ધારો કે f(x) = int_{0}^{x} e^{t} f(t) dt + e^ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \int_{0}^{x} e^{t} f(t) dt + e^{x}$.$x=0$ લેતા,$f(0) = \int_{0}^{0} e^{t} f(t) dt + e^{0} = 0 + 1 = 1$.$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બ

Vedclass · Accepted Answer

$2 e^{(e^{x}-1)}-1$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \int_{0}^{x} e^{t} f(t) dt + e^{x}$.$x=0$ લેતા,$f(0) = \int_{0}^{0} e^{t} f(t) dt + e^{0} = 0 + 1 = 1$.$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:$f'(x) = e^{x} f(x) + e^{x} = e^{x}(f(x) + 1)$.પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{f'(x)}{f(x) + 1} = e^{x}$ મળે છે.બંને બાજુ $0$ થી $x$ સુધી સંકલન કરતા:$\int_{0}^{x} \frac{f'(t)}{f(t) + 1} dt = \int_{0}^{x} e^{t} dt$.$[\ln(f(t) + 1)]_{0}^{x} = [e^{t}]_{0}^{x}$.$\ln(f(x) + 1) - \ln(f(0) + 1) = e^{x} - e^{0}$.$f(0) = 1$ હોવાથી,$\ln(f(x) + 1) - \ln(2) = e^{x} - 1$.$\ln\left(\frac{f(x) + 1}{2}\right) = e^{x} - 1$.બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા:$\frac{f(x) + 1}{2} = e^{(e^{x} - 1)}$.$f(x) = 2 e^{(e^{x} - 1)} - 1$.

ધારો કે $f(x) = \int_{0}^{x} e^{t} f(t) dt + e^{x}$ એ તમામ $x \in R$ માટે વિકલનીય વિધેય છે. તો $f(x)$ બરાબર ..... .

Similar Questions

જો $y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $y^{\prime}-y \tan x=2 x \sec x$ અને $y(0)=0$ નું સમાધાન કરે છે,તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} - 2y \tan 2x = e^x \sec 2x$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}-y=\cos x$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

પ્રથમ ક્રમના વિકલ સમીકરણ $x^{2}(x^{2}-1) \frac{dy}{dx} + x(x^{2}+1)y = x^{2}-1$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y = x^3 - 3$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module