Baye's theorem Questions in Gujarati

(A) ધારો કે $M$ એ પુરુષ પસંદ થવાની ઘટના છે અને $W$ એ સ્ત્રી પસંદ થવાની ઘટના છે. ધારો કે $D$ એ ઘટના છે કે વ્યક્તિને રોગ છે અને $D^c$ એ ઘટના છે કે વ્યક્તિને રોગ નથી. ધારો કે $T^+$ એ ઘટના છે કે રક્ત તપાસ પોઝિટિવ છે.
આપેલ છે:
$P(M) = \frac{30}{50} = \frac{3}{5}$
$P(W) = \frac{20}{50} = \frac{2}{5}$
$P(D|M) = \frac{1}{2}$,તેથી $P(D^c|M) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$P(D|W) = \frac{1}{5}$,તેથી $P(D^c|W) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$
તપાસ $\frac{4}{5}$ સંભાવના સાથે સાચી છે,તેથી:
$P(T^+|D) = \frac{4}{5}$ (સાચું પોઝિટિવ)
$P(T^+|D^c) = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$ (ખોટું પોઝિટિવ)
આપણે $P(M|T^+)$ શોધવું છે. બેયઝના પ્રમેય દ્વારા:
$P(M|T^+) = \frac{P(M) \cdot P(T^+|M)}{P(T^+)}$
$P(T^+|M) = P(T^+|D)P(D|M) + P(T^+|D^c)P(D^c|M) = (\frac{4}{5} \times \frac{1}{2}) + (\frac{1}{5} \times \frac{1}{2}) = \frac{4}{10} + \frac{1}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
$P(T^+|W) = P(T^+|D)P(D|W) + P(T^+|D^c)P(D^c|W) = (\frac{4}{5} \times \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} \times \frac{4}{5}) = \frac{4}{25} + \frac{4}{25} = \frac{8}{25}$
$P(T^+) = P(M)P(T^+|M) + P(W)P(T^+|W) = (\frac{3}{5} \times \frac{1}{2}) + (\frac{2}{5} \times \frac{8}{25}) = \frac{3}{10} + \frac{16}{125} = \frac{75 + 32}{250} = \frac{107}{250}$
$P(M|T^+) = \frac{\frac{3}{5} \times \frac{1}{2}}{\frac{107}{250}} = \frac{3/10}{107/250} = \frac{3}{10} \times \frac{250}{107} = \frac{75}{107}$

(D) ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે વ્યક્તિને રોગ છે,અને $E^c$ એ ઘટના છે કે વ્યક્તિને રોગ નથી. ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે ટેસ્ટનું પરિણામ પોઝિટિવ આવે છે.
આપેલ છે:
$P(E) = \frac{2}{3}$
$P(E^c) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
$P(A|E) = \frac{2}{3}$ (વ્યક્તિને રોગ હોય અને ટેસ્ટ પોઝિટિવ આવે તેની સંભાવના)
$P(A|E^c) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ (વ્યક્તિને રોગ ન હોય અને ટેસ્ટ પોઝિટિવ આવે તેની સંભાવના)
કુલ સંભાવનાના નિયમ મુજબ,વ્યક્તિનો ટેસ્ટ પોઝિટિવ આવે તેની સંભાવના:
$P(A) = P(E) \times P(A|E) + P(E^c) \times P(A|E^c)$
$P(A) = \left(\frac{2}{3} \times \frac{2}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} \times \frac{1}{3}\right) = \frac{4}{9} + \frac{1}{9} = \frac{5}{9}$
બેયઝના પ્રમેય મુજબ,ટેસ્ટ પોઝિટિવ આવ્યા પછી વ્યક્તિને રોગ હોવાની સંભાવના:
$P(E|A) = \frac{P(E) \times P(A|E)}{P(A)}$
$P(E|A) = \frac{\frac{2}{3} \times \frac{2}{3}}{\frac{5}{9}} = \frac{\frac{4}{9}}{\frac{5}{9}} = \frac{4}{5}$

(D) ધારો કે $R$ એ લાલ દડો કાઢવાની ઘટના છે. બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$P(C|R) = \frac{P(C)P(R|C)}{P(A)P(R|A) + P(B)P(R|B) + P(C)P(R|C)}$
આપેલ છે કે $P(A) = P(B) = P(C) = \frac{1}{3}$,$P(R|A) = \frac{4}{10}$,$P(R|B) = \frac{5}{10}$,$P(R|C) = \frac{\lambda}{\lambda+4}$ અને $P(C|R) = 0.4 = \frac{2}{5}$.
$\frac{2}{5} = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{\lambda}{\lambda+4}}{\frac{1}{3}(\frac{4}{10} + \frac{5}{10} + \frac{\lambda}{\lambda+4})} = \frac{\frac{\lambda}{\lambda+4}}{0.9 + \frac{\lambda}{\lambda+4}}$
$0.36 + 0.4 \frac{\lambda}{\lambda+4} = \frac{\lambda}{\lambda+4} \Rightarrow 0.36 = 0.6 \frac{\lambda}{\lambda+4} \Rightarrow \frac{\lambda}{\lambda+4} = 0.6 = \frac{3}{5}$
$5\lambda = 3\lambda + 12 \Rightarrow 2\lambda = 12 \Rightarrow \lambda = 6$.
પરવલય $y^2 = 6x$ છે. સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(0,0)$,$(at_1^2, 2at_1)$,અને $(at_2^2, 2at_2)$ છે જ્યાં $4a = 6 \Rightarrow a = 1.5$.
$x$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિતિને કારણે,$t_1 = t$ અને $t_2 = -t$. બાજુની લંબાઈ $\ell$ માટે $\ell^2 = (at^2)^2 + (2at)^2 = a^2t^4 + 4a^2t^2$.
વળી,બાજુનો ઢાળ $\tan(30^{\circ}) = \frac{2at}{at^2} = \frac{2}{t} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow t = 2\sqrt{3}$.
$\ell^2 = (1.5)^2(2\sqrt{3})^4 + 4(1.5)^2(2\sqrt{3})^2 = 2.25(144) + 9(12) = 324 + 108 = 432$.

(A) ધારો કે $E_1$ એ ઘટના છે કે વ્યક્તિ ધૂમ્રપાન કરનાર છે અને $E_2$ એ ઘટના છે કે વ્યક્તિ ધૂમ્રપાન કરનાર નથી.
આપેલ છે કે $P(E_1) = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$ અને $P(E_2) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે વ્યક્તિને ફેફસાનું કેન્સર હોવાનું નિદાન થયું છે.
ધારો કે $p$ એ ધૂમ્રપાન ન કરનાર વ્યક્તિને ફેફસાનું કેન્સર થવાની સંભાવના છે. તો ધૂમ્રપાન કરનાર વ્યક્તિને ફેફસાનું કેન્સર થવાની સંભાવના $27p$ છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,વ્યક્તિને ફેફસાનું કેન્સર હોય તો તે ધૂમ્રપાન કરનાર હોય તેની સંભાવના:
$P(E_1|E) = \frac{P(E_1)P(E|E_1)}{P(E_1)P(E|E_1) + P(E_2)P(E|E_2)}$
$P(E_1|E) = \frac{\frac{1}{4} \times 27p}{\frac{1}{4} \times 27p + \frac{3}{4} \times p} = \frac{27p}{27p + 3p} = \frac{27p}{30p} = \frac{27}{30} = \frac{9}{10}$.
આપેલ છે કે $P(E_1|E) = \frac{k}{10}$,તેથી $\frac{k}{10} = \frac{9}{10}$,જેનો અર્થ છે કે $k = 9$.

(A) ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે બે કાઢેલા દડા કાળા છે. ધારો કે $H_i$ એ પૂર્વધારણા છે કે થેલીમાં $i$ કાળા દડા છે,જ્યાં $i \in \{2, 3, 4, 5, 6\}$.
દરેક પૂર્વધારણા સમાન રીતે સંભવિત છે તેમ ધારતા,$P(H_i) = \frac{1}{5}$.
$i$ કાળા દડા હાજર હોય ત્યારે $2$ કાળા દડા કાઢવાની સંભાવના $P(E|H_i) = \frac{{}^i C_2}{{}^6 C_2} = \frac{{}^i C_2}{15}$ છે.
આપણે $P(H_5 \cup H_6 | E) = \frac{P(E|H_5)P(H_5) + P(E|H_6)P(H_6)}{\sum_{i=2}^6 P(E|H_i)P(H_i)}$ શોધવા માંગીએ છીએ.
$P(H_i)$ અચળ હોવાથી,આ $\frac{{}^5 C_2 + {}^6 C_2}{{}^2 C_2 + {}^3 C_2 + {}^4 C_2 + {}^5 C_2 + {}^6 C_2}$ માં સરળ બને છે.
સંયોજનોની ગણતરી કરતા: ${}^2 C_2 = 1, {}^3 C_2 = 3, {}^4 C_2 = 6, {}^5 C_2 = 10, {}^6 C_2 = 15$.
સરવાળો $= 1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35$.
અંશ $= 10 + 15 = 25$.
સંભાવના $= \frac{25}{35} = \frac{5}{7}$.

