Scalar triple product and their applications Questions in Hindi

(A) तीन सदिश $\vec{a}, \vec{b},$ और $\vec{c}$ संरेख होते हैं यदि उनके घटकों से बने सारणिक का मान शून्य हो।
माना सदिश $\vec{a} = i + 2j + 3k$,$\vec{b} = \lambda i + 4j + 7k$,और $\vec{c} = -3i - 2j - 5k$ हैं।
संरेख होने के लिए:
$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ \lambda & 4 & 7 \\ -3 & -2 & -5 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(4(-5) - 7(-2)) - 2(\lambda(-5) - 7(-3)) + 3(\lambda(-2) - 4(-3)) = 0$
$1(-20 + 14) - 2(-5\lambda + 21) + 3(-2\lambda + 12) = 0$
$-6 + 10\lambda - 42 - 6\lambda + 36 = 0$
$4\lambda - 12 = 0$
$4\lambda = 12$
$\lambda = 3$.

(A) दिया गया है कि $d = \lambda (a \times b) + \mu (b \times c) + \nu (c \times a)$ और $[a, b, c] = \frac{1}{8}$।
$d$ का $c$ के साथ अदिश गुणन (dot product) करने पर:
$d \cdot c = \lambda (a \times b) \cdot c + \mu (b \times c) \cdot c + \nu (c \times a) \cdot c$
$d \cdot c = \lambda [a, b, c] + 0 + 0 = \lambda \left(\frac{1}{8}\right) \implies \lambda = 8(d \cdot c)$।
इसी प्रकार,$d$ का $a$ के साथ अदिश गुणन करने पर:
$d \cdot a = \lambda (a \times b) \cdot a + \mu (b \times c) \cdot a + \nu (c \times a) \cdot a$
$d \cdot a = 0 + \mu [b, c, a] + 0 = \mu \left(\frac{1}{8}\right) \implies \mu = 8(d \cdot a)$।
इसी प्रकार,$d$ का $b$ के साथ अदिश गुणन करने पर:
$d \cdot b = \lambda (a \times b) \cdot b + \mu (b \times c) \cdot b + \nu (c \times a) \cdot b$
$d \cdot b = 0 + 0 + \nu [c, a, b] = \nu \left(\frac{1}{8}\right) \implies \nu = 8(d \cdot b)$।
अतः,$\lambda + \mu + \nu = 8(d \cdot c) + 8(d \cdot a) + 8(d \cdot b) = 8d \cdot (a + b + c)$।

(D) दिया गया सारणिक ग्राम सारणिक $G(\vec{r}_{1}, \vec{r}_{2}, \vec{r}_{3})$ है,जो अदिश त्रिक गुणनफल के वर्ग के बराबर है: $G(\vec{r}_{1}, \vec{r}_{2}, \vec{r}_{3}) = [\vec{r}_{1} \vec{r}_{2} \vec{r}_{3}]^2$.
चूंकि सारणिक $0$ है,इसका अर्थ है कि $[\vec{r}_{1} \vec{r}_{2} \vec{r}_{3}] = 0$.
यह स्थिति दर्शाती है कि तीनों सदिश समतलीय हैं,जिसका अर्थ है कि वे रैखिक रूप से आश्रित हैं।
यदि सदिश रैखिक रूप से आश्रित हैं,तो वे एक ही समतल में स्थित होते हैं।
विकल्प $D$ कहता है कि तीनों सदिश एक-दूसरे के लंबवत हैं,जिसका अर्थ होगा कि वे रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं (त्रि-आयामी स्थान में एक ऑर्थोगोनल आधार बनाते हैं),इसलिए सारणिक गैर-शून्य होना चाहिए।
अतः,विकल्प $D$ में दिया गया कथन असत्य है।

(D) अदिश त्रिक गुणनफल की परिभाषा के अनुसार $|(a \times b) \cdot c| = |a| |b| |c| |\sin \theta| |\cos \alpha|$,जहाँ $\theta$,$a$ और $b$ के बीच का कोण है,और $\alpha$,$(a \times b)$ और $c$ के बीच का कोण है।
दिया गया है कि $|(a \times b) \cdot c| = |a| |b| |c|$,इसलिए $|\sin \theta| |\cos \alpha| = 1$ है।
चूंकि $|\sin \theta|$ और $|\cos \alpha|$ का अधिकतम मान $1$ होता है,यह समानता तभी संभव है जब $|\sin \theta| = 1$ और $|\cos \alpha| = 1$ हो।
$|\sin \theta| = 1 \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ है कि $a \perp b$ $(a \cdot b = 0)$।
$|\cos \alpha| = 1 \Rightarrow \alpha = 0$ या $\pi$,जिसका अर्थ है कि $c$ सदिश $(a \times b)$ के समानांतर है।
चूंकि $(a \times b)$,$a$ और $b$ दोनों के लंबवत है,इसलिए $c$ को भी $a$ और $b$ दोनों के लंबवत होना चाहिए।
अतः,$c \perp a$ $(c \cdot a = 0)$ और $c \perp b$ $(c \cdot b = 0)$।
इस प्रकार,$a, b, c$ परस्पर लंबवत हैं,जिसका अर्थ है कि $a \cdot b = b \cdot c = c \cdot a = 0$।

(A) अदिश त्रिक गुणन को $[a, b, c] = a \cdot (b \times c)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है कि $a, b, c$ असमतलीय हैं,इसलिए $[a, b, c] \neq 0$.
हम अदिश त्रिक गुणन के गुणों को जानते हैं: $[c, a, b] = [a, b, c]$ और $[b, a, c] = -[a, b, c]$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{a \cdot (b \times c)}{c \times a \cdot b} + \frac{b \cdot (a \times c)}{c \cdot (a \times b)} = \frac{[a, b, c]}{[c, a, b]} + \frac{[b, a, c]}{[c, a, b]}$
$= \frac{[a, b, c]}{[a, b, c]} + \frac{-[a, b, c]}{[a, b, c]}$
$= 1 - 1 = 0$.

