Scalar or Dot product of two vectors and its applications Questions in Hindi

(D) आसन्न भुजाओं $\vec{\alpha}$ और $\vec{\beta}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $|\vec{\alpha} \times \vec{\beta}|$ द्वारा दिया जाता है।
हम जानते हैं कि $|\vec{\alpha} \times \vec{\beta}|^2 = |\vec{\alpha}|^2 |\vec{\beta}|^2 - (\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta})^2$ होता है।
सबसे पहले,$|\vec{\alpha}|^2$ की गणना करें:
$|\vec{\alpha}|^2 = 3^2 + 0^2 + (-1)^2 = 9 + 1 = 10$।
दिया गया है कि $|\vec{\beta}| = \sqrt{5}$,इसलिए $|\vec{\beta}|^2 = 5$।
दिया गया है कि $\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} = 3$,इसलिए $(\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta})^2 = 3^2 = 9$।
अब,इन मानों को सूत्र में रखें:
$|\vec{\alpha} \times \vec{\beta}|^2 = (10)(5) - 9 = 50 - 9 = 41$।
अतः,क्षेत्रफल $|\vec{\alpha} \times \vec{\beta}| = \sqrt{41}$ है।

(D) हमें संबंध $|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = k^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2$ दिया गया है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $k^2 = |\vec{a} \times \vec{b}|^2 + (\vec{a} \cdot \vec{b})^2$ प्राप्त होता है।
सदिश गुणन और अदिश गुणन की परिभाषाओं का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta$ और $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta$ होता है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$k^2 = (|\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta)^2 + (|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta)^2$
$k^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)$
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए $k^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2$ होता है।
$|\vec{a}|=7$ और $|\vec{b}|=1$ दिए गए हैं,इसलिए $k^2 = (7)^2 \times (1)^2 = 49$ प्राप्त होता है।
अतः,$k = 7$।
चूंकि यह समीकरण किसी भी $\theta$ के लिए सत्य है,इसलिए $\theta$ कोई भी मान हो सकता है।

(C) चूंकि $\vec{\delta}$,$\vec{\alpha}$ और $\vec{\beta}$ के समतल में स्थित है,हम $\vec{\delta} = \vec{\alpha} + \lambda \vec{\beta}$ लिख सकते हैं,जहाँ $\lambda$ एक अदिश है।
दिए गए सदिशों को प्रतिस्थापित करने पर,$\vec{\delta} = (\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) + \lambda(\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}) = (1+\lambda)\hat{i} + (1-\lambda)\hat{j} + (1-\lambda)\hat{k}$.
$\vec{\delta}$ का $\vec{\gamma}$ पर प्रक्षेप $\frac{\vec{\delta} \cdot \vec{\gamma}}{|\vec{\gamma}|} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $\vec{\delta} \cdot \vec{\gamma} = (1+\lambda)(-1) + (1-\lambda)(1) + (1-\lambda)(-1) = -1 - \lambda + 1 - \lambda - 1 + \lambda = -1 - \lambda$.
परिमाण $|\vec{\gamma}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$.
अतः,$\frac{-1-\lambda}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow -1-\lambda = 1 \Rightarrow \lambda = -2$.
$\lambda = -2$ का मान $\vec{\delta}$ के समीकरण में रखने पर,$\vec{\delta} = (1-2)\hat{i} + (1-(-2))\hat{j} + (1-(-2))\hat{k} = -\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$.

(A) मान लीजिए कि एक घन के शीर्ष $(0,0,0)$ और $(a,a,a)$ हैं। घन के चार विकर्णों को विपरीत शीर्षों को जोड़ने वाले सदिशों द्वारा दर्शाया जा सकता है: $\vec{d_1} = (a,a,a)$,$\vec{d_2} = (-a,a,a)$,$\vec{d_3} = (a,-a,a)$,और $\vec{d_4} = (a,a,-a)$।
दिक् अनुपात $(1,1,1)$ और $(-1,1,1)$ वाले दो विकर्णों पर विचार करें।
दो सदिशों $\vec{u} = (a_1, b_1, c_1)$ और $\vec{v} = (a_2, b_2, c_2)$ के बीच के कोण $\theta$ का कोसाइन $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\cos \theta = \frac{|(1)(-1) + (1)(1) + (1)(1)|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|-1 + 1 + 1|}{\sqrt{3} \sqrt{3}} = \frac{1}{3}$।
अतः,एक घन के किन्हीं दो विकर्णों के बीच के कोण का कोसाइन $1/3$ है।

