Scalar triple product and their applications Questions in Hindi

(D) तीन सदिश $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ समतलीय होते हैं यदि और केवल यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो,अर्थात $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = 0$।
माना $\vec{u} = \vec{a} + \lambda \vec{b} + 3\vec{c}$,$\vec{v} = -2\vec{a} + 3\vec{b} - 4\vec{c}$,और $\vec{w} = \vec{a} - 3\vec{b} + 5\vec{c}$।
प्रतिबंध $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = 0$ का अर्थ है कि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ के गुणांकों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} 1 & \lambda & 3 \\ -2 & 3 & -4 \\ 1 & -3 & 5 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(3 \times 5 - (-4) \times (-3)) - \lambda((-2) \times 5 - (-4) \times 1) + 3((-2) \times (-3) - 3 \times 1) = 0$
$1(15 - 12) - \lambda(-10 + 4) + 3(6 - 3) = 0$
$1(3) - \lambda(-6) + 3(3) = 0$
$3 + 6\lambda + 9 = 0$
$6\lambda + 12 = 0$
$6\lambda = -12$
$\lambda = -2$.

(B) दिया गया है कि $d = \lambda a + \mu b + \nu c$ है।
$\lambda$ ज्ञात करने के लिए,हम $d$ का $b$ और $c$ के साथ अदिश त्रिक गुणनफल लेते हैं:
$d \cdot (b \times c) = (\lambda a + \mu b + \nu c) \cdot (b \times c)$।
चूंकि $b \cdot (b \times c) = 0$ और $c \cdot (b \times c) = 0$,इसलिए व्यंजक सरल होकर निम्न प्राप्त होता है:
$d \cdot (b \times c) = \lambda [a, b, c]$।
अतः,$\lambda = \frac{[d, b, c]}{[a, b, c]}$।
अदिश त्रिक गुणनफल के चक्रीय गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$[d, b, c] = [b, c, d]$ और $[a, b, c] = [b, c, a]$।
इस प्रकार,$\lambda = \frac{[b, c, d]}{[b, c, a]}$।

(C) माना व्यंजक $E = (\bar{u} + \bar{v} - \bar{w}) \cdot ((\bar{u} - \bar{v}) \times (\bar{v} - \bar{w}))$ है।
सबसे पहले,क्रॉस प्रोडक्ट की गणना करें: $(\bar{u} - \bar{v}) \times (\bar{v} - \bar{w}) = \bar{u} \times \bar{v} - \bar{u} \times \bar{w} - \bar{v} \times \bar{v} + \bar{v} \times \bar{w}$.
चूंकि $\bar{v} \times \bar{v} = 0$,यह $\bar{u} \times \bar{v} + \bar{w} \times \bar{u} + \bar{v} \times \bar{w}$ में सरल हो जाता है।
अब,$(\bar{u} + \bar{v} - \bar{w})$ के साथ डॉट प्रोडक्ट लें:
$E = (\bar{u} + \bar{v} - \bar{w}) \cdot (\bar{u} \times \bar{v} + \bar{w} \times \bar{u} + \bar{v} \times \bar{w})$.
डॉट प्रोडक्ट का वितरण करने पर:
$= \bar{u} \cdot (\bar{u} \times \bar{v}) + \bar{u} \cdot (\bar{w} \times \bar{u}) + \bar{u} \cdot (\bar{v} \times \bar{w}) + \bar{v} \cdot (\bar{u} \times \bar{v}) + \bar{v} \cdot (\bar{w} \times \bar{u}) + \bar{v} \cdot (\bar{v} \times \bar{w}) - \bar{w} \cdot (\bar{u} \times \bar{v}) - \bar{w} \cdot (\bar{w} \times \bar{u}) - \bar{w} \cdot (\bar{v} \times \bar{w})$.
अदिश त्रिक गुणन के गुण का उपयोग करते हुए,यदि कोई भी दो सदिश समान हैं तो मान शून्य होता है:
$= 0 + 0 + [\bar{u} \bar{v} \bar{w}] + 0 + [\bar{v} \bar{w} \bar{u}] + 0 - [\bar{w} \bar{u} \bar{v}] - 0 - 0$.
चूंकि $[\bar{u} \bar{v} \bar{w}] = [\bar{v} \bar{w} \bar{u}] = [\bar{w} \bar{u} \bar{v}]$,हमें प्राप्त होता है:
$E = [\bar{u} \bar{v} \bar{w}] + [\bar{u} \bar{v} \bar{w}] - [\bar{u} \bar{v} \bar{w}] = [\bar{u} \bar{v} \bar{w}] = \bar{u} \cdot (\bar{v} \times \bar{w})$.

(A) चूंकि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ असमतलीय सदिश हैं,वे सदिश समष्टि के लिए एक आधार (basis) बनाते हैं। किसी भी सदिश $\vec{r}$ को $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
$\vec{r} = x_1 \vec{a} + x_2 \vec{b} + x_3 \vec{c}$
$\vec{b}$ और $\vec{c}$ के साथ अदिश त्रिक गुणन लेने पर:
$\vec{r} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = x_1 \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) + x_2 \vec{b} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) + x_3 \vec{c} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$
चूंकि $\vec{b} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$ और $\vec{c} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$,हमें प्राप्त होता है:
$[\vec{r} \, \vec{b} \, \vec{c}] = x_1 [\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] \implies x_1 = \frac{[\vec{r} \, \vec{b} \, \vec{c}]}{[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}]} = \frac{[\vec{b} \, \vec{c} \, \vec{r}]}{[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}]}$
इसी प्रकार,$x_2 = \frac{[\vec{c} \, \vec{a} \, \vec{r}]}{[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}]}$ और $x_3 = \frac{[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{r}]}{[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}]}$
इन मानों को $\vec{r}$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\vec{r} = \frac{[\vec{b} \, \vec{c} \, \vec{r}]}{[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}]} \vec{a} + \frac{[\vec{c} \, \vec{a} \, \vec{r}]}{[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}]} \vec{b} + \frac{[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{r}]}{[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}]} \vec{c}$
दोनों पक्षों को $[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}]$ से गुणा करने पर:
$[\vec{b} \, \vec{c} \, \vec{r}] \vec{a} + [\vec{c} \, \vec{a} \, \vec{r}] \vec{b} + [\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{r}] \vec{c} = [\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] \vec{r}$

(D) चूंकि सदिश $\overline{c}$,$\overline{a}$ और $\overline{b}$ के समतल में स्थित है,इसलिए अदिश त्रिक गुणनफल $[\overline{a} \, \overline{b} \, \overline{c}]$ का मान $0$ होना चाहिए।
यह सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ x & x-2 & -1 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$1((-1)(-1) - (2)(x-2)) - 1((1)(-1) - (2)(x)) + 1((1)(x-2) - (-1)(x)) = 0$
$1(1 - 2x + 4) - 1(-1 - 2x) + 1(x - 2 + x) = 0$
$(5 - 2x) + (1 + 2x) + (2x - 2) = 0$
$5 - 2x + 1 + 2x + 2x - 2 = 0$
$2x + 4 = 0$
$2x = -4$
$x = -2$

(C) अदिश त्रिगुणनफल $a \cdot (b \times c)$ को सदिशों $a$,$b$ और $c$ के घटकों से बने सारणिक द्वारा ज्ञात किया जाता है:
$a \cdot (b \times c) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix}$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$= 2(2(2) - 1(-1)) - 1(1(2) - 1(1)) + (-1)(1(-1) - 2(1))$
$= 2(4 + 1) - 1(2 - 1) - 1(-1 - 2)$
$= 2(5) - 1(1) - 1(-3)$
$= 10 - 1 + 3$
$= 12$

