Baye's theorem Questions in Gujarati

(A) આપેલ છે કે $A, B, C$ પરસ્પર નિવારક અને નિઃશેષ ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A) + P(B) + P(C) = 1$.
$P(A) = 0.30$ અને $P(B) = 0.50$ આપેલ હોવાથી,$P(C) = 1 - (0.30 + 0.50) = 0.20$ મળે.
શરતી સંભાવનાઓ $P(E \mid A) = 0.6$,$P(E \mid B) = 0.3$,અને $P(E \mid C) = 0.1$ છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$P(C \mid E)$ નીચે મુજબ મળે:
$P(C \mid E) = \frac{P(C) P(E \mid C)}{P(A) P(E \mid A) + P(B) P(E \mid B) + P(C) P(E \mid C)}$
કિંમતો મુકતા:
$P(C \mid E) = \frac{0.20 \times 0.1}{(0.30 \times 0.6) + (0.50 \times 0.3) + (0.20 \times 0.1)}$
$P(C \mid E) = \frac{0.02}{0.18 + 0.15 + 0.02} = \frac{0.02}{0.35} = \frac{2}{35}$.

(A) ધારો કે $E_1$ એ ઘટના છે કે કાળીનું પત્તું ખેંચાય છે,અને $E_2$ એ ઘટના છે કે કાળીનું પત્તું ખેંચાતું નથી. તેથી $P(E_1) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ અને $P(E_2) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ છે.
ધારો કે $S$ એ ઘટના છે કે સમાન રંગના બે દડા ખેંચાય છે.
થેલી $A$ માટે ($6$ લીલા,$8$ લાલ,કુલ $14$): $P(S|E_1) = \frac{{}^6C_2 + {}^8C_2}{{}^{14}C_2} = \frac{15 + 28}{91} = \frac{43}{91}$.
થેલી $B$ માટે ($9$ લીલા,$5$ લાલ,કુલ $14$): $P(S|E_2) = \frac{{}^9C_2 + {}^5C_2}{{}^{14}C_2} = \frac{36 + 10}{91} = \frac{46}{91}$.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,જો દડા સમાન રંગના હોય તો તે થેલી $A$ માંથી ખેંચાયા હોય તેની સંભાવના:
$P(E_1|S) = \frac{P(E_1)P(S|E_1)}{P(E_1)P(S|E_1) + P(E_2)P(S|E_2)}$
$P(E_1|S) = \frac{\frac{1}{4} \times \frac{43}{91}}{\frac{1}{4} \times \frac{43}{91} + \frac{3}{4} \times \frac{46}{91}} = \frac{43}{43 + 3 \times 46} = \frac{43}{43 + 138} = \frac{43}{181}$.

(A) ધારો કે $G$ એ પસંદ કરેલ દડો લીલો હોવાની ઘટના છે. ધારો કે $A, B, C$ એ અનુક્રમે બોક્સ $A, B, C$ પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે.
બોક્સ પસંદ કરવાની સંભાવનાઓ છે:
$P(A) = \frac{1}{2}, P(B) = \frac{1}{3}, P(C) = \frac{1}{6}$
દરેક બોક્સમાંથી લીલો દડો પસંદ કરવાની શરતી સંભાવનાઓ છે:
$P(G|A) = \frac{2}{1+2+3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$P(G|B) = \frac{3}{2+3+1} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$P(G|C) = \frac{1}{3+1+2} = \frac{1}{6}$
કુલ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,લીલો દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(G)$ છે:
$P(G) = P(A)P(G|A) + P(B)P(G|B) + P(C)P(G|C)$
$P(G) = (\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}) + (\frac{1}{6} \times \frac{1}{6})$
$P(G) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{36} = \frac{6+6+1}{36} = \frac{13}{36}$
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,લીલો દડો બોક્સ $C$ માંથી પસંદ કરવામાં આવ્યો હોય તેની સંભાવના $P(C|G)$ છે:
$P(C|G) = \frac{P(C)P(G|C)}{P(G)}$
$P(C|G) = \frac{\frac{1}{6} \times \frac{1}{6}}{\frac{13}{36}} = \frac{\frac{1}{36}}{\frac{13}{36}} = \frac{1}{13}$

(D) ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે વ્યક્તિ જણાવે છે કે પાસા પર $6$ આવે છે.
ધારો કે $S$ એ ઘટના છે કે પાસા પર ખરેખર $6$ આવે છે,અને $S^c$ એ ઘટના છે કે પાસા પર $6$ આવતો નથી.
$P(S) = \frac{1}{6}$ અને $P(S^c) = \frac{5}{6}$.
ધારો કે $T$ એ ઘટના છે કે વ્યક્તિ સાચું બોલે છે. $P(T) = \frac{3}{5}$ અને $P(T^c) = \frac{2}{5}$.
$P(E|S)$ એ સંભાવના છે કે તે $6$ હોવા છતાં $6$ જણાવે,જે $P(T) = \frac{3}{5}$ છે.
$P(E|S^c)$ એ સંભાવના છે કે તે $6$ ન હોવા છતાં $6$ જણાવે,જે $P(T^c) = \frac{2}{5}$ છે.
બેયઝના પ્રમેય મુજબ,$P(S|E) = \frac{P(S)P(E|S)}{P(S)P(E|S) + P(S^c)P(E|S^c)}$.
$P(S|E) = \frac{(\frac{1}{6} \times \frac{3}{5})}{(\frac{1}{6} \times \frac{3}{5}) + (\frac{5}{6} \times \frac{2}{5})} = \frac{\frac{3}{30}}{\frac{3}{30} + \frac{10}{30}} = \frac{3}{13}$.

(A) ધારો કે $W$ સફેદ લખોટીઓ અને $B$ કાળી લખોટીઓ દર્શાવે છે. થેલી $P$ માં $5W$ અને $3B$ છે. ચાર લખોટીઓ થેલી $Q$ માં સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે.
ધારો કે $E_1$ એ ઘટના છે કે $1W$ અને $3B$ સ્થાનાંતરિત થાય છે.
ધારો કે $E_2$ એ ઘટના છે કે $2W$ અને $2B$ સ્થાનાંતરિત થાય છે.
ધારો કે $E_3$ એ ઘટના છે કે $3W$ અને $1B$ સ્થાનાંતરિત થાય છે.
ધારો કે $E_4$ એ ઘટના છે કે $4W$ અને $0B$ સ્થાનાંતરિત થાય છે.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે થેલી $Q$ માંથી કાળી લખોટી કાઢવામાં આવે છે.
$8$ માંથી $4$ લખોટીઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^8C_4 = 70$ છે.
$P(E_1) = \frac{^5C_1 \times ^3C_3}{70} = \frac{5 \times 1}{70} = \frac{5}{70}$
$P(E_2) = \frac{^5C_2 \times ^3C_2}{70} = \frac{10 \times 3}{70} = \frac{30}{70}$
$P(E_3) = \frac{^5C_3 \times ^3C_1}{70} = \frac{10 \times 3}{70} = \frac{30}{70}$
$P(E_4) = \frac{^5C_4 \times ^3C_0}{70} = \frac{5 \times 1}{70} = \frac{5}{70}$
$Q$ માંથી કાળી લખોટી કાઢવાની શરતી સંભાવનાઓ છે:
$P(A|E_1) = \frac{3}{4}, P(A|E_2) = \frac{2}{4}, P(A|E_3) = \frac{1}{4}, P(A|E_4) = 0$.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,આપણે $P(E_1|A)$ શોધીએ છીએ:
$P(E_1|A) = \frac{P(E_1)P(A|E_1)}{\sum_{i=1}^4 P(E_i)P(A|E_i)}$
$P(E_1|A) = \frac{\frac{5}{70} \times \frac{3}{4}}{\frac{5}{70} \times \frac{3}{4} + \frac{30}{70} \times \frac{2}{4} + \frac{30}{70} \times \frac{1}{4} + \frac{5}{70} \times 0}$
$P(E_1|A) = \frac{15}{15 + 60 + 30 + 0} = \frac{15}{105} = \frac{1}{7}$.

(A) ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે પાસા પર છ આવે છે,અને $E^c$ એ ઘટના છે કે પાસા પર છ આવતો નથી.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે વ્યક્તિ અહેવાલ આપે છે કે તે છ છે.
આપણને આપેલ છે:
$P(E) = \frac{1}{6}$
$P(E^c) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$
સાચું બોલવાની સંભાવના $P(T) = \frac{3}{4}$,તેથી જૂઠું બોલવાની સંભાવના $P(L) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
જો પાસા પર છ આવે,તો વ્યક્તિ સાચું બોલે તો જ તે છ હોવાનો અહેવાલ આપે છે: $P(A|E) = \frac{3}{4}$.
જો પાસા પર છ ન આવે,તો વ્યક્તિ જૂઠું બોલે તો જ તે છ હોવાનો અહેવાલ આપે છે: $P(A|E^c) = \frac{1}{4}$.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,તેણે છ હોવાનો અહેવાલ આપ્યો હોય ત્યારે તે ખરેખર છ હોવાની સંભાવના:
$P(E|A) = \frac{P(E) \times P(A|E)}{P(E) \times P(A|E) + P(E^c) \times P(A|E^c)}$
$P(E|A) = \frac{\frac{1}{6} \times \frac{3}{4}}{\frac{1}{6} \times \frac{3}{4} + \frac{5}{6} \times \frac{1}{4}}$
$P(E|A) = \frac{\frac{3}{24}}{\frac{3}{24} + \frac{5}{24}} = \frac{3}{8}$.

