यदि $u, v$ और $w$ $x$ के फलन हैं,तो सिद्ध कीजिए कि $\frac{d}{d x}(u \cdot v \cdot w) = \frac{d u}{d x} \cdot v \cdot w + u \cdot \frac{d v}{d x} \cdot w + u \cdot v \cdot \frac{d w}{d x}$ दो तरीकों से - पहला गुणन नियम के बार-बार प्रयोग द्वारा,दूसरा लघुगणकीय अवकलन द्वारा।

माना $y = u \cdot v \cdot w = u \cdot (v \cdot w).$
विधि $1$: गुणन नियम का बार-बार प्रयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} \cdot (v \cdot w) + u \cdot \frac{d}{dx}(v \cdot w)$
$= \frac{du}{dx} \cdot v \cdot w + u \cdot \left[ \frac{dv}{dx} \cdot w + v \cdot \frac{dw}{dx} \right]$
$= \frac{du}{dx} \cdot v \cdot w + u \cdot \frac{dv}{dx} \cdot w + u \cdot v \cdot \frac{dw}{dx}.$
विधि $2$: लघुगणकीय अवकलन द्वारा:
$y = u \cdot v \cdot w$ के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें प्राप्त होता है
$\log y = \log u + \log v + \log w.$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है
$\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} + \frac{1}{v} \cdot \frac{dv}{dx} + \frac{1}{w} \cdot \frac{dw}{dx}.$
दोनों पक्षों को $y$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है
$\frac{dy}{dx} = y \left( \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} + \frac{1}{v} \cdot \frac{dv}{dx} + \frac{1}{w} \cdot \frac{dw}{dx} \right).$
$y = u \cdot v \cdot w$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है
$\frac{dy}{dx} = (u \cdot v \cdot w) \left( \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} + \frac{1}{v} \cdot \frac{dv}{dx} + \frac{1}{w} \cdot \frac{dw}{dx} \right)$
$= \frac{du}{dx} \cdot v \cdot w + u \cdot \frac{dv}{dx} \cdot w + u \cdot v \cdot \frac{dw}{dx}.$