$
मान लीजिए $D = \left| \begin{array}{ccc} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{array} \right|.$ तब $D^2 = \left| \begin{array}{ccc} a \cdot a & a \cdot b & a \cdot c \\ b \cdot a & b \cdot b & b \cdot c \\ c \cdot a & c \cdot b & c \cdot c \end{array} \right|.$
शर्तों $a \cdot c = 0,$ $b \cdot c = 0,$ और $c \cdot c = 1$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $D^2 = \left| \begin{array}{ccc} |a|^2 & a \cdot b & 0 \\ a \cdot b & |b|^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right| = |a|^2 |b|^2 - (a \cdot b)^2.$
$(a \cdot b)^2 = \frac{3}{4} |a|^2 |b|^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $D^2 = |a|^2 |b|^2 - \frac{3}{4} |a|^2 |b|^2 = \frac{1}{4} |a|^2 |b|^2 = \frac{(\Sigma a_1^2)(\Sigma b_1^2)}{4}.$

(D) चूंकि सदिश समतलीय हैं,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होगा:
$\left| \begin{array}{ccc} a & 1 & 1 \\ 1 & b & 1 \\ 1 & 1 & c \end{array} \right| = 0$
$R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_1$ लागू करने पर:
$\left| \begin{array}{ccc} a & 1 & 1 \\ 1-a & b-1 & 0 \\ 1-a & 0 & c-1 \end{array} \right| = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$a(b-1)(c-1) - (1-a)(c-1) - (1-a)(b-1) = 0$
इस समीकरण को $(1-a)(1-b)(1-c)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{a}{1-a} + \frac{1}{1-b} + \frac{1}{1-c} = 0$ (चिह्नों के समायोजन के बाद)
अंततः,$\frac{1}{1-a} + \frac{1}{1-b} + \frac{1}{1-c} = 1$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण: $\alpha (a \times b) + \beta (b \times c) + \gamma (c \times a) = 0$.
पूरे समीकरण का सदिश $c$ के साथ अदिश गुणनफल लेने पर:
$\alpha (a \times b) \cdot c + \beta (b \times c) \cdot c + \gamma (c \times a) \cdot c = 0$.
चूंकि $(b \times c) \cdot c = 0$ और $(c \times a) \cdot c = 0$ होता है,क्योंकि दो सदिशों का क्रॉस गुणनफल उन दोनों के लंबवत होता है,इसलिए समीकरण सरल होकर यह हो जाता है:
$\alpha [a, b, c] = 0$.
यह दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ में से कम से कम एक संख्या शून्येतर है,मान लीजिए $\alpha \neq 0$.
अतः,$[a, b, c] = 0$.
इसका अर्थ है कि सदिशों $a, b$ और $c$ का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य है।
इसलिए,सदिश $a, b$ और $c$ समतलीय हैं।

(B) चतुष्फलक का आयतन जिसके शीर्ष $O(0, 0, 0)$,$A(\vec{a})$,$B(\vec{b})$,और $C(\vec{c})$ हैं,उसका सूत्र $V = \frac{1}{6} |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|$ है।
दिए गए सदिश $\vec{a} = -i + j + k$,$\vec{b} = i - j + k$,और $\vec{c} = i + j - k$ हैं।
आयतन $V = \frac{1}{6} \left| \det \begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix} \right|$.
सारणिक की गणना करने पर:
$\det = -1((-1)(-1) - (1)(1)) - 1((1)(-1) - (1)(1)) + 1((1)(1) - (-1)(1))$
$\det = -1(1 - 1) - 1(-1 - 1) + 1(1 + 1)$
$\det = -1(0) - 1(-2) + 1(2) = 0 + 2 + 2 = 4$.
अतः,$V = \frac{1}{6} |4| = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ घन इकाई।

(C) मान लीजिए $a = i - j$,$b = j - k$,और $c = k - i$ है।
मान लीजिए $\hat{d} = a_1 i + a_2 j + a_3 k$,जहाँ $|\hat{d}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} = 1$ है।
यह $a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 1$ $(i)$ को इंगित करता है।
दिया गया है $a \cdot \hat{d} = 0$,तो $(i - j) \cdot (a_1 i + a_2 j + a_3 k) = 0$,जिससे $a_1 - a_2 = 0$ $(ii)$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $[b, c, \hat{d}] = 0$,तो अदिश त्रिक गुणन शून्य है,इसलिए $b \cdot (c \times \hat{d}) = 0$ है।
यह सारणिक $\begin{vmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ a_1 & a_2 & a_3 \end{vmatrix} = 0$ के बराबर है।
सारणिक का विस्तार करने पर: $0(0 - a_2) - 1(-a_3 - a_1) - 1(-a_2 - 0) = 0$,जो $a_3 + a_1 + a_2 = 0$ $(iii)$ में सरल हो जाता है।
$(ii)$ से,$a_1 = a_2$ है। इसे $(iii)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $a_1 + a_1 + a_3 = 0$ मिलता है,इसलिए $a_3 = -2a_1$ है।
$a_2 = a_1$ और $a_3 = -2a_1$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$a_1^2 + a_1^2 + (-2a_1)^2 = 1 \Rightarrow 6a_1^2 = 1 \Rightarrow a_1 = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}$ है।
अतः,$a_1 = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}$,$a_2 = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}$,और $a_3 = \mp \frac{2}{\sqrt{6}}$ है।
इसलिए,$\hat{d} = \pm \frac{i + j - 2k}{\sqrt{6}}$ है।