(C) ધારો કે $M$ એ ઘટના છે કે કર્મચારી પુરુષ છે અને $W$ એ ઘટના છે કે કર્મચારી સ્ત્રી છે. ધારો કે $T$ એ ઘટના છે કે કર્મચારી ટેકનિકલ આસિસ્ટન્ટ છે.
આપેલ છે:
$P(M) = 0.70$
$P(W) = 1 - 0.70 = 0.30$
$P(T|M) = 0.30$
$P(T|W) = 0.15$
આપણે $P(M|T)$ શોધવાની જરૂર છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$P(M|T) = \frac{P(M) \times P(T|M)}{P(M) \times P(T|M) + P(W) \times P(T|W)}$
$P(M|T) = \frac{0.70 \times 0.30}{(0.70 \times 0.30) + (0.30 \times 0.15)}$
$P(M|T) = \frac{0.21}{0.21 + 0.045}$
$P(M|T) = \frac{0.21}{0.255}$
$P(M|T) = \frac{210}{255} = \frac{14}{17}$

(A) ધારો કે $E_1, E_2, E_3$ એ ઘટનાઓ છે કે બલ્બ અનુક્રમે $A, B, C$ એકમો દ્વારા ઉત્પાદિત થાય છે. ધારો કે $D$ એ ઘટના છે કે બલ્બ ખામીયુક્ત છે.
આપેલ સંભાવનાઓ છે:
$P(E_1) = 0.25, P(E_2) = 0.35, P(E_3) = 0.40$
$P(D|E_1) = 0.05, P(D|E_2) = 0.04, P(D|E_3) = 0.02$
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,બલ્બ ખામીયુક્ત હોવાની સંભાવના છે:
$P(D) = P(E_1)P(D|E_1) + P(E_2)P(D|E_2) + P(E_3)P(D|E_3)$
$P(D) = (0.25 \times 0.05) + (0.35 \times 0.04) + (0.40 \times 0.02)$
$P(D) = 0.0125 + 0.0140 + 0.0080 = 0.0345$
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,ખામીયુક્ત બલ્બ એકમ $B$ દ્વારા ઉત્પાદિત હોવાની સંભાવના છે:
$P(E_2|D) = \frac{P(E_2)P(D|E_2)}{P(D)}$
$P(E_2|D) = \frac{0.35 \times 0.04}{0.0345} = \frac{0.0140}{0.0345} = \frac{140}{345}$
અંશ અને છેદને $5$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$P(E_2|D) = \frac{28}{69}$

(A) ધારો કે $E_1, E_2, E_3$ એ અનુક્રમે $F_1, F_2, F_3$ પરિવારો પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે. પરિવાર યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવતો હોવાથી,$P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \frac{1}{3}$ છે.
ધારો કે $G$ એ પસંદ કરેલ બાળક છોકરી હોવાની ઘટના છે.
દરેક પરિવારમાંથી છોકરી પસંદ કરવાની સંભાવનાઓ નીચે મુજબ છે:
$P(G|E_1) = \frac{1}{3}$
$P(G|E_2) = \frac{2}{3}$
$P(G|E_3) = \frac{1}{2}$
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,છોકરી $F_2$ માંથી હોય તેની સંભાવના $P(E_2|G) = \frac{P(E_2)P(G|E_2)}{P(E_1)P(G|E_1) + P(E_2)P(G|E_2) + P(E_3)P(G|E_3)}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $P(E_2|G) = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{2}{3}}{\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}} = \frac{\frac{2}{9}}{\frac{1}{9} + \frac{2}{9} + \frac{1}{6}} = \frac{\frac{2}{9}}{\frac{2+4+3}{18}} = \frac{\frac{2}{9}}{\frac{9}{18}} = \frac{2}{9} \times 2 = \frac{4}{9}$.

(C) ધારો કે $E_i$ એ ઘટના છે કે થેલીમાં $i$ લાલ દડા છે,જ્યાં $i \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$.
દરેક કિસ્સા માટે સમાન તકો હોવાથી,$P(E_i) = \frac{1}{6}$ થાય.
ધારો કે $R$ એ ઘટના છે કે કાઢવામાં આવેલ દડો લાલ છે.
જો $i$ લાલ દડા હોય,તો લાલ દડો કાઢવાની સંભાવના $P(R|E_i) = \frac{i}{5}$ છે.
નોંધો કે $P(R|E_0) = 0$.
બેયઝના પ્રમેય મુજબ,કાઢવામાં આવેલ દડો લાલ હોય ત્યારે થેલીમાં માત્ર $1$ લાલ દડો હોવાની સંભાવના:
$P(E_1|R) = \frac{P(R|E_1)P(E_1)}{\sum_{i=0}^{5} P(R|E_i)P(E_i)}$
$P(E_1|R) = \frac{(\frac{1}{5})(\frac{1}{6})}{(\frac{0}{5})(\frac{1}{6}) + (\frac{1}{5})(\frac{1}{6}) + (\frac{2}{5})(\frac{1}{6}) + (\frac{3}{5})(\frac{1}{6}) + (\frac{4}{5})(\frac{1}{6}) + (\frac{5}{5})(\frac{1}{6})}$
$P(E_1|R) = \frac{1}{0+1+2+3+4+5} = \frac{1}{15}$.

(C) ધારો કે $D$ એ ઘટના છે કે વસ્તુ ખામીયુક્ત છે અને $ND$ એ ઘટના છે કે વસ્તુ ખામીયુક્ત નથી.
આપેલ છે કે $P(D) = 0.3$,તેથી $P(ND) = 1 - 0.3 = 0.7$.
ધારો કે $R_D$ એ ઘટના છે કે ઉપકરણ વસ્તુને ખામીયુક્ત તરીકે દર્શાવે છે અને $R_{ND}$ એ ઘટના છે કે ઉપકરણ વસ્તુને ખામીયુક્ત નથી તેમ દર્શાવે છે.
ઉપકરણ $80\%$ સમય સચોટ છે,તેથી $P(R_D|D) = 0.8$ અને $P(R_{ND}|ND) = 0.8$.
પરિણામે,$P(R_{ND}|D) = 1 - 0.8 = 0.2$ અને $P(R_D|ND) = 1 - 0.8 = 0.2$.
આપણે તે સંભાવના શોધવાની છે કે વસ્તુ ખામીયુક્ત છે જો ઉપકરણ તેને ખામીયુક્ત નથી તેમ દર્શાવે છે,એટલે કે $P(D|R_{ND})$.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$P(D|R_{ND}) = \frac{P(R_{ND}|D) \times P(D)}{P(R_{ND}|D) \times P(D) + P(R_{ND}|ND) \times P(ND)}$
$P(D|R_{ND}) = \frac{0.2 \times 0.3}{(0.2 \times 0.3) + (0.8 \times 0.7)}$
$P(D|R_{ND}) = \frac{0.06}{0.06 + 0.56} = \frac{0.06}{0.62} = \frac{6}{62} = \frac{3}{31}$.

(D) ધારો કે $E_1, E_2, E_3$ એ અનુક્રમે વિભાગ $A, B$ અને $C$ પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે. ધારો કે $G$ એ છોકરી પસંદ કરવાની ઘટના છે.
વિભાગો પસંદ કરવાની આપેલી સંભાવનાઓ $P(E_1) = 0.2, P(E_2) = 0.3, P(E_3) = 0.5$ છે.
દરેક વિભાગમાંથી છોકરી પસંદ કરવાની શરતી સંભાવનાઓ નીચે મુજબ છે:
$P(G|E_1) = \frac{20}{20+30} = \frac{20}{50} = 0.4$
$P(G|E_2) = \frac{40}{40+20} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$
$P(G|E_3) = \frac{10}{10+30} = \frac{10}{40} = 0.25$
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,છોકરી વિભાગ $A$ ની હોય તેની સંભાવના $P(E_1|G) = \frac{P(E_1)P(G|E_1)}{P(E_1)P(G|E_1) + P(E_2)P(G|E_2) + P(E_3)P(G|E_3)}$ છે.
$P(E_1|G) = \frac{0.2 \times 0.4}{(0.2 \times 0.4) + (0.3 \times \frac{2}{3}) + (0.5 \times 0.25)}$
$P(E_1|G) = \frac{0.08}{0.08 + 0.2 + 0.125} = \frac{0.08}{0.405} = \frac{80}{405} = \frac{16}{81}$.