(C) ધારો કે $E_1, E_2, E_3$ એ ઘટનાઓ છે કે બોલ્ટ અનુક્રમે મશીન $A, B$ અને $C$ દ્વારા ઉત્પાદિત થાય છે,અને $D$ એ ઘટના છે કે બોલ્ટ ખામીયુક્ત છે.
આપેલ સંભાવનાઓ:
$P(E_1) = 0.20 = \frac{20}{100}$,$P(E_2) = 0.30 = \frac{30}{100}$,$P(E_3) = 0.50 = \frac{50}{100}$
ખામીયુક્ત બોલ્ટની શરતી સંભાવનાઓ:
$P(D|E_1) = \frac{3}{100}$,$P(D|E_2) = \frac{4}{100}$,$P(D|E_3) = \frac{2}{100}$
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,ખામીયુક્ત બોલ્ટ મશીન $C$ દ્વારા ઉત્પાદિત હોવાની સંભાવના:
$P(E_3|D) = \frac{P(E_3) \times P(D|E_3)}{P(E_1) \times P(D|E_1) + P(E_2) \times P(D|E_2) + P(E_3) \times P(D|E_3)}$
$P(E_3|D) = \frac{\frac{50}{100} \times \frac{2}{100}}{\frac{20}{100} \times \frac{3}{100} + \frac{30}{100} \times \frac{4}{100} + \frac{50}{100} \times \frac{2}{100}}$
$P(E_3|D) = \frac{100}{60 + 120 + 100} = \frac{100}{280} = \frac{10}{28} = \frac{5}{14}$

(C) $6$ સફેદ અને $9$ કાળા દડા (કુલ $15$ દડા) માંથી $4$ સફેદ દડા પસંદ કરવાની સંભાવના $P(A) = \frac{{}^6C_4}{{}^{15}C_4} = \frac{15}{1365} = \frac{1}{91}$ છે.
$4$ સફેદ દડા કાઢ્યા પછી,બાકી રહેલા દડા $2$ સફેદ અને $9$ કાળા (કુલ $11$ દડા) છે.
બાકીના $11$ દડામાંથી $4$ કાળા દડા પસંદ કરવાની સંભાવના $P(B|A) = \frac{{}^9C_4}{{}^{11}C_4} = \frac{126}{330} = \frac{21}{55}$ છે.
કુલ સંભાવના $P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) = \frac{1}{91} \times \frac{21}{55} = \frac{1}{13} \times \frac{3}{55} = \frac{3}{715}$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(C) ધારો કે $E_1$ એ થેલી $A$ પસંદ કરવાની ઘટના છે અને $E_2$ એ થેલી $B$ પસંદ કરવાની ઘટના છે.
ધારો કે $E$ એ સફેદ દડો કાઢવાની ઘટના છે.
થેલીઓ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવતી હોવાથી,$P(E_1) = P(E_2) = \frac{1}{2}$ છે.
થેલી $A$ માંથી સફેદ દડો કાઢવાની સંભાવના $P(E|E_1) = \frac{3}{3+7} = \frac{3}{10}$ છે.
થેલી $B$ માંથી સફેદ દડો કાઢવાની સંભાવના $P(E|E_2) = \frac{3}{3+2} = \frac{3}{5}$ છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,જો કાઢવામાં આવેલ દડો સફેદ હોય તો તે થેલી $A$ માંથી આવ્યો હોય તેની સંભાવના:
$P(E_1|E) = \frac{P(E_1) \cdot P(E|E_1)}{P(E_1) \cdot P(E|E_1) + P(E_2) \cdot P(E|E_2)}$
$P(E_1|E) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{3}{10}}{\frac{1}{2} \times \frac{3}{10} + \frac{1}{2} \times \frac{3}{5}}$
$P(E_1|E) = \frac{\frac{3}{20}}{\frac{3}{20} + \frac{3}{10}} = \frac{\frac{3}{20}}{\frac{3+6}{20}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

(B) ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે $2$ સફેદ અને $2$ કાળા દડા કાઢવામાં આવે છે. ધારો કે $H_i$ એ પૂર્વધારણા છે કે થેલીમાં $i$ સફેદ દડા અને $(8-i)$ કાળા દડા છે,જ્યાં $i \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$.
દરેક રચના સમાન રીતે સંભવિત છે તેમ ધારતા,$P(H_i) = \frac{1}{9}$.
$H_i$ આપેલ હોય ત્યારે $2$ સફેદ અને $2$ કાળા દડા કાઢવાની સંભાવના $P(E|H_i) = \frac{{}^iC_2 \times {}^{8-i}C_2}{{}^8C_4}$ છે.
આપણે $P(H_4|E) = \frac{P(E|H_4)P(H_4)}{\sum_{i=0}^8 P(E|H_i)P(H_i)}$ શોધવા માંગીએ છીએ.
$P(H_i)$ અચળ હોવાથી,$P(H_4|E) = \frac{{}^4C_2 \times {}^4C_2}{\sum_{i=2}^6 {}^iC_2 \times {}^{8-i}C_2}$.
અંશની ગણતરી: ${}^4C_2 \times {}^4C_2 = 6 \times 6 = 36$.
છેદની ગણતરી:
$i=2: {}^2C_2 \times {}^6C_2 = 1 \times 15 = 15$
$i=3: {}^3C_2 \times {}^5C_2 = 3 \times 10 = 30$
$i=4: {}^4C_2 \times {}^4C_2 = 6 \times 6 = 36$
$i=5: {}^5C_2 \times {}^3C_2 = 10 \times 3 = 30$
$i=6: {}^6C_2 \times {}^2C_2 = 15 \times 1 = 15$
સરવાળો $= 15 + 30 + 36 + 30 + 15 = 126$.
$P(H_4|E) = \frac{36}{126} = \frac{2}{7}$.

(B) ધારો કે $E_1, E_2, E_3$ એ અનુક્રમે કળશ $A, B, C$ પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે. કળશ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવતો હોવાથી,$P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \frac{1}{3}$.
ધારો કે $X$ એ કાળો દડો કાઢવાની ઘટના છે.
દરેક કળશમાંથી કાળો દડો કાઢવાની સંભાવનાઓ નીચે મુજબ છે:
$P(X|E_1) = \frac{5}{12}$
$P(X|E_2) = \frac{7}{12}$
$P(X|E_3) = \frac{6}{12}$
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,જો દડો કાળો હોય તો તે કળશ $A$ માંથી આવ્યો હોય તેની સંભાવના:
$P(E_1|X) = \frac{P(E_1)P(X|E_1)}{P(E_1)P(X|E_1) + P(E_2)P(X|E_2) + P(E_3)P(X|E_3)}$
$P(E_1|X) = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{12}}{\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{12} + \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{12} + \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{12}}$
$P(E_1|X) = \frac{5}{5 + 7 + 6} = \frac{5}{18}$.

(A) ધારો કે $E_1$ એ ઘટના છે કે મોટરસાયકલ પ્લાન્ટ $A$ માં બનાવવામાં આવી છે,અને $E_2$ એ ઘટના છે કે તે પ્લાન્ટ $B$ માં બનાવવામાં આવી છે. ધારો કે $S$ એ ઘટના છે કે મોટરસાયકલ પ્રમાણભૂત ગુણવત્તાની છે.
આપેલ છે:
$P(E_1) = 0.60$
$P(E_2) = 0.40$
$P(S|E_1) = 0.80$
$P(S|E_2) = 0.90$
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,સંભાવના $p$ કે મોટરસાયકલ પ્લાન્ટ $B$ માં બનાવવામાં આવી હતી,જો તે પ્રમાણભૂત ગુણવત્તાની હોય:
$p = P(E_2|S) = \frac{P(S|E_2)P(E_2)}{P(S|E_1)P(E_1) + P(S|E_2)P(E_2)}$
કિંમતો મૂકતા:
$p = \frac{0.90 \times 0.40}{(0.80 \times 0.60) + (0.90 \times 0.40)}$
$p = \frac{0.36}{0.48 + 0.36} = \frac{0.36}{0.84} = \frac{36}{84} = \frac{3}{7}$
આપણે $126p$ શોધવાનું છે:
$126p = 126 \times \frac{3}{7} = 18 \times 3 = 54$
આમ,કિંમત $54$ છે.