(A) मान लीजिए कि घन के शीर्ष $O(0,0,0)$,$A(a,0,0)$,$B(a,a,0)$,$C(a,a,a)$,$D(0,a,a)$,$E(0,0,a)$,$F(a,0,a)$,और $G(0,a,0)$ हैं।
घन के दो विकर्णों पर विचार करें,उदाहरण के लिए,$(0,0,0)$ को $(a,a,a)$ से जोड़ने वाला विकर्ण और $(a,0,0)$ को $(0,a,a)$ से जोड़ने वाला विकर्ण।
पहले विकर्ण की दिशा में सदिश $\vec{v_1} = a\hat{i} + a\hat{j} + a\hat{k}$ है।
दूसरे विकर्ण की दिशा में सदिश $\vec{v_2} = -a\hat{i} + a\hat{j} + a\hat{k}$ है।
इन दो सदिशों के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (a)(-a) + (a)(a) + (a)(a) = -a^2 + a^2 + a^2 = a^2$.
$|\vec{v_1}| = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{3}$.
$|\vec{v_2}| = \sqrt{(-a)^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{3}$.
$\cos \theta = \frac{a^2}{(a\sqrt{3})(a\sqrt{3})} = \frac{a^2}{3a^2} = \frac{1}{3}$.
अतः,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$।

(C) मान लीजिए $\theta$,$\overrightarrow{AB}$ और $\overrightarrow{AP}$ के बीच का कोण है। चूंकि $P$,$AB$ और $AC$ से समान दूरी पर है,इसलिए $AP$,$\angle BAC$ का कोण समद्विभाजक है। मान लीजिए $\angle BAC = 2\alpha$ है। तब $\angle BAP = \alpha$ होगा।
सबसे पहले,$\cos(2\alpha) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}|} = \frac{(3)(1) + (1)(-1) + (-1)(3)}{\sqrt{3^2+1^2+(-1)^2} \sqrt{1^2+(-1)^2+3^2}} = \frac{3-1-3}{\sqrt{11} \cdot \sqrt{11}} = -\frac{1}{11}$ की गणना करें।
सर्वसमिका $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2(\alpha)$ का उपयोग करते हुए,$1 - 2\sin^2(\alpha) = -\frac{1}{11}$,जिसका अर्थ है $2\sin^2(\alpha) = \frac{12}{11}$,इसलिए $\sin^2(\alpha) = \frac{6}{11}$ और $\sin(\alpha) = \sqrt{\frac{6}{11}}$।
$\triangle ABP$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AP}| \sin(\alpha)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\text{Area} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{11} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \sqrt{\frac{6}{11}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \sqrt{6} = \frac{\sqrt{30}}{4}$।