(B) ધારો કે $T$ એ ઘટના છે કે વિદ્યાર્થી ટીવી જુએ છે અને $B$ એ ઘટના છે કે વિદ્યાર્થી પુસ્તક વાંચે છે. ધારો કે $S$ એ ઘટના છે કે વિદ્યાર્થી ઊંઘી જાય છે.
આપેલ સંભાવનાઓ છે:
$P(T) = \frac{4}{5}$
$P(B) = 1 - P(T) = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$
$P(S|T) = \frac{3}{4}$
$P(S|B) = \frac{1}{4}$
આપણે $P(T|S)$ શોધવાની જરૂર છે,એટલે કે તે ઊંઘતો હોય ત્યારે તેણે ટીવી જોયું હોય તેની સંભાવના.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$P(T|S) = \frac{P(T) \times P(S|T)}{P(T) \times P(S|T) + P(B) \times P(S|B)}$
$P(T|S) = \frac{(\frac{4}{5}) \times (\frac{3}{4})}{(\frac{4}{5}) \times (\frac{3}{4}) + (\frac{1}{5}) \times (\frac{1}{4})}$
$P(T|S) = \frac{\frac{12}{20}}{\frac{12}{20} + \frac{1}{20}}$
$P(T|S) = \frac{\frac{12}{20}}{\frac{13}{20}} = \frac{12}{13}$

(C) ધારો કે $C$,$B$,અને $T$ એ વ્યક્તિ અનુક્રમે કાર,બસ અને ટ્રેન દ્વારા મુસાફરી કરે તે ઘટનાઓ છે. ધારો કે $L$ એ વ્યક્તિ કોલેજ મોડો પહોંચે તે ઘટના છે,અને $L'$ એ વ્યક્તિ કોલેજ સમયસર પહોંચે તે ઘટના છે.
આપેલ સંભાવનાઓ: $P(C) = \frac{1}{5}$,$P(B) = \frac{2}{5}$,$P(T) = \frac{3}{5}$.
મોડા પહોંચવાની સંભાવનાઓ: $P(L|C) = \frac{2}{7}$,$P(L|B) = \frac{4}{7}$,$P(L|T) = \frac{1}{7}$.
સમયસર પહોંચવાની સંભાવનાઓ: $P(L'|C) = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$,$P(L'|B) = 1 - \frac{4}{7} = \frac{3}{7}$,$P(L'|T) = 1 - \frac{1}{7} = \frac{6}{7}$.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,જો તે સમયસર પહોંચે તો તેણે કાર દ્વારા મુસાફરી કરી હોય તેની સંભાવના:
$P(C|L') = \frac{P(L'|C)P(C)}{P(L'|C)P(C) + P(L'|B)P(B) + P(L'|T)P(T)}$
$P(C|L') = \frac{(\frac{5}{7} \times \frac{1}{5})}{(\frac{5}{7} \times \frac{1}{5}) + (\frac{3}{7} \times \frac{2}{5}) + (\frac{6}{7} \times \frac{3}{5})}$
$P(C|L') = \frac{\frac{5}{35}}{\frac{5}{35} + \frac{6}{35} + \frac{18}{35}} = \frac{5}{5 + 6 + 18} = \frac{5}{29}$.

(A) ધારો કે $B_1$ એ પ્રથમ જૂથમાંથી થેલી પસંદ કરવાની ઘટના છે અને $B_2$ એ બીજા જૂથમાંથી થેલી પસંદ કરવાની ઘટના છે.
કુલ થેલીઓ = $2 + 4 = 6$.
$P(B_1) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ અને $P(B_2) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
ધારો કે $B$ એ ઘટના છે કે કાઢવામાં આવેલ દડો કાળો છે.
પ્રથમ જૂથ માટે,કાળો દડો કાઢવાની સંભાવના $P(B|B_1) = \frac{5}{3+5} = \frac{5}{8}$ છે.
બીજા જૂથ માટે,કાળો દડો કાઢવાની સંભાવના $P(B|B_2) = \frac{4}{6+4} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,જો દડો કાળો હોય તો તે પ્રથમ થેલીઓના સમૂહમાંથી હોવાની સંભાવના:
$P(B_1|B) = \frac{P(B_1)P(B|B_1)}{P(B_1)P(B|B_1) + P(B_2)P(B|B_2)}$
$P(B_1|B) = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{5}{8}}{\frac{1}{3} \times \frac{5}{8} + \frac{2}{3} \times \frac{2}{5}} = \frac{\frac{5}{24}}{\frac{5}{24} + \frac{4}{15}} = \frac{\frac{5}{24}}{\frac{25 + 32}{120}} = \frac{5}{24} \times \frac{120}{57} = \frac{5 \times 5}{57} = \frac{25}{57}$.

(B) ધારો કે $K$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલ પત્તું રાજા છે,અને $K^c$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલ પત્તું રાજા નથી. ધારો કે $R$ એ ઘટના છે કે વ્યક્તિ જણાવે છે કે પત્તું રાજા છે.
આપેલ છે:
$P(K) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$
$P(K^c) = 1 - \frac{1}{13} = \frac{12}{13}$
ધારો કે $T$ એ ઘટના છે કે વ્યક્તિ સાચું બોલે છે. $P(T) = \frac{3}{4}$ અને $P(T^c) = \frac{1}{4}$.
જો પત્તું રાજા હોય અને વ્યક્તિ રાજા હોવાનું જણાવે તેની સંભાવના $P(R|K) = P(T) = \frac{3}{4}$ છે.
જો પત્તું રાજા ન હોય અને વ્યક્તિ રાજા હોવાનું જણાવે તેની સંભાવના $P(R|K^c) = P(T^c) = \frac{1}{4}$ છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,વ્યક્તિના જણાવ્યા મુજબ તે ખરેખર રાજા હોવાની સંભાવના:
$P(K|R) = \frac{P(R|K)P(K)}{P(R|K)P(K) + P(R|K^c)P(K^c)}$
$P(K|R) = \frac{(\frac{3}{4} \times \frac{1}{13})}{(\frac{3}{4} \times \frac{1}{13}) + (\frac{1}{4} \times \frac{12}{13})}$
$P(K|R) = \frac{\frac{3}{52}}{\frac{3}{52} + \frac{12}{52}} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$

(C) ધારો કે $A$ એ ત્રણ લીલા દડા કાઢવાની ઘટના છે. ધારો કે $E_k$ એ થેલીમાં $k$ લીલા દડા હોવાની ઘટના છે,જ્યાં $k \in \{3, 4, 5, 6\}$. દરેક સંખ્યાના લીલા દડા હોવાની શક્યતા સમાન છે તેમ ધારતા,$P(E_k) = \frac{1}{4}$.
$k$ લીલા દડા હોય ત્યારે $3$ લીલા દડા કાઢવાની સંભાવના $P(A|E_k) = \frac{{}^k C_3}{{}^6 C_3}$ છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$3$ લીલા દડા કાઢવામાં આવ્યા હોય ત્યારે $5$ લીલા દડા હોવાની સંભાવના:
$P(E_5|A) = \frac{P(A|E_5)P(E_5)}{\sum_{k=3}^{6} P(A|E_k)P(E_k)}$
બધા $k$ માટે $P(E_k) = \frac{1}{4}$ હોવાથી,આનું સાદું રૂપ નીચે મુજબ થાય છે:
$P(E_5|A) = \frac{{}^5 C_3}{\sum_{k=3}^{6} {}^k C_3} = \frac{10}{1 + 4 + 10 + 20} = \frac{10}{35} = \frac{2}{7}$.

(C) $E_1$: થેલી $A$ માંથી દડો પસંદ કરવામાં આવે છે.
$E_2$: થેલી $B$ માંથી દડો પસંદ કરવામાં આવે છે.
$F$: પસંદ કરેલ દડો લાલ રંગનો છે.
આપેલ છે:
$P(E_1) = \frac{1}{2}$,$P(E_2) = \frac{1}{2}$.
$P(F|E_1) = \frac{3}{5}$ (થેલી $A$ માંથી લાલ દડો પસંદ કરવાની સંભાવના).
$P(F|E_2) = \frac{5}{9}$ (થેલી $B$ માંથી લાલ દડો પસંદ કરવાની સંભાવના).
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$P(E_2|F) = \frac{P(F|E_2) \cdot P(E_2)}{P(F|E_1) \cdot P(E_1) + P(F|E_2) \cdot P(E_2)}$
$P(E_2|F) = \frac{\frac{5}{9} \times \frac{1}{2}}{\frac{3}{5} \times \frac{1}{2} + \frac{5}{9} \times \frac{1}{2}}$
$P(E_2|F) = \frac{\frac{5}{9}}{\frac{3}{5} + \frac{5}{9}} = \frac{\frac{5}{9}}{\frac{27 + 25}{45}} = \frac{5}{9} \times \frac{45}{52} = \frac{25}{52}$.