(B) अदिश त्रिक गुणन की परिभाषा के अनुसार $[a + b, b + c, c + a] = (a + b) \cdot \{(b + c) \times (c + a)\}$ है।
क्रॉस गुणन का विस्तार करने पर: $(b + c) \times (c + a) = b \times c + b \times a + c \times c + c \times a$ प्राप्त होता है।
चूंकि $c \times c = 0$,यह $b \times c + b \times a + c \times a$ में सरल हो जाता है।
अब,डॉट गुणन की गणना करने पर: $(a + b) \cdot (b \times c + b \times a + c \times a) = a \cdot (b \times c) + a \cdot (b \times a) + a \cdot (c \times a) + b \cdot (b \times c) + b \cdot (b \times a) + b \cdot (c \times a)$।
अदिश त्रिक गुणन के गुणों का उपयोग करने पर: $a \cdot (b \times a) = 0$,$a \cdot (c \times a) = 0$,$b \cdot (b \times c) = 0$,और $b \cdot (b \times a) = 0$।
अतः शेष रहता है: $a \cdot (b \times c) + b \cdot (c \times a) = [a, b, c] + [b, c, a]$।
चूंकि $[a, b, c] = [b, c, a]$,इसलिए व्यंजक $[a, b, c] + [a, b, c] = 2[a, b, c]$ हो जाता है।

(C) माना सदिश $\vec{a} = 2i - 3j + 0k$,$\vec{b} = i + j - k$,और $\vec{c} = 3i + 0j - k$ हैं।
संगामी किनारों $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ वाले समांतर षट्फलक का आयतन अदिश त्रिक गुणनफल $|[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}]|$ द्वारा दिया जाता है।
इसकी गणना सदिशों के घटकों द्वारा निर्मित सारणिक के रूप में की जाती है:
$V = |\det \begin{bmatrix} 2 & -3 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \\ 3 & 0 & -1 \end{bmatrix}|$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$V = |2(1(-1) - (-1)(0)) - (-3)(1(-1) - (-1)(3)) + 0|$
$V = |2(-1) + 3(-1 + 3)|$
$V = |-2 + 3(2)|$
$V = |-2 + 6| = |4| = 4$.
अतः,समांतर षट्फलक का आयतन $4$ घन इकाई है।

(C) अदिश त्रिक गुणनफल $[a, b, c]$ को $a \cdot (b \times c)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यदि तीन सदिश $a, b, c$ समतलीय हैं,तो वे एक ही तल में स्थित होते हैं।
सदिश $(b \times c)$ उस तल के लंबवत होता है जिसमें सदिश $b$ और $c$ स्थित हैं।
चूंकि $a$ भी उसी तल में है,इसलिए $a$ सदिश $(b \times c)$ के लंबवत है।
अतः,$a$ और $(b \times c)$ का अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए,अर्थात $a \cdot (b \times c) = 0$।
अदिश त्रिक गुणनफल के गुणधर्म के अनुसार,$[a, b, c] = [b, c, a] = [c, a, b] = (a \times b) \cdot c = 0$।

(A) अदिश त्रिक गुणन (scalar triple product) को $[a \ c \ b] = a \cdot (c \times b)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
अदिश त्रिक गुणन के गुणों का उपयोग करते हुए,हम चक्रीय क्रम को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं: $[a \ c \ b] = c \cdot (b \times a)$।
चूंकि $a$ और $b$ समांतर सदिश हैं,इसलिए उनका सदिश गुणनफल $b \times a = 0$ होता है।
अतः,$[a \ c \ b] = c \cdot 0 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) तीन सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ समतलीय होते हैं यदि और केवल यदि उनका अदिश त्रिगुणित गुणनफल शून्य हो,अर्थात $[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] = 0$।
अदिश त्रिगुणित गुणनफल सदिशों के घटकों के सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$\begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 3 & \lambda & 5 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$2(2 \times 5 - (-3) \times \lambda) - (-1)(1 \times 5 - (-3) \times 3) + 1(1 \times \lambda - 2 \times 3) = 0$
$2(10 + 3\lambda) + 1(5 + 9) + 1(\lambda - 6) = 0$
$20 + 6\lambda + 14 + \lambda - 6 = 0$
$7\lambda + 28 = 0$
$7\lambda = -28$
$\lambda = -4$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) दिया गया है कि $p = \frac{b \times c}{[a, b, c]}$,$q = \frac{c \times a}{[a, b, c]}$,और $r = \frac{a \times b}{[a, b, c]}$।
प्रत्येक पद की अलग-अलग गणना करते हैं:
$(a+b) \cdot p = a \cdot p + b \cdot p = a \cdot \frac{b \times c}{[a, b, c]} + b \cdot \frac{b \times c}{[a, b, c]} = \frac{[a, b, c]}{[a, b, c]} + 0 = 1$.
$(b+c) \cdot q = b \cdot q + c \cdot q = b \cdot \frac{c \times a}{[a, b, c]} + c \cdot \frac{c \times a}{[a, b, c]} = \frac{[b, c, a]}{[a, b, c]} + 0 = 1$.
$(c+a) \cdot r = c \cdot r + a \cdot r = c \cdot \frac{a \times b}{[a, b, c]} + a \cdot \frac{a \times b}{[a, b, c]} = \frac{[c, a, b]}{[a, b, c]} + 0 = 1$.
इन परिणामों का योग करने पर: $1 + 1 + 1 = 3$।

