ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી બે રેખાઓના સમીકરણો શોધો જે રેખા $\frac{x-3}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z}{1}$ ને $\frac{\pi}{3}$ ના ખૂણે છેદે છે.

(A) ધારો કે આપેલી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-3}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z}{1}=\lambda$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(2\lambda+3, \lambda+3, \lambda)$ છે.
રેખાના દિકગુણોત્તરો $(2, 1, 1)$ છે.
જરૂરી રેખાઓ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,તેમના દિકગુણોત્તરો $(2\lambda+3, \lambda+3, \lambda)$ થશે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ છે.
અહીં $\theta = \frac{\pi}{3}$ આપેલ છે,તેથી $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{2} = \frac{|2(2\lambda+3) + 1(\lambda+3) + 1(\lambda)|}{\sqrt{2^2+1^2+1^2} \sqrt{(2\lambda+3)^2 + (\lambda+3)^2 + \lambda^2}}$
$\frac{1}{2} = \frac{|4\lambda+6+\lambda+3+\lambda|}{\sqrt{6} \sqrt{4\lambda^2+12\lambda+9 + \lambda^2+6\lambda+9 + \lambda^2}}$
$\frac{1}{2} = \frac{|6\lambda+9|}{\sqrt{6} \sqrt{6\lambda^2+18\lambda+18}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{1}{4} = \frac{(6\lambda+9)^2}{6(6\lambda^2+18\lambda+18)}$
$6(6\lambda^2+18\lambda+18) = 4(36\lambda^2+108\lambda+81)$
$36\lambda^2+108\lambda+108 = 144\lambda^2+432\lambda+324$
$108\lambda^2+324\lambda+216 = 0$
$108$ વડે ભાગતા:
$\lambda^2+3\lambda+2 = 0 \Rightarrow (\lambda+1)(\lambda+2) = 0$.
તેથી,$\lambda = -1$ અથવા $\lambda = -2$.
$\lambda = -1$ માટે,દિકગુણોત્તરો $(2(-1)+3, -1+3, -1) = (1, 2, -1)$ મળે.
$\lambda = -2$ માટે,દિકગુણોત્તરો $(2(-2)+3, -2+3, -2) = (-1, 1, -2)$ મળે.
આમ,રેખાઓના સમીકરણો $\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{-1}$ અને $\frac{x}{-1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{-2}$ છે.