(C) ધારો કે નીચેની ઘટનાઓ છે:
$E_1$: વિદ્યાર્થી જવાબનું અનુમાન કરે છે.
$E_2$: વિદ્યાર્થી જવાબની નકલ કરે છે.
$E_3$: વિદ્યાર્થી જવાબ જાણે છે.
$E$: જવાબ સાચો છે.
આપેલ સંભાવનાઓ:
$P(E_1) = \frac{1}{3}$,$P(E_2) = \frac{1}{6}$.
ઘટનાઓ નિઃશેષ હોવાથી,$P(E_3) = 1 - (P(E_1) + P(E_2)) = 1 - (\frac{1}{3} + \frac{1}{6}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
શરતી સંભાવનાઓ:
$P(E|E_1) = \frac{1}{4}$ (કારણ કે $4$ વિકલ્પો છે).
$P(E|E_2) = \frac{1}{8}$ (આપેલ છે).
$P(E|E_3) = 1$ (કારણ કે તે જવાબ જાણે છે).
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,જો તેણે જવાબ સાચો આપ્યો હોય તો તેણે જવાબ જાણ્યો હતો તેની સંભાવના:
$P(E_3|E) = \frac{P(E|E_3)P(E_3)}{P(E|E_1)P(E_1) + P(E|E_2)P(E_2) + P(E|E_3)P(E_3)}$
$P(E_3|E) = \frac{1 \times \frac{1}{2}}{(\frac{1}{4} \times \frac{1}{3}) + (\frac{1}{8} \times \frac{1}{6}) + (1 \times \frac{1}{2})}$
$P(E_3|E) = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{12} + \frac{1}{48} + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{4+1+24}{48}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{29}{48}} = \frac{1}{2} \times \frac{48}{29} = \frac{24}{29}$.

(B) ધારો કે $S$ એ ઘટના છે કે ખેંચવામાં આવેલા બે પત્તાં કાળીના છે. ધારો કે $M_1$ એ ઘટના છે કે ખોવાયેલું પત્તું કાળીનું છે,અને $M_2$ એ ઘટના છે કે ખોવાયેલું પત્તું કાળીનું નથી.
આપણને આપેલ છે કે $52$ પત્તાંની રમતમાં $13$ કાળીના અને $39$ અન્ય પત્તાં છે.
$P(M_1) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ અને $P(M_2) = \frac{39}{52} = \frac{3}{4}$.
જો $M_1$ બને,તો $51$ પત્તાંમાં $12$ કાળીના પત્તાં બાકી રહે. $2$ કાળીના પત્તાં ખેંચવાની સંભાવના $P(S|M_1) = \frac{^{12}C_2}{^{51}C_2} = \frac{66}{1275}$ છે.
જો $M_2$ બને,તો $51$ પત્તાંમાં $13$ કાળીના પત્તાં બાકી રહે. $2$ કાળીના પત્તાં ખેંચવાની સંભાવના $P(S|M_2) = \frac{^{13}C_2}{^{51}C_2} = \frac{78}{1275}$ છે.
બેઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,બે કાળીના પત્તાં ખેંચાયા હોય ત્યારે ખોવાયેલું પત્તું કાળીનું ન હોય તેની સંભાવના:
$P(M_2|S) = \frac{P(M_2)P(S|M_2)}{P(M_1)P(S|M_1) + P(M_2)P(S|M_2)}$
$P(M_2|S) = \frac{\frac{3}{4} \times \frac{78}{1275}}{\frac{1}{4} \times \frac{66}{1275} + \frac{3}{4} \times \frac{78}{1275}} = \frac{3 \times 78}{66 + 3 \times 78} = \frac{234}{66 + 234} = \frac{234}{300} = \frac{39}{50}$.

(B) ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલ બલ્બ ખામીયુક્ત છે. ધારો કે $M_1, M_2, M_3$ એ ઘટનાઓ છે કે બલ્બ અનુક્રમે ઉત્પાદકો $M_1, M_2, M_3$ પાસેથી ખરીદવામાં આવ્યો છે.
આપેલ સંભાવનાઓ:
$P(M_1) = 0.25, P(M_2) = 0.45, P(M_3) = 0.30$
$P(E|M_1) = 0.01, P(E|M_2) = 0.01, P(E|M_3) = 0.02$
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,ખામીયુક્ત બલ્બ $M_3$ માંથી હોવાની સંભાવના:
$P(M_3|E) = \frac{P(M_3) \cdot P(E|M_3)}{P(M_1) \cdot P(E|M_1) + P(M_2) \cdot P(E|M_2) + P(M_3) \cdot P(E|M_3)}$
$P(M_3|E) = \frac{0.30 \times 0.02}{(0.25 \times 0.01) + (0.45 \times 0.01) + (0.30 \times 0.02)}$
$P(M_3|E) = \frac{0.006}{0.0025 + 0.0045 + 0.0060} = \frac{0.006}{0.0130} = \frac{6}{13}$

(B) ધારો કે $F$ એ નિષ્પક્ષ સિક્કો પસંદ થવાની ઘટના છે અને $B$ એ પક્ષપાતી સિક્કો પસંદ થવાની ઘટના છે. ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે પ્રથમ ઉછાળે છાપ અને બીજા ઉછાળે કાંટો મળે.
આપેલ છે કે $P(F) = \frac{m}{n}$ અને $P(B) = \frac{n-m}{n}$.
નિષ્પક્ષ સિક્કા માટે,$P(H) = \frac{1}{2}$ અને $P(T) = \frac{1}{2}$. તેથી,$P(E|F) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
પક્ષપાતી સિક્કા માટે,$P(H) = 2P(T)$. $P(H) + P(T) = 1$ હોવાથી,$3P(T) = 1$,તેથી $P(T) = \frac{1}{3}$ અને $P(H) = \frac{2}{3}$. તેથી,$P(E|B) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,ઘટના $E$ આપેલ હોય ત્યારે સિક્કો નિષ્પક્ષ હોવાની સંભાવના:
$P(F|E) = \frac{P(F)P(E|F)}{P(F)P(E|F) + P(B)P(E|B)}$
$P(F|E) = \frac{(\frac{m}{n})(\frac{1}{4})}{(\frac{m}{n})(\frac{1}{4}) + (\frac{n-m}{n})(\frac{2}{9})}$
$P(F|E) = \frac{\frac{m}{4}}{\frac{m}{4} + \frac{2(n-m)}{9}} = \frac{9m}{9m + 8(n-m)} = \frac{9m}{9m + 8n - 8m} = \frac{9m}{8n + m}$.

(B) ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે પાસા પર અવિભાજ્ય સંખ્યા મળે છે.
ધારો કે $B$ એ ઘટના છે કે પાસા પર અવિભાજ્ય સંખ્યા મળતી નથી.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે માણસ અહેવાલ આપે છે કે અવિભાજ્ય સંખ્યા મળી છે.
$1$ થી $100$ ની વચ્ચે $25$ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે.
તેથી,$P(A) = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$ અને $P(B) = 1 - P(A) = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$.
માણસ સાચું બોલે તેની સંભાવના $P(E|A) = \frac{7}{10}$ છે.
માણસ જૂઠું બોલે (જ્યારે અવિભાજ્ય ન હોય ત્યારે અવિભાજ્ય હોવાનો અહેવાલ આપે) તેની સંભાવના $P(E|B) = 1 - \frac{7}{10} = \frac{3}{10}$ છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,જો તેણે અવિભાજ્ય સંખ્યાનો અહેવાલ આપ્યો હોય તો તે ખરેખર અવિભાજ્ય હોવાની સંભાવના:
$P(A|E) = \frac{P(A) \times P(E|A)}{P(A) \times P(E|A) + P(B) \times P(E|B)}$
$P(A|E) = \frac{\frac{1}{4} \times \frac{7}{10}}{(\frac{1}{4} \times \frac{7}{10}) + (\frac{3}{4} \times \frac{3}{10})}$
$P(A|E) = \frac{\frac{7}{40}}{\frac{7}{40} + \frac{9}{40}} = \frac{7}{16}$.