(C) सदिशों $\vec{u} = i + aj + k$,$\vec{v} = j + ak$ और $\vec{w} = ai + k$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक का आयतन $V$,अदिश त्रिगुणनफल $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$ के निरपेक्ष मान के बराबर होता है।
$V = |\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})| = \left| \det \begin{bmatrix} 1 & a & 1 \\ 0 & 1 & a \\ a & 0 & 1 \end{bmatrix} \right|$
सारणिक का विस्तार करने पर: $1(1 - 0) - a(0 - a^2) + 1(0 - a) = 1 + a^3 - a$.
मान लीजिए $f(a) = a^3 - a + 1$ है। न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अवकलन करते हैं: $f'(a) = 3a^2 - 1$.
$f'(a) = 0$ रखने पर,$3a^2 = 1$,अतः $a^2 = \frac{1}{3}$,जिससे $a = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
अतः,आयतन को न्यूनतम करने के लिए $a$ का मान $\frac{1}{\sqrt{3}}$ है।

(C) हम सदिश त्रिक गुणन सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: $(x \times y) \times z = (x \cdot z)y - (y \cdot z)x$.
प्रथम,$(a \times b) \times (b \times c) = ((a \times b) \cdot c)b - ((a \times b) \cdot b)c = [a, b, c]b$.
द्वितीय,$(b \times c) \times (c \times a) = ((b \times c) \cdot a)c - ((b \times c) \cdot c)a = [b, c, a]c = [a, b, c]c$.
तृतीय,$(c \times a) \times (a \times b) = ((c \times a) \cdot b)a - ((c \times a) \cdot a)b = [c, a, b]a = [a, b, c]a$.
अब,अदिश त्रिक गुणन $[[a, b, c]b, [a, b, c]c, [a, b, c]a]$ है।
प्रत्येक सदिश से अदिश $[a, b, c]$ को उभयनिष्ठ लेने पर,हमें $[a, b, c]^3 [b, c, a]$ प्राप्त होता है।
चूंकि $[b, c, a] = [a, b, c]$,इसलिए व्यंजक $[a, b, c]^3 [a, b, c] = [a, b, c]^4$ हो जाता है।

(D) चूंकि $a, b, c$ समतलीय हैं,इसलिए उनका अदिश त्रिक गुणनफल $[a, b, c] = 0$ है।
सदिश त्रिक गुणनफल सर्वसमिका $(a \times b) \times (c \times d) = [(a \times b) \cdot d]c - [(a \times b) \cdot c]d$ का उपयोग करने पर।
चूंकि $c, a$ और $b$ के साथ समतलीय है,$[a, b, c] = (a \times b) \cdot c = 0$,इसलिए दूसरा पद शून्य हो जाता है।
अतः,$[(a \times b) \cdot d]c = \frac{1}{6}i - \frac{1}{3}j + \frac{1}{3}k$।
माना $n, a$ और $b$ के लंबवत इकाई सदिश है। तो $a \times b = |a||b| \sin(30^\circ) n = (1)(1)(\frac{1}{2})n = \frac{1}{2}n$।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{1}{2}(n \cdot d)c = \frac{1}{6}i - \frac{1}{3}j + \frac{1}{3}k$।
चूंकि $n$ और $d$ दोनों इकाई सदिश हैं जो $a, b, c$ के तल के लंबवत हैं,$n \cdot d = \pm 1$ होगा।
यदि $n \cdot d = 1$ है,तो $\frac{1}{2}c = \frac{1}{6}i - \frac{1}{3}j + \frac{1}{3}k \Rightarrow c = \frac{i - 2j + 2k}{3}$।
यदि $n \cdot d = -1$ है,तो $-\frac{1}{2}c = \frac{1}{6}i - \frac{1}{3}j + \frac{1}{3}k \Rightarrow c = \frac{-i + 2j - 2k}{3}$।
दोनों विकल्प $A$ और $C$ मान्य हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(C) यह दिया गया है कि $x$,$y$ और $z$ दोनों के समानांतर है,जिसका अर्थ है कि $x$,$y$,और $z$ समतलीय हैं।
तीन सदिशों के समतलीय होने के लिए,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए,अर्थात $[x, y, z] = 0$।
इसे सारणिक के रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\begin{vmatrix} 2 & 1 & \alpha \\ \alpha & 0 & 1 \\ 5 & -1 & 0 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$2(0(0) - 1(-1)) - 1(\alpha(0) - 1(5)) + \alpha(\alpha(-1) - 0(5)) = 0$
$2(1) - 1(-5) + \alpha(-\alpha) = 0$
$2 + 5 - \alpha^2 = 0$
$7 - \alpha^2 = 0$
$\alpha^2 = 7$
$\alpha = \pm \sqrt{7}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) यह जांचने के लिए कि बिंदु $A, B, C, D$ समतलीय हैं या नहीं,हम सदिशों $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \text{ और } \overrightarrow{AD}$ का अदिश त्रिक गुणनफल ज्ञात करते हैं।
$\overrightarrow{AB} = (0-4, -1-5, -1-1) = (-4, -6, -2)$
$\overrightarrow{AC} = (3-4, 9-5, 4-1) = (-1, 4, 3)$
$\overrightarrow{AD} = (-4-4, 4-5, 4-1) = (-8, -1, 3)$
यदि अदिश त्रिक गुणनफल $[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}] = 0$ है,तो बिंदु समतलीय हैं।
$\begin{vmatrix} -4 & -6 & -2 \\ -1 & 4 & 3 \\ -8 & -1 & 3 \end{vmatrix} = -4(12 - (-3)) - (-6)(-3 - (-24)) + (-2)(1 - (-32))$
$= -4(15) + 6(21) - 2(33) = -60 + 126 - 66 = 0$.
चूंकि अदिश त्रिक गुणनफल $0$ है,इसलिए बिंदु समतलीय हैं।

