Logarithmic Differentiation Questions in Hindi

(C) दिया गया है $h(x) = x^{x^x}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\log h(x) = x^x \log x$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,गुणन नियम और श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए:
$\frac{h'(x)}{h(x)} = \frac{d}{dx}(x^x) \cdot \log x + x^x \cdot \frac{d}{dx}(\log x)$.
हम जानते हैं कि $\frac{d}{dx}(x^x) = x^x(1 + \log x)$.
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\frac{h'(x)}{h(x)} = x^x(1 + \log x) \log x + x^x \cdot \frac{1}{x} = x^x(1 + \log x) \log x + x^{x-1}$.
$x = 1$ पर,$h(1) = 1^{1^1} = 1$,इसलिए $\log h(1) = \log 1 = 0$.
$x = 1$ का मान $\frac{h'(x)}{h(x)}$ के व्यंजक में रखने पर:
$\frac{h'(1)}{h(1)} = 1^1(1 + \log 1) \log 1 + 1^{1-1} = 1(1 + 0)(0) + 1^0 = 0 + 1 = 1$.
चूंकि $\log h(1) = 0$ है,इसलिए $1 + \log h(1) = 1 + 0 = 1$.
अतः,$x = 1$ पर,$\frac{h'(x)}{h(x)} = 1 + \log h(x)$ होगा।

(B) दिया गया है $y = f(x)^{g(x)}$। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\log y = g(x) \log f(x)$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = g'(x) \log f(x) + g(x) \frac{f'(x)}{f(x)}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = y \left[ \frac{g(x)}{f(x)} f'(x) + \log f(x) g'(x) \right]$।
इसे दिए गए समीकरण $\frac{dy}{dx} = y[H(x)f'(x) + G(x)g'(x)]$ के साथ तुलना करने पर,$H(x) = \frac{g(x)}{f(x)}$ और $G(x) = \log f(x)$ प्राप्त होता है।
अब,हमें समाकलन $I = \int \frac{G(x)H(x)f'(x)}{g(x)} dx$ का मान ज्ञात करना है।
फलन का मान रखने पर,$I = \int \frac{\log f(x) \cdot \frac{g(x)}{f(x)} \cdot f'(x)}{g(x)} dx = \int \frac{\log f(x) f'(x)}{f(x)} dx$।
माना $u = \log f(x)$,तो $du = \frac{f'(x)}{f(x)} dx$।
इन मानों को समाकलन में रखने पर,$I = \int u du = \frac{u^2}{2} + c = \frac{[\log f(x)]^2}{2} + c$।

(B) माना $y = \frac{x \cdot 2^x-x}{1-\cos x}$ है। तो दिया गया समीकरण $\frac{dy}{dx} = y(f(x) + \log 2)$ है।
इसका अर्थ है $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = f(x) + \log 2$,या $\frac{d}{dx}(\ln |y|) = f(x) + \log 2$ है।
अतः,$f(x) = \frac{d}{dx}(\ln |y|) - \log 2$ है।
चूँकि $y = \frac{x(2^x-1)}{1-\cos x}$ है,हमारे पास $\ln |y| = \ln |x| + \ln |2^x-1| - \ln |1-\cos x|$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(\ln |y|) = \frac{1}{x} + \frac{1}{2^x-1} \cdot (2^x \log 2) - \frac{\sin x}{1-\cos x}$ प्राप्त होता है।
इसे $f(x)$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(x) = \frac{1}{x} + \frac{2^x \log 2}{2^x-1} - \frac{\sin x}{1-\cos x} - \log 2$ है।
$f(x) = \frac{1}{x} + \frac{2^x \log 2 - (2^x-1) \log 2}{2^x-1} - \frac{\sin x}{1-\cos x}$ है।
$f(x) = \frac{1}{x} + \frac{2^x \log 2 - 2^x \log 2 + \log 2}{2^x-1} - \frac{\sin x}{1-\cos x}$ है।
$f(x) = \frac{1}{x} + \frac{\log 2}{2^x-1} - \frac{\sin x}{1-\cos x}$ है।

