बिंदु $-\hat{i} - 5\hat{j} - 10\hat{k}$ की रेखा $\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{4} = \frac{z - 2}{12}$ और समतल $x - y + z = 5$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से दूरी ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि एक रेखा $L_1$ मूल बिंदु से होकर गुजरती है और रेखाओं $L_2: \vec{r} = (3+t)\hat{i} + (2t-1)\hat{j} + (2t+4)\hat{k}$ और $L_3: \vec{r} = (3+2s)\hat{i} + (3+2s)\hat{j} + (2+s)\hat{k}$ के लंबवत है,जहाँ $t, s \in R$ है। यदि $(a, b, c)$,जहाँ $a \in Z$,$L_3$ पर स्थित वह बिंदु है जो $L_1$ और $L_2$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से $\sqrt{17}$ की दूरी पर है,तो $(a+b+c)^2$ का मान . . . . . . . है।

यदि $P(2, \beta, \alpha)$ समतल $x+2y-z-2=0$ पर स्थित है और $Q(\alpha, -1, \beta)$ समतल $2x-y+3z+6=0$ पर स्थित है,तो रेखा $PQ$ की दिक्-कोज्याएँ (direction cosines) क्या हैं?

रेखाएँ $\frac{x-0}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+3}{\lambda}$ और $\frac{x-2}{2}=\frac{y-6}{3}=\frac{z-3}{\lambda}$ समतलीय हैं। यदि $p$ वह समतल है जिसमें ये रेखाएँ स्थित हैं,तो $\lambda$ के सभी मानों के लिए निम्नलिखित में से कौन सा बिंदु समतल पर स्थित है?

समतलों $2x - 5y + z = 3$ और $x + y + 4z = 5$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले और समतल $x + 3y + 6z = 1$ के समानांतर समतल का समीकरण $x + 3y + 6z = k$ है,जहाँ $k$ का मान क्या है?

समतल $3x + 4y + 6z + 7 = 0$ को रेखा $r = (\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) + t(2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k})$ के परितः तब तक घुमाया जाता है जब तक कि समतल मूल बिंदु से न गुजरने लगे। नई स्थिति में समतल का समीकरण क्या है?