(D) तीन सदिश $\vec{a}$,$\vec{b}$ और $\vec{c}$ समतलीय होते हैं यदि और केवल यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो,अर्थात $[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] = 0$।
यह उनके घटकों द्वारा निर्मित सारणिक का मान शून्य होने के बराबर है:
$\begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & 3 & -1 \\ \lambda & 1 & 2\lambda - 1 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$1[3(2\lambda - 1) - (-1)(1)] - (-2)[2(2\lambda - 1) - (-1)(\lambda)] + 3[2(1) - 3(\lambda)] = 0$
$1[6\lambda - 3 + 1] + 2[4\lambda - 2 + \lambda] + 3[2 - 3\lambda] = 0$
$(6\lambda - 2) + 2(5\lambda - 2) + (6 - 9\lambda) = 0$
$6\lambda - 2 + 10\lambda - 4 + 6 - 9\lambda = 0$
$(6 + 10 - 9)\lambda + (-2 - 4 + 6) = 0$
$7\lambda + 0 = 0$
$7\lambda = 0$
$\lambda = 0$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) माना अदिश त्रिक गुणन को $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ के रूप में दर्शाया गया है।
हम जानते हैं कि अदिश त्रिक गुणन चक्रीय होता है,इसलिए $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = [\vec{b}, \vec{c}, \vec{a}] = [\vec{c}, \vec{a}, \vec{b}]$.
साथ ही,किन्हीं दो सदिशों को आपस में बदलने पर चिह्न बदल जाता है: $[\vec{a}, \vec{c}, \vec{b}] = -[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$.
दिया गया व्यंजक: $E = \frac{[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]}{[\vec{c}, \vec{a}, \vec{b}]} + \frac{[\vec{b}, \vec{a}, \vec{c}]}{[\vec{c}, \vec{a}, \vec{b}]}$.
चूंकि $[\vec{c}, \vec{a}, \vec{b}] = [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$ और $[\vec{b}, \vec{a}, \vec{c}] = -[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$,
$E = \frac{[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]}{[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]} + \frac{-[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]}{[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]}$.
$E = 1 - 1 = 0$.

(D) अदिश त्रिक गुणनफल सदिशों $\vec{a}, \vec{b},$ और $\vec{c}$ के घटकों के सारणिक द्वारा दिया जाता है।
$[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ x & 1 & 1 - x \\ y & x & 1 + x - y \end{vmatrix}$
स्तंभ संक्रिया $C_3 \to C_3 + C_1$ लागू करने पर:
$[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ x & 1 & 1 \\ y & x & 1 + x \end{vmatrix}$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] = 1 \times \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ x & 1 + x \end{vmatrix} - 0 + 0$
$[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] = (1 + x) - x = 1$
चूंकि परिणाम एक स्थिरांक $1$ है,इसलिए यह $x$ या $y$ पर निर्भर नहीं करता है।

(D) माना चार बिंदु $A, B, C$ और $D$ हैं जिनके स्थिति सदिश $\vec{p_1} = 2\vec{a} + 3\vec{b} - \vec{c}$,$\vec{p_2} = \vec{a} - 2\vec{b} + 3\vec{c}$,$\vec{p_3} = 3\vec{a} + 4\vec{b} - 2\vec{c}$ और $\vec{p_4} = \vec{a} - \lambda\vec{b} - 6\vec{c}$ हैं।
बिंदुओं के समतलीय होने के लिए,सदिश $\vec{AB}, \vec{AC}$ और $\vec{AD}$ समतलीय होने चाहिए,जिसका अर्थ है कि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य है: $[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = 0$.
$\vec{AB} = \vec{p_2} - \vec{p_1} = -\vec{a} - 5\vec{b} + 4\vec{c}$
$\vec{AC} = \vec{p_3} - \vec{p_1} = \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$
$\vec{AD} = \vec{p_4} - \vec{p_1} = -\vec{a} - (\lambda + 3)\vec{b} - 5\vec{c}$
अदिश त्रिक गुणनफल सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$\begin{vmatrix} -1 & -5 & 4 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & -(\lambda + 3) & -5 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$-1(-5 - (\lambda + 3)) + 5(-5 - 1) + 4(-(\lambda + 3) + 1) = 0$
$-1(-\lambda - 8) - 30 + 4(-\lambda - 2) = 0$
$\lambda + 8 - 30 - 4\lambda - 8 = 0$
$-3\lambda - 30 = 0 \implies \lambda = -10$.
अतः,सही उत्तर $D$ है।

(A) अदिश त्रिक गुणनफल को $[x, y, z] = x \cdot (y \times z)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यह दिया गया है कि $a, b,$ और $c$ समतलीय सदिश हैं,इसलिए उनका अदिश त्रिक गुणनफल $[a, b, c] = a \cdot (b \times c) = 0$ होता है।
हमें $[2a - b, 2b - c, 2c - a]$ का मान ज्ञात करना है।
अदिश त्रिक गुणनफल के गुणों का उपयोग करते हुए,हम इसे इस प्रकार विस्तारित कर सकते हैं:
$[2a - b, 2b - c, 2c - a] = (2a - b) \cdot ((2b - c) \times (2c - a))$.
सबसे पहले,क्रॉस गुणनफल $(2b - c) \times (2c - a)$ की गणना करें:
$(2b - c) \times (2c - a) = 4(b \times c) - 2(b \times a) - 2(c \times c) + (c \times a)$.
चूंकि $c \times c = 0$,यह $4(b \times c) + 2(a \times b) + (c \times a)$ में सरल हो जाता है।
अब,$(2a - b)$ के साथ डॉट गुणनफल लें:
$(2a - b) \cdot [4(b \times c) + 2(a \times b) + (c \times a)] = 8[a, b, c] + 4[a, a, b] + 2[a, c, a] - 4[b, b, c] - 2[b, a, b] - [b, c, a]$.
चूंकि किसी भी अदिश त्रिक गुणनफल में दो समान सदिश होने पर उसका मान $0$ होता है (जैसे,$[a, a, b] = 0$),व्यंजक सरल होकर निम्न प्राप्त होता है:
$8[a, b, c] - [b, c, a]$.
चूंकि $[a, b, c] = [b, c, a]$,व्यंजक $8[a, b, c] - [a, b, c] = 7[a, b, c]$ बन जाता है।
यह दिया गया है कि $a, b,$ और $c$ समतलीय हैं,इसलिए $[a, b, c] = 0$ है।
अतः,$7 \times 0 = 0$।

(A) तीन सदिश $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ समतलीय होते हैं यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो,अर्थात $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = 0$.
दिए गए सदिश $\vec{u} = a\hat{i} + a\hat{j} + c\hat{k}$,$\vec{v} = \hat{i} + 0\hat{j} + \hat{k}$,और $\vec{w} = c\hat{i} + c\hat{j} + b\hat{k}$ हैं।
अदिश त्रिक गुणनफल सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$\begin{vmatrix} a & a & c \\ 1 & 0 & 1 \\ c & c & b \end{vmatrix} = 0$
दूसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$-1(ab - c^2) + 0 - 1(ac - ac) = 0$
$-(ab - c^2) = 0$
$c^2 - ab = 0$
$c^2 = ab$
$c = \sqrt{ab}$
अतः,$c$,$a$ और $b$ का गुणोत्तर माध्य है।

(D) तीन सदिशों के समतलीय होने के लिए,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए,अर्थात $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = 0$।
यहाँ सदिश $\vec{a} = 1i + 3j + 0k$,$\vec{b} = 0i + 0j + 5k$ और $\vec{c} = Pi - 1j + 0k$ हैं।
समतलीयता की शर्त सारणिक द्वारा इस प्रकार दी गई है:
$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \\ P & -1 & 0 \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1(0 - (-5)) - 3(0 - 5P) + 0(0 - 0) = 0$
$1(5) - 3(-5P) = 0$
$5 + 15P = 0$
$15P = -5$
$P = -5/15 = -1/3$
अतः,$P$ का मान $-1/3$ है।