(A) माना बिंदुओं के स्थिति सदिश $\vec{a} = 3i - 2j - k,$ $\vec{b} = 2i + 3j - 4k,$ $\vec{c} = -i + j + 2k,$ और $\vec{d} = 4i + 5j + \lambda k$ हैं।
चूंकि चारों बिंदु समतलीय हैं,इसलिए सदिशों $(\vec{b}-\vec{a}),$ $(\vec{c}-\vec{a}),$ और $(\vec{d}-\vec{a})$ का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होगा।
$\vec{b}-\vec{a} = -i + 5j - 3k$
$\vec{c}-\vec{a} = -4i + 3j + 3k$
$\vec{d}-\vec{a} = i + 7j + (\lambda+1)k$
समतलीयता के लिए,इन सदिशों का सारणिक शून्य होगा:
$\begin{vmatrix} -1 & 5 & -3 \\ -4 & 3 & 3 \\ 1 & 7 & \lambda+1 \end{vmatrix} = 0$
$-1(3\lambda + 3 - 21) - 5(-4\lambda - 4 - 3) - 3(-28 - 3) = 0$
$-3\lambda + 18 + 20\lambda + 35 + 93 = 0$
$17\lambda + 146 = 0$
$\lambda = -\frac{146}{17}$

(A) दिया गया है कि $p = \frac{b \times c}{[a, b, c]}$,$q = \frac{c \times a}{[a, b, c]}$,और $r = \frac{a \times b}{[a, b, c]}$।
इन सदिशों का योग करने पर,हमें प्राप्त होता है $p + q + r = \frac{b \times c + c \times a + a \times b}{[a, b, c]}$।
अब,अदिश गुणन $(a + b + c) \cdot (p + q + r)$ की गणना करते हैं:
$(a + b + c) \cdot \left( \frac{b \times c + c \times a + a \times b}{[a, b, c]} \right) = \frac{a \cdot (b \times c) + a \cdot (c \times a) + a \cdot (a \times b) + b \cdot (b \times c) + b \cdot (c \times a) + b \cdot (a \times b) + c \cdot (b \times c) + c \cdot (c \times a) + c \cdot (a \times b)}{[a, b, c]}$।
अदिश त्रिक गुणन के गुण $[a, b, c] = a \cdot (b \times c)$ का उपयोग करते हुए और यह ध्यान में रखते हुए कि समान सदिशों वाले किसी भी अदिश त्रिक गुणन का मान $0$ होता है:
$= \frac{[a, b, c] + 0 + 0 + 0 + [b, c, a] + 0 + 0 + 0 + [c, a, b]}{[a, b, c]}$।
चूँकि $[a, b, c] = [b, c, a] = [c, a, b]$,इसलिए:
$= \frac{[a, b, c] + [a, b, c] + [a, b, c]}{[a, b, c]} = \frac{3[a, b, c]}{[a, b, c]} = 3$।

(C) सदिशों $\vec{a}$,$\vec{b}$ और $\vec{c}$ द्वारा निरूपित भुजाओं वाले समांतर षट्फलक का आयतन अदिश त्रिक गुणनफल $|\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|$ के निरपेक्ष मान के बराबर होता है,जो सदिशों के घटकों द्वारा निर्मित सारणिक के बराबर है।
दिए गए सदिश $\vec{a} = -12i + 0j + \alpha k$,$\vec{b} = 0i + 3j - 1k$ और $\vec{c} = 2i + 1j - 15k$ हैं।
आयतन इस प्रकार है:
$|\det(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})| = 546$
$\left| \begin{matrix} -12 & 0 & \alpha \\ 0 & 3 & -1 \\ 2 & 1 & -15 \end{matrix} \right| = \pm 546$
पहली पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$-12(3(-15) - (-1)(1)) - 0(...) + \alpha(0(1) - 3(2)) = \pm 546$
$-12(-45 + 1) + \alpha(-6) = \pm 546$
$-12(-44) - 6\alpha = \pm 546$
$528 - 6\alpha = \pm 546$
स्थिति $1$: $528 - 6\alpha = 546 \Rightarrow -6\alpha = 18 \Rightarrow \alpha = -3$
स्थिति $2$: $528 - 6\alpha = -546 \Rightarrow -6\alpha = -1074 \Rightarrow \alpha = 179$
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही मान $\alpha = -3$ है।

(B) चूंकि सदिश समतलीय हैं,इसलिए उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए।
$\begin{vmatrix} a & a & c \\ 1 & 0 & 1 \\ c & c & b \end{vmatrix} = 0$
स्तंभ संक्रिया $C_2 \to C_2 - C_1$ लागू करने पर:
$\begin{vmatrix} a & 0 & c \\ 1 & -1 & 1 \\ c & 0 & b \end{vmatrix} = 0$
दूसरे स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$-(-1) \begin{vmatrix} a & c \\ c & b \end{vmatrix} = 0$
$ab - c^2 = 0 \Rightarrow c^2 = ab$
अतः,$c = \sqrt{ab}$,जो $a$ और $b$ का गुणोत्तर माध्य है।

(D) व्युत्क्रम सदिशों को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:
$a^{-1} = \frac{b \times c}{[a, b, c]}, b^{-1} = \frac{c \times a}{[a, b, c]}, c^{-1} = \frac{a \times b}{[a, b, c]}$
अब,अदिश त्रिक गुणनफल:
$[a^{-1}, b^{-1}, c^{-1}] = (a^{-1} \times b^{-1}) \cdot c^{-1}$
मान प्रतिस्थापित करने पर:
$[a^{-1}, b^{-1}, c^{-1}] = \left( \frac{b \times c}{[a, b, c]} \times \frac{c \times a}{[a, b, c]} \right) \cdot \frac{a \times b}{[a, b, c]}$
गुणधर्म $(b \times c) \times (c \times a) = [b, c, a]c = [a, b, c]c$ का उपयोग करने पर:
$[a^{-1}, b^{-1}, c^{-1}] = \frac{[a, b, c]c}{[a, b, c]^2} \cdot \frac{a \times b}{[a, b, c]} = \frac{c \cdot (a \times b)}{[a, b, c]^2} = \frac{[a, b, c]}{[a, b, c]^2} = \frac{1}{[a, b, c]}$
चूंकि $[a, b, c] \neq 0$,इसलिए यह मान शून्येतर है।