(A) ધારો કે $E_1, E_2, E_3$ એ અનુક્રમે થેલીઓ $X, Y, Z$ પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે. થેલી યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવતી હોવાથી,$P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \frac{1}{3}$.
ધારો કે $A$ એ એક-રૂપિયાનો સિક્કો કાઢવાની ઘટના છે.
દરેક થેલીમાંથી એક-રૂપિયાનો સિક્કો કાઢવાની સંભાવના નીચે મુજબ છે:
$P(A|E_1) = \frac{5}{5+4} = \frac{5}{9}$
$P(A|E_2) = \frac{4}{4+5} = \frac{4}{9}$
$P(A|E_3) = \frac{3}{3+6} = \frac{3}{9}$
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,સિક્કો થેલી $Y$ માંથી આવ્યો હોય તેની સંભાવના:
$P(E_2|A) = \frac{P(E_2)P(A|E_2)}{P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2) + P(E_3)P(A|E_3)}$
$P(E_2|A) = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{4}{9}}{\frac{1}{3} \times \frac{5}{9} + \frac{1}{3} \times \frac{4}{9} + \frac{1}{3} \times \frac{3}{9}}$
$P(E_2|A) = \frac{4}{5+4+3} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

(D) બેયઝના પ્રમેય મુજબ,$P(H_i \mid E) = \frac{P(E \mid H_i) P(H_i)}{P(E)}$.
કારણ કે $0 < P(E) < 1$,તેથી $\frac{1}{P(E)} > 1$ થાય.
તેથી,$P(H_i \mid E) = P(E \mid H_i) P(H_i) \cdot \frac{1}{P(E)} > P(E \mid H_i) P(H_i)$,જો $P(E \mid H_i) P(H_i) > 0$ હોય તો.
જો $P(E \mid H_i) P(H_i) = 0$ હોય,તો $P(H_i \mid E) = 0$ થાય,અને અસમતા $0 > 0$ ખોટી પડે.
આમ,$\text{વિધાન}-1$ સામાન્ય રીતે ખોટું છે.
$\text{વિધાન}-2$ એ નિઃશેષ ઘટનાઓનો પ્રમાણભૂત ગુણધર્મ છે,જે સાચું છે.
તેથી,$\text{વિધાન}-1$ ખોટું છે અને $\text{વિધાન}-2$ સાચું છે.

(C) ધારો કે $T_1$ અને $T_2$ એ ઘટનાઓ છે કે કમ્પ્યુટર અનુક્રમે પ્લાન્ટ $T_1$ અને $T_2$ માં ઉત્પાદિત થાય છે. ધારો કે $D$ એ ઘટના છે કે કમ્પ્યુટર ખામીયુક્ત છે.
આપેલ છે કે $P(T_1) = 0.2$,$P(T_2) = 0.8$,અને $P(D) = 0.07$.
આપણને આપેલ છે કે $P(D | T_1) = 10 P(D | T_2)$. ધારો કે $P(D | T_2) = p$,તો $P(D | T_1) = 10p$.
કુલ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $P(D) = P(D | T_1)P(T_1) + P(D | T_2)P(T_2)$.
$0.07 = (10p)(0.2) + (p)(0.8) = 2p + 0.8p = 2.8p$.
$p = \frac{0.07}{2.8} = \frac{7}{280} = \frac{1}{40}$.
તેથી,$P(D | T_2) = \frac{1}{40}$ અને $P(D | T_1) = 10 \times \frac{1}{40} = \frac{1}{4}$.
કમ્પ્યુટર ખામીયુક્ત ન હોવાની સંભાવના $P(\bar{D}) = 1 - P(D) = 1 - 0.07 = 0.93$ છે.
આપણે $P(T_2 | \bar{D}) = \frac{P(\bar{D} | T_2)P(T_2)}{P(\bar{D})}$ શોધવાની જરૂર છે.
$P(\bar{D} | T_2) = 1 - P(D | T_2) = 1 - \frac{1}{40} = \frac{39}{40}$.
$P(T_2 | \bar{D}) = \frac{(\frac{39}{40}) \times 0.8}{0.93} = \frac{0.78}{0.93} = \frac{78}{93}$.

(C) ધારો કે $G$ એ ઘટના છે કે મૂળ સિગ્નલ લીલું છે અને $R$ એ ઘટના છે કે મૂળ સિગ્નલ લાલ છે. આપેલ છે કે $P(G) = \frac{4}{5}$ અને $P(R) = \frac{1}{5}$.
ધારો કે $S_A$ અને $S_B$ એ અનુક્રમે સ્ટેશન $A$ અને સ્ટેશન $B$ દ્વારા પ્રાપ્ત થયેલ સિગ્નલ છે. યોગ્ય રીતે પ્રાપ્ત કરવાની સંભાવના $p = \frac{3}{4}$ અને ખોટી રીતે પ્રાપ્ત કરવાની સંભાવના $q = \frac{1}{4}$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે સ્ટેશન $B$ પર પ્રાપ્ત થયેલ સિગ્નલ લીલું છે.
$P(E) = P(E|G)P(G) + P(E|R)P(R)$.
$G$ થી શરૂ કરીને $B$ પર લીલું સિગ્નલ મેળવવા માટે:
$1$. $A$ એ $G$ યોગ્ય રીતે પ્રાપ્ત કર્યું (સંભાવના $\frac{3}{4}$),$B$ એ $G$ યોગ્ય રીતે પ્રાપ્ત કર્યું (સંભાવના $\frac{3}{4}$) $\rightarrow \frac{3}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{16}$.
$2$. $A$ એ $R$ ખોટી રીતે પ્રાપ્ત કર્યું (સંભાવના $\frac{1}{4}$),$B$ એ $G$ ખોટી રીતે પ્રાપ્ત કર્યું (સંભાવના $\frac{1}{4}$) $\rightarrow \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$.
તેથી,$P(E|G) = \frac{9}{16} + \frac{1}{16} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}$.
$R$ થી શરૂ કરીને $B$ પર લીલું સિગ્નલ મેળવવા માટે:
$1$. $A$ એ $R$ યોગ્ય રીતે પ્રાપ્ત કર્યું (સંભાવના $\frac{3}{4}$),$B$ એ $G$ ખોટી રીતે પ્રાપ્ત કર્યું (સંભાવના $\frac{1}{4}$) $\rightarrow \frac{3}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{16}$.
$2$. $A$ એ $G$ ખોટી રીતે પ્રાપ્ત કર્યું (સંભાવના $\frac{1}{4}$),$B$ એ $R$ ખોટી રીતે પ્રાપ્ત કર્યું (સંભાવના $\frac{1}{4}$) $\rightarrow \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$.
તેથી,$P(E|R) = \frac{3}{16} + \frac{1}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$P(G|E) = \frac{P(E|G)P(G)}{P(E|G)P(G) + P(E|R)P(R)} = \frac{\frac{5}{8} \times \frac{4}{5}}{\frac{5}{8} \times \frac{4}{5} + \frac{1}{4} \times \frac{1}{5}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2} + \frac{1}{20}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{11}{20}} = \frac{20}{23}$.

(A) ધારો કે $H$ એ છાપ આવવાની ઘટના છે અને $T$ એ કાંટો આવવાની ઘટના છે. $P(H) = P(T) = \frac{1}{2}$.
$1.$ ધારો કે $W$ એ $U_2$ માંથી સફેદ દડો પસંદ કરવાની ઘટના છે.
જો $H$ બને,તો $U_1$ માંથી $1$ દડો $U_2$ માં ખસેડવામાં આવે છે. $U_2$ માં હવે $2$ દડા છે.
$P(W|H) = P(U_1 \text{ \text{માંથી સફેદ}}) \times P(U_2 \text{ \text{માંથી સફેદ}} | \text{\text{સફેદ ખસેડાયો}}) + P(U_1 \text{ \text{માંથી લાલ}}) \times P(U_2 \text{ \text{માંથી સફેદ}} | \text{\text{લાલ ખસેડાયો}})$
$P(W|H) = (\frac{3}{5} \times \frac{2}{2}) + (\frac{2}{5} \times \frac{1}{2}) = \frac{3}{5} + \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.
જો $T$ બને,તો $U_1$ માંથી $2$ દડા $U_2$ માં ખસેડવામાં આવે છે. $U_2$ માં હવે $3$ દડા છે.
$P(W|T) = P(2W) \times P(W|2W) + P(1W, 1R) \times P(W|1W, 1R) + P(2R) \times P(W|2R)$
$P(W|T) = (\frac{^3C_2}{^5C_2} \times \frac{3}{3}) + (\frac{^3C_1 \times ^2C_1}{^5C_2} \times \frac{2}{3}) + (\frac{^2C_2}{^5C_2} \times \frac{1}{3})$
$P(W|T) = (\frac{3}{10} \times 1) + (\frac{6}{10} \times \frac{2}{3}) + (\frac{1}{10} \times \frac{1}{3}) = \frac{3}{10} + \frac{4}{10} + \frac{1}{30} = \frac{9+12+1}{30} = \frac{22}{30} = \frac{11}{15}$.
$P(W) = P(H)P(W|H) + P(T)P(W|T) = \frac{1}{2}(\frac{4}{5}) + \frac{1}{2}(\frac{11}{15}) = \frac{2}{5} + \frac{11}{30} = \frac{12+11}{30} = \frac{23}{30}$.
$2.$ બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$P(H|W) = \frac{P(H)P(W|H)}{P(W)} = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{4}{5}}{\frac{23}{30}} = \frac{2/5}{23/30} = \frac{2}{5} \times \frac{30}{23} = \frac{12}{23}$.