(A) दिया गया है कि $\bar{a} \cdot \bar{d} = 0$,जिसका अर्थ है कि $\bar{d} \perp \bar{a}$.
दिया गया है कि $[\bar{b} \bar{c} \bar{d}] = 0$,जिसका अर्थ है कि $\bar{b}, \bar{c}$ और $\bar{d}$ समतलीय हैं,अर्थात $\bar{d} \perp (\bar{b} \times \bar{c})$.
इसलिए,$\bar{d}$ सदिश $\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c})$ के समानांतर है.
चूंकि $\bar{d}$ एक इकाई सदिश है,$\bar{d} = \pm \frac{\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c})}{|\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c})|}$.
यहाँ,$\bar{a} = (1, -1, 0)$,$\bar{b} = (0, 1, -1)$,और $\bar{c} = (-1, 0, 1)$.
सदिश गुणनफल $\bar{b} \times \bar{c} = \begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \bar{i}(1-0) - \bar{j}(0-1) + \bar{k}(0+1) = (1, 1, 1)$.
अब,$\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c}) = \begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \bar{i}(-1-0) - \bar{j}(1-0) + \bar{k}(1+1) = (-1, -1, 2)$.
इसका परिमाण $|\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c})| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$.
अतः,$\bar{d} = \pm \frac{1}{\sqrt{6}} (-\bar{i} - \bar{j} + 2\bar{k}) = \pm \frac{1}{\sqrt{6}} (\bar{i} + \bar{j} - 2\bar{k})$.

(B) कथन-$1$: अदिश त्रिक गुणनफल $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ सदिशों $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन दर्शाता है। यदि आयतन $0$ है,तो सदिशों को एक ही तल में होना चाहिए (समतलीय)। अतः,कथन-$1$ सत्य है।
कथन-$2$: दो गैर-शून्य सदिश लंबवत होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल (dot product) $0$ हो। सदिश गुणनफल $\vec{u} \times \vec{v}$ वास्तव में $\vec{u}$ और $\vec{v}$ के तल के लंबवत एक सदिश है। अतः,कथन-$2$ सत्य है।
हालाँकि,कथन-$2$ दो सदिशों की लंबवतता के लिए शर्त प्रदान करता है,जो अदिश गुणनफल का एक मूलभूत गुण है,लेकिन यह यह नहीं समझाता है कि तीन सदिशों के समतलीय होने पर उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य क्यों होता है। इसलिए,कथन-$2$,कथन-$1$ की सही व्याख्या नहीं है।

(B) शीर्षों $A, B, C, D$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ और $\vec{d}$ हैं।
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = 3\vec{i} - \vec{j} - \vec{k}$
$\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = 4\vec{i} + 2\vec{j} + 4\vec{k}$
$\vec{AD} = \vec{d} - \vec{a} = 2\vec{i} + 2\vec{j}$
चतुष्फलक का आयतन $V = \frac{1}{6} |[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}]|$ द्वारा दिया जाता है।
$V = \frac{1}{6} \left| \det \begin{bmatrix} 3 & -1 & -1 \\ 4 & 2 & 4 \\ 2 & 2 & 0 \end{bmatrix} \right|$
सारणिक का मान: $3(0 - 8) - (-1)(0 - 8) + (-1)(8 - 4) = 3(-8) + 1(-8) - 1(4) = -24 - 8 - 4 = -36$.
निरपेक्ष मान लेने पर: $V = \frac{1}{6} |-36| = \frac{36}{6} = 6$ घन इकाई।

(B) माना $V = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ है।
तब $\vec{p} = \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{V}, \vec{q} = \frac{\vec{c} \times \vec{a}}{V}, \vec{r} = \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{V}$ है।
$[\vec{p} \vec{q} \vec{r}] = \vec{p} \cdot (\vec{q} \times \vec{r}) = \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{V} \cdot \left( \frac{\vec{c} \times \vec{a}}{V} \times \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{V} \right)$ है।
सदिश त्रिक गुणनफल सर्वसमिका $(\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w} = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{v} \cdot \vec{w})\vec{u}$ का उपयोग करते हुए,$(\vec{c} \times \vec{a}) \times (\vec{a} \times \vec{b}) = [(\vec{c} \times \vec{a}) \cdot \vec{b}]\vec{a} - [(\vec{c} \times \vec{a}) \cdot \vec{a}]\vec{b}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $(\vec{c} \times \vec{a}) \cdot \vec{a} = 0$ है,यह $[\vec{c} \vec{a} \vec{b}]\vec{a} = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]\vec{a} = V\vec{a}$ में सरल हो जाता है।
अतः,$[\vec{p} \vec{q} \vec{r}] = \frac{1}{V^3} (\vec{b} \times \vec{c}) \cdot (V\vec{a}) = \frac{V}{V^3} (\vec{b} \times \vec{c}) \cdot \vec{a} = \frac{V^2}{V^3} = \frac{1}{V} = \frac{1}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}$।

(D) अदिश त्रिक गुणन (Scalar Triple Product) की परिभाषा के अनुसार,$[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ होता है।
जब $[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] = 0$ होता है,तो इसका अर्थ है कि सदिशों $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक का आयतन शून्य है।
यह स्थिति तभी संभव है जब तीनों सदिश एक ही समतल में स्थित हों,अर्थात वे समतलीय (coplanar) हों।
चूंकि $[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] = 0$ का अर्थ ही $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$ है और यह समतलीय होने की शर्त है,इसलिए विकल्प $B$ और $C$ दोनों सही हैं। अतः,विकल्प $D$ सही उत्तर है।

(C) सदिशों $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक का आयतन $V$ उनके अदिश त्रिक गुणनफल के मापांक के बराबर होता है: $V = |[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]|$.
सारणिक का मान ज्ञात करने पर:
$V = \left| \det \begin{bmatrix} 1 & a & 1 \\ 0 & 1 & a \\ a & 0 & 1 \end{bmatrix} \right| = |1(1-0) - a(0-a^2) + 1(0-a)| = |1 + a^3 - a|$.
न्यूनतम आयतन ज्ञात करने के लिए,हम $f(a) = a^3 - a + 1$ का विश्लेषण करते हैं।
$a$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $f'(a) = 3a^2 - 1$.
$f'(a) = 0$ रखने पर,हमें $3a^2 = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करने पर: $f''(a) = 6a$.
$a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए,$f''(\frac{1}{\sqrt{3}}) = 6(\frac{1}{\sqrt{3}}) = 2\sqrt{3} > 0$,जो यह दर्शाता है कि यहाँ न्यूनतम मान प्राप्त होता है।
अतः,$a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ पर आयतन न्यूनतम है।

(A) हम जानते हैं कि $[\bar{a} \times \bar{b}, \bar{b} \times \bar{c}, \bar{c} \times \bar{a}] = (\bar{a} \times \bar{b}) \cdot [(\bar{b} \times \bar{c}) \times (\bar{c} \times \bar{a})].$
सदिश त्रिक गुणनफल सूत्र $(\vec{x} \times \vec{y}) \times \vec{z} = (\vec{x} \cdot \vec{z})\vec{y} - (\vec{y} \cdot \vec{z})\vec{x}$ का उपयोग करने पर:
$(\bar{b} \times \bar{c}) \times (\bar{c} \times \bar{a}) = [(\bar{b} \times \bar{c}) \cdot \bar{a}]\bar{c} - [(\bar{b} \times \bar{c}) \cdot \bar{c}]\bar{a}.$
चूंकि $[(\bar{b} \times \bar{c}) \cdot \bar{c}] = 0,$ इसलिए यह $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]\bar{c}$ में सरल हो जाता है।
अतः,व्यंजक $(\bar{a} \times \bar{b}) \cdot ([\bar{a} \bar{b} \bar{c}]\bar{c}) = [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] ((\bar{a} \times \bar{b}) \cdot \bar{c}) = [\bar{a} \bar{b} \bar{c}]^2$ हो जाता है।
दिया गया है $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = 4,$ इसलिए मान $4^2 = 16$ है।

