तीन सदिशों $a, b, c$ के लिए,$[a \times b, b \times c, c \times a]$ का मान किसके बराबर है?

यदि $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,और $\vec{c} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ है,तो $\left| \begin{matrix} \vec{a} \cdot \vec{a} & \vec{a} \cdot \vec{b} & \vec{a} \cdot \vec{c} \\ \vec{b} \cdot \vec{a} & \vec{b} \cdot \vec{b} & \vec{b} \cdot \vec{c} \\ \vec{c} \cdot \vec{a} & \vec{c} \cdot \vec{b} & \vec{c} \cdot \vec{c} \end{matrix} \right|$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\lambda$ के किस मान के लिए,$\hat{i} - 6\hat{j} + 10\hat{k}$,$-\hat{i} - 3\hat{j} + 7\hat{k}$,$5\hat{i} - \hat{j} + \lambda\hat{k}$,और $7\hat{i} - 4\hat{j} + 7\hat{k}$ स्थिति सदिश वाले शीर्षों वाले चतुष्फलक का आयतन $11$ घन इकाई होगा?

तीन सदिश $\hat{i}-\hat{k}$,$\lambda \hat{i}+\hat{j}+(1-\lambda) \hat{k}$,और $\mu \hat{i}+\lambda \hat{j}+(1+\lambda-\mu) \hat{k}$ एक समांतर षट्फलक (parallelepiped) के सह-आदिम किनारों को दर्शाते हैं,तो समांतर षट्फलक का आयतन किस पर निर्भर करता है?

मान लीजिए कि सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ एक $V$ आयतन वाले समांतर षट्फलक (parallelepiped) के तीन सह-आगामी किनारों को दर्शाते हैं। तो उस समांतर षट्फलक का आयतन,जिसके सह-आगामी किनारे $\vec{a}, \vec{b}+\vec{c}$ और $\vec{a}+2\vec{b}+3\vec{c}$ द्वारा दर्शाए गए हैं,$..........\,V$ के बराबर है।

यदि $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ परस्पर लंबवत सदिश हैं जिनके परिमाण क्रमशः $1, 2, 3$ हैं,तो $[\overline{a}+\overline{b}+\overline{c} \quad \overline{b}-\overline{a} \quad \overline{c}]$ का मान ज्ञात कीजिए।