Properties of ITF Questions in Hindi

(C) हमारे पास है,$\sum_{n=1}^k \tan ^{-1}\left(\frac{1}{n^2+3 n+3}\right) = \tan ^{-1} \alpha$.
सर्वसमिका $\tan ^{-1} x - \tan ^{-1} y = \tan ^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$ का उपयोग करते हुए,हम योग के अंदर के पद को फिर से लिख सकते हैं:
$\frac{1}{n^2+3n+3} = \frac{(n+2)-(n+1)}{1+(n+2)(n+1)}$.
अतः,योग इस प्रकार हो जाता है:
$\sum_{n=1}^k (\tan ^{-1}(n+2) - \tan ^{-1}(n+1)) = \tan ^{-1} \alpha$.
योग का विस्तार करने पर:
$(\tan ^{-1} 3 - \tan ^{-1} 2) + (\tan ^{-1} 4 - \tan ^{-1} 3) + \dots + (\tan ^{-1}(k+2) - \tan ^{-1}(k+1)) = \tan ^{-1} \alpha$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है,इसलिए सभी मध्यवर्ती पद कट जाते हैं:
$\tan ^{-1}(k+2) - \tan ^{-1} 2 = \tan ^{-1} \alpha$.
सूत्र को फिर से लागू करने पर:
$\tan ^{-1}\left(\frac{(k+2)-2}{1+(k+2)(2)}\right) = \tan ^{-1} \alpha$.
$\tan ^{-1}\left(\frac{k}{1+2k+4}\right) = \tan ^{-1} \alpha$.
इसलिए,$\alpha = \frac{k}{2k+5}$.

(A) दिया गया समीकरण $2 \tan^{-1} 2x = \sin^{-1} \left( \frac{4x}{1+4x^2} \right)$ है।
हम जानते हैं कि सर्वसमिका $\sin^{-1} \left( \frac{2\theta}{1+\theta^2} \right) = 2 \tan^{-1} \theta$,जो $-1 \leq \theta \leq 1$ के लिए सत्य है।
यहाँ,$\theta = 2x$ लेने पर,समीकरण $2 \tan^{-1} 2x = \sin^{-1} \left( \frac{2(2x)}{1+(2x)^2} \right)$ हो जाता है।
यह सर्वसमिका तभी मान्य है जब $-1 \leq 2x \leq 1$ हो।
$2$ से विभाजित करने पर,हमें $-\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$x$ के मान $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ अंतराल में स्थित हैं।

(D) दिया गया है,$y=\tan ^{-1}\left(\frac{3 x-x^3}{1-3 x^2}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{4 x-4 x^3}{1-6 x^2+x^4}\right)$.
$x=\tan \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$\theta = \tan^{-1} x$.
व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$y = \tan^{-1}(\tan 3\theta) + \tan^{-1}(\tan 4\theta)$.
यह सरल होकर $y = 3\theta + 4\theta = 7\theta$ हो जाता है।
मान वापस रखने पर,$y = 7 \tan^{-1} x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d y}{d x} = 7 \times \frac{1}{1+x^2} = \frac{7}{1+x^2}$.

(D) हम जानते हैं कि $\sin ^{-1} x$ का परिसर $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ है।
चूंकि $\sin ^{-1} x = 2 \sin ^{-1} 2a$,इसलिए $2 \sin ^{-1} 2a$ का मान $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ अंतराल में होना चाहिए।
$\Rightarrow -\frac{\pi}{2} \leq 2 \sin ^{-1} 2a \leq \frac{\pi}{2}$
$\Rightarrow -\frac{\pi}{4} \leq \sin ^{-1} 2a \leq \frac{\pi}{4}$
सभी पक्षों में ज्या (sine) लेने पर:
$\sin(-\frac{\pi}{4}) \leq 2a \leq \sin(\frac{\pi}{4})$
$\Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{2}} \leq 2a \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$
$2$ से विभाजित करने पर:
$-\frac{1}{2\sqrt{2}} \leq a \leq \frac{1}{2\sqrt{2}}$
जो $|a| \leq \frac{1}{2\sqrt{2}}$ के बराबर है।