(D) अदिश त्रिक गुणन को $[\bar{a} - 2\bar{b}, \bar{b} - 3\bar{c}, \bar{c} - 4\bar{a}] = ((\bar{a} - 2\bar{b}) \times (\bar{b} - 3\bar{c})) \cdot (\bar{c} - 4\bar{a})$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
क्रॉस प्रोडक्ट का विस्तार करने पर: $(\bar{a} \times \bar{b} - 3(\bar{a} \times \bar{c}) - 2(\bar{b} \times \bar{b}) + 6(\bar{b} \times \bar{c})) \cdot (\bar{c} - 4\bar{a})$.
चूंकि $\bar{b} \times \bar{b} = 0$,यह $(\bar{a} \times \bar{b} - 3(\bar{a} \times \bar{c}) + 6(\bar{b} \times \bar{c})) \cdot (\bar{c} - 4\bar{a})$ में सरल हो जाता है।
डॉट प्रोडक्ट का वितरण करने पर:
$= (\bar{a} \times \bar{b}) \cdot \bar{c} - 4(\bar{a} \times \bar{b}) \cdot \bar{a} - 3(\bar{a} \times \bar{c}) \cdot \bar{c} + 12(\bar{a} \times \bar{c}) \cdot \bar{a} + 6(\bar{b} \times \bar{c}) \cdot \bar{c} - 24(\bar{b} \times \bar{c}) \cdot \bar{a}$.
चूंकि अदिश त्रिक गुणन शून्य होता है यदि कोई भी दो सदिश समान हों,तो $(\bar{a} \times \bar{b}) \cdot \bar{a}$ और $(\bar{a} \times \bar{c}) \cdot \bar{c}$ जैसे पद शून्य हो जाएंगे।
$= [\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}] - 24[\bar{b}, \bar{c}, \bar{a}] = [\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}] - 24[\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}] = -23[\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}]$.
दिया गया है कि $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ परस्पर लंबवत हैं,इसलिए $[\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}] = |\bar{a}| |\bar{b}| |\bar{c}| = 1 \times 3 \times 5 = 15$.
अतः,$-23 \times 15 = -345$.

(B) चूंकि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ परस्पर लंबवत इकाई सदिश हैं,इसलिए समुच्चय $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{a} \times \vec{b}\}$ अंतरिक्ष के लिए एक लांबिक आधार (orthogonal basis) बनाता है।
माना $\vec{r} = x_1 \vec{a} + x_2 \vec{b} + x_3 (\vec{a} \times \vec{b})$ है।
$\vec{a}$ के साथ अदिश गुणन करने पर: $\vec{r} \cdot \vec{a} = x_1 |\vec{a}|^2 = x_1(1) = 0 \implies x_1 = 0$।
$\vec{b}$ के साथ अदिश गुणन करने पर: $\vec{r} \cdot \vec{b} = x_2 |\vec{b}|^2 = x_2(1) = 1 \implies x_2 = 1$।
$(\vec{a} \times \vec{b})$ के साथ अदिश गुणन करने पर: $\vec{r} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = x_3 |\vec{a} \times \vec{b}|^2 = x_3(1)^2 = 1 \implies x_3 = 1$।
$x_1, x_2, x_3$ के मानों को $\vec{r}$ के व्यंजक में रखने पर,हमें $\vec{r} = 0\vec{a} + 1\vec{b} + 1(\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{b} + (\vec{a} \times \vec{b})$ प्राप्त होता है।

(D) तीन सदिश $\vec{A}$,$\vec{B}$ और $\vec{C}$ समतलीय होते हैं यदि और केवल यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो,अर्थात $[\vec{A} \, \vec{B} \, \vec{C}] = 0$।
यह उनके घटकों द्वारा निर्मित सारणिक के शून्य होने के बराबर है:
$\begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 3 & a & 5 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$2(2 \times 5 - (-3) \times a) - (-1)(1 \times 5 - (-3) \times 3) + 1(1 \times a - 2 \times 3) = 0$
$2(10 + 3a) + 1(5 + 9) + (a - 6) = 0$
$20 + 6a + 14 + a - 6 = 0$
$7a + 28 = 0$
$7a = -28$
$a = -4$

(C) एक समांतर षट्फलक का आयतन जिसके किनारे $\vec{OA}, \vec{OB}$ और $\vec{OC}$ हैं,अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}]$ के निरपेक्ष मान के बराबर होता है।
दिए गए बिंदुओं $A(4, 3, 1), B(3, 1, 2)$ और $C(5, 2, 1)$ से सदिश $\vec{OA} = 4\hat{i} + 3\hat{j} + 1\hat{k}$,$\vec{OB} = 3\hat{i} + 1\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{OC} = 5\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k}$ प्राप्त होते हैं।
अदिश त्रिक गुणनफल की गणना सारणिक के रूप में की जाती है:
$[\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}] = \begin{vmatrix} 4 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \\ 5 & 2 & 1 \end{vmatrix}$
पहली पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$= 4(1(1) - 2(2)) - 3(3(1) - 5(2)) + 1(3(2) - 5(1))$
$= 4(1 - 4) - 3(3 - 10) + 1(6 - 5)$
$= 4(-3) - 3(-7) + 1(1)$
$= -12 + 21 + 1 = 10$
चूंकि आयतन हमेशा धनात्मक होता है,इसलिए आयतन $= |10| = 10$ घन इकाई है।

(D) हम जानते हैं कि तीन सदिशों के क्रॉस गुणनफल का अदिश त्रिक गुणनफल निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\left[ {\vec a \times \vec b, \vec b \times \vec c, \vec c \times \vec a } \right] = \left[ {\vec a \,\vec b \,\vec c } \right]^2$.
दिया गया है कि $\left[ {\vec a \,\vec b \,\vec c } \right] = 4$.
इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left[ {\vec a \times \vec b, \vec b \times \vec c, \vec c \times \vec a } \right] = (4)^2 = 16$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) हम जानते हैं कि इकाई सदिशों का क्रॉस गुणनफल इस प्रकार है: $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,$\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$,और $\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}$.
सबसे पहले,बड़े कोष्ठक के अंदर के व्यंजक का मान ज्ञात करें:
$(\hat{j} \times \hat{k}) \times (\hat{k} \times \hat{i}) = \hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$.
अब,इस मान को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:
$(\hat{i} \times \hat{j}) \cdot \hat{k} = \hat{k} \cdot \hat{k}$.
चूंकि एक इकाई सदिश का स्वयं के साथ डॉट गुणनफल $1$ होता है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$\hat{k} \cdot \hat{k} = 1$.