(A) ધારો કે $E_1$ એ ઘટના છે કે પાસો $A$ પસંદ થયો છે (સિક્કા પર છાપ આવે છે) અને $E_2$ એ ઘટના છે કે પાસો $B$ પસંદ થયો છે (સિક્કા પર કાંટો આવે છે).
ધારો કે $R$ એ ઘટના છે કે તમામ $n$ ફેંકમાં લાલ બાજુ આવે છે.
આપેલ છે કે $P(E_1) = \frac{1}{2}$ અને $P(E_2) = \frac{1}{2}$.
પાસા $A$ માટે,એક ફેંકમાં લાલ બાજુ મળવાની સંભાવના $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ છે. તેથી,$P(R \mid E_1) = \left(\frac{2}{3}\right)^n$.
પાસા $B$ માટે,એક ફેંકમાં લાલ બાજુ મળવાની સંભાવના $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ છે. તેથી,$P(R \mid E_2) = \left(\frac{1}{3}\right)^n$.
બેયઝના પ્રમેય મુજબ,$n$ વાર લાલ રંગ આવે ત્યારે પાસો $A$ વપરાયો હોય તેની સંભાવના:
$P(E_1 \mid R) = \frac{P(E_1)P(R \mid E_1)}{P(E_1)P(R \mid E_1) + P(E_2)P(R \mid E_2)}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{32}{33} = \frac{\frac{1}{2} \times (\frac{2}{3})^n}{\frac{1}{2} \times (\frac{2}{3})^n + \frac{1}{2} \times (\frac{1}{3})^n} = \frac{2^n}{2^n + 1^n} = \frac{2^n}{2^n + 1}$.
$n$ માટે ઉકેલતા:
$32(2^n + 1) = 33(2^n) \implies 32 \cdot 2^n + 32 = 33 \cdot 2^n \implies 2^n = 32$.
$32 = 2^5$ હોવાથી,આપણને $n = 5$ મળે છે.

(D) ધારો કે $H_1, H_2, H_3$ એ અનુક્રમે કાર્ટન $A, B, C$ પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે. કાર્ટન યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવતું હોવાથી,$P(H_1) = P(H_2) = P(H_3) = \frac{1}{3}$ છે.
ધારો કે $D$ એ ખામીયુક્ત રમકડું પસંદ કરવાની ઘટના છે.
શરતી સંભાવનાઓ $P(D|H_1) = \frac{1}{3}, P(D|H_2) = \frac{1}{4}, P(D|H_3) = \frac{2}{5}$ છે.
બેયઝના પ્રમેય મુજબ,જો રમકડું ખામીયુક્ત હોય તો તે કાર્ટન $B$ માંથી હોય તેની સંભાવના:
$P(H_2|D) = \frac{P(H_2)P(D|H_2)}{P(H_1)P(D|H_1) + P(H_2)P(D|H_2) + P(H_3)P(D|H_3)}$
$P(H_2|D) = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{1}{4}}{\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} + \frac{1}{3} \times \frac{2}{5}}$
$P(H_2|D) = \frac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{9} + \frac{1}{12} + \frac{2}{15}}$
છેદ માટે લસાઅ $LCM(9, 12, 15) = 180$ લેતા:
$P(H_2|D) = \frac{1/12}{(20+15+24)/180} = \frac{1/12}{59/180} = \frac{1}{12} \times \frac{180}{59} = \frac{15}{59}$.

(B) ધારો કે $E_1$ એ થેલી $A$ પસંદ કરવાની ઘટના છે અને $E_2$ એ થેલી $B$ પસંદ કરવાની ઘટના છે. ધારો કે $R$ એ બે દડા લાલ હોવાની ઘટના છે.
આપેલ છે કે $P(E_1) = P(E_2) = \frac{1}{2}$.
થેલી $A$ માંથી $2$ લાલ દડા કાઢવાની સંભાવના $P(R|E_1) = \frac{^nC_2}{^{n+2}C_2} = \frac{n(n-1)}{(n+2)(n+1)}$ છે.
થેલી $B$ માંથી $2$ લાલ દડા કાઢવાની સંભાવના $P(R|E_2) = \frac{^2C_2}{^{n+2}C_2} = \frac{1 \times 2}{(n+2)(n+1)} = \frac{2}{(n+2)(n+1)}$ છે.
બેયઝના પ્રમેય મુજબ,$P(E_1|R) = \frac{P(E_1)P(R|E_1)}{P(E_1)P(R|E_1) + P(E_2)P(R|E_2)} = \frac{6}{7}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{n(n-1)}{(n+2)(n+1)}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{n(n-1)}{(n+2)(n+1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{(n+2)(n+1)}} = \frac{6}{7}$.
$\frac{n(n-1)}{n(n-1) + 2} = \frac{6}{7}$.
$7(n^2 - n) = 6(n^2 - n + 2)$.
$7n^2 - 7n = 6n^2 - 6n + 12$.
$n^2 - n - 12 = 0$.
$(n-4)(n+3) = 0$.
$n > 0$ હોવાથી,$n = 4$ મળે છે.

(A) ધારો કે $E_1$ એ પેટી $B_1$ પસંદ કરવાની ઘટના છે અને $E_2$ એ પેટી $B_2$ પસંદ કરવાની ઘટના છે. પેટી યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવતી હોવાથી,$P(E_1) = P(E_2) = \frac{1}{2}$.
ધારો કે $R$ એ પસંદ કરેલ દડો લાલ હોવાની ઘટના છે.
$B_1$ માંથી લાલ દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(R|E_1) = \frac{6}{3+6} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ છે.
$B_2$ માંથી લાલ દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(R|E_2) = \frac{n}{n+8}$ છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,લાલ દડો $B_2$ માંથી હોય તેની સંભાવના $p$ નીચે મુજબ છે:
$p = P(E_2|R) = \frac{P(E_2)P(R|E_2)}{P(E_1)P(R|E_1) + P(E_2)P(R|E_2)}$
$p = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{n}{n+8}}{\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \times \frac{n}{n+8}} = \frac{\frac{n}{n+8}}{\frac{2}{3} + \frac{n}{n+8}} = \frac{3n}{2(n+8) + 3n} = \frac{3n}{5n+16}$.
અહીં $n \in N$ હોવાથી,$n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $1$ છે. $n=1$ માટે,$p = \frac{3(1)}{5(1)+16} = \frac{3}{21} = \frac{1}{7}$.
જેમ $n \to \infty$,તેમ $p = \lim_{n \to \infty} \frac{3n}{5n+16} = \frac{3}{5}$.
આમ,$p$ ની કિંમતનો વિસ્તાર $\frac{1}{7} \leq p < \frac{3}{5}$ છે.

(B) ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે કાઢવામાં આવેલા $4$ દડા લાલ છે. ધારો કે $A_k$ એ ઘટના છે કે થેલીમાં $k$ લાલ દડા છે,જ્યાં $k \in \{4, 5, 6\}$. દરેક કિસ્સો સમાન રીતે સંભવિત છે તેમ ધારતા,$P(A_4) = P(A_5) = P(A_6) = \frac{1}{3}$.
શરતી સંભાવનાઓ નીચે મુજબ છે:
$P(E|A_4) = \frac{{}^4C_4}{{}^6C_4} = \frac{1}{15}$
$P(E|A_5) = \frac{{}^5C_4}{{}^6C_4} = \frac{5}{15}$
$P(E|A_6) = \frac{{}^6C_4}{{}^6C_4} = \frac{15}{15} = 1$
બેયઝના પ્રમેય મુજબ,જો $4$ કાઢેલા દડા લાલ હોય,તો થેલીમાં બરાબર $5$ લાલ દડા હોવાની સંભાવના:
$P(A_5|E) = \frac{P(A_5)P(E|A_5)}{P(A_4)P(E|A_4) + P(A_5)P(E|A_5) + P(A_6)P(E|A_6)}$
$P(A_5|E) = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{5}{15}}{\frac{1}{3} \times \frac{1}{15} + \frac{1}{3} \times \frac{5}{15} + \frac{1}{3} \times \frac{15}{15}}$
$P(A_5|E) = \frac{5}{1 + 5 + 15} = \frac{5}{21}$

(A) ધારો કે $E_1$ એ ઘટના છે કે વિદ્યાર્થી જવાબનું અનુમાન લગાવે છે અને $E_2$ એ ઘટના છે કે વિદ્યાર્થી જવાબ જાણે છે. ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે વિદ્યાર્થી સાચો જવાબ આપે છે.
આપેલ છે કે વિદ્યાર્થી $90 \%$ જવાબો જાણે છે,તેથી $P(E_2) = \frac{9}{10}$.
પરિણામે,વિદ્યાર્થી અનુમાન લગાવે તેની સંભાવના $P(E_1) = 1 - P(E_2) = 1 - \frac{9}{10} = \frac{1}{10}$ છે.
જો વિદ્યાર્થી જવાબ જાણે છે,તો સાચો જવાબ આપવાની સંભાવના $P(A \mid E_2) = 1$ છે.
જો વિદ્યાર્થી અનુમાન લગાવે છે,તો $4$ વિકલ્પો હોવાથી અને માત્ર એક સાચો હોવાથી,સાચો જવાબ આપવાની સંભાવના $P(A \mid E_1) = \frac{1}{4}$ છે.
આપણે તે સંભાવના શોધવાની છે કે વિદ્યાર્થીએ અનુમાન લગાવ્યું હતું,જો તેણે સાચો જવાબ આપ્યો હોય,જે $P(E_1 \mid A)$ છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$P(E_1 \mid A) = \frac{P(E_1) \cdot P(A \mid E_1)}{P(E_1) \cdot P(A \mid E_1) + P(E_2) \cdot P(A \mid E_2)}$
$P(E_1 \mid A) = \frac{\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{4}}{(\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{4}) + (\frac{9}{10} \cdot 1)}$
$P(E_1 \mid A) = \frac{\frac{1}{40}}{\frac{1}{40} + \frac{9}{10}} = \frac{\frac{1}{40}}{\frac{1+36}{40}} = \frac{1}{37}$.

