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Question

(A) दी गई रेखाएँ क्रमशः सदिशों $\vec{b}_{1}=\hat{i}-\hat{j}-2\hat{k}$ और $\vec{b}_{2}=3\hat{i}-5\hat{j}-4\hat{k}$ के समांतर हैं।सबसे पहले,सदिशों के पर

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$Q=\cos^{-1}\left(\frac{8}{5\sqrt{3}}\right)$

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(A) दी गई रेखाएँ क्रमशः सदिशों $\vec{b}_{1}=\hat{i}-\hat{j}-2\hat{k}$ और $\vec{b}_{2}=3\hat{i}-5\hat{j}-4\hat{k}$ के समांतर हैं।सबसे पहले,सदिशों के परिमाण ज्ञात करें:$|\vec{b}_{1}|=\sqrt{(1)^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}$$|\vec{b}_{2}|=\sqrt{(3)^{2}+(-5)^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{9+25+16}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$अब,अदिश गुणनफल (dot product) $\vec{b}_{1} \cdot \vec{b}_{2}$ ज्ञात करें:$\vec{b}_{1} \cdot \vec{b}_{2} = (1)(3) + (-1)(-5) + (-2)(-4) = 3 + 5 + 8 = 16$रेखाओं के बीच का कोण $Q$ इस प्रकार दिया गया है:$\cos Q = \frac{|\vec{b}_{1} \cdot \vec{b}_{2}|}{|\vec{b}_{1}| |\vec{b}_{2}|}$मान रखने पर:$\cos Q = \frac{16}{\sqrt{6} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{16}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{16}{5 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}} = \frac{16}{10\sqrt{3}} = \frac{8}{5\sqrt{3}}$अतः,$Q = \cos^{-1}\left(\frac{8}{5\sqrt{3}}\right)$।

निम्नलिखित रेखाओं के युग्मों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए:
$\vec{r}=3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}+\lambda(\hat{i}-\hat{j}-2 \hat{k})$ और
$\vec{r}=2 \hat{i}-\hat{j}-56 \hat{k}+\mu(3 \hat{i}-5 \hat{j}-4 \hat{k})$

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यदि $\vec{a}=\hat{i}+\lambda \hat{j}+2 \hat{k}$ और $\vec{b}=\mu \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ लंबकोणीय (orthogonal) हैं और $|\vec{a}|=|\vec{b}|$ है,तो $(\lambda, \mu) = $

यदि सदिश $a=\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$,$b=2 \hat{i}+4 \hat{j}+\hat{k}$ और $c=\lambda \hat{i}+\hat{j}+\mu \hat{k}$ परस्पर लंबवत हैं,तो $(\lambda, \mu)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि सदिशों $2 \alpha^2 \hat{i} + 4 \alpha \hat{j} + \hat{k}$ और $7 \hat{i} - 2 \hat{j} + \alpha \hat{k}$ के बीच का कोण अधिक कोण (obtuse) है,तो

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निम्नलिखित रेखाओं के युग्मों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए:$\vec{r}=3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}+\lambda(\hat{i}-\hat{j}-2 \hat{k})$ और$\vec{r}=2 \hat{i}-\hat{j}-56 \hat{k}+\mu(3 \hat{i}-5 \hat{j}-4 \hat{k})$