दिखाइए कि frac{12}{13}, frac{-3}{13}, frac{-4 | vedclass

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Question

दिक कोसाइन $l_{1}, m_{1}, n_{1}$ और $l_{2}, m_{2}, n_{2}$ वाली दो रेखाएँ एक-दूसरे पर लंब होती हैं यदि $l_{1}l_{2} + m_{1}m_{2} + n_{1}n_{2} = 0$ हो।$(

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दिक कोसाइन $l_{1}, m_{1}, n_{1}$ और $l_{2}, m_{2}, n_{2}$ वाली दो रेखाएँ एक-दूसरे पर लंब होती हैं यदि $l_{1}l_{2} + m_{1}m_{2} + n_{1}n_{2} = 0$ हो।
$(i)$ दिक कोसाइन $\frac{12}{13}, \frac{-3}{13}, \frac{-4}{13}$ और $\frac{4}{13}, \frac{12}{13}, \frac{3}{13}$ वाली रेखाओं के लिए:
$l_{1}l_{2} + m_{1}m_{2} + n_{1}n_{2} = \left(\frac{12}{13}\right)\left(\frac{4}{13}\right) + \left(\frac{-3}{13}\right)\left(\frac{12}{13}\right) + \left(\frac{-4}{13}\right)\left(\frac{3}{13}\right)$
$= \frac{48}{169} - \frac{36}{169} - \frac{12}{169} = 0$.
अतः,ये दो रेखाएँ लंब हैं।
$(ii)$ दिक कोसाइन $\frac{4}{13}, \frac{12}{13}, \frac{3}{13}$ और $\frac{3}{13}, \frac{-4}{13}, \frac{12}{13}$ वाली रेखाओं के लिए:
$l_{1}l_{2} + m_{1}m_{2} + n_{1}n_{2} = \left(\frac{4}{13}\right)\left(\frac{3}{13}\right) + \left(\frac{12}{13}\right)\left(\frac{-4}{13}\right) + \left(\frac{3}{13}\right)\left(\frac{12}{13}\right)$
$= \frac{12}{169} - \frac{48}{169} + \frac{36}{169} = 0$.
अतः,ये दो रेखाएँ लंब हैं।
$(iii)$ दिक कोसाइन $\frac{3}{13}, \frac{-4}{13}, \frac{12}{13}$ और $\frac{12}{13}, \frac{-3}{13}, \frac{-4}{13}$ वाली रेखाओं के लिए:
$l_{1}l_{2} + m_{1}m_{2} + n_{1}n_{2} = \left(\frac{3}{13}\right)\left(\frac{12}{13}\right) + \left(\frac{-4}{13}\right)\left(\frac{-3}{13}\right) + \left(\frac{12}{13}\right)\left(\frac{-4}{13}\right)$
$= \frac{36}{169} + \frac{12}{169} - \frac{48}{169} = 0$.
अतः,ये दो रेखाएँ लंब हैं।
चूंकि सभी जोड़े लंब हैं,इसलिए तीनों रेखाएँ परस्पर लंब हैं।

दिखाइए कि $\frac{12}{13}, \frac{-3}{13}, \frac{-4}{13} ; \frac{4}{13}, \frac{12}{13}, \frac{3}{13} ; \frac{3}{13}, \frac{-4}{13}, \frac{12}{13}$ दिक कोसाइन वाली तीन रेखाएँ परस्पर लंब हैं।

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