(B) दिया है $\overrightarrow{PQ}=-2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$,इसलिए $|\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{(-2)^2+(-1)^2+2^2} = \sqrt{4+1+4} = 3$.
दिया है $\overrightarrow{PR}=a\hat{i}+b\hat{j}-4\hat{k}$ और $|\overrightarrow{PR}|=9$,इसलिए $a^2+b^2+(-4)^2 = 9^2 \implies a^2+b^2+16=81 \implies a^2+b^2=65$ ...$(1)$।
दिया है $\overrightarrow{PS}=\hat{i}-7\hat{j}+2\hat{k}$,इसलिए $|\overrightarrow{PS}| = \sqrt{1^2+(-7)^2+2^2} = \sqrt{1+49+4} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}$.
चूँकि $S$,$PQ$ और $PR$ से समान दूरी पर है,$PS$,$\angle QPR$ का कोण समद्विभाजक है। मान लीजिए $\angle QPS = \angle RPS = \theta$.
तब $\cos \theta = \frac{\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{PS}}{|\overrightarrow{PQ}| |\overrightarrow{PS}|} = \frac{(-2)(1)+(-1)(-7)+(2)(2)}{3 \cdot 3\sqrt{6}} = \frac{-2+7+4}{9\sqrt{6}} = \frac{9}{9\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$.
साथ ही,$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{PR} \cdot \overrightarrow{PS}}{|\overrightarrow{PR}| |\overrightarrow{PS}|} = \frac{(a)(1)+(b)(-7)+(-4)(2)}{9 \cdot 3\sqrt{6}} = \frac{a-7b-8}{27\sqrt{6}}$.
$\cos \theta$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{a-7b-8}{27\sqrt{6}} \implies a-7b-8 = 27 \implies a-7b = 35$ ...$(2)$।
$(1)$ से,$a^2+b^2=65$। $a=35+7b$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $(35+7b)^2+b^2=65 \implies 1225+490b+49b^2+b^2=65 \implies 50b^2+490b+1160=0 \implies 5b^2+49b+116=0$.
$b$ के लिए हल करने पर: $b = \frac{-49 \pm \sqrt{49^2-4(5)(116)}}{10} = \frac{-49 \pm \sqrt{2401-2320}}{10} = \frac{-49 \pm \sqrt{81}}{10} = \frac{-49 \pm 9}{10}$.
अतः $b = -4$ या $b = -5.8$। चूँकि $b \in \mathbb{Z}$,$b=-4$.
तब $a = 35+7(-4) = 35-28 = 7$.
इस प्रकार,$3a-4b = 3(7)-4(-4) = 21+16 = 37$।

(D) दिया गया है कि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$.
दिए गए समीकरण का विस्तार करने पर:
$|\vec{a}-\vec{b}|^{2}+|\vec{b}-\vec{c}|^{2}+|\vec{c}-\vec{a}|^{2}=9$
$(|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}-2\vec{a}\cdot\vec{b}) + (|\vec{b}|^{2}+|\vec{c}|^{2}-2\vec{b}\cdot\vec{c}) + (|\vec{c}|^{2}+|\vec{a}|^{2}-2\vec{c}\cdot\vec{a}) = 9$
$2(|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}+|\vec{c}|^{2}) - 2(\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{c}+\vec{c}\cdot\vec{a}) = 9$
$2(1+1+1) - 2(\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{c}+\vec{c}\cdot\vec{a}) = 9$
$6 - 2(\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{c}+\vec{c}\cdot\vec{a}) = 9$
$\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{c}+\vec{c}\cdot\vec{a} = -\frac{3}{2}$
अब,$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^{2} = |\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}+|\vec{c}|^{2} + 2(\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{c}+\vec{c}\cdot\vec{a}) = 3 + 2(-\frac{3}{2}) = 0$ पर विचार करें।
अतः,$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} = 0$,जिसका अर्थ है $\vec{b}+\vec{c} = -\vec{a}$.
इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$|2\vec{a}+k(\vec{b}+\vec{c})| = 3$
$|2\vec{a}+k(-\vec{a})| = 3$
$|(2-k)\vec{a}| = 3$
चूंकि $|\vec{a}| = 1$,इसलिए $|2-k| = 3$.
इससे $2-k = 3$ या $2-k = -3$ प्राप्त होता है।
$k = -1$ या $k = 5$.
$k$ का धनात्मक मान $5$ है।

(C) सबसे पहले,$\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-2)) - \hat{j}(0 - (-2)) + \hat{k}(2 - 1) = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
इसका परिमाण $|\vec{c}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4+4+1} = 3$ है।
दिया गया है कि $|\vec{c} \times \vec{d}| = 3$,इसलिए $|\vec{c}||\vec{d}| \sin(\frac{\pi}{4}) = 3$.
$|\vec{c}| = 3$ रखने पर,$3|\vec{d}| \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 3$,जिसका अर्थ है कि $|\vec{d}| = \sqrt{2}$.
दिया गया है कि $|\vec{d}-\vec{a}| = \sqrt{11}$,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$|\vec{d}|^2 + |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{d}) = 11$.
हम जानते हैं कि $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3$,इसलिए $|\vec{a}|^2 = 9$.
मान रखने पर: $2 + 9 - 2(\vec{a} \cdot \vec{d}) = 11$.
$11 - 2(\vec{a} \cdot \vec{d}) = 11$,जिसे सरल करने पर $\vec{a} \cdot \vec{d} = 0$ प्राप्त होता है।