(B) श्रेणी का $n$ वां पद $t_{n} = \cot^{-1}(2n^2)$ है।
$\cot^{-1} x = \tan^{-1} \frac{1}{x}$ सर्वसमिका का उपयोग करते हुए,$t_{n} = \tan^{-1} \frac{1}{2n^2}$ प्राप्त होता है।
इसे $t_{n} = \tan^{-1} \frac{2}{4n^2} = \tan^{-1} \frac{(2n+1) - (2n-1)}{1 + (2n+1)(2n-1)}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} \frac{x-y}{1+xy}$ सूत्र का उपयोग करते हुए,$t_{n} = \tan^{-1}(2n+1) - \tan^{-1}(2n-1)$ प्राप्त होता है।
योग $S_{n} = \sum_{k=1}^{n} t_{k} = (\tan^{-1} 3 - \tan^{-1} 1) + (\tan^{-1} 5 - \tan^{-1} 3) + \dots + (\tan^{-1}(2n+1) - \tan^{-1}(2n-1))$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है,इसलिए $S_{n} = \tan^{-1}(2n+1) - \tan^{-1} 1$.
$n \rightarrow \infty$ पर सीमा लेने पर,$\lim_{n \rightarrow \infty} S_{n} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.

(C) हम जानते हैं कि $\sin ^{-1} \theta$ का परिसर $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ होता है।
दिया गया है कि $\sin ^{-1} x+\sin ^{-1} y+\sin ^{-1} z=\frac{3 \pi}{2}$।
चूंकि प्रत्येक पद $\sin ^{-1} x, \sin ^{-1} y, \sin ^{-1} z$ का अधिकतम मान $\frac{\pi}{2}$ है,इसलिए योग $\frac{3 \pi}{2}$ तभी संभव है जब $\sin ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,$\sin ^{-1} y = \frac{\pi}{2}$,और $\sin ^{-1} z = \frac{\pi}{2}$ हो।
इसका अर्थ है कि $x = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$,$y = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$,और $z = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$x^{9}+y^{9}+z^{9}-\frac{1}{x^{9} y^{9} z^{9}} = (1)^{9}+(1)^{9}+(1)^{9}-\frac{1}{(1)^{9}(1)^{9}(1)^{9}}$
$= 1+1+1-\frac{1}{1 \times 1 \times 1}$
$= 3-1 = 2$।

(D) हमें असमिका $\cos ^{-1} x < \sin ^{-1} x$ दी गई है।
हम जानते हैं कि $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} x$.
इस मान को असमिका में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} x < \sin ^{-1} x$
$\frac{\pi}{2} < 2 \sin ^{-1} x$
$\sin ^{-1} x > \frac{\pi}{4}$
दोनों पक्षों का साइन (sine) लेने पर (चूंकि $\sin x$ अपने प्रांत में एक वर्धमान फलन है):
$x > \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$
$x > \frac{1}{\sqrt{2}}$
चूंकि $\sin ^{-1} x$ और $\cos ^{-1} x$ का प्रांत $[-1, 1]$ है,इसलिए $x \le 1$ होना चाहिए।
अतः,हल समुच्चय $x \in \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, 1\right]$ है।

(A) दिया गया है,$\sin ^{-1}\left(\frac{x}{13}\right)+\operatorname{cosec}^{-1}\left(\frac{13}{12}\right)=\frac{\pi}{2} \quad ...(i)$
हम जानते हैं कि $\operatorname{cosec}^{-1}(z) = \sin^{-1}(\frac{1}{z})$ होता है।
अतः,$\operatorname{cosec}^{-1}\left(\frac{13}{12}\right) = \sin^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)$।
इस मान को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$\sin ^{-1}\left(\frac{x}{13}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)=\frac{\pi}{2}$।
हम सर्वसमिका $\sin^{-1}(\theta) + \cos^{-1}(\theta) = \frac{\pi}{2}$ जानते हैं।
साथ ही,$\sin^{-1}(\frac{12}{13}) = \cos^{-1}(\sqrt{1 - (\frac{12}{13})^2}) = \cos^{-1}(\sqrt{1 - \frac{144}{169}}) = \cos^{-1}(\sqrt{\frac{25}{169}}) = \cos^{-1}(\frac{5}{13})$।
अतः,$\sin^{-1}(\frac{x}{13}) + \cos^{-1}(\frac{5}{13}) = \frac{\pi}{2}$।
इसकी तुलना $\sin^{-1}(\theta) + \cos^{-1}(\theta) = \frac{\pi}{2}$ से करने पर,हमें $\frac{x}{13} = \frac{5}{13}$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = 5$।

