વિકલ સમીકરણ $y dx - (x + 2y^2) dy = 0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $(y+1) \tan ^{2} x \,dx+\tan x \,dy+y \,dx=0$ નો ઉકેલ વક્ર છે,જ્યાં $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$. જો $\lim _{x \rightarrow 0+} x y(x)=1$ હોય,તો $y\left(\frac{\pi}{4}\right)$ ની કિંમત શોધો.

નીચેના વિધાનોનું અવલોકન કરો:
$A$. $\frac{dy}{dx} + y = x^2$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating factor) $e^x$ છે.
$R$. $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ નો સંકલ્યકારક અવયવ $e^{\int P(x) dx}$ છે.
તો,નીચેનામાંથી સાચું વિધાન કયું છે?

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{ax + 4y + 7}$ અને નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$A$. આપેલ વિકલ સમીકરણ $x$ માં સુરેખ છે.
$B$. આપેલ વિકલ સમીકરણ $y$ માં સુરેખ નથી.
$C$. આપેલ વિકલ સમીકરણ $y$ માં સુરેખ છે.
$D$. $e^{ax}$ એ આપેલ વિકલ સમીકરણનો સંકલ્યકારક અવયવ છે.
નીચેનામાંથી કયો વિકલ્પ સાચો છે?

બિંદુ $(0,2)$ માંથી પસાર થતા વક્રનું સમીકરણ શોધો,આપેલ છે કે વક્ર પરના કોઈપણ બિંદુના યામોનો સરવાળો તે બિંદુએ વક્રના સ્પર્શકના ઢાળના મૂલ્ય કરતાં $5$ જેટલો વધારે છે.

ધારો કે $f: [1, \infty) \rightarrow R$ એક વિકલનીય વિધેય છે જેથી $f(1) = \frac{1}{3}$ અને $3 \int_1^x f(t) dt = x f(x) - \frac{x^3}{3}$,$x \in [1, \infty)$ માટે. તો $f(e)$ ની કિંમત શોધો.