(C) दिया गया है कि $\vec{c}$ एक इकाई सदिश है,इसलिए $|\vec{c}| = 1$,जिसका अर्थ है $c_1^2 + c_2^2 + c_3^2 = 1 \dots (i)$.
चूंकि $\vec{c} \perp \vec{a}$ और $\vec{c} \perp \vec{b}$,हमारे पास $\vec{c} \cdot \vec{a} = 0 \Rightarrow a_1c_1 + a_2c_2 + a_3c_3 = 0 \dots (ii)$ और $\vec{c} \cdot \vec{b} = 0 \Rightarrow b_1c_1 + b_2c_2 + b_3c_3 = 0 \dots (iii)$ है।
$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{6}$ है,इसलिए $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} |\vec{a}| |\vec{b}|$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = \frac{3}{4} |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \dots (iv)$ प्राप्त होता है।
अब,मान लीजिए $D = \left| \begin{array}{ccc} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{array} \right|$ है। तब $D^2 = \left| \begin{array}{ccc} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{array} \right| \left| \begin{array}{ccc} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{array} \right|$ होगा।
सारणिक के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$D^2 = \left| \begin{array}{ccc} \vec{a} \cdot \vec{a} & \vec{a} \cdot \vec{b} & \vec{a} \cdot \vec{c} \\ \vec{b} \cdot \vec{a} & \vec{b} \cdot \vec{b} & \vec{b} \cdot \vec{c} \\ \vec{c} \cdot \vec{a} & \vec{c} \cdot \vec{b} & \vec{c} \cdot \vec{c} \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} |\vec{a}|^2 & \vec{a} \cdot \vec{b} & 0 \\ \vec{a} \cdot \vec{b} & |\vec{b}|^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right|$ है।
तीसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर,$D^2 = 1 \cdot (|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2) = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - \frac{3}{4} |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 = \frac{1}{4} |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2$ प्राप्त होता है।

(B) माना शीर्ष $A(\hat{i} - 6\hat{j} + 10\hat{k})$,$B(-\hat{i} - 3\hat{j} + 7\hat{k})$,$C(5\hat{i} - \hat{j} + \lambda\hat{k})$,और $D(7\hat{i} - 4\hat{j} + 7\hat{k})$ हैं।
शीर्ष $A$ से निकलने वाली भुजाओं को दर्शाने वाले सदिश हैं:
$\vec{AB} = B - A = -2\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k}$
$\vec{AC} = C - A = 4\hat{i} + 5\hat{j} + (\lambda-10)\hat{k}$
$\vec{AD} = D - A = 6\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$
चतुष्फलक का आयतन $V = \frac{1}{6} |[\vec{AB} \vec{AC} \vec{AD}]| = 11$ है।
अतः,$|[\vec{AB} \vec{AC} \vec{AD}]| = 66$,जिसका अर्थ है $[\vec{AB} \vec{AC} \vec{AD}] = \pm 66$.
अदिश त्रिक गुणनफल सारणिक द्वारा प्राप्त होता है:
$\begin{vmatrix} -2 & 3 & -3 \\ 4 & 5 & \lambda-10 \\ 6 & 2 & -3 \end{vmatrix} = \pm 66$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$-2[5(-3) - 2(\lambda-10)] - 3[4(-3) - 6(\lambda-10)] - 3[4(2) - 6(5)] = \pm 66$
$-2[5 - 2\lambda] - 3[48 - 6\lambda] - 3[-22] = \pm 66$
$22\lambda - 88 = \pm 66$
स्थिति $1$: $22\lambda - 88 = 66 \Rightarrow 22\lambda = 154 \Rightarrow \lambda = 7$
स्थिति $2$: $22\lambda - 88 = -66 \Rightarrow 22\lambda = 22 \Rightarrow \lambda = 1$
अतः,$\lambda = 1, 7$.

(D) माना $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j}$,$\vec{b} = \hat{j} + \hat{k}$,और $\vec{c} = \hat{k} + \hat{i}$ है।
तलों के लंबवत इकाई सदिश इस प्रकार हैं:
$\vec{\alpha} = \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|}$,$\vec{\beta} = \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{|\vec{b} \times \vec{c}|}$,और $\vec{\gamma} = \frac{\vec{c} \times \vec{a}}{|\vec{c} \times \vec{a}|}$.
इन सदिशों द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक का आयतन $|[\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}]|$ है।
$|[\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}]| = \frac{|[\vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{a}]|}{|\vec{a} \times \vec{b}| |\vec{b} \times \vec{c}| |\vec{c} \times \vec{a}|} = \frac{[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]^2}{|\vec{a} \times \vec{b}| |\vec{b} \times \vec{c}| |\vec{c} \times \vec{a}|}$.
सबसे पहले,अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$ ज्ञात करें:
$[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1(1-0) - 1(0-1) + 0 = 1 + 1 = 2$.
अब,सदिश गुणनफल ज्ञात करें:
$\vec{a} \times \vec{b} = (\hat{i} + \hat{j}) \times (\hat{j} + \hat{k}) = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
$\vec{b} \times \vec{c} = (\hat{j} + \hat{k}) \times (\hat{k} + \hat{i}) = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
$\vec{c} \times \vec{a} = (\hat{k} + \hat{i}) \times (\hat{i} + \hat{j}) = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
प्रत्येक सदिश गुणनफल का परिमाण $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{b} \times \vec{c}| = |\vec{c} \times \vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ है।
अतः,आयतन $\frac{2^2}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{4}{3\sqrt{3}}$ घन इकाई है।

(D) समांतर षट्फलक का आयतन $V = |\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})|$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ इसके किनारे हैं।
यहाँ,किनारे $\vec{u} = (a - b)$,$\vec{v} = (b - c)$ और $\vec{w} = (c - a)$ हैं।
आयतन $V = |(a - b) \cdot ((b - c) \times (c - a))|$.
क्रॉस प्रोडक्ट का विस्तार करने पर: $(b - c) \times (c - a) = (b \times c) - (b \times a) - (c \times c) + (c \times a)$.
चूँकि $c \times c = 0$,इसलिए $(b - c) \times (c - a) = (b \times c) - (b \times a) + (c \times a)$.
अब $(a - b)$ के साथ डॉट प्रोडक्ट लेने पर:
$V = (a - b) \cdot (b \times c - b \times a + c \times a)$
$V = a \cdot (b \times c) - a \cdot (b \times a) + a \cdot (c \times a) - b \cdot (b \times c) + b \cdot (b \times a) - b \cdot (c \times a)$.
अदिश त्रिगुणित गुणनफल के गुणधर्म के अनुसार,यदि दो सदिश समान हों तो उसका मान $0$ होता है:
$a \cdot (b \times c) = [a, b, c]$
$a \cdot (b \times a) = 0$
$a \cdot (c \times a) = 0$
$b \cdot (b \times c) = 0$
$b \cdot (b \times a) = 0$
$b \cdot (c \times a) = [b, c, a] = [a, b, c]$.
इन मानों को रखने पर: $V = [a, b, c] - 0 + 0 - 0 + 0 - [a, b, c] = 0$.

(A) माना $\vec{d} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ है। चूंकि $\vec{d}$ एक इकाई सदिश है,$x^2 + y^2 + z^2 = 1 \dots (i)$।
दिया है $\vec{a} \cdot \vec{d} = 0$,अतः $(\hat{i} - \hat{j}) \cdot (x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) = 0$,जिसका अर्थ है $x - y = 0$,यानी $x = y$।
दिया है $[\vec{b} \, \vec{c} \, \vec{d}] = 0$,जिसका अर्थ है कि $\vec{d}$,$\vec{b}$ और $\vec{c}$ के समतल में है। अतः $\vec{d} = \lambda(\vec{b} \times \vec{c})$।
$\vec{b} \times \vec{c} = (\hat{j} - \hat{k}) \times (\hat{k} - \hat{i}) = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ की गणना करने पर।
अतः,$\vec{d} = \lambda(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$।
$\vec{a} \cdot \vec{d} = 0$ की शर्त की जाँच करने पर,$(\hat{i} - \hat{j}) \cdot \lambda(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = \lambda(1 - 1 + 0) = 0$,जो किसी भी $\lambda$ के लिए सत्य है।
$\vec{d}$ को $\vec{a}$ के लंबवत और $(\vec{b} \times \vec{c})$ के भी लंबवत होना चाहिए।
अतः,$\vec{d} = \pm \frac{\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})}{|\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})|}$।
$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\hat{i} - \hat{j}) \times (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = -\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$।
इसका परिमाण $\sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{6}$ है।
अतः,$\vec{d} = \pm \frac{-\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}}{\sqrt{6}} = \pm \frac{\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}}{\sqrt{6}}$।