(D) दिया गया है $f(x)=\frac{\cos ^2 x}{1+\sin ^2 x}$.
सबसे पहले,$f\left(\frac{\pi}{4}\right)$ का मान ज्ञात करें:
$f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\cos ^2(\pi/4)}{1+\sin ^2(\pi/4)}=\frac{(1/\sqrt{2})^2}{1+(1/\sqrt{2})^2}=\frac{1/2}{1+1/2}=\frac{1/2}{3/2}=\frac{1}{3}$.
अब,लघुगणकीय अवकलन का उपयोग करके $f(x)$ का अवकलन करें:
$\ln(f(x)) = 2\ln(\cos x) - \ln(1+\sin^2 x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{f'(x)}{f(x)} = 2\left(\frac{-\sin x}{\cos x}\right) - \frac{2\sin x \cos x}{1+\sin^2 x} = -2\tan x - \frac{\sin 2x}{1+\sin^2 x}$.
$x = \frac{\pi}{4}$ पर:
$\frac{f'(\pi/4)}{f(\pi/4)} = -2\tan(\pi/4) - \frac{\sin(\pi/2)}{1+\sin^2(\pi/4)} = -2(1) - \frac{1}{1+1/2} = -2 - \frac{1}{3/2} = -2 - \frac{2}{3} = -\frac{8}{3}$.
चूंकि $f(\pi/4) = 1/3$,इसलिए $f'(\pi/4) = -\frac{8}{3} \times \frac{1}{3} = -\frac{8}{9}$.
अंत में,$f(\pi/4) - 3f'(\pi/4)$ की गणना करें:
$\frac{1}{3} - 3\left(-\frac{8}{9}\right) = \frac{1}{3} + \frac{8}{3} = \frac{9}{3} = 3$.

(D) दिया गया है $y=(\sin x)^{x^2}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\log y = x^2 \log(\sin x)$.
गुणन नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = x^2 \cdot \frac{d}{dx}(\log(\sin x)) + \log(\sin x) \cdot \frac{d}{dx}(x^2)$.
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = x^2 \cdot \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x + \log(\sin x) \cdot 2x$.
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = x^2 \cot x + 2x \log(\sin x)$.
$y$ से गुणा करने पर:
$\frac{dy}{dx} = y \cdot (x^2 \cot x + 2x \log(\sin x))$.
$y = (\sin x)^{x^2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = (\sin x)^{x^2} (x^2 \cot x + 2x \log(\sin x))$.
पद का विस्तार करने पर:
$\frac{dy}{dx} = x^2 (\sin x)^{x^2} \frac{\cos x}{\sin x} + 2x (\sin x)^{x^2} \log(\sin x)$.
$\frac{dy}{dx} = x^2 (\sin x)^{x^2-1} \cos x + 2x (\sin x)^{x^2} \log(\sin x)$.

(C) दिया गया है $y=\frac{(x+1)^2 \sqrt{x-1}}{(x+4)^3 e^x}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (log) लेने पर:
$\log y = \log \left( \frac{(x+1)^2 (x-1)^{1/2}}{(x+4)^3 e^x} \right)$
लघुगणक के गुणों का उपयोग करने पर:
$\log y = 2 \log(x+1) + \frac{1}{2} \log(x-1) - 3 \log(x+4) - x \log e$
चूंकि $\log e = 1$,इसलिए:
$\log y = 2 \log(x+1) + \frac{1}{2} \log(x-1) - 3 \log(x+4) - x$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{2}{x+1} + \frac{1}{2(x-1)} - \frac{3}{x+4} - 1$
अतः,$\frac{dy}{dx} = y \left[ \frac{2}{x+1} + \frac{1}{2(x-1)} - \frac{3}{x+4} - 1 \right]$
$y$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(x+1)^2 \sqrt{x-1}}{(x+4)^3 e^x} \left[ \frac{2}{x+1} + \frac{1}{2(x-1)} - \frac{3}{x+4} - 1 \right]$

(C) दिया गया समीकरण: $y(\cos x)^{\sin x} = (\sin x)^{\sin x}$
दोनों पक्षों को $(\cos x)^{\sin x}$ से विभाजित करने पर: $y = \frac{(\sin x)^{\sin x}}{(\cos x)^{\sin x}} = (\tan x)^{\sin x}$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln y = \sin x \cdot \ln(\tan x)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \cos x \cdot \ln(\tan x) + \sin x \cdot \frac{1}{\tan x} \cdot \sec^2 x$
दूसरे पद को सरल करने पर: $\sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos x} = \sec x$
अतः,$\frac{dy}{dx} = y [\cos x \cdot \ln(\tan x) + \sec x]$
$x = \frac{\pi}{4}$ पर,$\tan x = 1$,$\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\sec x = \sqrt{2}$,और $y = (1)^{1/\sqrt{2}} = 1$
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=\frac{\pi}{4}} = 1 \cdot [\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \ln(1) + \sqrt{2}] = 1 \cdot [0 + \sqrt{2}] = \sqrt{2}$