(A) ધારો કે $G$ એ લીલો દડો પસંદ કરવાની ઘટના છે. થેલીઓ પસંદ કરવાની સંભાવનાઓ $P(B_1) = \frac{3}{10}, P(B_2) = \frac{3}{10}, P(B_3) = \frac{4}{10}$ છે.
દરેક થેલીમાંથી લીલો દડો પસંદ કરવાની શરતી સંભાવનાઓ:
$P(G|B_1) = \frac{5}{5+5} = \frac{1}{2}$
$P(G|B_2) = \frac{5}{3+5} = \frac{5}{8}$
$P(G|B_3) = \frac{3}{5+3} = \frac{3}{8}$
$(1)$ $P(B_3 \cap G) = P(G|B_3) \times P(B_3) = \frac{3}{8} \times \frac{4}{10} = \frac{3}{20}$. (વિધાન $1$ સાચું છે)
$(2)$ $P(G) = P(G|B_1)P(B_1) + P(G|B_2)P(B_2) + P(G|B_3)P(B_3) = \frac{3}{20} + \frac{15}{80} + \frac{12}{80} = \frac{39}{80}$. (વિધાન $2$ સાચું છે)
$(3)$ $P(G|B_3) = \frac{3}{8}$. (વિધાન $3$ સાચું છે)
$(4)$ $P(B_3|G) = \frac{P(B_3 \cap G)}{P(G)} = \frac{3/20}{39/80} = \frac{4}{13}$. (વિધાન $4$ સાચું છે)

(A) $1.$ ધારો કે $R$ એ લાલ દડો નીકળવાની ઘટના છે. $P(I) = P(II) = \frac{1}{2}$.
$P(R|I) = \frac{n_1}{n_1+n_2}$ અને $P(R|II) = \frac{n_3}{n_3+n_4}$.
બેયઝના પ્રમેય મુજબ,$P(II|R) = \frac{P(II)P(R|II)}{P(I)P(R|I) + P(II)P(R|II)} = \frac{1}{3}$.
$\frac{\frac{n_3}{n_3+n_4}}{\frac{n_1}{n_1+n_2} + \frac{n_3}{n_3+n_4}} = \frac{1}{3} \implies 2\frac{n_3}{n_3+n_4} = \frac{n_1}{n_1+n_2}$.
વિકલ્પ $(A)$ અને $(B)$ આ શરતનું પાલન કરે છે.
$2.$ બોક્સ $I$ માંથી એક દડો બોક્સ $II$ માં સ્થાનાંતરિત કર્યા પછી,બોક્સ $I$ માં દડાઓની સંખ્યા $n_1+n_2-1$ થાય છે.
$P(R_{new}) = \frac{n_1}{n_1+n_2} \cdot \frac{n_1-1}{n_1+n_2-1} + \frac{n_2}{n_1+n_2} \cdot \frac{n_1}{n_1+n_2-1} = \frac{n_1}{n_1+n_2} = \frac{1}{3}$.
આમ,$2n_1 = n_2$. વિકલ્પ $(C)$ અને $(D)$ આ શરતનું પાલન કરે છે.

(C) ધારો કે $K$ એ ઘટના છે કે વિદ્યાર્થી જવાબ જાણે છે અને $G$ એ ઘટના છે કે વિદ્યાર્થી જવાબનું અનુમાન લગાવે છે.
ધારો કે $C$ એ ઘટના છે કે વિદ્યાર્થી સાચો જવાબ આપે છે.
આપણને આપેલ છે:
$P(C|G) = \frac{1}{2}$
$P(C|K) = 1$ (કારણ કે જો વિદ્યાર્થી જવાબ જાણે છે તો તે હંમેશા સાચો જવાબ આપે છે).
$P(G|C) = \frac{1}{6}$
ધારો કે $P(K) = x$. તો $P(G) = 1 - x$.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$P(G|C) = \frac{P(C|G)P(G)}{P(C|G)P(G) + P(C|K)P(K)}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{6} = \frac{(\frac{1}{2})(1-x)}{(\frac{1}{2})(1-x) + (1)(x)}$
$\frac{1}{6} = \frac{\frac{1-x}{2}}{\frac{1-x+2x}{2}}$
$\frac{1}{6} = \frac{1-x}{1+x}$
$1+x = 6-6x$
$7x = 5$
$x = \frac{5}{7}$
આમ,વિદ્યાર્થી જવાબ જાણે છે તેની સંભાવના $\frac{5}{7}$ છે.

(A) ધારો કે $B_1$ એ પ્રથમ દડો કાળો હોવાની ઘટના છે અને $B_2$ એ બીજો દડો કાળો હોવાની ઘટના છે. આપણે $P(B_1 | B_2)$ શોધવાનું છે.
બેયઝના પ્રમેય મુજબ,$P(B_1 | B_2) = \frac{P(B_1 \cap B_2)}{P(B_2)}$.
દડાઓની કુલ સંખ્યા $4 + 6 = 10$ છે.
$P(B_1 \cap B_2) = P(B_1) \times P(B_2 | B_1) = \frac{6}{10} \times \frac{5}{9} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3}$.
$P(B_2) = P(B_1 \cap B_2) + P(W_1 \cap B_2) = \frac{6}{10} \times \frac{5}{9} + \frac{4}{10} \times \frac{6}{9} = \frac{30}{90} + \frac{24}{90} = \frac{54}{90} = \frac{3}{5}$.
આમ,$P(B_1 | B_2) = \frac{30/90}{54/90} = \frac{30}{54} = \frac{5}{9}$.
અહીં,$m = 5$ અને $n = 9$. કારણ કે $\operatorname{gcd}(5, 9) = 1$,તેથી $m + n = 5 + 9 = 14$.

(B) ધારો કે $E_1, E_2, E_3$ એ અનુક્રમે થેલી $B_1, B_2, B_3$ પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે. થેલીઓ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવતી હોવાથી,$P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \frac{1}{3}$ છે.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે કાઢવામાં આવેલ દડો સફેદ છે.
દરેક થેલીમાંથી સફેદ દડો કાઢવાની સંભાવનાઓ નીચે મુજબ છે:
$P(A|E_1) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
$P(A|E_2) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
$P(A|E_3) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,જો દડો સફેદ હોય તો તે થેલી $B_2$ માંથી કાઢવામાં આવ્યો હોય તેની સંભાવના:
$P(E_2|A) = \frac{P(E_2)P(A|E_2)}{P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2) + P(E_3)P(A|E_3)}$
$P(E_2|A) = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{4}{10}}{\frac{1}{3} \times \frac{6}{10} + \frac{1}{3} \times \frac{4}{10} + \frac{1}{3} \times \frac{5}{10}}$
$P(E_2|A) = \frac{4}{6 + 4 + 5} = \frac{4}{15}$

(A) ધારો કે $W_1$ એ થેલી $1$ માંથી સફેદ દડો પસંદ કરવાની ઘટના છે અને $B_1$ એ થેલી $1$ માંથી કાળો દડો પસંદ કરવાની ઘટના છે.
ધારો કે $W_2$ એ થેલી $2$ માંથી સફેદ દડો પસંદ કરવાની ઘટના છે.
થેલી $1$ માં $4$ સફેદ અને $5$ કાળા દડા છે (કુલ $= 9$).
થેલી $2$ માં $n$ સફેદ અને $3$ કાળા દડા છે (કુલ $= n+3$).
થેલી $1$ માંથી એક દડો થેલી $2$ માં સ્થાનાંતરિત કર્યા પછી,થેલી $2$ માં કુલ $n+4$ દડા થાય છે.
જો $W_1$ બને,તો થેલી $2$ માં $(n+1)$ સફેદ દડા હોય. $P(W_1) = 4/9$.
જો $B_1$ બને,તો થેલી $2$ માં $n$ સફેદ દડા હોય. $P(B_1) = 5/9$.
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$P(W_2) = P(W_1) \times P(W_2|W_1) + P(B_1) \times P(W_2|B_1)$
$29/45 = (4/9) \times ((n+1)/(n+4)) + (5/9) \times (n/(n+4))$
$29/45 = (4n + 4 + 5n) / (9(n+4))$
$29/45 = (9n + 4) / (9(n+4))$
$29/5 = (9n + 4) / (n+4)$
$29(n+4) = 5(9n + 4)$
$29n + 116 = 45n + 20$
$16n = 96$
$n = 6$