(A) तीन सदिश $a, b,$ और $c$ समतलीय होते हैं यदि और केवल यदि उनका अदिश त्रिगुणनफल शून्य हो,अर्थात $[a, b, c] = 0$।
अदिश त्रिगुणनफल सदिशों के घटकों द्वारा निर्मित सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & p & 5 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(2 \times 5 - (-1) \times p) - (-1)(1 \times 5 - (-1) \times 3) + 1(1 \times p - 2 \times 3) = 0$
$1(10 + p) + 1(5 + 3) + 1(p - 6) = 0$
$10 + p + 8 + p - 6 = 0$
$2p + 12 = 0$
$2p = -12$
$p = -6$

(B) अदिश त्रिक गुणन $[i, k, j]$ को $i \cdot (k \times j)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि $i, j, k$ परस्पर लंबवत इकाई सदिश हैं,हम जानते हैं कि $k \times j = -i$.
इस मान को व्यंजक में रखने पर,हमें $i \cdot (-i) = -(i \cdot i)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $i$ एक इकाई सदिश है,$i \cdot i = |i|^2 = 1^2 = 1$.
अतः,$[i, k, j] = -1$.

(D) सदिशों $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ द्वारा परिभाषित समांतर षट्फलक का आयतन अदिश त्रिक गुणनफल $|[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}]|$ द्वारा दिया जाता है।
$V = |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| = \left| \det \begin{bmatrix} 12 & 4 & 3 \\ 8 & -12 & -9 \\ 33 & -4 & -24 \end{bmatrix} \right|$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$V = |12((-12)(-24) - (-9)(-4)) - 4((8)(-24) - (-9)(33)) + 3((8)(-4) - (-12)(33))|$
$V = |12(288 - 36) - 4(-192 + 297) + 3(-32 + 396)|$
$V = |12(252) - 4(105) + 3(364)|$
$V = |3024 - 420 + 1092|$
$V = |3696| = 3696 \text{ घन इकाई.}$
चूंकि $3696$ विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $(d)$ है।

(A) तीन समवर्ती सदिशों $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ द्वारा परिभाषित समांतर षट्फलक का आयतन अदिश त्रिक गुणनफल $|\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|$ द्वारा दिया जाता है,जो सदिशों के घटकों द्वारा निर्मित सारणिक के निरपेक्ष मान के बराबर होता है।
माना $\vec{a} = 2i + j - k$,$\vec{b} = i + 2j + 3k$,और $\vec{c} = -3i - j + k$.
आयतन $V = \left| \det \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 3 \\ -3 & -1 & 1 \end{bmatrix} \right|$.
सारणिक की गणना करने पर:
$V = |2(2(1) - 3(-1)) - 1(1(1) - 3(-3)) + (-1)(1(-1) - 2(-3))|$
$V = |2(2 + 3) - 1(1 + 9) - 1(-1 + 6)|$
$V = |2(5) - 1(10) - 1(5)|$
$V = |10 - 10 - 5|$
$V = |-5| = 5$ घन इकाइयाँ।

(A) दिया गया है कि $x$ एक शून्येतर सदिश है जिसके लिए $x \cdot a = 0, x \cdot b = 0$ और $x \cdot c = 0$ है।
इसका अर्थ है कि सदिश $x$,सदिशों $a, b$ और $c$ में से प्रत्येक के लंबवत है।
यदि $x$ एक शून्येतर सदिश है जो $a, b$ और $c$ के लंबवत है,तो $a, b$ और $c$ को $x$ के लंबवत एक समतल में स्थित होना चाहिए।
अतः,सदिश $a, b$ और $c$ समतलीय हैं।
किन्हीं भी तीन समतलीय सदिशों के लिए,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होता है,अर्थात $[a, b, c] = 0$।

(B) तीन सदिश समतलीय होते हैं यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो,जो इन सदिशों द्वारा निर्मित सारणिक के शून्य होने के बराबर है।
माना सारणिक $D = \begin{vmatrix} -bc & b^2 + bc & c^2 + bc \\ a^2 + ac & -ac & c^2 + ac \\ a^2 + ab & b^2 + ab & -ab \end{vmatrix} = 0$.
पंक्तियों को क्रमशः $a, b, c$ से विभाजित करने पर (या स्तंभों से $a, b, c$ उभयनिष्ठ लेने पर),हम सारणिक को सरल बना सकते हैं।
प्रथम स्तंभ से $a$,दूसरे से $b$ और तीसरे से $c$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$abc \begin{vmatrix} -c & b+c & c+b \\ a+c & -c & c+a \\ a+b & b+a & -b \end{vmatrix} = 0$.
पंक्ति और स्तंभ संक्रियाओं को करने के बाद,सारणिक का सरलीकृत रूप $(ab + bc + ca)^3 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$ab + bc + ca = 0$.

(D) अदिश त्रिक गुणन $[a + b, b + c, c + a]$ का विस्तार इस प्रकार किया जा सकता है:
$[a + b, b + c, c + a] = (a + b) \cdot ((b + c) \times (c + a))$
$= (a + b) \cdot (b \times c + b \times a + c \times c + c \times a)$
चूंकि $c \times c = 0$,यह सरल होकर निम्न हो जाता है:
$= (a + b) \cdot (b \times c + b \times a + c \times a)$
$= a \cdot (b \times c) + a \cdot (b \times a) + a \cdot (c \times a) + b \cdot (b \times c) + b \cdot (b \times a) + b \cdot (c \times a)$
अदिश त्रिक गुणन के गुणों का उपयोग करते हुए,समान सदिशों वाले पद शून्य हो जाते हैं:
$= [a, b, c] + 0 + 0 + 0 + 0 + [b, c, a]$
$= [a, b, c] + [a, b, c] = 2[a, b, c]$
चूंकि $a, b, c$ समतलीय हैं,उनका अदिश त्रिक गुणन $[a, b, c] = 0$ है।
अतः,$2[a, b, c] = 2(0) = 0$.