(D) माना $y = u + v$,जहाँ $u = x^{\log x}$ और $v = (\log x)^x$ है।
$u$ के लिए दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर: $\log u = (\log x)(\log x) = (\log x)^2$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} \implies \frac{du}{dx} = x^{\log x} \cdot \frac{2 \log x}{x}$.
$x=e$ पर: $\frac{du}{dx} = e^{\log e} \cdot \frac{2 \log e}{e} = e^1 \cdot \frac{2}{e} = 2$.
अब $v = (\log x)^x$ के लिए: $\log v = x \log(\log x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = 1 \cdot \log(\log x) + x \cdot \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} = \log(\log x) + \frac{1}{\log x}$.
$\frac{dv}{dx} = (\log x)^x \left[ \log(\log x) + \frac{1}{\log x} \right]$.
$x=e$ पर: $\frac{dv}{dx} = (\log e)^e \left[ \log(\log e) + \frac{1}{\log e} \right] = 1^e [ \log(1) + 1 ] = 1 \cdot [0 + 1] = 1$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} = 2 + 1 = 3$.

(A) माना $f(x) = f_1(x) + f_2(x)$,जहाँ $f_1(x) = x^{\tan x}$ और $f_2(x) = (\tan x)^x$ है।
$f_1(x) = x^{\tan x}$ के लिए,दोनों पक्षों का लॉग लेने पर: $\log f_1 = \tan x \cdot \log x$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{f_1} \frac{df_1}{dx} = \sec^2 x \cdot \log x + \tan x \cdot \frac{1}{x}$।
अतः,$\frac{df_1}{dx} = x^{\tan x} \left( \sec^2 x \cdot \log x + \frac{\tan x}{x} \right)$।
$f_2(x) = (\tan x)^x$ के लिए,दोनों पक्षों का लॉग लेने पर: $\log f_2 = x \cdot \log(\tan x)$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{f_2} \frac{df_2}{dx} = 1 \cdot \log(\tan x) + x \cdot \frac{1}{\tan x} \cdot \sec^2 x$।
अतः,$\frac{df_2}{dx} = (\tan x)^x \left( \log(\tan x) + \frac{x \sec^2 x}{\tan x} \right)$।
अब,$f^{\prime}(x) = \frac{df_1}{dx} + \frac{df_2}{dx}$।
$x = \frac{\pi}{4}$ पर:
$f_1^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right) = \left(\frac{\pi}{4}\right)^1 \left( (\sqrt{2})^2 \log \frac{\pi}{4} + \frac{1}{\pi/4} \right) = \frac{\pi}{4} (2 \log \frac{\pi}{4} + \frac{4}{\pi}) = \frac{\pi}{2} \log \frac{\pi}{4} + 1$।
$f_2^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right) = (1)^{\pi/4} \left( \log 1 + \frac{\pi/4 \cdot 2}{1} \right) = 1 \cdot (0 + \frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}$।
अतः,$f^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{2} \log \frac{\pi}{4} + 1 + \frac{\pi}{2} = 1 + \frac{\pi}{2} (\log \frac{\pi}{4} + 1) = 1 + \frac{\pi}{2} \log \left( \frac{e \pi}{4} \right)$।

(D) दिया गया है,$y=x^{\sqrt{x}}$.
दोनों पक्षों का $\ln$ लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\ln y = \sqrt{x} \ln x$.
गुणनफल नियम का उपयोग करते हुए $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \sqrt{x} \cdot \frac{d}{dx}(\ln x) + \ln x \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x})$.
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \sqrt{x} \cdot \frac{1}{x} + \ln x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\ln x}{2\sqrt{x}}$.
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{2 + \ln x}{2\sqrt{x}}$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{y(2 + \ln x)}{2\sqrt{x}}$.
इस प्रकार,विकल्प $D$ सही है।

