$x$ के सापेक्ष फलन $(\sin x)^{x} + \sin^{-1} \sqrt{x}$ का अवकलन कीजिए।

माना $y = (\sin x)^{x} + \sin^{-1} \sqrt{x}$ है।
माना $u = (\sin x)^{x}$ और $v = \sin^{-1} \sqrt{x}$ है।
अतः $y = u + v$,जिससे $\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx}$ ............$(1)$
$u = (\sin x)^{x}$ के लिए:
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,$\log u = x \log(\sin x)$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x) \cdot \log(\sin x) + x \cdot \frac{d}{dx}(\log(\sin x))$
$\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = 1 \cdot \log(\sin x) + x \cdot \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x$
$\frac{du}{dx} = (\sin x)^{x} [\log(\sin x) + x \cot x]$ ............$(2)$
$v = \sin^{-1} \sqrt{x}$ के लिए:
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dv}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (\sqrt{x})^2}} \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x})$
$\frac{dv}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x - x^2}}$ ............$(3)$
$(2)$ और $(3)$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = (\sin x)^{x} (x \cot x + \log(\sin x)) + \frac{1}{2\sqrt{x - x^2}}$.