(B) तीन सदिशों $a, b, c$ का अदिश त्रिक गुणनफल $[a, b, c] = (a \times b) \cdot c$ के रूप में परिभाषित होता है।
सूत्र में $c = a \times b$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$[a, b, a \times b] = (a \times b) \cdot (a \times b)$.
अदिश गुणनफल के गुणधर्म $v \cdot v = |v|^2$ का उपयोग करने पर:
$(a \times b) \cdot (a \times b) = |a \times b|^2$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) तीन सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ समतलीय होते हैं यदि और केवल यदि उनका अदिश त्रिगुणित गुणनफल शून्य हो, अर्थात $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$।
अदिश त्रिगुणित गुणनफल सदिशों के घटकों के सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$\begin{vmatrix} 2 & -3 & 4 \\ 1 & 2 & -1 \\ x & -1 & 2 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$2(2(2) - (-1)(-1)) - (-3)(1(2) - (-1)(x)) + 4(1(-1) - 2(x)) = 0$
$2(4 - 1) + 3(2 + x) + 4(-1 - 2x) = 0$
$2(3) + 6 + 3x - 4 - 8x = 0$
$6 + 6 + 3x - 4 - 8x = 0$
$8 - 5x = 0$
$5x = 8$
$x = \frac{8}{5}$

(C) एक समांतर षट्फलक का आयतन $V$ जिसकी सह-आदिम कोर सदिश $\vec{a}$,$\vec{b}$,और $\vec{c}$ हैं,अदिश त्रिक गुणनफल $|\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|$ द्वारा दिया जाता है,जो इन सदिशों के घटकों से बने सारणिक के निरपेक्ष मान के बराबर होता है।
माना $\vec{a} = 2i - 3j + 4k$,$\vec{b} = i + 2j - 2k$,और $\vec{c} = 3i - j + k$.
आयतन $V = \left| \det \begin{bmatrix} 2 & -3 & 4 \\ 1 & 2 & -2 \\ 3 & -1 & 1 \end{bmatrix} \right|$.
सारणिक की गणना करने पर:
$V = |2(2(1) - (-2)(-1)) - (-3)(1(1) - (-2)(3)) + 4(1(-1) - 2(3))|$
$V = |2(2 - 2) + 3(1 + 6) + 4(-1 - 6)|$
$V = |2(0) + 3(7) + 4(-7)|$
$V = |0 + 21 - 28|$
$V = |-7| = 7$.
अतः,आयतन $7 \ cubic \ units$ है।

(B) हम जानते हैं कि निर्देशांक अक्षों के अनुदिश इकाई सदिशों $i, j, k$ के लिए,क्रॉस गुणनफल इस प्रकार परिभाषित हैं:
$j \times k = i$
$k \times i = j$
$i \times j = k$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$i \cdot (j \times k) + j \cdot (k \times i) + k \cdot (i \times j) = i \cdot i + j \cdot j + k \cdot k$
चूंकि एक इकाई सदिश का स्वयं के साथ डॉट गुणनफल $1$ होता है (अर्थात $i \cdot i = 1, j \cdot j = 1, k \cdot k = 1$):
$1 + 1 + 1 = 3$
अतः,सही विकल्प $B$ है.

(C) एक समांतर षट्फलक जिसका सह-आगामी किनारे $a$,$b$,और $c$ हैं,उसका आयतन अदिश त्रिक गुणनफल $|a \cdot (b \times c)|$ द्वारा दिया जाता है,जो सदिशों के घटकों द्वारा निर्मित सारणिक के निरपेक्ष मान के बराबर होता है।
आयतन $= \left| \det \begin{bmatrix} -3 & 7 & 5 \\ -3 & 7 & -3 \\ 7 & -5 & -3 \end{bmatrix} \right|$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$= | -3((7)(-3) - (-3)(-5)) - 7((-3)(-3) - (-3)(7)) + 5((-3)(-5) - (7)(7)) |$
$= | -3(-21 - 15) - 7(9 + 21) + 5(15 - 49) |$
$= | -3(-36) - 7(30) + 5(-34) |$
$= | 108 - 210 - 170 |$
$= | -272 |$
$= 272$ घन इकाई।

(C) सदिश गुणनफल $a \times b$ एक ऐसा सदिश देता है जो $a$ और $b$ दोनों के लंबवत होता है।
चूंकि दो लंबवत सदिशों का अदिश गुणनफल हमेशा शून्य होता है,इसलिए हमारे पास $a \cdot (a \times b) = 0$ है।
यह अदिश त्रिक गुणनफल $[a, a, b] = 0$ का एक मूलभूत गुण है क्योंकि दो सदिश समान हैं।