(C) चूँकि $\vec{v}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के समतल में स्थित है,हम लिख सकते हैं $\vec{v} = x\vec{a} + y\vec{b} = x(2\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}) + y(\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}) = (2x+y)\hat{i} + (3y-x)\hat{j} - (x+y)\hat{k}$.
सदिश $\vec{c}$ पर $\vec{v}$ का प्रक्षेप $\left|\frac{\vec{v} \cdot \vec{c}}{|\vec{c}|}\right| = \frac{1}{\sqrt{14}}$ द्वारा दिया जाता है।
पहले,$|\vec{c}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{4+1+9} = \sqrt{14}$ ज्ञात करें।
अब,$\vec{v} \cdot \vec{c} = (2x+y)(2) + (3y-x)(1) + (-x-y)(3) = 4x + 2y + 3y - x - 3x - 3y = 2y$.
अतः,$\left|\frac{2y}{\sqrt{14}}\right| = \frac{1}{\sqrt{14}} \implies |2y| = 1 \implies y^2 = \frac{1}{4}$.
परिमाण का वर्ग $|\vec{v}|^2 = (2x+y)^2 + (3y-x)^2 + (x+y)^2 = 6x^2 + 11y^2$ है।
$y^2 = \frac{1}{4}$ रखने पर,$|\vec{v}|^2 = 6x^2 + \frac{11}{4}$ प्राप्त होता है।
यदि हम $x=1$ लें,तो $|\vec{v}| = \sqrt{6 + 2.75} = \sqrt{8.75} = \sqrt{\frac{35}{4}} = \frac{\sqrt{35}}{2}$।

(A) दिया गया है $\overrightarrow{a}=\sqrt{2}\hat{i}-\hat{j}+\lambda\hat{k}$ और $\overrightarrow{b}=-\lambda^{2}\hat{i}+4\sqrt{2}\hat{j}+4\sqrt{2}\hat{k}$.
चूंकि $\overrightarrow{a}$ धनात्मक $z$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाता है,$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \hat{k}}{|\overrightarrow{a}|} = \frac{\lambda}{\sqrt{(\sqrt{2})^2+(-1)^2+\lambda^2}} = \frac{\lambda}{\sqrt{3+\lambda^2}}$.
दिया गया है $\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\cos \frac{\pi}{2} < \cos \theta < \cos \frac{\pi}{6}$,जिसका अर्थ है $0 < \frac{\lambda}{\sqrt{3+\lambda^2}} < \frac{\sqrt{3}}{2}$.
असमिका का वर्ग करने पर,$0 < \frac{\lambda^2}{3+\lambda^2} < \frac{3}{4}$.
चूंकि $\lambda > 0$,बायां भाग हमेशा सत्य है। दाएं भाग के लिए,$4\lambda^2 < 9 + 3\lambda^2 \Rightarrow \lambda^2 < 9 \Rightarrow \lambda < 3$. अतः $\lambda \in (0, 3)$....$(1)$
चूंकि $\overrightarrow{a}$ सदिश $\overrightarrow{b}$ के साथ अधिक कोण बनाता है,$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} < 0$.
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (\sqrt{2})(-\lambda^2) + (-1)(4\sqrt{2}) + (\lambda)(4\sqrt{2}) = -\sqrt{2}(\lambda^2 - 4\lambda + 4) = -\sqrt{2}(\lambda-2)^2 < 0$.
चूंकि $\sqrt{2} > 0$,इसलिए $(\lambda-2)^2 > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\lambda \neq 2$....$(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,$\lambda \in (0, 3) - \{2\}$.
अतः,$\alpha=0, \beta=3, \gamma=2$.
इसलिए,$\alpha+\beta+\gamma = 0+3+2 = 5$.