(C) तीन सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ समतलीय होते हैं यदि और केवल यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो,अर्थात $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$।
अदिश त्रिक गुणनफल सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$\left|\begin{array}{ccc} -\lambda^2 & 1 & 1 \\ 1 & -\lambda^2 & 1 \\ 1 & 1 & -\lambda^2 \end{array}\right| = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$-\lambda^2(\lambda^4 - 1) - 1(-\lambda^2 - 1) + 1(1 + \lambda^2) = 0$
$-\lambda^6 + \lambda^2 + \lambda^2 + 1 + 1 + \lambda^2 = 0$
$-\lambda^6 + 3\lambda^2 + 2 = 0$
$\lambda^6 - 3\lambda^2 - 2 = 0$
मान लीजिए $x = \lambda^2$ है। तब समीकरण $x^3 - 3x - 2 = 0$ हो जाता है।
निरीक्षण द्वारा,$x = -1$ एक मूल है: $(-1)^3 - 3(-1) - 2 = -1 + 3 - 2 = 0$।
$(x+1)$ से विभाजित करने पर,हमें $(x+1)(x^2 - x - 2) = 0$ प्राप्त होता है,जिसका और गुणनखंड करने पर $(x+1)(x+1)(x-2) = 0$ मिलता है।
अतः,$(x+1)^2(x-2) = 0$।
चूंकि $x = \lambda^2$,हमारे पास $(\lambda^2 + 1)^2(\lambda^2 - 2) = 0$ है।
वास्तविक $\lambda$ के लिए,$\lambda^2 + 1$ हमेशा $\ge 1$ होता है,इसलिए $\lambda^2 + 1 \neq 0$।
अतः,हमें $\lambda^2 - 2 = 0$ प्राप्त होता है,जिससे $\lambda^2 = 2$ मिलता है।
इसलिए,$\lambda = \pm \sqrt{2}$।
इस प्रकार,$\lambda$ के $2$ भिन्न वास्तविक मान हैं।

(C) समांतर षट्फलक का आयतन $V$,सदिशों के अदिश त्रिक गुणनफल $|\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})|$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए सदिश $\vec{u} = (1, a, 1)$,$\vec{v} = (0, 1, a)$ और $\vec{w} = (a, 0, 1)$ हैं।
$V = |\det(\begin{bmatrix} 1 & a & 1 \\ 0 & 1 & a \\ a & 0 & 1 \end{bmatrix})| = |1(1-0) - a(0-a^2) + 1(0-a)| = |1 + a^3 - a|$.
मान लीजिए $f(a) = a^3 - a + 1$ है। न्यूनतम आयतन ज्ञात करने के लिए,हम $f(a)$ का $a$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$f'(a) = 3a^2 - 1$.
$f'(a) = 0$ रखने पर,हमें $3a^2 = 1$ प्राप्त होता है,जिससे $a^2 = \frac{1}{3}$,अर्थात $a = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ मिलता है।
चूंकि आयतन हमेशा धनात्मक होना चाहिए,हम इसके मान की जांच करते हैं। $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए,$f(a) = (\frac{1}{\sqrt{3}})^3 - \frac{1}{\sqrt{3}} + 1 = \frac{1}{3\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} + 1 = 1 - \frac{2}{3\sqrt{3}} > 0$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$a$ का वह मान जो आयतन को न्यूनतम करता है,$a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।

(D) अदिश त्रिगुणनफल की परिभाषा के अनुसार $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c})$ होता है।
चूँकि $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ परस्पर लंबवत हैं,सदिश $(\bar{b} \times \bar{c})$,$\bar{a}$ के समांतर होगा।
माना $\bar{n}$,$\bar{a}$ की दिशा में इकाई सदिश है। अतः $\bar{a} = a\bar{n}$।
चूँकि $\bar{b}$ और $\bar{c}$ परस्पर लंबवत हैं,उनके सदिश गुणनफल का परिमाण $|\bar{b} \times \bar{c}| = |\bar{b}| |\bar{c}| \sin(90^{\circ}) = bc$ होगा।
साथ ही,$\bar{b} \times \bar{c}$,$\bar{a}$ की दिशा (या $-\bar{a}$ की दिशा) में होता है,इसलिए $\bar{b} \times \bar{c} = \pm (bc) \bar{n}$।
अतः,$[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) = (a\bar{n}) \cdot (\pm bc \bar{n}) = \pm abc (\bar{n} \cdot \bar{n}) = \pm abc$।
मानक अभिविन्यास के संदर्भ में,इसका मान $abc$ होता है।

(A) समांतर षट्फलक का आयतन जिसके किनारे $\hat{a}, \hat{b}, \hat{c}$ हैं,अदिश त्रिक गुणन $|[\hat{a} \hat{b} \hat{c}]|$ द्वारा दिया जाता है।
आयतन का वर्ग ग्राम मैट्रिक्स के सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$V^2 = \begin{vmatrix} \hat{a} \cdot \hat{a} & \hat{a} \cdot \hat{b} & \hat{a} \cdot \hat{c} \\ \hat{b} \cdot \hat{a} & \hat{b} \cdot \hat{b} & \hat{b} \cdot \hat{c} \\ \hat{c} \cdot \hat{a} & \hat{c} \cdot \hat{b} & \hat{c} \cdot \hat{c} \end{vmatrix}$
चूंकि $\hat{a}, \hat{b}, \hat{c}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $\hat{a} \cdot \hat{a} = \hat{b} \cdot \hat{b} = \hat{c} \cdot \hat{c} = 1$ है। दिया गया है कि $\hat{a} \cdot \hat{b} = \hat{b} \cdot \hat{c} = \hat{c} \cdot \hat{a} = \frac{1}{2}$,अतः:
$V^2 = \begin{vmatrix} 1 & 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 & 1 \end{vmatrix}$
सारणिक की गणना करने पर:
$V^2 = 1(1 - 1/4) - 1/2(1/2 - 1/4) + 1/2(1/4 - 1/2)$
$V^2 = 1(3/4) - 1/2(1/4) + 1/2(-1/4) = 3/4 - 1/8 - 1/8 = 1/2$
अतः,आयतन $V = \sqrt{1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।

(D) माना बिंदु $A(1, 2, 2), B(2, 1, 2), C(2, 2, z)$ और $D(1, 1, 1)$ हैं।
चार बिंदु समतलीय होते हैं यदि उनके द्वारा निर्मित चतुष्फलक का आयतन $0$ हो। आयतन $V = \frac{1}{6} |[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}]| = 0$ द्वारा दिया जाता है।
सदिश हैं:
$\vec{AB} = \hat{i} - \hat{j} + 0\hat{k}$
$\vec{AC} = \hat{i} + 0\hat{j} + (z-2)\hat{k}$
$\vec{AD} = 0\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$
सारणिक:
$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & z-2 \\ 0 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 0$
विस्तार करने पर:
$1(0 - (-(z-2))) - (-1)(-1 - 0) + 0 = 0$
$1(z-2) - 1 = 0$
$z - 3 = 0 \implies z = 3$.
चूंकि $z=3$ है न कि $2$,इसलिए कथन-$1$ असत्य है। कथन-$2$ समतलीय बिंदुओं का एक मानक ज्यामितीय गुण है,इसलिए यह सत्य है।

(D) दिए गए सदिश $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{c} = x\hat{i} + (x-2)\hat{j} - \hat{k}$ हैं।
यदि $\vec{c}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के समतल में स्थित है,तो अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ शून्य होगा।
अतः सारणिक का मान शून्य होगा:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ x & x-2 & -1 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$1((-1)(-1) - 2(x-2)) - 1((1)(-1) - 2(x)) + 1((1)(x-2) - (-1)(x)) = 0$
$1(1 - 2x + 4) - 1(-1 - 2x) + 1(x - 2 + x) = 0$
$(5 - 2x) + (1 + 2x) + (2x - 2) = 0$
$5 - 2x + 1 + 2x + 2x - 2 = 0$
$2x + 4 = 0$
$2x = -4$
$x = -2$