(B) अदिश त्रिगुणनफल की परिभाषा के अनुसार $[\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}] = (\vec{x} \times \vec{y}) \cdot \vec{z}$ होता है।
दिया गया समीकरण: $[\lambda(\vec{a} + \vec{b}), \lambda^2\vec{b}, \lambda\vec{c}] = [\vec{a}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{b}]$.
गुणधर्म $[k\vec{u}, m\vec{v}, n\vec{w}] = kmn[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$ का उपयोग करने पर,बायां पक्ष:
$\lambda \cdot \lambda^2 \cdot \lambda [\vec{a} + \vec{b}, \vec{b}, \vec{c}] = \lambda^4 [\vec{a} + \vec{b}, \vec{b}, \vec{c}]$.
चूंकि $[\vec{a} + \vec{b}, \vec{b}, \vec{c}] = [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] + [\vec{b}, \vec{b}, \vec{c}] = [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] + 0 = [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$,इसलिए बायां पक्ष $\lambda^4 [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$ है।
अब,दायां पक्ष $[\vec{a}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{b}] = [\vec{a}, \vec{b}, \vec{b}] + [\vec{a}, \vec{c}, \vec{b}] = 0 + [\vec{a}, \vec{c}, \vec{b}] = -[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$ है।
दोनों पक्षों की तुलना करने पर: $\lambda^4 [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = -[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$.
चूंकि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ असमतलीय हैं,$[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] \neq 0$.
अतः,$\lambda^4 = -1$.
चूंकि $\lambda$ एक वास्तविक संख्या है,$\lambda^4$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए $\lambda^4 = -1$ का कोई वास्तविक हल नहीं है।

(B) समांतर षट्फलक का आयतन जिसके किनारे $\vec{a}$,$\vec{b}$,और $\vec{c}$ हैं,अदिश त्रिगुण गुणनफल $|[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}]|$ द्वारा दिया जाता है।
इसकी गणना सदिशों के घटकों द्वारा निर्मित सारणिक के निरपेक्ष मान के रूप में की जाती है:
$V = |\det \begin{bmatrix} 4 & -2 & 1 \\ 3 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \end{bmatrix}|$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$V = |4(4 - 1) + 2(6 + 2) + 1(-3 - 4)| = |12 + 16 - 7| = |21| = 21$.