(C) ધારો કે $B_I, B_{II}, B_{III}$ એ અનુક્રમે થેલી $I$,થેલી $II$ અને થેલી $III$ પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે. થેલીઓ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવતી હોવાથી,$P(B_I) = P(B_{II}) = P(B_{III}) = \frac{1}{3}$.
ધારો કે $R$ એ લાલ દડો કાઢવાની ઘટના છે અને $G$ એ લીલો દડો કાઢવાની ઘટના છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$p = P(B_I | R) = \frac{P(B_I)P(R|B_I)}{P(B_I)P(R|B_I) + P(B_{II})P(R|B_{II}) + P(B_{III})P(R|B_{III})}$
$p = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{3}{10}}{\frac{1}{3} \times \frac{3}{10} + \frac{1}{3} \times \frac{4}{10} + \frac{1}{3} \times \frac{5}{10}} = \frac{3}{3+4+5} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.
તે જ રીતે,લીલા દડા માટે:
$q = P(B_{III} | G) = \frac{P(B_{III})P(G|B_{III})}{P(B_I)P(G|B_I) + P(B_{II})P(G|B_{II}) + P(B_{III})P(G|B_{III})}$
$q = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{4}{10}}{\frac{1}{3} \times \frac{5}{10} + \frac{1}{3} \times \frac{3}{10} + \frac{1}{3} \times \frac{4}{10}} = \frac{4}{5+3+4} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
તેથી,$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{1/4} + \frac{1}{1/3} = 4 + 3 = 7$.

(B) ધારો કે $S$ એ ઘટના છે કે ખોવાયેલું કાર્ડ ફુલ્લી છે,અને $E$ એ ઘટના છે કે બાકીના $51$ કાર્ડમાંથી ખેંચાયેલા $n$ કાર્ડ ફુલ્લી છે.
આપણને $P(S|E) = \frac{11}{50}$ આપેલ છે.
બેયઝના પ્રમેય મુજબ,$P(S|E) = \frac{P(E|S)P(S)}{P(E|S)P(S) + P(E|S^c)P(S^c)}$.
જો ખોવાયેલું કાર્ડ ફુલ્લી $(S)$ હોય,તો $51$ કાર્ડમાં $12$ ફુલ્લી બાકી રહે. $P(E|S) = \frac{\binom{12}{n}}{\binom{51}{n}}$.
જો ખોવાયેલું કાર્ડ ફુલ્લી ન હોય $(S^c)$,તો $51$ કાર્ડમાં $13$ ફુલ્લી બાકી રહે. $P(E|S^c) = \frac{\binom{13}{n}}{\binom{51}{n}}$.
$P(S) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ અને $P(S^c) = \frac{39}{52} = \frac{3}{4}$.
કિંમતો મૂકતા:
$P(S|E) = \frac{\binom{12}{n}}{\binom{12}{n} + 3 \cdot \binom{13}{n}} = \frac{11}{50}$.
$\frac{13-n}{52-n} = \frac{11}{50}$ ઉકેલતા,$n = 2$ મળે છે.

(A) ધારો કે $U$ એ નિષ્પક્ષ સિક્કો પસંદ કરવાની ઘટના છે,અને $B$ એ પક્ષપાતી (બંને બાજુ છાપવાળો) સિક્કો પસંદ કરવાની ઘટના છે.
ધારો કે $H$ એ છાપ મળવાની ઘટના છે.
આપણી પાસે $P(U) = \frac{19}{20}$ અને $P(B) = \frac{1}{20}$ છે.
નિષ્પક્ષ સિક્કા પર છાપ મળવાની સંભાવના $P(H|U) = \frac{1}{2}$ છે.
પક્ષપાતી સિક્કા પર છાપ મળવાની સંભાવના $P(H|B) = 1$ છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,છાપ મળે ત્યારે પસંદ કરેલ સિક્કો નિષ્પક્ષ હોય તેની સંભાવના:
$P(U|H) = \frac{P(U)P(H|U)}{P(U)P(H|U) + P(B)P(H|B)}$
$P(U|H) = \frac{\frac{19}{20} \times \frac{1}{2}}{\frac{19}{20} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{20} \times 1} = \frac{\frac{19}{40}}{\frac{19}{40} + \frac{2}{40}} = \frac{19}{21}$.
આમ,$m = 19$ અને $n = 21$.
$n^2 - m^2 = 21^2 - 19^2 = 441 - 361 = 80$.

(C) ધારો કે ઉત્પાદિત બલ્બની કુલ સંખ્યા $100$ છે. ઉત્પાદનનો ગુણોત્તર $2:2:1$ હોવાથી,$M_1, M_2$ અને $M_3$ દ્વારા ઉત્પાદિત બલ્બની સંખ્યા અનુક્રમે $40, 40$ અને $20$ છે.
કુલ બલ્બના $20\%$ ખામીયુક્ત હોવાથી,કુલ ખામીયુક્ત બલ્બ $= 20$ છે.
$M_1$ માટે,$40$ બલ્બના $15\%$ ખામીયુક્ત છે,તેથી $0.15 \times 40 = 6$ બલ્બ ખામીયુક્ત છે.
ધારો કે $M_3$ દ્વારા ઉત્પાદિત ખામીયુક્ત બલ્બની સંખ્યા $x$ છે. તો $M_2$ દ્વારા ઉત્પાદિત ખામીયુક્ત બલ્બની સંખ્યા $20 - 6 - x = 14 - x$ થશે.
આપેલ છે કે યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલ ખામીયુક્ત બલ્બ $M_2$ દ્વારા ઉત્પાદિત હોવાની સંભાવના $\frac{2}{5}$ છે,તેથી:
$P(M_2 | \text{Defective}) = \frac{M_2 \text{ ના ખામીયુક્ત બલ્બ}}{\text{કુલ ખામીયુક્ત બલ્બ}} = \frac{14 - x}{20} = \frac{2}{5}$.
$x$ માટે ઉકેલતા:
$14 - x = \frac{2}{5} \times 20 = 8$
$x = 14 - 8 = 6$.
આમ,$M_3$ એ $20$ માંથી $6$ ખામીયુક્ત બલ્બનું ઉત્પાદન કરે છે.
$M_3$ માંથી પસંદ કરેલ બલ્બ ખામીયુક્ત હોવાની સંભાવના $\frac{6}{20} = 0.3$ છે.

(B) ધારો કે $R$ એ લાલ દડો કાઢવાની ઘટના છે. આપણને દરેક પેટી પસંદ કરવાની સંભાવનાઓ આપેલી છે: $P(B_1) = \frac{1}{2}$,$P(B_2) = \frac{1}{3}$,$P(B_3) = \frac{1}{6}$.
દરેક પેટીમાંથી લાલ દડો કાઢવાની સંભાવના:
$P(R|B_1) = \frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}$
$P(R|B_2) = \frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$
$P(R|B_3) = \frac{3}{3+4} = \frac{3}{7}$
કુલ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,લાલ દડો કાઢવાની સંભાવના:
$P(R) = P(B_1)P(R|B_1) + P(B_2)P(R|B_2) + P(B_3)P(R|B_3)$
$P(R) = \left(\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} \times \frac{2}{5}\right) + \left(\frac{1}{6} \times \frac{3}{7}\right)$
$P(R) = \frac{1}{6} + \frac{2}{15} + \frac{1}{14} = \frac{35 + 28 + 15}{210} = \frac{78}{210} = \frac{13}{35}$
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,જો લાલ દડો હોય તો તે પેટી $B_2$ માંથી આવ્યો હોય તેની સંભાવના:
$P(B_2|R) = \frac{P(B_2)P(R|B_2)}{P(R)} = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{2}{5}}{\frac{13}{35}} = \frac{2}{15} \times \frac{35}{13} = \frac{2 \times 7}{3 \times 13} = \frac{14}{39}$.

