a के किस मान के लिए hat{i} + ahat{j} + hat{k} | vedclass

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Question

(C) माना सदिश $\vec{\alpha} = \hat{i} + a\hat{j} + \hat{k}$,$\vec{\beta} = \hat{j} + a\hat{k}$,और $\vec{\gamma} = a\hat{i} + \hat{k}$ हैं।समांतर षट्फल

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{\sqrt{3}}$

Vedclass · Answer

(C) माना सदिश $\vec{\alpha} = \hat{i} + a\hat{j} + \hat{k}$,$\vec{\beta} = \hat{j} + a\hat{k}$,और $\vec{\gamma} = a\hat{i} + \hat{k}$ हैं।समांतर षट्फलक का आयतन $V$ अदिश त्रिक गुणनफल के मापांक के बराबर होता है: $V = |[\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}]|$.अदिश त्रिक गुणनफल की गणना करने पर:$[\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}] = \begin{vmatrix} 1 & a & 1 \ 0 & 1 & a \ a & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1(1 - 0) - a(0 - a^2) + 1(0 - a) = 1 + a^3 - a$.माना $f(a) = a^3 - a + 1$ है। न्यूनतम आयतन ज्ञात करने के लिए,हम $f(a)$ का विश्लेषण करते हैं।$f'(a) = 3a^2 - 1$.$f'(a) = 0$ रखने पर,हमें $3a^2 = 1$ प्राप्त होता है,इसलिए $a = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$।द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करने पर: $f''(a) = 6a$।$a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए,$f''(\frac{1}{\sqrt{3}}) = 6(\frac{1}{\sqrt{3}}) = 2\sqrt{3} > 0$,जो स्थानीय न्यूनतम मान को दर्शाता है।अतः,$a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ पर आयतन न्यूनतम होता है।

$a$ के किस मान के लिए $\hat{i} + a\hat{j} + \hat{k}$,$\hat{j} + a\hat{k}$ और $a\hat{i} + \hat{k}$ सदिशों द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक का आयतन न्यूनतम होगा?

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