(A) दिया गया समीकरण: $x^y = y^{\sin x} (\tan x)^{\cos x}$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$y \log x = \sin x \log y + \cos x \log (\tan x)$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(y \log x) = \frac{d}{dx}(\sin x \log y) + \frac{d}{dx}(\cos x \log \tan x)$
$\frac{dy}{dx} \log x + y \cdot \frac{1}{x} = (\cos x \log y + \sin x \cdot \frac{1}{y} \frac{dy}{dx}) + (-\sin x \log \tan x + \cos x \cdot \frac{1}{\tan x} \cdot \sec^2 x)$
अवकलज पद को सरल करने पर:
$\cos x \cdot \frac{1}{\tan x} \cdot \sec^2 x = \cos x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{\sin x} = \operatorname{cosec} x$
$\left(\log x - \frac{\sin x}{y}\right) \frac{dy}{dx}$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\left(\log x - \frac{\sin x}{y}\right) \frac{dy}{dx} = \cos x \log y - \sin x \log (\tan x) + \operatorname{cosec} x - \frac{y}{x}$

(C) दिया गया है $h(x) = x^{x^x}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\log h(x) = x^x \log x$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{h^{\prime}(x)}{h(x)} = \frac{d}{dx}(x^x) \cdot \log x + x^x \cdot \frac{d}{dx}(\log x)$
चूँकि $\frac{d}{dx}(x^x) = x^x(1 + \log x)$ है,
$\frac{h^{\prime}(x)}{h(x)} = x^x(1 + \log x) \log x + x^{x-1}$
$x = 1$ रखने पर:
$\frac{h^{\prime}(1)}{h(1)} = 1^1(1 + \log 1) \log 1 + 1^{1-1} = 1(1 + 0)(0) + 1 = 1$.
विकल्प $C$ में $x = 1$ रखने पर $1 + \log h(1) = 1 + \log(1) = 1 + 0 = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,सही उत्तर $1 + \log h(x)$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = \frac{e^{-x} \sin x}{\log_e x}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln f(x) = \ln(e^{-x}) + \ln(\sin x) - \ln(\ln x) = -x + \ln(\sin x) - \ln(\ln x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{f'(x)}{f(x)} = -1 + \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{1}{x \ln x}$.
चूंकि $f'(x) = f(x) \cdot g(x)$,इसलिए $g(x) = \frac{f'(x)}{f(x)} = -1 + \cot x - \frac{1}{x \ln x}$.
$g(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $g'(x) = -\operatorname{cosec}^2 x - \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x \ln x} \right) = -\operatorname{cosec}^2 x - \left( \frac{-(1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x})}{(x \ln x)^2} \right) = -\operatorname{cosec}^2 x + \frac{\ln x + 1}{x^2 (\ln x)^2}$.
$x = e$ रखने पर: $g'(e) = -\operatorname{cosec}^2(e) + \frac{\ln e + 1}{e^2 (\ln e)^2} = -\operatorname{cosec}^2(e) + \frac{1 + 1}{e^2 (1)^2} = 2e^{-2} - \operatorname{cosec}^2(e)$.

(C) दिया गया है $f(x) = \frac{(x+1) \sinh x}{e^{2x} \tan x} = (x+1) \sinh x e^{-2x} \cot x$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln|f(x)| = \ln|x+1| + \ln|\sinh x| - 2x + \ln|\cot x|$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{d}{dx}(\ln|x+1|) + \frac{d}{dx}(\ln|\sinh x|) + \frac{d}{dx}(-2x) + \frac{d}{dx}(\ln|\cot x|)$.
$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{1}{x+1} + \frac{\cosh x}{\sinh x} - 2 + \frac{-\operatorname{cosec}^2 x}{\cot x}$.
चूंकि $\frac{\cosh x}{\sinh x} = \operatorname{coth} x$ और $\frac{\operatorname{cosec}^2 x}{\cot x} = \frac{1}{\sin^2 x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x} = 2 \operatorname{cosec} 2x$.
अतः,$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{1}{x+1} + \operatorname{coth} x - 2 - 2 \operatorname{cosec} 2x$.
दिए गए व्यंजक $\frac{1}{x+1} + \operatorname{coth} x + g(x)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $g(x) = -2 - 2 \operatorname{cosec} 2x = -2(1 + \operatorname{cosec} 2x)$ प्राप्त होता है।