સાબિત કરો કે આપેલ પૃષ્ઠફળ અને મહત્તમ ઘનફળ ધરાવતા લંબવૃત્તીય નળાકારની ઊંચાઈ તેના પાયાના વ્યાસ જેટલી હોય છે.

(N/A) ધારો કે નળાકારની ત્રિજ્યા $r$ અને ઊંચાઈ $h$ છે.
નળાકારનું પૃષ્ઠફળ $S = 2\pi r^2 + 2\pi rh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી,આપણે $h$ ને $r$ અને $S$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકીએ છીએ:
$h = \frac{S - 2\pi r^2}{2\pi r} = \frac{S}{2\pi r} - r$.
નળાકારનું ઘનફળ $V = \pi r^2 h$ છે.
$h$ ની કિંમત મૂકતા:
$V = \pi r^2 \left( \frac{S}{2\pi r} - r \right) = \frac{Sr}{2} - \pi r^3$.
મહત્તમ ઘનફળ શોધવા માટે,આપણે $V$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{dV}{dr} = \frac{S}{2} - 3\pi r^2$.
$\frac{dV}{dr} = 0$ લેતા,$\frac{S}{2} = 3\pi r^2$,તેથી $S = 6\pi r^2$.
હવે,મહત્તમ કિંમત ચકાસવા માટે દ્વિતીય વિકલન મેળવીએ:
$\frac{d^2V}{dr^2} = -6\pi r$.
કારણ કે $r > 0$,તેથી $\frac{d^2V}{dr^2} < 0$,જે સાબિત કરે છે કે $S = 6\pi r^2$ પર ઘનફળ મહત્તમ છે.
$h$ ના સમીકરણમાં $S = 6\pi r^2$ મૂકતા:
$h = \frac{6\pi r^2 - 2\pi r^2}{2\pi r} = \frac{4\pi r^2}{2\pi r} = 2r$.
$2r$ એ પાયાનો વ્યાસ હોવાથી,નળાકારની ઊંચાઈ તેના વ્યાસ જેટલી છે.