$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 + (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = \dots$

यदि $a \cdot \hat{i} = a \cdot (\hat{i} + \hat{j}) = a \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ है,तो $a$ किसके बराबर है?

$c$ के उन सभी वास्तविक मानों का समुच्चय ज्ञात कीजिए जिनके लिए सदिशों $\vec{a} = cx \hat{i} - 6 \hat{j} + 3 \hat{k}$ और $\vec{b} = x \hat{i} + 2 \hat{j} + 2cx \hat{k}$ के बीच का कोण सभी वास्तविक $x$ के लिए एक अधिक कोण (obtuse angle) हो:

मान लीजिए $\vec{a}=\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}$,$\vec{b}=2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$,$\vec{c}=\lambda\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{v}=\vec{a}\times\vec{b}$ है। यदि $\vec{v} \cdot \vec{c}=11$ है और $\vec{b}$ का $\vec{c}$ पर प्रक्षेप की लंबाई $p$ है,तो $9p^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए:

दर्शाइए कि बिंदु $A, B$ और $C$ जिनके स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}=3 \hat{i}-4 \hat{j}-4 \hat{k}$,$\vec{b}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{c}=\hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}$ हैं,एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष बनाते हैं।

$\vec{b}$ और $\vec{c}$ असरेख सदिश हैं और $(\vec{c} \cdot \vec{c}) \vec{a} = \vec{c}$ है। यदि $(\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} + (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{b} = (4 - 2 \beta - \sin \alpha) \vec{b} + (\beta^2 - 1) \vec{c}$ है,तो $\sin (\alpha + \beta) =$