(C) ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે પાસા પર $6$ આવે છે,અને $R$ એ ઘટના છે કે માણસ $6$ હોવાનું જણાવે છે.
$P(E) = \frac{1}{6}$ ($6$ આવવાની સંભાવના)
$P(\text{not } E) = \frac{5}{6}$ ($6$ ન આવવાની સંભાવના)
$P(R|E) = \frac{3}{4}$ ($6$ હોય ત્યારે $6$ હોવાનું જણાવવાની સંભાવના)
$P(R|\text{not } E) = \frac{1}{4}$ ($6$ ન હોય ત્યારે $6$ હોવાનું જણાવવાની સંભાવના)
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,તે ખરેખર $6$ હોવાની સંભાવના જ્યારે તે $6$ હોવાનું જણાવે છે:
$P(E|R) = \frac{P(E) \times P(R|E)}{P(E) \times P(R|E) + P(\text{not } E) \times P(R|\text{not } E)}$
$P(E|R) = \frac{\frac{1}{6} \times \frac{3}{4}}{\frac{1}{6} \times \frac{3}{4} + \frac{5}{6} \times \frac{1}{4}}$
$P(E|R) = \frac{\frac{3}{24}}{\frac{3}{24} + \frac{5}{24}} = \frac{3}{8}$

(D) ધારો કે $E_1$ એ થેલી $I$ પસંદ કરવાની ઘટના છે અને $E_2$ એ થેલી $II$ પસંદ કરવાની ઘટના છે. થેલી યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવતી હોવાથી,$P(E_1) = P(E_2) = \frac{1}{2}$.
ધારો કે $G$ એ લીલો દડો કાઢવાની ઘટના છે.
થેલી $I$ માંથી લીલો દડો કાઢવાની સંભાવના $P(G|E_1) = \frac{2}{3+2} = \frac{2}{5}$ છે.
થેલી $II$ માંથી લીલો દડો કાઢવાની સંભાવના $P(G|E_2) = \frac{3}{5+3} = \frac{3}{8}$ છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,જો દડો લીલો હોય તો તે થેલી $I$ માંથી આવ્યો હોય તેની સંભાવના:
$P(E_1|G) = \frac{P(E_1)P(G|E_1)}{P(E_1)P(G|E_1) + P(E_2)P(G|E_2)}$
$P(E_1|G) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{2}{5}}{\frac{1}{2} \times \frac{2}{5} + \frac{1}{2} \times \frac{3}{8}}$
$P(E_1|G) = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{5} + \frac{3}{16}} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{16+15}{80}} = \frac{1}{5} \times \frac{80}{31} = \frac{16}{31}$.

(A) ધારો કે $E_1, E_2, E_3$ એ ઘટનાઓ છે કે દર્દીને અનુક્રમે $d_1, d_2, d_3$ રોગો છે. સંભાવનાઓ સમાન હોવાથી,$P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \frac{1}{3}$ છે.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે પરીક્ષણ પોઝિટિવ છે.
આપેલ સંભાવનાઓ $P(A|E_1) = 0.7$,$P(A|E_2) = 0.5$,અને $P(A|E_3) = 0.8$ છે.
આપણે $P(E_2|A)$ શોધવાની જરૂર છે.
બેયઝના પ્રમેય મુજબ,$P(E_2|A) = \frac{P(E_2)P(A|E_2)}{P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2) + P(E_3)P(A|E_3)}$.
કિંમતો મૂકતા: $P(E_2|A) = \frac{\frac{1}{3} \times 0.5}{\frac{1}{3} \times 0.7 + \frac{1}{3} \times 0.5 + \frac{1}{3} \times 0.8}$.
$P(E_2|A) = \frac{0.5}{0.7 + 0.5 + 0.8} = \frac{0.5}{2.0} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$.

(A) ધારો કે $M$ એ પસંદ કરેલી વ્યક્તિ પુરુષ હોવાની ઘટના છે,$W$ એ પસંદ કરેલી વ્યક્તિ સ્ત્રી હોવાની ઘટના છે,અને $G$ એ પસંદ કરેલી વ્યક્તિના વાળ સફેદ હોવાની ઘટના છે.
પુરુષો અને સ્ત્રીઓની સંખ્યા સમાન હોવાથી,$P(M) = P(W) = \frac{1}{2}$ છે.
પુરુષના વાળ સફેદ હોવાની સંભાવના $P(G|M) = \frac{5}{100}$ છે.
સ્ત્રીના વાળ સફેદ હોવાની સંભાવના $P(G|W) = \frac{0.25}{100} = \frac{1}{400}$ છે.
આપણે $P(M|G)$ શોધવાનું છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$P(M|G) = \frac{P(M) \times P(G|M)}{P(M) \times P(G|M) + P(W) \times P(G|W)}$
$P(M|G) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{5}{100}}{\frac{1}{2} \times \frac{5}{100} + \frac{1}{2} \times \frac{0.25}{100}}$
$P(M|G) = \frac{5}{5 + 0.25} = \frac{5}{5.25} = \frac{500}{525} = \frac{20}{21}$.

(A) કારણ કે $E_{1}$ અને $E_{2}$ એ નિદર્શાવકાશ $S$ નું વિભાજન કરે છે,તેથી $P(E_{1}) + P(E_{2}) = 1$ થાય.
આપેલ છે કે $P(E_{1}) = P(E_{2}) = \frac{1}{2}$.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(E_{1} | A) + P(E_{2} | A) = 1$ થાય,કારણ કે $E_{1}$ અને $E_{2}$ એ નિઃશેષ અને પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ છે.
આપેલ છે કે $P(E_{2} | A) = \frac{1}{2}$.
તેથી,$P(E_{1} | A) = 1 - P(E_{2} | A) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

(B) ધારો કે $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$. આ ગણમાં $3$ બેકી સંખ્યાઓ $\{2, 4, 6\}$ અને $4$ એકી સંખ્યાઓ $\{1, 3, 5, 7\}$ છે.
ધારો કે $E_1$ એ બેકી સંખ્યા પસંદ થવાની ઘટના છે અને $E_2$ એ એકી સંખ્યા પસંદ થવાની ઘટના છે.
$P(E_1) = \frac{3}{7}$ અને $P(E_2) = \frac{4}{7}$.
ધારો કે $E$ એ માણસ દ્વારા બેકી સંખ્યા જણાવવાની ઘટના છે.
જો સંખ્યા બેકી હોય,તો તે $\frac{2}{3}$ સંભાવના સાથે સાચું બોલે છે,તેથી $P(E \mid E_1) = \frac{2}{3}$.
જો સંખ્યા એકી હોય,તો તે $1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ સંભાવના સાથે જૂઠું બોલે છે,તેથી $P(E \mid E_2) = \frac{1}{3}$.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને આપણે $P(E_1 \mid E)$ શોધવાનું છે:
$P(E_1 \mid E) = \frac{P(E \mid E_1) P(E_1)}{P(E \mid E_1) P(E_1) + P(E \mid E_2) P(E_2)}$
$P(E_1 \mid E) = \frac{(\frac{2}{3})(\frac{3}{7})}{(\frac{2}{3})(\frac{3}{7}) + (\frac{1}{3})(\frac{4}{7})}$
$P(E_1 \mid E) = \frac{\frac{6}{21}}{\frac{6}{21} + \frac{4}{21}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

(C) ધારો કે $E_1$ એ અસામાન્ય સિક્કો (બંને બાજુ છાપવાળો) પસંદ કરવાની ઘટના છે અને $E_2$ એ સામાન્ય સિક્કો પસંદ કરવાની ઘટના છે.
સિક્કાઓની કુલ સંખ્યા $= 2n+1$.
અસામાન્ય સિક્કાઓની સંખ્યા $= n$,તેથી $P(E_1) = \frac{n}{2n+1}$.
સામાન્ય સિક્કાઓની સંખ્યા $= n+1$,તેથી $P(E_2) = \frac{n+1}{2n+1}$.
ધારો કે $H$ એ સિક્કો ઉછાળતા છાપ મળવાની ઘટના છે.
અસામાન્ય સિક્કા માટે,$P(H|E_1) = 1$.
સામાન્ય સિક્કા માટે,$P(H|E_2) = \frac{1}{2}$.
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$P(H) = P(E_1)P(H|E_1) + P(E_2)P(H|E_2)$
$\frac{31}{42} = \left(\frac{n}{2n+1}\right)(1) + \left(\frac{n+1}{2n+1}\right)\left(\frac{1}{2}\right)$
$\frac{31}{42} = \frac{2n + n + 1}{2(2n+1)} = \frac{3n+1}{4n+2}$
$31(4n+2) = 42(3n+1)$
$124n + 62 = 126n + 42$
$2n = 20$
$n = 10$.