(B) ધારો કે $E_1$ એ ઘટના છે કે વિદ્યાર્થી જવાબ જાણે છે અને $E_2$ એ ઘટના છે કે વિદ્યાર્થી જવાબનું અનુમાન લગાવે છે.
આપેલ છે કે $P(E_1) = 9/10$,તેથી $P(E_2) = 1 - 9/10 = 1/10$.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે જવાબ સાચો છે.
જો વિદ્યાર્થી જવાબ જાણે છે,તો સાચો જવાબ આપવાની સંભાવના $P(E|E_1) = 1$ છે.
જો વિદ્યાર્થી અનુમાન લગાવે છે,તો $4$ વિકલ્પોમાંથી $1$ સાચો હોવાથી,સાચો જવાબ આપવાની સંભાવના $P(E|E_2) = 1/4$ છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,જો જવાબ સાચો હોય તો વિદ્યાર્થીએ અનુમાન લગાવ્યું હોય તેની સંભાવના $P(E_2|E) = \frac{P(E|E_2)P(E_2)}{P(E|E_1)P(E_1) + P(E|E_2)P(E_2)}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$P(E_2|E) = \frac{(1/4) \times (1/10)}{(1) \times (9/10) + (1/4) \times (1/10)} = \frac{1/40}{9/10 + 1/40} = \frac{1/40}{36/40 + 1/40} = \frac{1/40}{37/40} = \frac{1}{37}$.

(B) ધારો કે થેલીમાં સફેદ દડાની શક્ય રચનાઓ $E_1$ ($4$ સફેદ),$E_2$ ($3$ સફેદ,$1$ અન્ય),અને $E_3$ ($2$ સફેદ,$2$ અન્ય) છે. દરેક રચના સમાન રીતે સંભવિત છે તેમ ધારતા,$P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \frac{1}{3}$.
ધારો કે $E$ એ બે સફેદ દડા નીકળવાની ઘટના છે.
$P(E|E_1) = \frac{^4C_2}{^4C_2} = 1$
$P(E|E_2) = \frac{^3C_2}{^4C_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$P(E|E_3) = \frac{^2C_2}{^4C_2} = \frac{1}{6}$
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$P(E_1|E) = \frac{P(E_1)P(E|E_1)}{P(E_1)P(E|E_1) + P(E_2)P(E|E_2) + P(E_3)P(E|E_3)}$
$P(E_1|E) = \frac{\frac{1}{3} \times 1}{\frac{1}{3} \times 1 + \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{6}} = \frac{1}{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

(D) ધારો કે $E_1$ એ $5$ મેળવવાની ઘટના છે અને $E_2$ એ $5$ ન મેળવવાની ઘટના છે. ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે છોકરો રિપોર્ટ કરે છે કે તે $5$ છે.
આપેલ છે: $P(E_1) = \frac{1}{6}$,$P(E_2) = \frac{5}{6}$.
છોકરો $\frac{3}{5}$ સંભાવના સાથે સાચું બોલે છે,તેથી તે $\frac{2}{5}$ સંભાવના સાથે જૂઠું બોલે છે.
$P(A|E_1) = \frac{3}{5}$
$P(A|E_2) = \frac{2}{5}$
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$P(E_1|A) = \frac{P(E_1) \cdot P(A|E_1)}{P(E_1) \cdot P(A|E_1) + P(E_2) \cdot P(A|E_2)} = \frac{3}{13}$.
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(D) પાત્રમાં કુલ દડાની સંખ્યા = $7 + 5 + 3 = 15$.
આપેલ છે કે પ્રથમ દડો લાલ અને બીજો દડો સફેદ છે,તેથી આ બે દડા પાત્રમાંથી દૂર કરવામાં આવે છે.
પાત્રમાં બાકી રહેલા દડાની સંખ્યા = $15 - 2 = 13$.
બાકી રહેલા દડાઓ:
લાલ દડા = $7 - 1 = 6$.
સફેદ દડા = $5 - 1 = 4$.
કાળા દડા = $3$.
કુલ બાકી રહેલા દડા = $6 + 4 + 3 = 13$.
આપણે ત્રીજો દડો લાલ ન હોય તેની સંભાવના શોધવાની છે.
લાલ ન હોય તેવા દડાની સંખ્યા = $4 \text{ (સફેદ)} + 3 \text{ (કાળા)} = 7$.
તેથી,ત્રીજો દડો લાલ ન હોય તેની સંભાવના = $\frac{\text{લાલ ન હોય તેવા દડાની સંખ્યા}}{\text{કુલ બાકી રહેલા દડા}} = \frac{7}{13}$.

(C) આપેલ છે કે $P(B) = 0.4$ અને $P(A \cap \bar{B}) = 0.5$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \bar{B})$.
ધારો કે $P(A \cap B) = x$. તો $P(A) = x + 0.5$.
વળી,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = (x + 0.5) + 0.4 - x = 0.9$.
હવે,પદ $P\left(\frac{B}{A \cup \bar{B}}\right)$ ધ્યાનમાં લો.
વ્યાખ્યા મુજબ,$P\left(\frac{B}{A \cup \bar{B}}\right) = \frac{P(B \cap (A \cup \bar{B}))}{P(A \cup \bar{B})}$.
કારણ કે $B \cap (A \cup \bar{B}) = (B \cap A) \cup (B \cap \bar{B}) = (B \cap A) \cup \emptyset = A \cap B$,તેથી $P(B \cap (A \cup \bar{B})) = P(A \cap B) = x$.
વળી,$P(A \cup \bar{B}) = P(A) + P(\bar{B}) - P(A \cap \bar{B}) = (x + 0.5) + (1 - 0.4) - 0.5 = x + 0.6$.
આ કિંમતો આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા: $0.9 + \frac{x}{x + 0.6} = 1.15$.
$\frac{x}{x + 0.6} = 1.15 - 0.9 = 0.25 = \frac{1}{4}$.
$4x = x + 0.6 \implies 3x = 0.6 \implies x = 0.2$.
તેથી,$P(A) = x + 0.5 = 0.2 + 0.5 = 0.7$.

(A) ધારો કે $E_1, E_2, E_3$ એ અનુક્રમે પાત્રો $A, B, C$ પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે. પાત્રો સમાન હોવાથી,$P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \frac{1}{3}$.
ધારો કે $F$ એ લાલ દડો પસંદ કરવાની ઘટના છે.
દરેક પાત્રમાંથી લાલ દડો પસંદ કરવાની સંભાવનાઓ નીચે મુજબ છે:
$P(F|E_1) = \frac{2}{5}$
$P(F|E_2) = \frac{3}{5}$
$P(F|E_3) = \frac{1}{5}$
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,જો પસંદ કરેલ દડો લાલ હોય તો તે પાત્ર $C$ માંથી આવ્યો હોય તેની સંભાવના:
$P(E_3|F) = \frac{P(F|E_3) \cdot P(E_3)}{P(F|E_1) \cdot P(E_1) + P(F|E_2) \cdot P(E_2) + P(F|E_3) \cdot P(E_3)}$
$P(E_3|F) = \frac{\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3}}{\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} + \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3}}$
$P(E_3|F) = \frac{\frac{1}{15}}{\frac{2}{15} + \frac{3}{15} + \frac{1}{15}} = \frac{\frac{1}{15}}{\frac{6}{15}} = \frac{1}{6}$.