(D) समांतर षट्फलक का आयतन जिसके संगामी किनारे $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ हैं,अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{u} \vec{v} \vec{w}] = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,किनारे $\vec{u} = \vec{a} - \vec{b}$,$\vec{v} = \vec{b} - \vec{c}$,और $\vec{w} = \vec{c} - \vec{a}$ हैं।
आयतन $= (\vec{a} - \vec{b}) \cdot ((\vec{b} - \vec{c}) \times (\vec{c} - \vec{a}))$.
सबसे पहले,क्रॉस गुणनफल की गणना करें: $(\vec{b} - \vec{c}) \times (\vec{c} - \vec{a}) = \vec{b} \times \vec{c} - \vec{b} \times \vec{a} - \vec{c} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a} = \vec{b} \times \vec{c} + \vec{a} \times \vec{b} + \vec{c} \times \vec{a}$ (चूंकि $\vec{c} \times \vec{c} = 0$ और $-\vec{b} \times \vec{a} = \vec{a} \times \vec{b}$)।
अब,$(\vec{a} - \vec{b})$ के साथ डॉट गुणनफल लें:
$(\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{b} \times \vec{c} + \vec{a} \times \vec{b} + \vec{c} \times \vec{a})$
$= \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) + \vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) + \vec{a} \cdot (\vec{c} \times \vec{a}) - \vec{b} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) - \vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) - \vec{b} \cdot (\vec{c} \times \vec{a})$।
अदिश त्रिक गुणनफल के गुण का उपयोग करते हुए,यदि कोई दो सदिश समान हैं तो मान शून्य होता है:
$\vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0$,$\vec{a} \cdot (\vec{c} \times \vec{a}) = 0$,$\vec{b} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$,$\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0$।
इस प्रकार,व्यंजक सरल होकर $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) - \vec{b} \cdot (\vec{c} \times \vec{a}) = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] - [\vec{b} \vec{c} \vec{a}] = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] - [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$ हो जाता है।

(C) तीन सदिशों $u, v, w$ का अदिश त्रिक गुणनफल $[u, v, w] = u \cdot (v \times w)$ द्वारा दर्शाया जाता है।
अदिश त्रिक गुणनफल के चक्रीय गुण के अनुसार,$[u, v, w] = [v, w, u] = [w, u, v]$ होता है।
विकल्प $(a)$ है $u \cdot (v \times w) = [u, v, w]$।
विकल्प $(b)$ है $(v \times w) \cdot u = [v, w, u] = [u, v, w]$।
विकल्प $(d)$ है $(u \times v) \cdot w = [u, v, w]$।
विकल्प $(c)$ है $v \cdot (u \times w) = [v, u, w] = -[u, v, w]$।
चूंकि $[u, v, w] \neq -[u, v, w]$ (सामान्यतः),इसलिए विकल्प $(c)$ अन्य विकल्पों के बराबर नहीं है।

(A) मान लीजिए कि $u$,$v$,और $w$ सदिश हैं।
$1$. $u \cdot (v \times w)$ पर विचार करें: $(v \times w)$ व्यंजक एक सदिश परिणाम देता है। सदिश $u$ का परिणामी सदिश $(v \times w)$ के साथ अदिश गुणन (डॉट प्रोडक्ट) परिभाषित है और यह एक अदिश मान देता है। अतः,यह व्यंजक अर्थपूर्ण है।
$2$. $(u \cdot v) \cdot w$ पर विचार करें: $(u \cdot v)$ व्यंजक एक अदिश मान देता है। एक अदिश का सदिश $w$ के साथ अदिश गुणन परिभाषित नहीं है। अतः,यह व्यंजक अर्थपूर्ण नहीं है।
$3$. $(u \cdot v) \times w$ पर विचार करें: $(u \cdot v)$ व्यंजक एक अदिश मान देता है। एक अदिश का सदिश $w$ के साथ सदिश गुणन (क्रॉस प्रोडक्ट) परिभाषित नहीं है। अतः,यह व्यंजक अर्थपूर्ण नहीं है।
इसलिए,केवल पहला व्यंजक ही अर्थपूर्ण है।

(B) दिया गया सदिश समीकरण $d = \lambda a + \mu b + \nu c$ है।
$\lambda$ ज्ञात करने के लिए,दोनों पक्षों का सदिशों $b$ और $c$ के साथ अदिश त्रिक गुणनफल लें।
दोनों पक्षों का $(b \times c)$ के साथ अदिश गुणनफल करने पर:
$d \cdot (b \times c) = (\lambda a + \mu b + \nu c) \cdot (b \times c)$
चूंकि समान घटकों वाले सदिशों का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होता है,इसलिए:
$b \cdot (b \times c) = 0$ और $c \cdot (b \times c) = 0$।
अतः,$d \cdot (b \times c) = \lambda [a, b, c]$।
इसलिए,$\lambda = \frac{[d, b, c]}{[a, b, c]}$।
अदिश त्रिक गुणनफल के चक्रीय गुण का उपयोग करने पर,$[d, b, c] = [b, c, d]$ और $[a, b, c] = [b, c, a]$।
अतः,$\lambda = \frac{[b, c, d]}{[b, c, a]}$।

(B) सदिशों $\vec{A}$,$\vec{B}$,और $\vec{C}$ के वामहस्त निकाय बनाने के लिए,उनका अदिश त्रिक गुणनफल (scalar triple product) $[\vec{A} \, \vec{B} \, \vec{C}]$ ऋणात्मक होना चाहिए,अर्थात $[\vec{A} \, \vec{B} \, \vec{C}] < 0$।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{A} \times \vec{B}$ की गणना करें:
$\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 5 \end{vmatrix} = i(15 - 4) - j(10 - 4) + k(2 - 3) = 11i - 6j - k$।
निकाय के वामहस्त होने के लिए,हमें $\vec{C} \cdot (\vec{A} \times \vec{B}) < 0$ की आवश्यकता है।
विकल्प $B$ की जाँच करने पर: $\vec{C} = -11i + 6j + k$।
$\vec{C} \cdot (\vec{A} \times \vec{B}) = (-11)(11) + (6)(-6) + (1)(-1) = -121 - 36 - 1 = -158$।
चूंकि $-158 < 0$ है,इसलिए ये सदिश एक वामहस्त निकाय बनाते हैं।