(C) दिया गया है कि $\cos ^{-1} \alpha+\cos ^{-1} \beta+\cos ^{-1} \gamma=3 \pi$।
हम जानते हैं कि $\cos ^{-1} x$ का परिसर $[0, \pi]$ होता है।
चूंकि तीन मानों का योग $3 \pi$ है और प्रत्येक का अधिकतम मान $\pi$ हो सकता है,इसलिए प्रत्येक पद $\pi$ के बराबर होना चाहिए।
अतः,$\cos ^{-1} \alpha = \pi$,$\cos ^{-1} \beta = \pi$,और $\cos ^{-1} \gamma = \pi$।
इसका अर्थ है कि $\alpha = \cos(\pi) = -1$,$\beta = \cos(\pi) = -1$,और $\gamma = \cos(\pi) = -1$।
अब,हम व्यंजक $\alpha(\beta+\gamma)+\beta(\gamma+\alpha)+\gamma(\alpha+\beta)$ की गणना करते हैं।
$\alpha = -1$,$\beta = -1$,और $\gamma = -1$ रखने पर:
$(-1)(-1-1) + (-1)(-1-1) + (-1)(-1-1) = (-1)(-2) + (-1)(-2) + (-1)(-2) = 2 + 2 + 2 = 6$.

(D) दिया गया व्यंजक: $2 \cot ^{-1} \frac{1}{2} - \cot ^{-1} \frac{4}{3}$
$x > 0$ के लिए $\cot ^{-1} x = \tan ^{-1} \frac{1}{x}$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$= 2 \tan ^{-1} 2 - \tan ^{-1} \frac{3}{4}$
$x > 1$ के लिए $2 \tan ^{-1} x = \pi + \tan ^{-1} \frac{2x}{1-x^2}$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$= \pi + \tan ^{-1} \frac{2(2)}{1-2^2} - \tan ^{-1} \frac{3}{4}$
$= \pi + \tan ^{-1} \frac{4}{-3} - \tan ^{-1} \frac{3}{4}$
$= \pi - \tan ^{-1} \frac{4}{3} - \tan ^{-1} \frac{3}{4}$
$= \pi - (\tan ^{-1} \frac{4}{3} + \tan ^{-1} \frac{3}{4})$
$x > 0$ के लिए $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$= \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$

(B) मान लीजिए $f(x) = (sin^{-1}x)^{2} + (cos^{-1}x)^{2}$.
चूंकि $cos^{-1}x = \frac{\pi}{2} - sin^{-1}x$,हमें प्राप्त होता है:
$f(x) = (sin^{-1}x)^{2} + (\frac{\pi}{2} - sin^{-1}x)^{2}$
$f(x) = 2(sin^{-1}x)^{2} - \pi sin^{-1}x + \frac{\pi^{2}}{4}$
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$f(x) = 2(sin^{-1}x - \frac{\pi}{4})^{2} + \frac{\pi^{2}}{8}$.
$x \in [-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}]$ के लिए,$sin^{-1}x$ का परिसर $[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4}]$ है।
$f(x)$ को अधिकतम करने के लिए,हम $sin^{-1}x$ का वह मान चुनते हैं जो $\frac{\pi}{4}$ से सबसे दूर है,जो कि $-\frac{\pi}{3}$ है।
अधिकतम मान $= 2(-\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4})^{2} + \frac{\pi^{2}}{8} = 2(-\frac{7\pi}{12})^{2} + \frac{\pi^{2}}{8} = \frac{49\pi^{2}}{72} + \frac{9\pi^{2}}{72} = \frac{58\pi^{2}}{72} = \frac{29\pi^{2}}{36}$.
अतः,$m = 29$ और $n = 36$ है। चूंकि $\gcd(29, 36) = 1$,इसलिए $m+n = 29 + 36 = 65$.

(C) दिया गया समीकरण: $\tan^{-1}4x + \tan^{-1}6x = \frac{\pi}{6}$.
सूत्र $\tan^{-1}A + \tan^{-1}B = \tan^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan^{-1}\left(\frac{4x+6x}{1-(4x)(6x)}\right) = \frac{\pi}{6}$.
$\frac{10x}{1-24x^2} = \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$10\sqrt{3}x = 1 - 24x^2 \implies 24x^2 + 10\sqrt{3}x - 1 = 0$.
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-10\sqrt{3} \pm \sqrt{(10\sqrt{3})^2 - 4(24)(-1)}}{2(24)} = \frac{-10\sqrt{3} \pm \sqrt{300 + 96}}{48} = \frac{-10\sqrt{3} \pm \sqrt{396}}{48} = \frac{-10\sqrt{3} \pm 6\sqrt{11}}{48} = \frac{-5\sqrt{3} \pm 3\sqrt{11}}{24}$.
अंतराल $-\frac{1}{2\sqrt{6}} < x < \frac{1}{2\sqrt{6}}$ है,जहाँ $\frac{1}{2\sqrt{6}} \approx 0.204$.
$x_1 = \frac{-5\sqrt{3} + 3\sqrt{11}}{24} \approx \frac{-8.66 + 9.95}{24} \approx 0.054$ (अंतराल में है)।
$x_2 = \frac{-5\sqrt{3} - 3\sqrt{11}}{24} \approx \frac{-8.66 - 9.95}{24} \approx -0.775$ (अंतराल में नहीं है)।
केवल एक हल शर्त को संतुष्ट करता है।