(C) ધારો કે $E_1$ એ ઘટના છે કે વ્યક્તિ રોગથી પીડાય છે અને $E_2$ એ ઘટના છે કે વ્યક્તિ રોગથી પીડાતી નથી. ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે નિદાન કસોટી હકારાત્મક છે.
આપેલ છે:
$P(E_1) = 0.5 \% = 0.005$
$P(E_2) = 99.5 \% = 0.995$
$P(A|E_1) = 0.95$
$P(A|E_2) = 0.10$
આપણે $P(E_1|A)$ શોધવાની જરૂર છે. બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$P(E_1|A) = \frac{P(E_1) \times P(A|E_1)}{P(E_1) \times P(A|E_1) + P(E_2) \times P(A|E_2)}$
$P(E_1|A) = \frac{0.005 \times 0.95}{(0.005 \times 0.95) + (0.995 \times 0.10)}$
$P(E_1|A) = \frac{0.00475}{0.00475 + 0.0995}$
$P(E_1|A) = \frac{0.00475}{0.10425} = \frac{475}{10425} \approx 0.0455$

(B) ધારો કે $U_1$ અને $U_2$ એ અનુક્રમે થેલી $I$ અને થેલી $II$ પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે.
થેલીઓ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવતી હોવાથી,$P(U_1) = P(U_2) = \frac{1}{2}$ છે.
ધારો કે $R$ એ લાલ દડો કાઢવાની ઘટના છે.
થેલી $I$ માંથી લાલ દડો કાઢવાની સંભાવના $P(R|U_1) = \frac{3}{3+4} = \frac{3}{7}$ છે.
થેલી $II$ માંથી લાલ દડો કાઢવાની સંભાવના $P(R|U_2) = \frac{5}{5+6} = \frac{5}{11}$ છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,જો દડો લાલ હોય તો તે થેલી $II$ માંથી કાઢવામાં આવ્યો હોય તેની સંભાવના:
$P(U_2|R) = \frac{P(U_2) \times P(R|U_2)}{P(U_1) \times P(R|U_1) + P(U_2) \times P(R|U_2)}$.
કિંમતો મૂકતા:
$P(U_2|R) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{5}{11}}{\frac{1}{2} \times \frac{3}{7} + \frac{1}{2} \times \frac{5}{11}} = \frac{\frac{5}{22}}{\frac{3}{14} + \frac{5}{22}} = \frac{\frac{5}{22}}{\frac{33+35}{154}} = \frac{5}{22} \times \frac{154}{68} = \frac{5 \times 7}{68} = \frac{35}{68}$.

(C) ધારો કે $M$ એ વ્યક્તિ પુરુષ હોવાની ઘટના છે અને $W$ એ વ્યક્તિ સ્ત્રી હોવાની ઘટના છે. વસ્તી પુરુષો અને સ્ત્રીઓમાં વહેંચાયેલી હોવાથી,આપણે ધારીએ છીએ કે $P(M) = \frac{1}{2}$ અને $P(W) = \frac{1}{2}$.
ધારો કે $C$ એ વ્યક્તિ રંગઅંધ હોવાની ઘટના છે.
આપેલ છે: $P(C|M) = \frac{1}{20}$ અને $P(C|W) = \frac{1}{10}$.
આપણે તે વ્યક્તિ રંગઅંધ છે તે જાણીને તે પુરુષ હોવાની સંભાવના શોધવાની છે,એટલે કે $P(M|C)$.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$P(M|C) = \frac{P(M) \cdot P(C|M)}{P(M) \cdot P(C|M) + P(W) \cdot P(C|W)}$
$P(M|C) = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{20}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{20} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{10}}$
$P(M|C) = \frac{\frac{1}{40}}{\frac{1}{40} + \frac{1}{20}} = \frac{\frac{1}{40}}{\frac{1+2}{40}} = \frac{1}{3}$.

(A) ધારો કે $E_1$ એ ઘટના છે કે વિદ્યાર્થી જવાબનું અનુમાન લગાવે છે,$E_2$ એ ઘટના છે કે વિદ્યાર્થી જવાબ જાણે છે,અને $E_3$ એ ઘટના છે કે તે જવાબની નકલ કરે છે. ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે જવાબ સાચો છે.
આપેલ છે કે,
$P(E_1) = \frac{1}{3}, P(E_3) = \frac{1}{12}$.
ઘટનાઓ નિઃશેષ હોવાથી,$P(E_2) = 1 - P(E_1) - P(E_3) = 1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{12} = \frac{12-4-1}{12} = \frac{7}{12}$.
જો તે અનુમાન લગાવે તો જવાબ સાચો હોવાની સંભાવના $P(A|E_1) = \frac{1}{4}$ છે (કારણ કે $4$ વિકલ્પો છે).
જો તે જવાબ જાણે છે તો જવાબ સાચો હોવાની સંભાવના $P(A|E_2) = 1$ છે.
જો તે નકલ કરે છે તો જવાબ સાચો હોવાની સંભાવના $P(A|E_3) = \frac{1}{6}$ છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,તેણે સાચો જવાબ આપ્યો હોય તો તેણે જવાબ જાણ્યો હતો તેની સંભાવના:
$P(E_2|A) = \frac{P(E_2)P(A|E_2)}{P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2) + P(E_3)P(A|E_3)}$
$P(E_2|A) = \frac{\frac{7}{12} \times 1}{(\frac{1}{3} \times \frac{1}{4}) + (\frac{7}{12} \times 1) + (\frac{1}{12} \times \frac{1}{6})}$
$P(E_2|A) = \frac{\frac{7}{12}}{\frac{1}{12} + \frac{7}{12} + \frac{1}{72}} = \frac{\frac{7}{12}}{\frac{6 + 42 + 1}{72}} = \frac{7}{12} \times \frac{72}{49} = \frac{6}{7}$.

(D) ધારો કે $E_1$ એ ઘટના છે કે નબળો વિદ્યાર્થી જવાબ જાણે છે,અને $E_2$ એ ઘટના છે કે નબળો વિદ્યાર્થી જવાબનું અનુમાન લગાવે છે. ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે નબળો વિદ્યાર્થી સાચો જવાબ મેળવે છે.
આપણને આપેલ છે કે વિદ્યાર્થી $20 \%$ જવાબો જાણે છે,તેથી $P(E_1) = 0.20$. અનુમાન લગાવવાની સંભાવના $P(E_2) = 1 - 0.20 = 0.80$ છે.
જો વિદ્યાર્થી જવાબ જાણે છે,તો સાચો જવાબ મેળવવાની સંભાવના $P(A|E_1) = 1$ છે.
કારણ કે $4$ વિકલ્પો છે અને માત્ર એક જ સાચો છે,તેથી સાચો જવાબ અનુમાન લગાવવાની સંભાવના $P(A|E_2) = \frac{1}{4} = 0.25$ છે.
આપણે એ સંભાવના શોધવાની છે કે વિદ્યાર્થીએ અનુમાન લગાવ્યું હતું,જો તેણે સાચો જવાબ મેળવ્યો હોય,જે $P(E_2|A)$ છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$P(E_2|A) = \frac{P(E_2) \cdot P(A|E_2)}{P(E_1) \cdot P(A|E_1) + P(E_2) \cdot P(A|E_2)}$
$P(E_2|A) = \frac{0.80 \times 0.25}{(0.20 \times 1) + (0.80 \times 0.25)}$
$P(E_2|A) = \frac{0.20}{0.20 + 0.20} = \frac{0.20}{0.40} = 0.5$.

(A) ધારો કે $E_1$ એ થેલી $P$ પસંદ કરવાની ઘટના છે અને $E_2$ એ થેલી $Q$ પસંદ કરવાની ઘટના છે.
થેલીઓ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવતી હોવાથી,$P(E_1) = P(E_2) = \frac{1}{2}$ છે.
ધારો કે $A$ એ લાલ દડો પસંદ કરવાની ઘટના છે.
થેલી $P$ માંથી લાલ દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(A|E_1) = \frac{5}{3+5} = \frac{5}{8}$ છે.
થેલી $Q$ માંથી લાલ દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(A|E_2) = \frac{6}{4+6} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,જો દડો લાલ હોય તો તે થેલી $Q$ માંથી હોય તેની સંભાવના $P(E_2|A) = \frac{P(E_2)P(A|E_2)}{P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2)}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$P(E_2|A) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{6}{10}}{\frac{1}{2} \times \frac{5}{8} + \frac{1}{2} \times \frac{6}{10}} = \frac{\frac{6}{10}}{\frac{5}{8} + \frac{6}{10}} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{25+24}{40}} = \frac{3}{5} \times \frac{40}{49} = \frac{24}{49}$.