(D) दिया गया है $\vec{a}=\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}$,$\vec{b}=2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$,और $\vec{c}=\lambda\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$।
सबसे पहले,$\vec{v} = \vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-3) - \hat{j}(-1-6) + \hat{k}(1+4) = -\hat{i} + 7\hat{j} + 5\hat{k}$.
दिया गया है $\vec{v} \cdot \vec{c} = 11$,इसलिए $(-\hat{i} + 7\hat{j} + 5\hat{k}) \cdot (\lambda\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 11$.
$-\lambda + 7 + 5 = 11 \Rightarrow -\lambda + 12 = 11 \Rightarrow \lambda = 1$.
अब,$\vec{c} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$। $\vec{b}$ का $\vec{c}$ पर प्रक्षेप की लंबाई $p = \left| \vec{b} \cdot \frac{\vec{c}}{|\vec{c}|} \right|$ है।
$|\vec{c}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.
$p = \left| (2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) \cdot \frac{(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})}{\sqrt{3}} \right| = \left| \frac{2 + 1 - 1}{\sqrt{3}} \right| = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
अतः,$9p^2 = 9 \times \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right)^2 = 9 \times \frac{4}{3} = 12$.

(C) समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,विकर्ण $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$ होता है।
दिया गया है $\vec{AB} = 2 \hat{i} + 4 \hat{j} - 5 \hat{k}$ और $\vec{AD} = \hat{i} + 2 \hat{j} + \lambda \hat{k}$।
अतः,$\vec{AC} = (2+1) \hat{i} + (4+2) \hat{j} + (-5+\lambda) \hat{k} = 3 \hat{i} + 6 \hat{j} + (\lambda - 5) \hat{k}$।
सदिश $\vec{v} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ का $\vec{AC}$ पर प्रक्षेप $\frac{|\vec{v} \cdot \vec{AC}|}{|\vec{AC}|} = 1$ द्वारा दिया जाता है।
$|\vec{v} \cdot \vec{AC}| = |(1)(3) + (1)(6) + (1)(\lambda - 5)| = |3 + 6 + \lambda - 5| = |\lambda + 4|$।
$|\vec{AC}| = \sqrt{3^2 + 6^2 + (\lambda - 5)^2} = \sqrt{9 + 36 + \lambda^2 - 10\lambda + 25} = \sqrt{\lambda^2 - 10\lambda + 70}$।
अतः,$\frac{|\lambda + 4|}{\sqrt{\lambda^2 - 10\lambda + 70}} = 1 \Rightarrow (\lambda + 4)^2 = \lambda^2 - 10\lambda + 70$।
$\lambda^2 + 8\lambda + 16 = \lambda^2 - 10\lambda + 70 \Rightarrow 18\lambda = 54 \Rightarrow \lambda = 3$।
द्विघात समीकरण $3^2 x^2 - 6(3)x + 5 = 0$ बन जाता है,जो $9x^2 - 18x + 5 = 0$ है।
$x$ के लिए हल करने पर: $x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 180}}{18} = \frac{18 \pm \sqrt{144}}{18} = \frac{18 \pm 12}{18}$।
$x = \frac{30}{18} = \frac{5}{3}$ और $x = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$।
चूँकि $\alpha > \beta$,इसलिए $\alpha = \frac{5}{3}$ और $\beta = \frac{1}{3}$।
अतः $2\alpha - \beta = 2(\frac{5}{3}) - \frac{1}{3} = \frac{10-1}{3} = \frac{9}{3} = 3$।

(B) दिया गया है कि $\vec{c} \times (2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}) = (2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}) \times \vec{d}$,जिसका अर्थ है कि $\vec{c} \times (2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}) + \vec{d} \times (2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}) = 0$.
अतः,$(\vec{c}+\vec{d}) \times (2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}) = 0$.
इसका अर्थ है कि $\vec{c}+\vec{d}$ सदिश $(2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k})$ के समांतर है।
मान लीजिए $\vec{c}+\vec{d} = \lambda(2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k})$.
दिया गया है कि $|\vec{c}+\vec{d}| = \sqrt{29}$,इसलिए $|\lambda| \sqrt{2^2+3^2+4^2} = \sqrt{29}$,यानी $|\lambda| \sqrt{29} = \sqrt{29}$,जिससे $\lambda = \pm 1$ प्राप्त होता है।
अब,$(\vec{c}+\vec{d}) \cdot (-7\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}) = \lambda(2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}) \cdot (-7\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}) = \lambda(-14+6+12) = 4\lambda$.
$\lambda = 1$ के लिए मान $4$ है और $\lambda = -1$ के लिए मान $-4$ है।
अतः,$\lambda_1 = 4$ और $\lambda_2 = -4$.
समीकरण $K^2x^2 + (K^2-5K+4)xy + (3K-2)y^2 - 8x + 12y - 4 = 0$ बन जाता है।
वृत्त के लिए,$xy$ का गुणांक $0$ होना चाहिए और $x^2$ तथा $y^2$ के गुणांक समान होने चाहिए।
$K^2-5K+4 = 0 \Rightarrow (K-1)(K-4) = 0 \Rightarrow K=1$ या $K=4$.
$K^2 = 3K-2 \Rightarrow K^2-3K+2 = 0 \Rightarrow (K-1)(K-2) = 0 \Rightarrow K=1$ या $K=2$.
उभयनिष्ठ मान $K=1$ है।