(C) सदिशों $a$,$b$ और $c$ द्वारा निरूपित संलग्न भुजाओं वाले समांतर षट्फलक का आयतन अदिश त्रिक गुणनफल $|[a, b, c]|$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए सदिश:
$a = 1i - 1j + 1k$
$b = 1i - 3j + 4k$
$c = 2i - 5j + 3k$
अदिश त्रिक गुणनफल इन सदिशों द्वारा निर्मित आव्यूह का सारणिक है:
$|[a, b, c]| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -3 & 4 \\ 2 & -5 & 3 \end{vmatrix}$
पहली पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$= 1((-3)(3) - (4)(-5)) - (-1)((1)(3) - (4)(2)) + 1((1)(-5) - (-3)(2))$
$= 1(-9 + 20) + 1(3 - 8) + 1(-5 + 6)$
$= 1(11) + 1(-5) + 1(1)$
$= 11 - 5 + 1 = 7$
अतः,समांतर षट्फलक का आयतन $7$ घन इकाई है.

(B) दिया गया है कि $a \cdot (b \times c) = \lambda \neq 0$ है।
हमें व्यंजक $\frac{(b \times c) \cdot (a + b + c)}{\lambda}$ का मान ज्ञात करना है।
डॉट प्रोडक्ट के वितरण नियम का उपयोग करते हुए:
$\frac{(b \times c) \cdot a + (b \times c) \cdot b + (b \times c) \cdot c}{\lambda}$
चूंकि सदिशों के अदिश त्रिक गुणन (scalar triple product) में यदि घटक दोहराए जाते हैं,तो उसका मान शून्य होता है,इसलिए $(b \times c) \cdot b = 0$ और $(b \times c) \cdot c = 0$ होगा।
अतः,व्यंजक सरल होकर $\frac{(b \times c) \cdot a + 0 + 0}{\lambda}$ हो जाता है।
चूंकि अदिश त्रिक गुणन चक्रीय होता है,इसलिए $(b \times c) \cdot a = a \cdot (b \times c) = \lambda$ होता है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर,हमें $\frac{\lambda}{\lambda} = 1$ प्राप्त होता है।

(A) तीन सदिशों $a, b,$ और $c$ का अदिश त्रिक गुणनफल $[a, b, c] = a \cdot (b \times c)$ के रूप में परिभाषित होता है।
यदि तीन सदिश समतलीय हैं,तो वे एक ही तल में स्थित होते हैं।
किन्हीं भी तीन समतलीय सदिशों के लिए,उनके द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन शून्य होता है।
चूंकि अदिश त्रिक गुणनफल समांतर षट्फलक के आयतन को दर्शाता है,इसलिए किसी भी समतलीय सदिशों के समूह के लिए $[a, b, c] = 0$ होता है।
अतः,यदि $a, b,$ और $c$ इकाई समतलीय सदिश हैं,तो उनका अदिश त्रिक गुणनफल $0$ होगा।

(B) सदिश $\vec{a} = i + 3j - 2k$,$\vec{b} = 2i - j + 4k$,और $\vec{c} = 3i + 2j + xk$ समतलीय हैं यदि और केवल यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो,अर्थात $[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] = 0$.
यह स्थिति उनके घटकों द्वारा निर्मित सारणिक के शून्य होने के बराबर है:
$\left| \begin{array}{ccc} 1 & 3 & -2 \\ 2 & -1 & 4 \\ 3 & 2 & x \end{array} \right| = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$1((-1)(x) - (4)(2)) - 3((2)(x) - (4)(3)) + (-2)((2)(2) - (-1)(3)) = 0$
$1(-x - 8) - 3(2x - 12) - 2(4 + 3) = 0$
$-x - 8 - 6x + 36 - 14 = 0$
$-7x + 14 = 0$
$7x = 14$
$x = 2$
अतः,$x$ का मान $2$ है.

(A) अदिश त्रिगुणनफल को $[x, y, z] = (x \times y) \cdot z$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
हमें $[a - b, b - c, c - a]$ का मान ज्ञात करना है।
अदिश त्रिगुणनफल के गुणों का उपयोग करते हुए:
$[a - b, b - c, c - a] = (a - b) \cdot ((b - c) \times (c - a))$
$= (a - b) \cdot (b \times c - b \times a - c \times c + c \times a)$
चूंकि $c \times c = 0$,यह सरल होकर निम्न हो जाता है:
$= (a - b) \cdot (b \times c - b \times a + c \times a)$
$= a \cdot (b \times c) - a \cdot (b \times a) + a \cdot (c \times a) - b \cdot (b \times c) + b \cdot (b \times a) - b \cdot (c \times a)$
यदि कोई भी दो सदिश समान हों तो अदिश त्रिगुणनफल शून्य होता है:
$a \cdot (b \times a) = [a, b, a] = 0$
$a \cdot (c \times a) = [a, c, a] = 0$
$b \cdot (b \times c) = [b, b, c] = 0$
$b \cdot (b \times a) = [b, b, a] = 0$
अतः,व्यंजक सरल होकर निम्न हो जाता है:
$= [a, b, c] - [b, c, a]$
चूंकि $[a, b, c] = [b, c, a]$,इसलिए:
$= [a, b, c] - [a, b, c] = 0$.