(A) ધારો કે $E_1$ અને $E_2$ એ ઘટનાઓ છે કે પસંદ કરેલ વિદ્યાર્થી અનુક્રમે સ્ત્રી અને પુરુષ છે. ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલ વિદ્યાર્થી $1.8 \ m$ કરતા ઊંચો છે.
આપેલ છે:
$P(E_1) = 60/100 = 0.6$
$P(E_2) = 40/100 = 0.4$
$P(A|E_1) = 1/100 = 0.01$
$P(A|E_2) = 4/100 = 0.04$
બેયઝના પ્રમેય મુજબ,જો વિદ્યાર્થી $1.8 \ m$ કરતા ઊંચો હોય તો તે સ્ત્રી હોવાની સંભાવના:
$P(E_1|A) = \frac{P(E_1) \cdot P(A|E_1)}{P(E_1) \cdot P(A|E_1) + P(E_2) \cdot P(A|E_2)}$
$P(E_1|A) = \frac{0.6 \times 0.01}{(0.6 \times 0.01) + (0.4 \times 0.04)}$
$P(E_1|A) = \frac{0.006}{0.006 + 0.016} = \frac{0.006}{0.022} = \frac{6}{22} = \frac{3}{11}$

(D) ધારો કે $A$,$B$,અને $C$ ની પરીક્ષા પાસ કરવાની સંભાવનાઓ અનુક્રમે $P(T_A) = k$,$P(T_B) = 2k$,અને $P(T_C) = 3k$ છે,જે $1:2:3$ ના ગુણોત્તર પર આધારિત છે.
ધારો કે $I$ એ ઘટના છે કે વ્યક્તિ ઇન્ટરવ્યુ સફળતાપૂર્વક પાર કરે છે. શરતી સંભાવનાઓ $P(I|T_A) = 0.8$,$P(I|T_B) = 0.7$,અને $P(I|T_C) = 0.6$ છે.
આપણે $A$ ની પસંદગી થાય તેની સંભાવના શોધવાની છે,જ્યારે તેમાંથી કોઈ એકની પસંદગી થાય છે. આ બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:
$P(A|I) = \frac{P(T_A) \times P(I|T_A)}{P(T_A) \times P(I|T_A) + P(T_B) \times P(I|T_B) + P(T_C) \times P(I|T_C)}$
$P(A|I) = \frac{k \times 0.8}{k \times 0.8 + 2k \times 0.7 + 3k \times 0.6}$
$P(A|I) = \frac{0.8k}{0.8k + 1.4k + 1.8k} = \frac{0.8k}{4.0k} = \frac{0.8}{4} = \frac{1}{5}$.

(C) ધારો કે $E_1, E_2, E_3$ એ ઘટનાઓ છે કે રેફ્રિજરેટર અનુક્રમે કંપનીઓ $C_1, C_2, C_3$ માંથી છે. ધારો કે $D$ એ ઘટના છે કે રેફ્રિજરેટર ખામીયુક્ત છે.
આપેલ સંભાવનાઓ:
$P(E_1) = 0.25, P(E_2) = 0.35, P(E_3) = 0.40$
$P(D|E_1) = 0.03, P(D|E_2) = 0.02, P(D|E_3) = 0.01$
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,ખામીયુક્ત રેફ્રિજરેટર $C_2$ માંથી હોવાની સંભાવના:
$P(E_2|D) = \frac{P(E_2) \cdot P(D|E_2)}{P(E_1) \cdot P(D|E_1) + P(E_2) \cdot P(D|E_2) + P(E_3) \cdot P(D|E_3)}$
$P(E_2|D) = \frac{0.35 \times 0.02}{(0.25 \times 0.03) + (0.35 \times 0.02) + (0.40 \times 0.01)}$
$P(E_2|D) = \frac{0.0070}{0.0075 + 0.0070 + 0.0040} = \frac{0.0070}{0.0185}$
$P(E_2|D) = \frac{70}{185} = \frac{14}{37}$

(D) ધારો કે $E_1, E_2, E_3, E_4$ એ અનુક્રમે બોક્સ $A, B, C, D$ પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે. ધારો કે $F$ એ પસંદ કરેલ ફ્યુઝ ખામીયુક્ત હોવાની ઘટના છે.
$P(E_1) = \frac{5000}{11000} = \frac{5}{11}, P(E_2) = \frac{3000}{11000} = \frac{3}{11}, P(E_3) = \frac{2000}{11000} = \frac{2}{11}, P(E_4) = \frac{1000}{11000} = \frac{1}{11}$.
ખામીયુક્ત ફ્યુઝ પસંદ કરવાની શરતી સંભાવનાઓ છે:
$P(F|E_1) = \frac{3}{100}, P(F|E_2) = \frac{2}{100}, P(F|E_3) = \frac{1}{100}, P(F|E_4) = \frac{0.5}{100} = \frac{1}{200}$.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,ખામીયુક્ત ફ્યુઝ બોક્સ $D$ માંથી આવ્યો હોય તેની સંભાવના $P(E_4|F) = \frac{P(E_4)P(F|E_4)}{\sum_{i=1}^{4} P(E_i)P(F|E_i)}$ છે.
$P(E_4|F) = \frac{\frac{1}{11} \times \frac{1}{200}}{\frac{5}{11} \times \frac{3}{100} + \frac{3}{11} \times \frac{2}{100} + \frac{2}{11} \times \frac{1}{100} + \frac{1}{11} \times \frac{1}{200}}$.
$P(E_4|F) = \frac{\frac{1}{2200}}{\frac{15}{1100} + \frac{6}{1100} + \frac{2}{1100} + \frac{1}{2200}} = \frac{\frac{1}{2200}}{\frac{30+12+4+1}{2200}} = \frac{1}{47}$.

(C) ધારો કે $E_1$ એ ઘટના છે કે વિદ્યાર્થી અનુમાન લગાવ્યા વગર જવાબ આપે છે,અને $E_2$ એ ઘટના છે કે વિદ્યાર્થી અનુમાન લગાવીને જવાબ આપે છે. આપેલ છે કે $P(E_2) = 3/7$,તેથી $P(E_1) = 1 - 3/7 = 4/7$.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે ઓછામાં ઓછા $3$ પ્રશ્નોના સાચા જવાબ આપ્યા છે.
$E_1$ માટે (અનુમાન લગાવ્યા વગર),સફળતાની સંભાવના $p = 2/3$ છે. દ્વિપદી વિતરણ $B(4, 2/3)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(A|E_1) = \binom{4}{3} (2/3)^3 (1/3)^1 + \binom{4}{4} (2/3)^4 = 4 \cdot (8/27) \cdot (1/3) + 16/81 = 32/81 + 16/81 = 48/81 = 16/27$.
$E_2$ માટે (અનુમાન લગાવીને),સફળતાની સંભાવના $p = 1/2$ છે. દ્વિપદી વિતરણ $B(4, 1/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(A|E_2) = \binom{4}{3} (1/2)^4 + \binom{4}{4} (1/2)^4 = 5/16$.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,આપણે $P(E_1|A) = \frac{P(E_1)P(A|E_1)}{P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2)}$ શોધવાનું છે.
$P(E_1|A) = \frac{(4/7) \cdot (16/27)}{(4/7) \cdot (16/27) + (3/7) \cdot (5/16)} = \frac{64/189}{64/189 + 15/112} = \frac{1024}{1429}$.

(A) ધારો કે $E_1$,$E_2$ અને $E_3$ એ ઘટનાઓ છે કે પસંદ કરેલ પરીક્ષાર્થી અનુક્રમે સ્નાતક,અનુસ્નાતક અને ડોક્ટરેટ ધારક છે.
કુલ પરીક્ષાર્થીઓ = $5000 + 2000 + 1000 = 8000$.
$P(E_1) = \frac{5000}{8000} = \frac{5}{8}$,$P(E_2) = \frac{2000}{8000} = \frac{1}{4}$,$P(E_3) = \frac{1000}{8000} = \frac{1}{8}$.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે પરીક્ષાર્થી પરીક્ષા પાસ કરે છે.
$P(A|E_1) = \frac{2}{3}$,$P(A|E_2) = \frac{3}{4}$,$P(A|E_3) = \frac{4}{5}$.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,જો પરીક્ષાર્થી પાસ થયો હોય તો તે અનુસ્નાતક હોય તેની સંભાવના:
$P(E_2|A) = \frac{P(E_2) \times P(A|E_2)}{P(E_1) \times P(A|E_1) + P(E_2) \times P(A|E_2) + P(E_3) \times P(A|E_3)}$
$P(E_2|A) = \frac{\frac{2}{8} \times \frac{3}{4}}{\frac{5}{8} \times \frac{2}{3} + \frac{2}{8} \times \frac{3}{4} + \frac{1}{8} \times \frac{4}{5}}$
$P(E_2|A) = \frac{45}{169}$.

(A) કુલ સિક્કાઓની સંખ્યા $= 2n+1$.
બંને બાજુ છાપ હોય તેવા સિક્કાઓની સંખ્યા $= n$.
સામાન્ય સિક્કાઓની સંખ્યા $= n+1$.
ધારો કે $H$ એ ઘટના છે કે સિક્કો ઉછાળતા છાપ મળે છે.
બંને બાજુ છાપ હોય તેવો સિક્કો પસંદ કરવાની સંભાવના $\frac{n}{2n+1}$ છે,અને આવા સિક્કા માટે $P(H) = 1$ છે.
સામાન્ય સિક્કો પસંદ કરવાની સંભાવના $\frac{n+1}{2n+1}$ છે,અને આવા સિક્કા માટે $P(H) = \frac{1}{2}$ છે.
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$P(H) = \left(\frac{n}{2n+1}\right) \times 1 + \left(\frac{n+1}{2n+1}\right) \times \frac{1}{2} = \frac{31}{42}$
$\frac{2n + n + 1}{2(2n+1)} = \frac{31}{42}$
$\frac{3n+1}{4n+2} = \frac{31}{42}$
$42(3n+1) = 31(4n+2)$
$126n + 42 = 124n + 62$
$2n = 20$
$n = 10$