(C) हम इकाई सदिशों के क्रॉस प्रोडक्ट के गुणों को जानते हैं:
$\hat{k} \times \hat{j} = -\hat{i}$
$\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$
$\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\hat{i} \cdot (-\hat{i}) + \hat{j} \cdot (-\hat{j}) + \hat{k} \cdot (\hat{k})$
डॉट प्रोडक्ट के गुण $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$,$\hat{j} \cdot \hat{j} = 1$,और $\hat{k} \cdot \hat{k} = 1$ का उपयोग करने पर:
$= -(\hat{i} \cdot \hat{i}) - (\hat{j} \cdot \hat{j}) + (\hat{k} \cdot \hat{k})$
$= -1 - 1 + 1 = -1$.

(C) शीर्षों के स्थिति सदिश इस प्रकार दिए गए हैं:
$\vec{A} = -\hat{i} + 0.5\hat{j} + 4\hat{k}$
$\vec{B} = \hat{i} + 0.5\hat{j} + 4\hat{k}$
$\vec{C} = \hat{i} - 0.5\hat{j} + 4\hat{k}$
$\vec{D} = -\hat{i} - 0.5\hat{j} + 4\hat{k}$
भुजा $AB$ की लंबाई सदिश $\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A}$ के परिमाण द्वारा दी जाती है:
$\vec{AB} = (\hat{i} + 0.5\hat{j} + 4\hat{k}) - (-\hat{i} + 0.5\hat{j} + 4\hat{k}) = 2\hat{i}$
$|AB| = |2\hat{i}| = 2$ इकाई।
भुजा $BC$ की लंबाई सदिश $\vec{BC} = \vec{C} - \vec{B}$ के परिमाण द्वारा दी जाती है:
$\vec{BC} = (\hat{i} - 0.5\hat{j} + 4\hat{k}) - (\hat{i} + 0.5\hat{j} + 4\hat{k}) = -1\hat{j}$
$|BC| = |-1\hat{j}| = 1$ इकाई।
आयत का क्षेत्रफल उसकी आसन्न भुजाओं के गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है:
$\text{क्षेत्रफल} = |AB| \times |BC| = 2 \times 1 = 2$ वर्ग इकाई।

(B) दो सदिशों के अंतर का परिमाण ज्ञात करने का सूत्र इस प्रकार है: $|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$.
दिए गए मानों $|\vec{a}| = 2$,$|\vec{b}| = 3$ और $\vec{a} \cdot \vec{b} = 4$ को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (2)^2 + (3)^2 - 2(4)$
$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 4 + 9 - 8$
$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 5$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{5}$ प्राप्त होता है।

(D) हम जानते हैं कि इकाई सदिशों (unit vectors) का क्रॉस गुणनफल $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$,$\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}$,और $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$ होता है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\hat{i} \cdot \hat{i} + \hat{j} \cdot \hat{j} + \hat{k} \cdot \hat{k}$ प्राप्त होता है।
चूंकि एक इकाई सदिश का स्वयं के साथ डॉट गुणनफल $1$ होता है (अर्थात $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$,$\hat{j} \cdot \hat{j} = 1$,$\hat{k} \cdot \hat{k} = 1$),इसलिए व्यंजक का मान $1 + 1 + 1 = 3$ हो जाता है।