(B) सदिश सर्वसमिका $(\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w} = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{v} \cdot \vec{w})\vec{u}$ का उपयोग करते हुए,प्रत्येक पद का विस्तार करें:
$(\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{r} \times \vec{c}) = ((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c})\vec{r} - ((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{r})\vec{c} = [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]\vec{r} - [\vec{a}, \vec{b}, \vec{r}]\vec{c}$
इसी प्रकार:
$(\vec{b} \times \vec{c}) \times (\vec{r} \times \vec{a}) = [\vec{b}, \vec{c}, \vec{a}]\vec{r} - [\vec{b}, \vec{c}, \vec{r}]\vec{a} = [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]\vec{r} - [\vec{b}, \vec{c}, \vec{r}]\vec{a}$
$(\vec{c} \times \vec{a}) \times (\vec{r} \times \vec{b}) = [\vec{c}, \vec{a}, \vec{b}]\vec{r} - [\vec{c}, \vec{a}, \vec{r}]\vec{b} = [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]\vec{r} - [\vec{c}, \vec{a}, \vec{r}]\vec{b}$
इनका योग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$3[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]\vec{r} - ([\vec{b}, \vec{c}, \vec{r}]\vec{a} + [\vec{c}, \vec{a}, \vec{r}]\vec{b} + [\vec{a}, \vec{b}, \vec{r}]\vec{c})$
चूंकि $\vec{r} = x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c}$,हम जानते हैं कि $[\vec{b}, \vec{c}, \vec{r}]\vec{a} + [\vec{c}, \vec{a}, \vec{r}]\vec{b} + [\vec{a}, \vec{b}, \vec{r}]\vec{c} = [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]\vec{r}$ होता है।
अतः,व्यंजक का मान $3[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]\vec{r} - [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]\vec{r} = 2[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]\vec{r}$ है।

(C) समांतर षट्फलक का आयतन,जिसकी संलग्न भुजाएँ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ हैं,अदिश त्रिक गुणनफल $|\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|$ के निरपेक्ष मान द्वारा दिया जाता है।
दिए गए सदिश $\vec{a} = -12i + 0j + \alpha k$,$\vec{b} = 0i + 3j - 1k$,और $\vec{c} = 2i + 1j - 15k$ हैं।
अदिश त्रिक गुणनफल इन सदिशों द्वारा निर्मित सारणिक का मान है:
$|\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| = \left| \begin{matrix} -12 & 0 & \alpha \\ 0 & 3 & -1 \\ 2 & 1 & -15 \end{matrix} \right| = 546$.
पहली पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$-12(3(-15) - (-1)(1)) - 0 + \alpha(0(1) - 3(2)) = \pm 546$.
$-12(-45 + 1) + \alpha(-6) = \pm 546$.
$-12(-44) - 6\alpha = \pm 546$.
$528 - 6\alpha = \pm 546$.
स्थिति $1$: $528 - 6\alpha = 546 \Rightarrow -6\alpha = 18 \Rightarrow \alpha = -3$.
स्थिति $2$: $528 - 6\alpha = -546 \Rightarrow -6\alpha = -1074 \Rightarrow \alpha = 179$.
चूंकि $-3$ दिए गए विकल्पों में से एक है,इसलिए सही मान $\alpha = -3$ है।

(C) सदिशों $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक का आयतन अदिश त्रिक गुणनफल $|[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]| = 4$ द्वारा दिया जाता है। अतः,$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \pm 4$.
हमें निम्नलिखित व्यंजक का मान ज्ञात करना है:
$E = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) + (\vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{c} \times \vec{a}) + (\vec{c} + \vec{a}) \cdot (\vec{a} \times \vec{b})$
अदिश त्रिक गुणनफल के गुणधर्म $[\vec{x} \vec{y} \vec{z}] = \vec{x} \cdot (\vec{y} \times \vec{z})$ का उपयोग करते हुए:
$E = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] + [\vec{b} \vec{b} \vec{c}] + [\vec{b} \vec{c} \vec{a}] + [\vec{c} \vec{c} \vec{a}] + [\vec{c} \vec{a} \vec{b}] + [\vec{a} \vec{a} \vec{b}]$
चूंकि यदि कोई दो सदिश समान हों तो अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होता है:
$[\vec{b} \vec{b} \vec{c}] = 0, [\vec{c} \vec{c} \vec{a}] = 0, [\vec{a} \vec{a} \vec{b}] = 0$
साथ ही,चक्रीय गुणधर्म के अनुसार $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = [\vec{b} \vec{c} \vec{a}] = [\vec{c} \vec{a} \vec{b}] = V$
इसलिए,$E = V + 0 + V + 0 + V + 0 = 3V$
यहाँ $V = 4$ दिया गया है,अतः $E = 3 \times 4 = 12$।

