मान लीजिए कि दो समतल $P_1 : 2x - y + z = 2$ और $P_2 : x + 2y - z = 3$ दिए गए हैं। दी गई जानकारी के आधार पर,$P_1$ और $P_2$ के प्रतिच्छेदन और बिंदु $(3, 2, 1)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

धनात्मक दिक्-कोसाइन वाली एक रेखा बिंदु $P(2, -1, 2)$ से होकर गुजरती है और निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाती है। यदि यह रेखा समतल $2x + y + z = 9$ को बिंदु $Q$ पर मिलती है,तो लंबाई $PQ$ ज्ञात कीजिए।

माना बिंदु $\left(\frac{5}{3}, \frac{5}{3}, \frac{8}{3}\right)$ का समतल $x-2y+z-2=0$ में प्रतिबिंब $P$ है। यदि बिंदु $Q(6, -2, \alpha)$,जहाँ $\alpha > 0$,की $P$ से दूरी $13$ है,तो $\alpha$ का मान $...........$ है।

मान लीजिए $L_1$ समीकरणों $2x+3y+z=4$ और $x+2y+z=5$ द्वारा दिए गए समतलों की प्रतिच्छेदन रेखा है। मान लीजिए $L_2$ बिंदु $P(2,-1,3)$ से गुजरने वाली और $L_1$ के समानांतर रेखा है। मान लीजिए $M$ समीकरण $2x+y-2z=6$ द्वारा दिया गया समतल है। मान लीजिए कि रेखा $L_2$ समतल $M$ से बिंदु $Q$ पर मिलती है। मान लीजिए $R$,$P$ से समतल $M$ पर खींचे गए लंब का पाद है। तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(A)$ रेखाखंड $PQ$ की लंबाई $9\sqrt{3}$ है
$(B)$ रेखाखंड $QR$ की लंबाई $15$ है
$(C)$ $\triangle PQR$ का क्षेत्रफल $\frac{3}{2}\sqrt{234}$ है
$(D)$ रेखाखंड $PQ$ और $PR$ के बीच का न्यून कोण $\cos^{-1}\left(\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)$ है

बिंदु $(7,5,2)$ की समतल $3x+4y+z-8=0$ से रेखा $\frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{6}=\frac{z+1}{2}$ के समांतर मापी गई दूरी ज्ञात कीजिए।

यदि समतल $x-y+z+4=0$ बिंदुओं $P(2,3,-1)$ और $Q(1,4,-2)$ को जोड़ने वाली रेखा को $l:m$ के अनुपात में विभाजित करता है,तो $l+m$ का मान क्या है?