(C) मान लीजिए $3\vec{a} = \vec{u}$ और $2\vec{b} = \vec{v}$ है। दिया गया है $|\vec{a}| = 2$ और $|\vec{b}| = 3$,इसलिए $|\vec{u}| = 3|\vec{a}| = 6$ और $|\vec{v}| = 2|\vec{b}| = 6$ है।
हमें व्यंजक $E = 3|\vec{u} + \vec{v}| + 4|\vec{u} - \vec{v}|$ का अधिकतम मान ज्ञात करना है।
मान लीजिए $\vec{u}$ और $\vec{v}$ के बीच का कोण $\alpha$ है।
सूत्र $|\vec{u} \pm \vec{v}| = \sqrt{|\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 \pm 2|\vec{u}||\vec{v}| \cos \alpha}$ का उपयोग करते हुए:
$|\vec{u} + \vec{v}| = \sqrt{6^2 + 6^2 + 2(6)(6) \cos \alpha} = \sqrt{72(1 + \cos \alpha)} = \sqrt{72(2 \cos^2(\alpha/2))} = 12 \cos(\alpha/2)$.
$|\vec{u} - \vec{v}| = \sqrt{6^2 + 6^2 - 2(6)(6) \cos \alpha} = \sqrt{72(1 - \cos \alpha)} = \sqrt{72(2 \sin^2(\alpha/2))} = 12 \sin(\alpha/2)$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$E = 3(12 \cos(\alpha/2)) + 4(12 \sin(\alpha/2)) = 36 \cos(\alpha/2) + 48 \sin(\alpha/2)$.
$A \cos x + B \sin x$ का अधिकतम मान $\sqrt{A^2 + B^2}$ होता है।
यहाँ,$A = 36$ और $B = 48$ है,इसलिए अधिकतम मान $\sqrt{36^2 + 48^2} = \sqrt{12^2(3^2 + 4^2)} = 12 \sqrt{9 + 16} = 12(5) = 60$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $\vec{a} = -\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$।
$\vec{c} = \lambda(-\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}) + \mu(\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}) = (\mu-\lambda)\hat{i} + (\lambda+3\mu)\hat{j} + (3\lambda+\mu)\hat{k}$।
दिया गया है $\vec{c} \cdot (3\hat{i} - 6\hat{j} + 2\hat{k}) = 10$,अतः $3(\mu-\lambda) - 6(\lambda+3\mu) + 2(3\lambda+\mu) = 10$।
$3\mu - 3\lambda - 6\lambda - 18\mu + 6\lambda + 2\mu = 10 \Rightarrow -3\lambda - 13\mu = 10$ (समीकरण $1$)।
दिया गया है $\vec{c} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = -2$,अतः $(\mu-\lambda) + (\lambda+3\mu) + (3\lambda+\mu) = -2$।
$3\lambda + 5\mu = -2$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ और $2$ को जोड़ने पर: $(-3\lambda - 13\mu) + (3\lambda + 5\mu) = 10 - 2 \Rightarrow -8\mu = 8 \Rightarrow \mu = -1$।
समीकरण $2$ में $\mu = -1$ रखने पर: $3\lambda + 5(-1) = -2 \Rightarrow 3\lambda = 3 \Rightarrow \lambda = 1$।
अतः,$\vec{c} = 1(-\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}) - 1(\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}) = -2\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$।
$|\vec{c}|^2 = (-2)^2 + (-2)^2 + 2^2 = 4 + 4 + 4 = 12$।