(A) चूंकि $a, b, c$ समतलीय हैं,इसलिए $[a, b, c] = 0$ है।
दिया गया है $(a \times b) \times (c \times d) = \frac{1}{6}i - \frac{1}{3}j + \frac{1}{3}k$।
सदिश त्रिक गुणनफल सूत्र $(A \times B) \times C = (A \cdot C)B - (B \cdot C)A$ का उपयोग करने पर:
$[(a \times b) \cdot d]c - [(a \times b) \cdot c]d = \frac{1}{6}i - \frac{1}{3}j + \frac{1}{3}k$।
चूंकि $a, b, c$ समतलीय हैं,$[a, b, c] = (a \times b) \cdot c = 0$ है।
अतः,$[(a \times b) \cdot d]c = \frac{1}{6}i - \frac{1}{3}j + \frac{1}{3}k$।
$|a \times b| = |a||b| \sin 30^{\circ} = (1)(1)(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$।
माना $\hat{n}$ वह इकाई सदिश है जो $a$ और $b$ के तल के लंबवत है। तब $a \times b = \frac{1}{2} \hat{n}$।
चूंकि $d$,$a, b, c$ के लंबवत है,$d$ को $\hat{n}$ के समानांतर होना चाहिए,इसलिए $d = \pm \hat{n}$।
अतः $[(a \times b) \cdot d] = (\frac{1}{2} \hat{n}) \cdot (\pm \hat{n}) = \pm \frac{1}{2}$।
इस प्रकार,$\pm \frac{1}{2} c = \frac{1}{6}i - \frac{1}{3}j + \frac{1}{3}k$।
धनात्मक चिह्न लेने पर,$c = 2(\frac{1}{6}i - \frac{1}{3}j + \frac{1}{3}k) = \frac{1}{3}i - \frac{2}{3}j + \frac{2}{3}k = \frac{i - 2j + 2k}{3}$।

(A) माना बिंदुओं के स्थिति सदिश $\vec{a} = 3i - 2j - k$,$\vec{b} = 2i + 3j - 4k$,$\vec{c} = -i + j + 2k$,और $\vec{d} = 4i + 5j + \lambda k$ हैं।
चूंकि बिंदु समतलीय हैं,सदिश $(\vec{b}-\vec{a})$,$(\vec{c}-\vec{a})$,और $(\vec{d}-\vec{a})$ समतलीय होंगे,जिसका अर्थ है कि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य है।
$\vec{b}-\vec{a} = -i + 5j - 3k$
$\vec{c}-\vec{a} = -4i + 3j + 3k$
$\vec{d}-\vec{a} = i + 7j + (\lambda+1)k$
समतलीयता के लिए,इन सदिशों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\left|\begin{array}{ccc} -1 & 5 & -3 \\ -4 & 3 & 3 \\ 1 & 7 & \lambda+1 \end{array}\right| = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$-1[3(\lambda+1) - 21] - 5[-4(\lambda+1) - 3] - 3[-28 - 3] = 0$
$-1[3\lambda + 3 - 21] - 5[-4\lambda - 4 - 3] - 3[-31] = 0$
$-3\lambda + 18 + 20\lambda + 35 + 93 = 0$
$17\lambda + 146 = 0$
$17\lambda = -146$
$\lambda = -\frac{146}{17}$

(A) माना $\vec{a} = a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}$,$\vec{b} = b_1\hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k}$,और $\vec{c} = c_1\hat{i} + c_2\hat{j} + c_3\hat{k}$ है।
अदिश त्रिक गुणन का वर्ग ग्राम सारणिक (Gram determinant) द्वारा दिया जाता है:
$[\vec{a} \; \vec{b} \; \vec{c}]^2 = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{array}} \right| \times \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{array}} \right|$
सारणिकों के आव्यूह गुणन के गुणधर्म के अनुसार:
$[\vec{a} \; \vec{b} \; \vec{c}]^2 = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \vec{a} \cdot \vec{a} & \vec{a} \cdot \vec{b} & \vec{a} \cdot \vec{c} \\ \vec{b} \cdot \vec{a} & \vec{b} \cdot \vec{b} & \vec{b} \cdot \vec{c} \\ \vec{c} \cdot \vec{a} & \vec{c} \cdot \vec{b} & \vec{c} \cdot \vec{c} \end{array}} \right|$
अतः,दिया गया सारणिक $[\vec{a} \; \vec{b} \; \vec{c}]^2$ के बराबर है।

(B) हम जानते हैं कि अदिश त्रिक गुणनफल $[x, y, z] = (x \times y) \cdot z$ के रूप में परिभाषित होता है।
यहाँ,$[a \times b, b \times c, c \times a] = ((a \times b) \times (b \times c)) \cdot (c \times a)$ है।
सदिश त्रिक गुणनफल के गुणधर्म का उपयोग करने पर,$(a \times b) \times (b \times c) = [a, b, c]b$ प्राप्त होता है।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$[a \times b, b \times c, c \times a] = ([a, b, c]b) \cdot (c \times a)$,
$= [a, b, c] (b \cdot (c \times a))$,
$= [a, b, c] [b, c, a]$।
चूँकि अदिश त्रिक गुणनफल चक्रीय होता है,इसलिए $[b, c, a] = [a, b, c]$ होता है।
अतः,इसका मान $[a, b, c] \cdot [a, b, c] = [a, b, c]^2$ है।