(A) माना $x = \sin\theta$ है। चूंकि $x \in [-1/2, 1/2]$,इसलिए $\theta \in [-\pi/6, \pi/6]$ होगा।
व्यंजक $y = 3\sin^{-1}(\sin\theta) + \sin^{-1}(\sin(3\theta))$ बन जाता है।
चूंकि $\theta \in [-\pi/6, \pi/6]$,इसलिए $3\theta \in [-\pi/2, \pi/2]$ होगा।
अतः,$\sin^{-1}(\sin\theta) = \theta$ और $\sin^{-1}(\sin(3\theta)) = 3\theta$ होगा।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$y = 3\theta + 3\theta = 6\theta$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\theta \in [-\pi/6, \pi/6]$,इसलिए $6$ से गुणा करने पर $6\theta \in [-\pi, \pi]$ प्राप्त होता है।
अतः,$y \in [-\pi, \pi]$ होगा।

(B) दिया गया समीकरण $\tan^{-1}(1 - \alpha) + \tan^{-1}(1 - \beta) = \frac{\pi}{4}$ है।
सूत्र $\tan^{-1}x + \tan^{-1}y = \tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{(1-\alpha)+(1-\beta)}{1-(1-\alpha)(1-\beta)} = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.
इसे सरल करने पर $2 - (\alpha + \beta) = 1 - (1 - \alpha - \beta + \alpha\beta)$ प्राप्त होता है।
$2 - \alpha - \beta = \alpha + \beta - \alpha\beta \Rightarrow 2 = 2(\alpha + \beta) - \alpha\beta$.
समीकरण में $\beta = \frac{1}{3\alpha}$ रखने पर:
$2 = 2(\alpha + \frac{1}{3\alpha}) - \alpha(\frac{1}{3\alpha}) = 2\alpha + \frac{2}{3\alpha} - \frac{1}{3}$.
$2 + \frac{1}{3} = 2\alpha + \frac{2}{3\alpha} \Rightarrow \frac{7}{3} = \frac{6\alpha^2 + 2}{3\alpha}$.
$7\alpha = 6\alpha^2 + 2 \Rightarrow 6\alpha^2 - 7\alpha + 2 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(2\alpha - 1)(3\alpha - 2) = 0$.
अतः,$\alpha = \frac{1}{2}$ या $\alpha = \frac{2}{3}$.
यदि $\alpha = \frac{1}{2}$ है,तो $\beta = \frac{1}{3(1/2)} = \frac{2}{3}$.
यदि $\alpha = \frac{2}{3}$ है,तो $\beta = \frac{1}{3(2/3)} = \frac{1}{2}$.
दोनों स्थितियों में,$\alpha + \beta = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} = \frac{7}{6}$.
इसलिए,$6(\alpha + \beta) = 6 \times \frac{7}{6} = 7$.

(A) हम सर्वसमिका $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x-y}{1+xy} \right)$ का उपयोग करते हैं।
दिए गए पद $\tan^{-1} \left( \frac{2^{p-1}}{1+2^{2p-1}} \right)$ को हम $\tan^{-1} \left( \frac{2^p - 2^{p-1}}{1 + 2^p \cdot 2^{p-1}} \right) = \tan^{-1}(2^p) - \tan^{-1}(2^{p-1})$ के रूप में लिख सकते हैं।
अब,इस टेलिस्कोपिंग श्रेणी का योग करने पर: $\sum_{p=1}^{11} (\tan^{-1}(2^p) - \tan^{-1}(2^{p-1})) = (\tan^{-1}(2^1) - \tan^{-1}(2^0)) + (\tan^{-1}(2^2) - \tan^{-1}(2^1)) + \dots + (\tan^{-1}(2^{11}) - \tan^{-1}(2^{10}))$.
यह सरल होकर $\tan^{-1}(2^{11}) - \tan^{-1}(2^0) = \tan^{-1}(2048) - \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
इस मान को मूल समीकरण में रखने पर: $\frac{\pi}{4} + (\tan^{-1}(2048) - \frac{\pi}{4}) = \tan^{-1}(2048)$.
अतः,$\tan^{-1} \alpha = \tan^{-1}(2048)$,जिसका अर्थ है $\alpha = 2048$.
इसलिए,$\tan \alpha = \tan(2048)$।