(B) दिया गया है $\vec{r} \times \vec{a} + \vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$,अतः $\vec{r} \times \vec{a} = \vec{b} \times \vec{a}$,जिसका अर्थ है $(\vec{r} - \vec{b}) \times \vec{a} = \vec{0}$।
इसका अर्थ है $\vec{r} - \vec{b} = t\vec{a}$ किसी अदिश $t$ के लिए,अतः $\vec{r} = \vec{b} + t\vec{a}$।
दिया गया है $\vec{r} \cdot \vec{a} = 0$,अतः $(\vec{b} + t\vec{a}) \cdot \vec{a} = 0 \Rightarrow \vec{b} \cdot \vec{a} + t|\vec{a}|^2 = 0$।
$\vec{b} \cdot \vec{a} = (1)(\sqrt{7}) + (0)(1) + (2)(-1) = \sqrt{7} - 2$ की गणना करें।
$|\vec{a}|^2 = (\sqrt{7})^2 + 1^2 + (-1)^2 = 7 + 1 + 1 = 9$ की गणना करें।
अतः,$t = -\frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2} = -\frac{\sqrt{7} - 2}{9} = \frac{2 - \sqrt{7}}{9}$।
अब,$\vec{r} = \vec{b} + t\vec{a}$। चूंकि $\vec{r} \perp \vec{a}$,इसलिए $|\vec{r}|^2 = |\vec{b} + t\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 + 2t(\vec{b} \cdot \vec{a}) + t^2|\vec{a}|^2$।
$t = -\frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2}$ रखने पर: $|\vec{r}|^2 = |\vec{b}|^2 - \frac{(\vec{b} \cdot \vec{a})^2}{|\vec{a}|^2}$।
$|\vec{b}|^2 = 1^2 + 0^2 + 2^2 = 5$।
$|\vec{r}|^2 = 5 - \frac{(\sqrt{7} - 2)^2}{9} = 5 - \frac{7 - 4\sqrt{7} + 4}{9} = \frac{34 + 4\sqrt{7}}{9}$।
अतः $|3\vec{r}|^2 = 9|\vec{r}|^2 = 34 + 4\sqrt{7}$।

(A) दिया गया है $\vec{A} = \lambda \hat{u} + \hat{v} + (\hat{u} \times \hat{v})$.
चूंकि $\hat{u}$ और $\hat{v}$ इकाई सदिश हैं,$|\hat{u} \times \hat{v}| = |\hat{u}||\hat{v}| \sin \theta = \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
चूंकि $\theta$ न्यून कोण है,$\theta = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$.
अतः,$\hat{u} \cdot \hat{v} = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$.
$\vec{A}$ का $\hat{u}$ के साथ अदिश गुणन (dot product) लेने पर: $\vec{A} \cdot \hat{u} = \lambda(\hat{u} \cdot \hat{u}) + (\hat{v} \cdot \hat{u}) + ((\hat{u} \times \hat{v}) \cdot \hat{u}) = \lambda + \frac{1}{2} + 0 = \lambda + \frac{1}{2}$.
$\vec{A}$ का $\hat{v}$ के साथ अदिश गुणन लेने पर: $\vec{A} \cdot \hat{v} = \lambda(\hat{u} \cdot \hat{v}) + (\hat{v} \cdot \hat{v}) + ((\hat{u} \times \hat{v}) \cdot \hat{v}) = \frac{\lambda}{2} + 1 + 0 = \frac{\lambda}{2} + 1$.
अब,विकल्प $A$ की जाँच करने पर: $\frac{4}{3}(\vec{A} \cdot \hat{u}) - \frac{2}{3}(\vec{A} \cdot \hat{v}) = \frac{4}{3}(\lambda + \frac{1}{2}) - \frac{2}{3}(\frac{\lambda}{2} + 1) = \frac{4\lambda + 2 - \lambda - 2}{3} = \frac{3\lambda}{3} = \lambda$.

(B) माना $\vec{u} = \vec{PQ} = (1, 0, 1)$ और $\vec{v} = \vec{PS} = (1, -1, 0)$ है।
$\vec{PQ}$ और $\vec{PS}$ के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार है: $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} = \frac{(1)(1) + (0)(-1) + (1)(0)}{\sqrt{1^2+0^2+1^2} \sqrt{1^2+(-1)^2+0^2}} = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$।
अतः,$\theta = 60^\circ$ है।
भुजा $PS$ को $\alpha$ कोण से घुमाने पर यह $PQ$ के लंबवत हो जाती है। चूंकि प्रारंभिक कोण $60^\circ$ है,इसे $90^\circ$ बनाने के लिए $\alpha = |90^\circ - 60^\circ| = 30^\circ$ होगा।
अब,$\alpha = 30^\circ$ के लिए $\sin^2(\frac{5\alpha}{2}) - \sin^2(\frac{\alpha}{2})$ की गणना करते हैं:
$\sin^2(\frac{5 \times 30^\circ}{2}) - \sin^2(\frac{30^\circ}{2}) = \sin^2(75^\circ) - \sin^2(15^\circ)$।
सर्वसमिका $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A+B) \sin(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$\sin(75^\circ + 15^\circ) \sin(75^\circ - 15^\circ) = \sin(90^\circ) \sin(60^\circ) = 1 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$।