(D) चूंकि सदिश $\vec{a}$,$\vec{b}$,और $\vec{c}$ समतलीय हैं,इसलिए उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए,अर्थात $[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] = 0$।
यह सारणिक द्वारा दिया गया है:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & -4 \\ 1 & \lambda & 3 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(0 - (-4\lambda)) - 1(6 - (-4)) + 1(2\lambda - 0) = 0$
$1(4\lambda) - 1(10) + 1(2\lambda) = 0$
$4\lambda - 10 + 2\lambda = 0$
$6\lambda = 10$
$\lambda = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$
चूंकि $\frac{5}{3}$ दिए गए विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $(d)$ है।

(D) तीन सदिशों $\overrightarrow{A}$,$\overrightarrow{B}$,और $\overrightarrow{C}$ के समतलीय होने के लिए,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए,अर्थात $[\overrightarrow{A} \, \overrightarrow{B} \, \overrightarrow{C}] = 0$।
अदिश त्रिक गुणनफल सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$[\overrightarrow{A} \, \overrightarrow{B} \, \overrightarrow{C}] = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ C_1 & C_2 & C_3 \end{vmatrix} = 0$।
दिए गए मान $C_2 = -1$ और $C_3 = 1$ रखने पर:
$[\overrightarrow{A} \, \overrightarrow{B} \, \overrightarrow{C}] = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ C_1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 0$।
दूसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$-1 \times \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 0
\Rightarrow -1 \times (1 - (-1)) = 0
\Rightarrow -1 \times (2) = 0
\Rightarrow -2 = 0$।
चूंकि $-2 \neq 0$,इसलिए अदिश त्रिक गुणनफल $C_1$ से स्वतंत्र है और कभी भी शून्य नहीं होता है। अतः,$C_1$ का कोई भी मान इन सदिशों को समतलीय नहीं बना सकता है।

(C) अदिश त्रिगुणन $[a\,b\,c]$ सदिशों $a$, $b$, और $c$ के घटकों के सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$[a\,b\,c] = \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ x & 1 & 1 - x \\ y & x & 1 + x - y \end{vmatrix}$
स्तंभ संक्रिया $C_3 \to C_3 + C_1$ लागू करने पर:
$[a\,b\,c] = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ x & 1 & 1 \\ y & x & 1 + x \end{vmatrix}$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$[a\,b\,c] = 1 \times \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ x & 1 + x \end{vmatrix} - 0 + 0 = (1 + x) - x = 1$.
चूंकि परिणाम एक स्थिरांक $1$ है, इसलिए $[a\,b\,c]$ का मान $x$ या $y$ पर निर्भर नहीं करता है।

(B) अदिश त्रिक गुणनफल $a \cdot (b \times c)$ को सदिशों $a$,$b$ और $c$ के घटकों से बने सारणिक द्वारा ज्ञात किया जाता है:
$a \cdot (b \times c) = \begin{vmatrix} 3 & -2 & 2 \\ 6 & 4 & -2 \\ 3 & -2 & -4 \end{vmatrix}$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$= 3 \times [(4)(-4) - (-2)(-2)] - (-2) \times [(6)(-4) - (-2)(3)] + 2 \times [(6)(-2) - (4)(3)]$
$= 3 \times [-16 - 4] + 2 \times [-24 + 6] + 2 \times [-12 - 12]$
$= 3(-20) + 2(-18) + 2(-24)$
$= -60 - 36 - 48$
$= -144$

(B) हमें व्यंजक $(a + b) \cdot ((b + c) \times (a + b + c))$ दिया गया है।
सबसे पहले,क्रॉस प्रोडक्ट पद को सरल करें: $(b + c) \times (a + b + c) = b \times a + b \times b + b \times c + c \times a + c \times b + c \times c$.
चूंकि $b \times b = 0$ और $c \times c = 0$,और $c \times b = -(b \times c)$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए:
$(b + c) \times (a + b + c) = b \times a + b \times c + c \times a - b \times c = b \times a + c \times a$.
अब,$(a + b)$ के साथ डॉट प्रोडक्ट लें:
$(a + b) \cdot (b \times a + c \times a) = a \cdot (b \times a) + a \cdot (c \times a) + b \cdot (b \times a) + b \cdot (c \times a)$.
स्केलर ट्रिपल प्रोडक्ट $[x y z] = x \cdot (y \times z)$ के गुणों का उपयोग करते हुए:
$a \cdot (b \times a) = [a b a] = 0$ (क्योंकि दो सदिश समान हैं)।
$a \cdot (c \times a) = [a c a] = 0$.
$b \cdot (b \times a) = [b b a] = 0$.
$b \cdot (c \times a) = [b c a] = [a b c]$.
अतः,व्यंजक का सरल रूप $[a b c]$ प्राप्त होता है।

(C) अदिश त्रिक गुणन (scalar triple product) को $[a, b, c] = a \cdot (b \times c)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
अदिश त्रिक गुणन के चक्रीय गुण (cyclic property) के अनुसार,सदिशों के चक्रीय क्रम में परिवर्तन करने पर इसका मान अपरिवर्तित रहता है।
अतः,$a \cdot (b \times c) = b \cdot (c \times a) = c \cdot (a \times b)$।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$b \cdot (c \times a)$ का मान $a \cdot (b \times c)$ के बराबर है।

(A) हम जानते हैं कि तीन सदिशों $x, y, z$ का अदिश त्रिक गुणनफल $[x, y, z] = x \cdot (y \times z)$ द्वारा दिया जाता है।
माना $x = a \times b$,$y = b \times c$,और $z = c \times a$ है।
तब $[a \times b, b \times c, c \times a] = (a \times b) \cdot ((b \times c) \times (c \times a))$ होगा।
सदिश त्रिक गुणनफल सर्वसमिका $(p \times q) \times r = (p \cdot r)q - (q \cdot r)p$ का उपयोग करने पर:
$(b \times c) \times (c \times a) = ([b, c, a]c - [b, c, c]a)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $[b, c, c] = 0$ और $[b, c, a] = [a, b, c]$ है,हमें मिलता है:
$(b \times c) \times (c \times a) = [a, b, c]c$।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$[a \times b, b \times c, c \times a] = (a \times b) \cdot ([a, b, c]c) = [a, b, c] (a \times b) \cdot c = [a, b, c] [a, b, c]$।
दिया गया है कि $[a, b, c] = 4$,अतः:
$[a \times b, b \times c, c \times a] = 4 \times 4 = 16$।