(C) ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે કાર પ્રમાણભૂત ગુણવત્તાની છે. ધારો કે $A_{1}$ એ ઘટના છે કે કાર પ્લાન્ટ $X$ માં ઉત્પાદિત થાય છે,અને $A_{2}$ એ ઘટના છે કે કાર પ્લાન્ટ $Y$ માં ઉત્પાદિત થાય છે.
આપેલી સંભાવનાઓ છે:
$P(A_{1}) = \frac{70}{100} = \frac{7}{10}$
$P(A_{2}) = \frac{30}{100} = \frac{3}{10}$
$P(E|A_{1}) = \frac{80}{100} = \frac{8}{10}$
$P(E|A_{2}) = \frac{90}{100} = \frac{9}{10}$
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,જો કાર પ્રમાણભૂત ગુણવત્તાની હોય તો તે પ્લાન્ટ $X$ માંથી આવી હોય તેની સંભાવના:
$P(A_{1}|E) = \frac{P(A_{1}) \times P(E|A_{1})}{P(A_{1}) \times P(E|A_{1}) + P(A_{2}) \times P(E|A_{2})}$
$P(A_{1}|E) = \frac{\frac{7}{10} \times \frac{8}{10}}{\frac{7}{10} \times \frac{8}{10} + \frac{3}{10} \times \frac{9}{10}}$
$P(A_{1}|E) = \frac{56/100}{56/100 + 27/100} = \frac{56}{56 + 27} = \frac{56}{83}$
આમ,જરૂરી સંભાવના $\frac{56}{83}$ છે.

(D) ધારો કે $A$ એ મીરા મંદિર $A$ ની મુલાકાત લે તે ઘટના છે અને $B$ એ મંદિર $B$ ની મુલાકાત લે તે ઘટના છે. ધારો કે $F$ એ ઘટના છે કે તે તેની મિત્રને મળે છે.
આપેલ છે:
$P(A) = \frac{2}{5}$
$P(B) = 1 - P(A) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$
$P(F|A) = \frac{1}{3}$
$P(F|B) = \frac{2}{7}$
આપણે તે સંભાવના શોધવાની છે કે તે તેની મિત્રને મંદિર $B$ પર મળી,જે $P(B|F)$ છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$P(B|F) = \frac{P(B) \times P(F|B)}{P(A) \times P(F|A) + P(B) \times P(F|B)}$
$P(B|F) = \frac{\frac{3}{5} \times \frac{2}{7}}{(\frac{2}{5} \times \frac{1}{3}) + (\frac{3}{5} \times \frac{2}{7})}$
$P(B|F) = \frac{\frac{6}{35}}{\frac{2}{15} + \frac{6}{35}}$
છેદ માટે સામાન્ય છેદ શોધતા: $15 = 3 \times 5$ અને $35 = 7 \times 5$,તેથી લ.સા.અ. $105$ છે.
$P(B|F) = \frac{\frac{6}{35}}{\frac{14}{105} + \frac{18}{105}} = \frac{\frac{18}{105}}{\frac{14+18}{105}} = \frac{18}{32} = \frac{9}{16}$

(D) ધારો કે પુરુષોની સંખ્યા $m$ અને સ્ત્રીઓની સંખ્યા $w$ છે. આપેલ છે કે $m + w = 8$.
પરિવારમાંથી $2$ પુરુષો અને $2$ સ્ત્રીઓને પસંદ કરવાની સંભાવના $P(E) = \frac{\binom{m}{2} \binom{w}{2}}{\binom{8}{4}}$ છે.
આપણને આપેલ છે કે આ ઘટના બની છે. આપણે $m = w = 4$ હોય તેની સંભાવના શોધવી છે.
જો $m = 4$ અને $w = 4$ હોય,તો $2$ પુરુષો અને $2$ સ્ત્રીઓને પસંદ કરવાની સંભાવના $P(E|m=4, w=4) = \frac{\binom{4}{2} \binom{4}{2}}{\binom{8}{4}} = \frac{6 \times 6}{70} = \frac{36}{70}$ છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,જરૂરી સંભાવના $\frac{36}{126} = \frac{2}{7}$ મળે છે.

(C) ધારો કે $A$ એ બે એકી સંખ્યાઓ મેળવવાની ઘટના છે અને $B$ એ બેકી સરવાળો મેળવવાની ઘટના છે.
આપણે શરતી સંભાવના $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ શોધવાની છે.
અહીં $5$ એકી અંકો $(1, 3, 5, 7, 9)$ અને $4$ બેકી અંકો $(2, 4, 6, 8)$ છે.
$9$ માંથી $2$ અંકો પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^9C_2 = 36$ છે.
સરવાળો બેકી ત્યારે જ થાય જો બંને અંકો એકી હોય અથવા બંને અંકો બેકી હોય.
બેકી સરવાળો મેળવવાની રીતો $= {}^5C_2 + {}^4C_2 = 10 + 6 = 16$.
બંને એકી અંકો મેળવવાની રીતો $= {}^5C_2 = 10$.
તેથી,$P(A|B) = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}$.

(B) ધારો કે $B_1, B_2, B_3$ એ અનુક્રમે બોક્સ $B_1, B_2, B_3$ પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે. પાસો ફેંકતા,$P(B_1) = P(B_2) = P(B_3) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
ધારો કે $R$ એ લાલ દડો પસંદ કરવાની ઘટના છે.
બોક્સ $B_1$ માટે,કુલ દડા $= 2+1+2 = 5$,તેથી $P(R|B_1) = \frac{2}{5}$.
બોક્સ $B_2$ માટે,કુલ દડા $= 3+2+4 = 9$,તેથી $P(R|B_2) = \frac{4}{9}$.
બોક્સ $B_3$ માટે,કુલ દડા $= 4+3+2 = 9$,તેથી $P(R|B_3) = \frac{2}{9}$.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,લાલ દડો મળેલ હોય ત્યારે તે $B_2$ માંથી હોય તેની સંભાવના:
$P(B_2|R) = \frac{P(R|B_2)P(B_2)}{P(R|B_1)P(B_1) + P(R|B_2)P(B_2) + P(R|B_3)P(B_3)}$
$P(B_2|R) = \frac{(\frac{4}{9} \times \frac{1}{3})}{(\frac{2}{5} \times \frac{1}{3}) + (\frac{4}{9} \times \frac{1}{3}) + (\frac{2}{9} \times \frac{1}{3})} = \frac{5}{12}$.

(D) ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે રમકડું ખામીયુક્ત છે. ધારો કે $A, B, C$ એ ઘટનાઓ છે કે રમકડું અનુક્રમે મશીન $A, B, C$ દ્વારા બનાવવામાં આવ્યું છે.
આપેલ સંભાવનાઓ:
$P(A) = \frac{30}{100}, P(B) = \frac{40}{100}, P(C) = \frac{30}{100}$
$P(E|A) = \frac{2}{100}, P(E|B) = \frac{3}{100}, P(E|C) = \frac{1}{100}$
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,ખામીયુક્ત રમકડું મશીન $B$ દ્વારા બનાવવામાં આવ્યું હોવાની સંભાવના:
$P(B|E) = \frac{P(B) \times P(E|B)}{P(A) \times P(E|A) + P(B) \times P(E|B) + P(C) \times P(E|C)}$
$P(B|E) = \frac{\frac{40}{100} \times \frac{3}{100}}{\frac{30}{100} \times \frac{2}{100} + \frac{40}{100} \times \frac{3}{100} + \frac{30}{100} \times \frac{1}{100}}$
$P(B|E) = \frac{120}{60 + 120 + 30} = \frac{120}{210} = \frac{4}{7}$

(B) આ બેયઝના પ્રમેયનો દાખલો છે.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે ત્રણેય દડા અલગ-અલગ રંગના છે.
ધારો કે $E_1, E_2, E_3$ એ ઘટનાઓ છે કે અનુક્રમે બોક્સ $1$,બોક્સ $2$ અને બોક્સ $3$ પસંદ કરવામાં આવે છે.
એક બોક્સ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવતું હોવાથી,$P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \frac{1}{3}$.
દરેક બોક્સમાંથી $3$ અલગ-અલગ રંગના દડા કાઢવાની સંભાવના:
$P(A|E_1) = \frac{{}^1C_1 \times {}^2C_1 \times {}^3C_1}{{}^6C_3} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$
$P(A|E_2) = \frac{{}^1C_1 \times {}^1C_1 \times {}^2C_1}{{}^4C_3} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$P(A|E_3) = \frac{{}^5C_1 \times {}^4C_1 \times {}^1C_1}{{}^{10}C_3} = \frac{20}{120} = \frac{1}{6}$
બેયઝના પ્રમેય મુજબ,દડા બોક્સ $2$ માંથી આવ્યા હોય તેની સંભાવના:
$P(E_2|A) = \frac{P(E_2) \cdot P(A|E_2)}{P(E_1) \cdot P(A|E_1) + P(E_2) \cdot P(A|E_2) + P(E_3) \cdot P(A|E_3)}$
$P(E_2|A) = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}}{\frac{1}{3} \times \frac{3}{10} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{6}} = \frac{15}{29}$