(D) दिया गया समीकरण: $[3\vec{u}, p\vec{v}, p\vec{w}] - [p\vec{v}, \vec{w}, q\vec{u}] - [2\vec{w}, q\vec{v}, q\vec{u}] = 0$
अदिश त्रिक गुणन के गुणधर्म $[k\vec{a}, l\vec{b}, m\vec{c}] = klm[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$ का उपयोग करने पर:
$3p^2[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] - pq[\vec{v}, \vec{w}, \vec{u}] - 2q^2[\vec{w}, \vec{v}, \vec{u}] = 0$
चूंकि $[\vec{v}, \vec{w}, \vec{u}] = [\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$ और $[\vec{w}, \vec{v}, \vec{u}] = -[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$,समीकरण इस प्रकार होगा:
$3p^2[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] - pq[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] + 2q^2[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = 0$
$(3p^2 - pq + 2q^2)[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = 0$
चूंकि $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ असमतलीय हैं,$[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] \neq 0$. इसलिए:
$3p^2 - pq + 2q^2 = 0$
यह $p$ में एक द्विघात समीकरण है। $p$ के वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर $D \geq 0$ होना चाहिए:
$D = (-q)^2 - 4(3)(2q^2) = q^2 - 24q^2 = -23q^2$
$D \geq 0$ के लिए,$-23q^2 \geq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $q^2 \leq 0$. चूंकि $q$ एक वास्तविक संख्या है,यह केवल $q = 0$ होने पर ही संभव है।
$3p^2 - pq + 2q^2 = 0$ में $q = 0$ रखने पर,$3p^2 = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $p = 0$.
अतः,केवल एक ही हल $(p, q) = (0, 0)$ संभव है।

(B) अदिश त्रिक गुणन की परिभाषा के अनुसार $[\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}] = (\vec{x} \times \vec{y}) \cdot \vec{z}$ होता है।
दिया गया व्यंजक: $[\vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{a}]$।
मान लीजिए $\vec{u} = \vec{a} \times \vec{b}$,$\vec{v} = \vec{b} \times \vec{c}$,और $\vec{w} = \vec{c} \times \vec{a}$ है।
तब $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = (\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w}$ होगा।
सदिश सर्वसमिका $(\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{b} \times \vec{c}) = [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] \vec{b}$ का उपयोग करने पर:
$(\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{b} \times \vec{c}) = [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] \vec{b}$।
अतः,$[\vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{a}] = ((\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{b} \times \vec{c})) \cdot (\vec{c} \times \vec{a})$।
$= ([\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] \vec{b}) \cdot (\vec{c} \times \vec{a})$।
$= [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] (\vec{b} \cdot (\vec{c} \times \vec{a}))$।
$= [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] [\vec{b}, \vec{c}, \vec{a}]$।
चूंकि $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = [\vec{b}, \vec{c}, \vec{a}]$ होता है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] \cdot [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]^2$।
इसकी तुलना $\lambda [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]^2$ से करने पर,$\lambda = 1$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि सदिश $a, b, c$ रैखिक रूप से आश्रित हैं,इसलिए उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए: $[a, b, c] = 0$.
इसका अर्थ है कि उनके घटकों द्वारा निर्मित सारणिक का मान शून्य है:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & 4 \\ 1 & \alpha & \beta \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के सापेक्ष सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(3\beta - 4\alpha) - 1(4\beta - 4) + 1(4\alpha - 3) = 0$
$3\beta - 4\alpha - 4\beta + 4 + 4\alpha - 3 = 0$
$-\beta + 1 = 0 \Rightarrow \beta = 1$.
दिया गया है कि $|c| = \sqrt{3}$,इसलिए $|c|^2 = 3$.
$1^2 + \alpha^2 + \beta^2 = 3$
$1 + \alpha^2 + 1^2 = 3$
$\alpha^2 + 2 = 3 \Rightarrow \alpha^2 = 1 \Rightarrow \alpha = \pm 1$.
अतः,$\alpha = \pm 1$ और $\beta = 1$.

(B) माना $V = a \cdot (b \times c) = [a, b, c]$.
दिया गया है $p = \frac{b \times c}{V}$,$q = \frac{c \times a}{V}$,$r = \frac{a \times b}{V}$.
अतः $[p, q, r] = p \cdot (q \times r) = \frac{b \times c}{V} \cdot \left( \frac{c \times a}{V} \times \frac{a \times b}{V} \right)$.
सदिश सर्वसमिका $(c \times a) \times (a \times b) = [c, a, b] a - [c, a, a] b = [a, b, c] a - 0 = V a$ का उपयोग करने पर.
इस प्रकार,$[p, q, r] = \frac{1}{V^3} (b \times c) \cdot (V a) = \frac{V}{V^3} (b \times c) \cdot a = \frac{V^2}{V^3} = \frac{1}{V} = \frac{1}{a \cdot (b \times c)}$.

(A) हमें व्यंजक $(a + b + c) \cdot [(a + b) \times (a + c)]$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,क्रॉस प्रोडक्ट का विस्तार करें: $(a + b) \times (a + c) = a \times a + a \times c + b \times a + b \times c$.
चूंकि $a \times a = 0$,यह $a \times c + b \times a + b \times c$ में सरल हो जाता है।
अब,$(a + b + c)$ के साथ डॉट प्रोडक्ट लें:
$(a + b + c) \cdot (a \times c + b \times a + b \times c) = [a, a, c] + [a, b, a] + [a, b, c] + [b, a, c] + [b, b, a] + [b, b, c] + [c, a, c] + [c, b, a] + [c, b, c]$.
अदिश त्रिक गुणन के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,यदि कोई भी दो सदिश समान हैं तो मान शून्य होता है:
$[a, a, c] = 0, [a, b, a] = 0, [b, b, a] = 0, [b, b, c] = 0, [c, a, c] = 0, [c, b, c] = 0$.
इससे हमें $[a, b, c] + [b, a, c] + [c, b, a]$ प्राप्त होता है।
चूंकि $[b, a, c] = -[a, b, c]$ और $[c, b, a] = [a, b, c]$,व्यंजक का मान होगा:
$[a, b, c] - [a, b, c] + [a, b, c] = [a, b, c]$।

(C) अदिश त्रिक गुणनफल को $[U V W] = U \cdot (V \times W)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
सबसे पहले,हम सदिश गुणनफल $V \times W$ की गणना करते हैं:
$V \times W = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 3 \end{vmatrix} = i(3 - 0) - j(6 - (-1)) + k(0 - 1) = 3i - 7j - k$.
मान लीजिए $A = V \times W = 3i - 7j - k$ है।
अदिश त्रिक गुणनफल $[U V W] = U \cdot A = |U| |A| \cos \theta$ है,जहाँ $\theta$,$U$ और $A$ के बीच का कोण है।
चूँकि $U$ एक इकाई सदिश है,$|U| = 1$ है।
अतः,$[U V W] = |A| \cos \theta$ है।
अधिकतम मान तब प्राप्त होता है जब $\cos \theta = 1$ हो,जो $|A|$ के बराबर है।
$|A| = \sqrt{3^2 + (-7)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 49 + 1} = \sqrt{59}$ है।
इसलिए,अधिकतम मान $\sqrt{59}$ है।

(D) तीन सदिशों के समतलीय होने के लिए,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए।
$\begin{vmatrix} 1-x & 1 & 1 \\ 1 & 1-y & 1 \\ 1 & 1 & 1-z \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$(1-x)((1-y)(1-z) - 1) - 1(1-z-1) + 1(1-(1-y)) = 0$
$(1-x)(1-z-y+yz-1) + z + y = 0$
$(1-x)(yz-y-z) + y + z = 0$
$yz - y - z - xyz + xy + xz + y + z = 0$
$yz - xyz + xy + xz = 0$
दोनों पक्षों को $xyz$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{x} + \frac{1}{z} + \frac{1}{y} = 1$।