(C) मान लीजिए $\vec{\alpha} = \vec{a} + 2\vec{b} + 3\vec{c}$,$\vec{\beta} = \lambda\vec{b} + 4\vec{c}$ और $\vec{\gamma} = (2\lambda - 1)\vec{c}$ है।
सदिश असमतलीय होते हैं यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य न हो,अर्थात $[\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}] \neq 0$ हो।
$[\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}] = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & \lambda & 4 \\ 0 & 0 & (2\lambda - 1) \end{vmatrix} [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$
$= 1 \cdot \lambda \cdot (2\lambda - 1) [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \lambda(2\lambda - 1) [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$
चूंकि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ असमतलीय हैं,इसलिए $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] \neq 0$ है।
अतः,सदिश असमतलीय होंगे यदि $\lambda(2\lambda - 1) \neq 0$ हो।
इसका अर्थ है कि $\lambda \neq 0$ और $\lambda \neq \frac{1}{2}$।
इसलिए,$\lambda$ के $0$ और $\frac{1}{2}$ को छोड़कर सभी मानों के लिए सदिश असमतलीय हैं।

(B) माना चतुष्फलक के शीर्ष $O(0, 0, 0)$,$A(-1, 1, 1)$,$B(1, -1, 1)$ और $C(1, 1, -1)$ हैं।
शीर्ष $O, A, B, C$ वाले चतुष्फलक का आयतन $V = \frac{1}{6} |\vec{OA} \cdot (\vec{OB} \times \vec{OC})|$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
अदिश त्रिक गुणनफल की गणना करते हुए:
$\vec{OA} = -i + j + k$
$\vec{OB} = i - j + k$
$\vec{OC} = i + j - k$
$V = \frac{1}{6} \left| \det \begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix} \right|$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$= \frac{1}{6} | -1((-1)(-1) - (1)(1)) - 1((1)(-1) - (1)(1)) + 1((1)(1) - (-1)(1)) |$
$= \frac{1}{6} | -1(1 - 1) - 1(-1 - 1) + 1(1 + 1) |$
$= \frac{1}{6} | 0 + 2 + 2 | = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \text{ घन इकाई}$.

(D) दिया गया है कि $a, b, c$ समतलीय हैं,इसलिए उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए: $[a, b, c] = 0$.
इसका अर्थ है कि घटकों का सारणिक शून्य है:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & 4 \\ 1 & \alpha & \beta \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1(3\beta - 4\alpha) - 1(4\beta - 4) + 1(4\alpha - 3) = 0$
$3\beta - 4\alpha - 4\beta + 4 + 4\alpha - 3 = 0$
$-\beta + 1 = 0 \Rightarrow \beta = 1$.
दिया गया है कि $|c| = \sqrt{3}$,इसलिए $|c|^2 = 3$:
$1^2 + \alpha^2 + \beta^2 = 3$
$1 + \alpha^2 + 1 = 3$
$\alpha^2 = 1 \Rightarrow \alpha = \pm 1$.
अतः,$\alpha = \pm 1$ और $\beta = 1$.

(A) हमें व्यंजक $\vec{a} \cdot \{(\vec{b} + \vec{c}) \times (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})\}$ का मूल्यांकन करना है।
क्रॉस उत्पाद के वितरण गुण का उपयोग करते हुए:
$(\vec{b} + \vec{c}) \times (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = \vec{b} \times \vec{a} + \vec{b} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a} + \vec{c} \times \vec{b} + \vec{c} \times \vec{c}$.
चूंकि $\vec{x} \times \vec{x} = 0$,यह सरल होकर निम्न हो जाता है:
$= \vec{b} \times \vec{a} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a} + \vec{c} \times \vec{b}$.
अब,$\vec{a}$ के साथ डॉट उत्पाद लेने पर:
$= \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{a}) + \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) + \vec{a} \cdot (\vec{c} \times \vec{a}) + \vec{a} \cdot (\vec{c} \times \vec{b})$.
अदिश त्रिक गुणन की परिभाषा $[\vec{x} \vec{y} \vec{z}] = \vec{x} \cdot (\vec{y} \times \vec{z})$ का उपयोग करते हुए:
$= [\vec{a} \vec{b} \vec{a}] + [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] + [\vec{a} \vec{c} \vec{a}] + [\vec{a} \vec{c} \vec{b}]$.
चूंकि किसी भी अदिश त्रिक गुणन में दो समान सदिश होने पर उसका मान $0$ होता है:
$= 0 + [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] + 0 + [\vec{a} \vec{c} \vec{b}]$.
गुण $[\vec{a} \vec{c} \vec{b}] = -[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ का उपयोग करते हुए:
$= [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] - [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$.