(B) ધારો કે $E_1$ એ ઘટના છે કે $6$ આવે છે,$P(E_1) = \frac{1}{6}$.
ધારો કે $E_2$ એ ઘટના છે કે $6$ આવતું નથી,$P(E_2) = \frac{5}{6}$.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે માણસ $6$ હોવાનું જણાવે છે.
આપેલ છે કે $P(A|E_1) = \frac{2}{3}$ (સત્ય) અને $P(A|E_2) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ (અસત્ય).
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,જો તે $6$ હોવાનું જણાવે તો તે ખરેખર $6$ હોવાની સંભાવના:
$P(E_1|A) = \frac{P(E_1)P(A|E_1)}{P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2)} = \frac{\frac{1}{6} \times \frac{2}{3}}{\frac{1}{6} \times \frac{2}{3} + \frac{5}{6} \times \frac{1}{3}} = \frac{2}{2+5} = \frac{2}{7}$.
જો તે $6$ હોવાનું જણાવે તો તે $6$ ન હોવાની સંભાવના $P(E_2|A) = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$ છે.
પાસો નિષ્પક્ષ હોવાથી,જો તે $6$ ન હોય,તો તે અન્ય $5$ સંખ્યાઓ $(1, 2, 3, 4, 5)$ માંથી કોઈ પણ હોઈ શકે છે.
તેથી,જો તે $6$ હોવાનું જણાવે તો તે ખરેખર $5$ હોવાની સંભાવના $\frac{1}{5} \times P(E_2|A) = \frac{1}{5} \times \frac{5}{7} = \frac{1}{7}$ છે.

(B) ધારો કે $E_1$ એ ઘટના છે કે પાસા પર $1$ અથવા $2$ આવે છે,અને $E_2$ એ ઘટના છે કે પાસા પર $3, 4, 5,$ અથવા $6$ આવે છે.
$P(E_1) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ અને $P(E_2) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
ધારો કે $B$ એ ઘટના છે કે કાળો દડો કાઢવામાં આવે છે.
પ્રથમ પેટીમાં $4$ કાળા,$2$ સફેદ અને $6$ લાલ દડા છે (કુલ $12$). તેથી,$P(B|E_1) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
બીજી પેટીમાં $3$ કાળા અને $5$ સફેદ દડા છે (કુલ $8$). તેથી,$P(B|E_2) = \frac{3}{8}$.
બેયઝના પ્રમેય મુજબ,$P(E_1|B) = \frac{P(E_1)P(B|E_1)}{P(E_1)P(B|E_1) + P(E_2)P(B|E_2)} = \frac{(1/3)(1/3)}{(1/3)(1/3) + (2/3)(3/8)} = \frac{1/9}{13/36} = \frac{4}{13}$.
પાસા પર $2$ આવવાની સંભાવના $P(2|E_1) = \frac{1}{2}$ છે.
તેથી,કાળો દડો હોય ત્યારે પાસા પર $2$ આવવાની સંભાવના $P(2|B) = P(2|E_1) \times P(E_1|B) = \frac{1}{2} \times \frac{4}{13} = \frac{2}{13}$.

(D) $52$ પત્તાના પેકમાં $26$ કાળા પત્તા હોય છે. $26$ માંથી $2$ કાળા પત્તા પસંદ કરવાની રીતો $^{26}C_2 = \frac{26 \times 25}{2} = 325$ છે.
$26$ કાળા પત્તામાં $6$ મુખમુદ્રાવાળા પત્તા (કાળી અને ફુલ્લીના રાજા,રાણી અને ગુલામ) હોય છે.
$2$ કાળા પત્તા પસંદ કરવાની રીતો જેમાં એક પણ મુખમુદ્રાવાળું ન હોય તે $^{20}C_2 = \frac{20 \times 19}{2} = 190$ છે.
$2$ કાળા પત્તા પસંદ કરવાની રીતો જેમાં ઓછામાં ઓછું એક મુખમુદ્રાવાળું હોય તે $325 - 190 = 135$ છે.
માટે જરૂરી સંભાવના $\frac{135}{325} = \frac{27}{65}$ થાય.

(A) ધારો કે $E_1$ એ ઘટના છે કે પરબિડીયું '$LONDON$' માંથી આવ્યું છે અને $E_2$ એ ઘટના છે કે તે '$CLIFTON$' માંથી આવ્યું છે. સમાન સંભાવના ધારતા,$P(E_1) = P(E_2) = \frac{1}{2}$.
'$LONDON$' ($6$ અક્ષરો) માં,$5$ ક્રમિક અક્ષરોની જોડી છે: '$LO$','$ON$','$ND$','$DO$','$ON$'. '$ON$' જોડી $2$ વાર દેખાય છે. તેથી,$P(A|E_1) = \frac{2}{5}$.
'$CLIFTON$' ($7$ અક્ષરો) માં,$6$ ક્રમિક અક્ષરોની જોડી છે: '$CL$','$LI$','$IF$','$FT$','$TO$','$ON$'. '$ON$' જોડી $1$ વાર દેખાય છે. તેથી,$P(A|E_2) = \frac{1}{6}$.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,'$ON$' દેખાય છે તે શરતે તે '$LONDON$' માંથી આવ્યું હોય તેની સંભાવના:
$P(E_1|A) = \frac{P(E_1)P(A|E_1)}{P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2)}$
$P(E_1|A) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{2}{5}}{\frac{1}{2} \times \frac{2}{5} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{6}} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{2}{5} + \frac{1}{6}} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{12+5}{30}} = \frac{2}{5} \times \frac{30}{17} = \frac{12}{17}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) ધારો કે ઘટનાઓ નીચે મુજબ છે:
$E_1$: મશીન $A$ દ્વારા ઉત્પાદન
$E_2$: મશીન $B$ દ્વારા ઉત્પાદન
$E_3$: મશીન $C$ દ્વારા ઉત્પાદન
$E$: પસંદ કરેલી વસ્તુ ખામીયુક્ત છે.
દરેક મશીન દ્વારા ઉત્પાદનની સંભાવનાઓ:
$P(E_1) = \frac{20}{100} = 0.2$
$P(E_2) = \frac{30}{100} = 0.3$
$P(E_3) = \frac{50}{100} = 0.5$
ખામીયુક્ત ઉત્પાદનોની શરતી સંભાવનાઓ:
$P(E|E_1) = \frac{5}{100} = 0.05$
$P(E|E_2) = \frac{3}{100} = 0.03$
$P(E|E_3) = \frac{2}{100} = 0.02$
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,ખામીયુક્ત વસ્તુ મશીન $B$ દ્વારા ઉત્પાદિત હોવાની સંભાવના:
$P(E_2|E) = \frac{P(E_2) \cdot P(E|E_2)}{P(E_1) \cdot P(E|E_1) + P(E_2) \cdot P(E|E_2) + P(E_3) \cdot P(E|E_3)}$
$P(E_2|E) = \frac{0.3 \times 0.03}{(0.2 \times 0.05) + (0.3 \times 0.03) + (0.5 \times 0.02)}$
$P(E_2|E) = \frac{0.009}{0.010 + 0.009 + 0.010} = \frac{0.009}{0.029} = \frac{9}{29}$

(B) ધારો કે $P(B) = p$. આપેલ શરત મુજબ,$P(A) = 2P(B) = 2p$. કારણ કે $P(A) + P(B) = 1$,તેથી $2p + p = 1$,જેનો અર્થ છે કે $3p = 1$,તેથી $p = \frac{1}{3}$. આમ,$P(B) = \frac{1}{3}$ અને $P(A) = \frac{2}{3}$.
પેટી $A$ માંથી લાલ દડો કાઢવાની સંભાવના $P(R|A) = \frac{3}{2+3} = \frac{3}{5}$ છે.
પેટી $B$ માંથી લાલ દડો કાઢવાની સંભાવના $P(R|B) = \frac{4}{3+4} = \frac{4}{7}$ છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,લાલ દડો પેટી $B$ માંથી આવ્યો હોય તેની સંભાવના:
$P(B|R) = \frac{P(B) \cdot P(R|B)}{P(A) \cdot P(R|A) + P(B) \cdot P(R|B)}$
$P(B|R) = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{7}}{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5} + \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{7}}$
$P(B|R) = \frac{\frac{4}{21}}{\frac{6}{15} + \frac{4}{21}} = \frac{\frac{4}{21}}{\frac{2}{5} + \frac{4}{21}}$
$P(B|R) = \frac{\frac{4}{21}}{\frac{42 + 20}{105}} = \frac{\frac{4}{21}}{\frac{62}{105}} = \frac{4}{21} \cdot \frac{105}{62} = \frac{4 \cdot 5}{62} = \frac{20}{62} = \frac{10}{31}$.