(C) दिया गया सारणिक सदिशों $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ का ग्रामियन सारणिक है,जो अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^2$ के वर्ग के बराबर होता है।
सबसे पहले,हम अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{matrix} \right|$ की गणना करते हैं।
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 1((-1)(-1) - (1)(2)) - 1((1)(-1) - (1)(1)) + 1((1)(2) - (-1)(1))$
$= 1(1 - 2) - 1(-1 - 1) + 1(2 + 1)$
$= 1(-1) - 1(-2) + 1(3)$
$= -1 + 2 + 3 = 4$.
अतः,सारणिक का मान $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^2 = 4^2 = 16$ है।

(D) दिया गया अदिश त्रिक गुणनफल: $(\vec{a} - \lambda \vec{b}) \cdot ((\vec{b} - 2\vec{c}) \times (\vec{c} + 2\vec{a})) = 0$.
सबसे पहले,क्रॉस प्रोडक्ट का विस्तार करें: $(\vec{b} - 2\vec{c}) \times (\vec{c} + 2\vec{a}) = \vec{b} \times \vec{c} + 2(\vec{b} \times \vec{a}) - 2(\vec{c} \times \vec{c}) - 4(\vec{c} \times \vec{a})$.
चूंकि $\vec{c} \times \vec{c} = 0$,यह सरल होकर $\vec{b} \times \vec{c} + 2(\vec{b} \times \vec{a}) - 4(\vec{c} \times \vec{a})$ हो जाता है।
अब,$(\vec{a} - \lambda \vec{b})$ के साथ डॉट प्रोडक्ट लेने पर:
$(\vec{a} - \lambda \vec{b}) \cdot (\vec{b} \times \vec{c} + 2(\vec{b} \times \vec{a}) - 4(\vec{c} \times \vec{a})) = 0$.
डॉट प्रोडक्ट का वितरण करने पर:
$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) + 2\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{a}) - 4\vec{a} \cdot (\vec{c} \times \vec{a}) - \lambda \vec{b} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) - 2\lambda \vec{b} \cdot (\vec{b} \times \vec{a}) + 4\lambda \vec{b} \cdot (\vec{c} \times \vec{a}) = 0$.
अदिश त्रिक गुणनफल के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,यदि कोई भी दो सदिश समान हों तो गुणनफल शून्य होता है,इसलिए $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{a}) = 0$,$\vec{a} \cdot (\vec{c} \times \vec{a}) = 0$,$\vec{b} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$,और $\vec{b} \cdot (\vec{b} \times \vec{a}) = 0$.
इससे शेष रहता है: $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) + 4\lambda \vec{b} \cdot (\vec{c} \times \vec{a}) = 0$.
चूंकि $\vec{b} \cdot (\vec{c} \times \vec{a}) = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$,हमें प्राप्त होता है: $(1 + 4\lambda) [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$.
चूंकि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ असमतलीय हैं,$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \neq 0$,इसलिए $1 + 4\lambda = 0$,जिसका अर्थ है $\lambda = -1/4$।

(D) चूंकि $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ असमतलीय हैं,सदिश $\overrightarrow{P}, \overrightarrow{Q}, \overrightarrow{R}$ रैखिक रूप से आश्रित होंगे यदि और केवल यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो,अर्थात $[\overrightarrow{P}, \overrightarrow{Q}, \overrightarrow{R}] = 0$.
यह गुणांकों के सारणिक के शून्य होने के बराबर है:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & 4 \\ 1 & \alpha & \beta \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(3\beta - 4\alpha) - 1(4\beta - 4) + 1(4\alpha - 3) = 0$
$3\beta - 4\alpha - 4\beta + 4 + 4\alpha - 3 = 0$
$-\beta + 1 = 0$
$\beta = 1$
चूंकि समीकरण $\beta = 1$ प्राप्त होता है जो $\alpha$ से स्वतंत्र है,इसलिए $\alpha$ कोई भी वास्तविक मान ले सकता है। अतः,$\alpha$ के लिए अनंत संभावित मान हैं।

(A) $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ किनारों वाले समांतर षट्फलक का आयतन अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 12$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ किनारों वाले चतुष्फलक का आयतन $V = \frac{1}{6} |[\vec{u} \vec{v} \vec{w}]|$ होता है।
यहाँ,$\vec{u} = \vec{a} - \vec{b}$,$\vec{v} = \vec{b} - \vec{c}$,और $\vec{w} = \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$ है।
अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{u} \vec{v} \vec{w}] = [(\vec{a} - \vec{b}) (\vec{b} - \vec{c}) (\vec{a} + \vec{b} - \vec{c})]$ की गणना करने पर।
अदिश त्रिक गुणनफल के गुणों का उपयोग करते हुए,यह सरल होकर $[\vec{a} - \vec{b}, \vec{b} - \vec{c}, \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}] = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 12$ हो जाता है।
अतः,चतुष्फलक का आयतन $\frac{1}{6} \times 12 = 2$ घन इकाई है।

(B) मान लीजिए कि चतुष्फलक के शीर्ष $A(\vec{0}), B(\vec{a}), C(\vec{b})$ और $D(\vec{c})$ हैं।
चतुष्फलक $ABCD$ का आयतन $V = \frac{1}{6} |[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]| = 81$ है।
फलकों के केंद्रक इस प्रकार हैं:
$G_1 = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{3}$
$G_2 = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{3}$
$G_3 = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{3}$
चतुष्फलक $AG_1G_2G_3$ का आयतन $V' = \frac{1}{6} |[\vec{G_1} \vec{G_2} \vec{G_3}]|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$V' = \frac{1}{6} |[\frac{\vec{a} + \vec{b}}{3}, \frac{\vec{a} + \vec{c}}{3}, \frac{\vec{b} + \vec{c}}{3}]|$
अदिश त्रिक गुणन के गुणों का उपयोग करते हुए:
$V' = \frac{1}{6} \times \frac{1}{27} |[\vec{a} + \vec{b}, \vec{a} + \vec{c}, \vec{b} + \vec{c}]|$
अदिश त्रिक गुणन का विस्तार करने पर:
$[\vec{a} + \vec{b}, \vec{a} + \vec{c}, \vec{b} + \vec{c}] = 2[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$
अतः,$V' = \frac{1}{6} \times \frac{1}{27} \times 2 |[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]| = \frac{2}{27} \times 81 = 6$ घन इकाई।

(A) चूंकि सदिश $\vec a, \vec b$,और $\vec c$ समतलीय हैं,इसलिए उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए: $[\vec a \vec b \vec c] = 0$.
यह निम्नलिखित सारणिक द्वारा दिया गया है:
$\begin{vmatrix} 2\sin \theta & -1 & 2 \\ 2 & 2\sin \theta & -1 \\ 4 & -1 & 4\cos^2 \theta \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$2\sin \theta (8\sin \theta \cos^2 \theta - 1) + 1(8\cos^2 \theta + 4) + 2(-2 - 8\sin \theta) = 0$
$16\sin^2 \theta \cos^2 \theta - 2\sin \theta + 8\cos^2 \theta + 4 - 4 - 16\sin \theta = 0$
$4\sin^2(2\theta) + 8(1 - \sin^2 \theta) - 18\sin \theta = 0$
इस समीकरण को हल करने पर,हम पाते हैं कि $\sin \theta = \frac{1}{2}$ शर्त को संतुष्ट करता है।
$\sin \theta = \frac{1}{2}$ के लिए,व्यापक हल $\theta = n\pi + {(-1)^n}\frac{\pi}{6}$ है,जहाँ $n \in I$।