(B) सदिश $\vec a$ का सदिश $\vec b$ पर प्रक्षेप $\frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec b|}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\vec a = \vec x \times \vec y$ और $\vec b = \vec z$ है।
अतः,प्रक्षेप $\frac{(\vec x \times \vec y) \cdot \vec z}{|\vec z|} = \frac{[\vec x \vec y \vec z]}{|\vec z|}$ होगा।
सबसे पहले,अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec x \vec y \vec z]$ की गणना करें:
$[\vec x \vec y \vec z] = \begin{vmatrix} 3 & -6 & -1 \\ 1 & 4 & -3 \\ 3 & -4 & -12 \end{vmatrix} = 3(-48 - 12) + 6(-12 + 9) - 1(-4 - 12) = 3(-60) + 6(-3) - 1(-16) = -180 - 18 + 16 = -182$.
इसके बाद,$\vec z$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec z| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + (-12)^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$.
अंत में,प्रक्षेप $\frac{-182}{13} = -14$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ असमतलीय हैं,इसलिए उनका अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] \neq 0$ है।
अदिश त्रिक गुणनफल के गुण $[k\vec{a}, l\vec{b}, m\vec{c}] = klm[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$ का उपयोग करते हुए:
$1$. $[3\vec{u}, p\vec{v}, p\vec{w}] = 3p^2[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$
$2$. $[p\vec{v}, \vec{w}, q\vec{u}] = pq[\vec{v}, \vec{w}, \vec{u}] = pq[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$
$3$. $[2\vec{w}, q\vec{v}, q\vec{u}] = 2q^2[\vec{w}, \vec{v}, \vec{u}] = -2q^2[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$3p^2[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] - pq[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] - (-2q^2[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]) = 0$
$(3p^2 - pq + 2q^2)[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = 0$
चूंकि $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] \neq 0$,इसलिए $3p^2 - pq + 2q^2 = 0$ होना चाहिए।
$p$ और $q$ के इस द्विघात रूप के लिए,विविक्तकर $D = (-q)^2 - 4(3)(2q^2) = q^2 - 24q^2 = -23q^2$ है।
चूंकि $q \neq 0$ के लिए $D < 0$ है,इसलिए एकमात्र वास्तविक समाधान $p = 0, q = 0$ है। अतः,यह केवल एक निश्चित मान $(0, 0)$ के लिए सत्य है।

(C) माना सदिश $\vec{\alpha} = \hat{i} + a\hat{j} + \hat{k}$,$\vec{\beta} = \hat{j} + a\hat{k}$,और $\vec{\gamma} = a\hat{i} + \hat{k}$ हैं।
समांतर षट्फलक का आयतन $V$ अदिश त्रिक गुणनफल के मापांक के बराबर होता है: $V = |[\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}]|$.
अदिश त्रिक गुणनफल की गणना करने पर:
$[\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}] = \begin{vmatrix} 1 & a & 1 \\ 0 & 1 & a \\ a & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1(1 - 0) - a(0 - a^2) + 1(0 - a) = 1 + a^3 - a$.
माना $f(a) = a^3 - a + 1$ है। न्यूनतम आयतन ज्ञात करने के लिए,हम $f(a)$ का विश्लेषण करते हैं।
$f'(a) = 3a^2 - 1$.
$f'(a) = 0$ रखने पर,हमें $3a^2 = 1$ प्राप्त होता है,इसलिए $a = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$।
द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करने पर: $f''(a) = 6a$।
$a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए,$f''(\frac{1}{\sqrt{3}}) = 6(\frac{1}{\sqrt{3}}) = 2\sqrt{3} > 0$,जो स्थानीय न्यूनतम मान को दर्शाता है।
अतः,$a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ पर आयतन न्यूनतम होता है।

(B) हमें अदिश त्रिक गुणन $(A + B + C) \cdot ((A + B) \times (A + C))$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,क्रॉस गुणन का विस्तार करें: $(A + B) \times (A + C) = A \times A + A \times C + B \times A + B \times C$.
चूंकि $A \times A = 0$,इसलिए $(A + B) \times (A + C) = A \times C + B \times A + B \times C$.
अब,$(A + B + C)$ के साथ डॉट गुणन करें:
$(A + B + C) \cdot (A \times C + B \times A + B \times C) = A \cdot (A \times C) + A \cdot (B \times A) + A \cdot (B \times C) + B \cdot (A \times C) + B \cdot (B \times A) + B \cdot (B \times C) + C \cdot (A \times C) + C \cdot (B \times A) + C \cdot (B \times C)$.
अदिश त्रिक गुणन के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,यदि कोई दो सदिश समान हों तो उसका मान शून्य होता है:
$= 0 + 0 + [A, B, C] + [B, A, C] + 0 + 0 + 0 + [C, B, A] + 0$.
चूंकि $[B, A, C] = -[A, B, C]$ और $[C, B, A] = [A, B, C]$,इसलिए व्यंजक:
$= [A, B, C] - [A, B, C] + [A, B, C] = [A, B, C]$.

