x in R के लिए,मान लीजिए y(x) अवकल समीकरण (x^2 | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2-5) \frac{dy}{dx} - 2xy = -2x(x^2-5)^2$ है।$(x^2-5)$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} - \frac{2x}{x^2-5} y = -2x(x^2-5

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$16$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2-5) \frac{dy}{dx} - 2xy = -2x(x^2-5)^2$ है।$(x^2-5)$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} - \frac{2x}{x^2-5} y = -2x(x^2-5)$ प्राप्त होता है।यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{2x}{x^2-5}$ और $Q(x) = -2x(x^2-5)$ है।समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{-\int \frac{2x}{x^2-5} dx} = e^{-\ln|x^2-5|} = \frac{1}{x^2-5}$ है।हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + c$ है।$y \cdot \frac{1}{x^2-5} = \int -2x(x^2-5) \cdot \frac{1}{x^2-5} dx + c$.$\frac{y}{x^2-5} = \int -2x dx + c = -x^2 + c$.चूँकि $y(2) = 7$ दिया गया है,हमें $\frac{7}{2^2-5} = -2^2 + c \Rightarrow \frac{7}{-1} = -4 + c \Rightarrow c = -3$ प्राप्त होता है।अतः,$\frac{y}{x^2-5} = -x^2 - 3$,जिसका अर्थ है $y = -(x^2-5)(x^2+3) = -x^4 + 2x^2 + 15$.अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए $t = x^2$ जहाँ $t \ge 0$ है। तो $y = -t^2 + 2t + 15$.यह नीचे की ओर खुलने वाला एक परवलय है जिसका शीर्ष $t = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(-1)} = 1$ पर है।चूँकि $t=1$ डोमेन $t \ge 0$ में है,अधिकतम मान $y(1) = -(1)^2 + 2(1) + 15 = -1 + 2 + 15 = 16$ है।

$x \in R$ के लिए,मान लीजिए $y(x)$ अवकल समीकरण $(x^2-5) \frac{dy}{dx} - 2xy = -2x(x^2-5)^2$ का एक हल है,जहाँ $y(2)=7$ है। $y(x)$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।

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$0 < x < \frac{\pi}{2}$ के लिए अवकल समीकरण $\cos x \, dy = y(\sin x - y) \, dx$ का हल ज्ञात कीजिए।

समीकरण $\frac{dy}{dx} + y \tan x = x^m \cos x$ का हल है

यदि $\frac{dy}{dx} + y \tan x = \sin 2x$ और $y(0) = 1$ है,तो $y(\pi)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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