यदि vec{a}, vec{b}, vec{c} असमतलीय सदिश हैं औ | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए $\vec{\alpha} = \vec{a} + 2\vec{b} + 3\vec{c}$,$\vec{\beta} = \lambda\vec{b} + 4\vec{c}$ और $\vec{\gamma} = (2\lambda - 1)\vec{c}$ है।सद

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$\lambda$ के दो मानों को छोड़कर सभी मानों के लिए

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(C) मान लीजिए $\vec{\alpha} = \vec{a} + 2\vec{b} + 3\vec{c}$,$\vec{\beta} = \lambda\vec{b} + 4\vec{c}$ और $\vec{\gamma} = (2\lambda - 1)\vec{c}$ है।सदिश असमतलीय होते हैं यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य न हो,अर्थात $[\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}] 
eq 0$ हो।$[\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}] = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \ 0 & \lambda & 4 \ 0 & 0 & (2\lambda - 1) \end{vmatrix} [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$$= 1 \cdot \lambda \cdot (2\lambda - 1) [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \lambda(2\lambda - 1) [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$चूंकि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ असमतलीय हैं,इसलिए $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] 
eq 0$ है।अतः,सदिश असमतलीय होंगे यदि $\lambda(2\lambda - 1) 
eq 0$ हो।इसका अर्थ है कि $\lambda 
eq 0$ और $\lambda 
eq \frac{1}{2}$।इसलिए,$\lambda$ के $0$ और $\frac{1}{2}$ को छोड़कर सभी मानों के लिए सदिश असमतलीय हैं।

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$\hat{i} + a \hat{j} + \hat{k}$,$\hat{j} + a \hat{k}$ और $a \hat{i} + \hat{k}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन न्यूनतम होने के लिए $a$ का मान क्या होगा?

यदि $\bar{a} = \bar{i} - \bar{j}$,$\bar{b} = \bar{j} - \bar{k}$,$\bar{c} = \bar{k} - \bar{i}$ और $\bar{d}$ एक इकाई सदिश है ताकि $\bar{a} \cdot \bar{d} = 0$ और $[\bar{b} \bar{c} \bar{d}] = 0$ हो,तो सदिश $\bar{d} = ....$

$(a+b) \cdot(b+c) \times(a+b+c)$ का मान ज्ञात कीजिए।

वह मान $\lambda$ जिसके लिए बिंदु $A(2, 2, 1)$,$B(1, 1, 1)$,$C(-\lambda, 2, 1)$ और $D(3, 0, -1)$ समतलीय हैं,$\lambda = $ ............ है।

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