(B) तीन सदिश $\vec{A}$,$\vec{B}$ और $\vec{C}$ समतलीय होते हैं यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो,अर्थात $[\vec{A} \, \vec{B} \, \vec{C}] = 0$.
दिए गए सदिश $\vec{A} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{B} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ और $\vec{C} = 3\hat{i} + a\hat{j} + 5\hat{k}$ हैं।
समतलीयता के लिए शर्त:
$\begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 3 & a & 5 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$2(2(5) - (-3)(a)) - (-1)(1(5) - (-3)(3)) + 1(1(a) - 2(3)) = 0$
$2(10 + 3a) + 1(5 + 9) + 1(a - 6) = 0$
$20 + 6a + 14 + a - 6 = 0$
$7a + 28 = 0$
$7a = -28$
$a = -4$

(D) तीन सदिश $\vec{a}$,$\vec{b}$ और $\vec{c}$ समतलीय होते हैं यदि और केवल यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो,अर्थात $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$।
यह उनके घटकों द्वारा निर्मित सारणिक के शून्य होने के बराबर है:
$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ \lambda & 4 & 7 \\ -3 & -2 & -5 \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(4(-5) - 7(-2)) - 2(\lambda(-5) - 7(-3)) + 3(\lambda(-2) - 4(-3)) = 0$
$1(-20 + 14) - 2(-5\lambda + 21) + 3(-2\lambda + 12) = 0$
$-6 + 10\lambda - 42 - 6\lambda + 36 = 0$
$4\lambda - 12 = 0$
$4\lambda = 12$
$\lambda = 3$

(C) यहाँ $\bar{V} = (2, 1, -1)$ और $\bar{W} = (1, 0, 3)$ दिया गया है।
अदिश त्रिक गुणन की परिभाषा के अनुसार,$[\bar{U} \bar{V} \bar{W}] = \bar{U} \cdot (\bar{V} \times \bar{W})$ होता है।
सबसे पहले,सदिश गुणन $\bar{V} \times \bar{W}$ की गणना करें:
$\bar{V} \times \bar{W} = \begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 3 \end{vmatrix} = \bar{i}(3 - 0) - \bar{j}(6 - (-1)) + \bar{k}(0 - 1) = 3\bar{i} - 7\bar{j} - \bar{k}$.
इस सदिश गुणन का परिमाण $|\bar{V} \times \bar{W}| = \sqrt{3^2 + (-7)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 49 + 1} = \sqrt{59}$ है।
चूंकि $\bar{U}$ एक इकाई सदिश है,इसलिए $|\bar{U}| = 1$ है। अदिश त्रिक गुणन:
$[\bar{U} \bar{V} \bar{W}] = \bar{U} \cdot (\bar{V} \times \bar{W}) = |\bar{U}| |\bar{V} \times \bar{W}| \cos \theta = (1)(\sqrt{59}) \cos \theta$,जहाँ $\theta$,$\bar{U}$ और $(\bar{V} \times \bar{W})$ के बीच का कोण है।
अधिकतम मान तब प्राप्त होता है जब $\cos \theta = 1$ हो,जो कि $\sqrt{59}$ है।

(A) माना $\vec{x} = \vec{a} \times \vec{b}$ है। तब व्यंजक $(\vec{x} \times (\vec{a} \times \vec{c})) \cdot \vec{d}$ है।
सदिश त्रिक गुणन सूत्र $(\vec{A} \times \vec{B}) \times \vec{C} = (\vec{A} \cdot \vec{C})\vec{B} - (\vec{B} \cdot \vec{C})\vec{A}$ का उपयोग करने पर:
$(\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{a} \times \vec{c}) = [(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}]\vec{a} - [(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{a}]\vec{c}$.
चूंकि $[(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{a}] = 0$ है (क्योंकि दो समान सदिशों के साथ अदिश त्रिक गुणन शून्य होता है),व्यंजक सरल होकर:
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]\vec{a}$ हो जाता है।
अब,$\vec{d}$ के साथ अदिश गुणन करने पर:
$([\vec{a} \vec{b} \vec{c}]\vec{a}) \cdot \vec{d} = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] (\vec{a} \cdot \vec{d})$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) दिया गया है कि सदिश $\vec{c}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ वाले समतल के समांतर है,जिसका अर्थ है कि $\vec{c}$ समतल के अभिलंब सदिश $(\vec{a} \times \vec{b})$ के लंबवत है।
इसलिए,$\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] = 0$
यह सारणिक के रूप में इस प्रकार है:
$\begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & -2 & 3 \\ \lambda & 1 & 2\lambda - 1 \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$2[(-2)(2\lambda - 1) - 3(1)] - 3[1(2\lambda - 1) - 3(\lambda)] - 1[1(1) - (-2)(\lambda)] = 0$
$2[-4\lambda + 2 - 3] - 3[2\lambda - 1 - 3\lambda] - 1[1 + 2\lambda] = 0$
$2[-4\lambda - 1] - 3[-\lambda - 1] - 1 - 2\lambda = 0$
$-8\lambda - 2 + 3\lambda + 3 - 1 - 2\lambda = 0$
$-7\lambda = 0$
$\lambda = 0$