Properties of definite integration Questions in Hindi

(C) हम निश्चित समाकल $\int_{-2}^{2} (ax^3 + bx + c) dx$ का मूल्यांकन करते हैं।
रैखिकता के गुण का उपयोग करते हुए,हम समाकल को विभाजित कर सकते हैं: $\int_{-2}^{2} ax^3 dx + \int_{-2}^{2} bx dx + \int_{-2}^{2} c dx$।
चूंकि $ax^3$ और $bx$ विषम फलन हैं और अंतराल $[-2, 2]$ मूल बिंदु के सापेक्ष सममित है,इसलिए $\int_{-2}^{2} ax^3 dx = 0$ और $\int_{-2}^{2} bx dx = 0$ होगा।
अतः,समाकल का सरल रूप $\int_{-2}^{2} c dx = [cx]_{-2}^{2} = c(2) - c(-2) = 2c + 2c = 4c$ प्राप्त होता है।
चूंकि परिणाम $4c$ है,इसलिए समाकल का मान केवल $c$ के मान पर निर्भर करता है।

(C) माना $I = \int_0^{\pi /2} \frac{\cos x}{1 + \cos x + \sin x} \,dx$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) \,dx = \int_0^a f(a-x) \,dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\pi /2} \frac{\cos(\pi/2 - x)}{1 + \cos(\pi/2 - x) + \sin(\pi/2 - x)} \,dx = \int_0^{\pi /2} \frac{\sin x}{1 + \sin x + \cos x} \,dx$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{\pi /2} \frac{\cos x + \sin x}{1 + \cos x + \sin x} \,dx$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$2I = \int_0^{\pi /2} \frac{(1 + \cos x + \sin x) - 1}{1 + \cos x + \sin x} \,dx = \int_0^{\pi /2} 1 \,dx - \int_0^{\pi /2} \frac{1}{1 + \cos x + \sin x} \,dx$.
$2I = \frac{\pi}{2} - \int_0^{\pi /2} \frac{1}{2\cos^2(x/2) + 2\sin(x/2)\cos(x/2)} \,dx = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \int_0^{\pi /2} \sec^2(x/2) \frac{1}{1 + \tan(x/2)} \,dx$.
माना $u = \tan(x/2)$,तो $du = \frac{1}{2} \sec^2(x/2) \,dx$. सीमाएँ: $x=0 \implies u=0$,$x=\pi/2 \implies u=1$.
$2I = \frac{\pi}{2} - \int_0^1 \frac{1}{1+u} \,du = \frac{\pi}{2} - [\ln(1+u)]_0^1 = \frac{\pi}{2} - \ln 2$.
$I = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln 2$.

(A) माना $I = \int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx) \sin(nx) \, dx$.
चूंकि फलन $f(x) = \sin(mx) \sin(nx)$ एक सम फलन है,हम लिख सकते हैं:
$I = 2 \int_{0}^{\pi} \sin(mx) \sin(nx) \, dx$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $2 \sin A \sin B = \cos(A - B) - \cos(A + B)$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{0}^{\pi} [\cos((m - n)x) - \cos((m + n)x)] \, dx$.
पदवार समाकलन करने पर:
$I = \left[ \frac{\sin((m - n)x)}{m - n} - \frac{\sin((m + n)x)}{m + n} \right]_{0}^{\pi}$.
सीमाओं का मान रखने पर:
$I = \left( \frac{\sin((m - n)\pi)}{m - n} - \frac{\sin((m + n)\pi)}{m + n} \right) - (0 - 0)$.
चूंकि $m, n \in I$ (पूर्णांक),किसी भी पूर्णांक $k$ के लिए $\sin(k\pi) = 0$ होता है।
अतः,$I = 0 - 0 = 0$.

(A) हम जानते हैं कि $0 < x \le \frac{\pi}{2}$ के लिए,असमिका $\sin x < x$ सत्य है।
दोनों पक्षों को $x$ से विभाजित करने पर ($x > 0$ होने के कारण),हमें $\frac{\sin x}{x} < 1$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $0$ से $\frac{\pi}{2}$ तक $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int_0^{\pi /2} \frac{\sin x}{x} \, dx < \int_0^{\pi /2} 1 \, dx$।
दाहिनी ओर का मान ज्ञात करने पर: $\int_0^{\pi /2} 1 \, dx = [x]_0^{\pi /2} = \frac{\pi}{2}$।
अतः,$\int_0^{\pi /2} \frac{\sin x}{x} \, dx < \frac{\pi}{2}$।
इस प्रकार,बड़ा मान $\frac{\pi}{2}$ है।

(B) माना $I = \int_{-1}^{3} \left( \tan^{-1} \frac{x}{x^2+1} + \tan^{-1} \frac{x^2+1}{x} \right) dx$ है।
सर्वसमिका $\tan^{-1}(u) + \cot^{-1}(u) = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u > 0$,हम जानते हैं कि $\tan^{-1} \frac{x^2+1}{x} = \cot^{-1} \frac{x}{x^2+1}$ होता है।
अतः,समाकल्य $\tan^{-1} \left( \frac{x}{x^2+1} \right) + \cot^{-1} \left( \frac{x}{x^2+1} \right) = \frac{\pi}{2}$ हो जाता है।
इसलिए,$I = \int_{-1}^{3} \frac{\pi}{2} dx$।
$I = \frac{\pi}{2} [x]_{-1}^{3} = \frac{\pi}{2} (3 - (-1)) = \frac{\pi}{2} (4) = 2\pi$।

(C) माना $I = \int_0^{\sin^2 x} \sin^{-1} \sqrt{t} \,dt + \int_0^{\cos^2 x} \cos^{-1} \sqrt{t} \,dt$.
प्रथम समाकलन के लिए,$t = \sin^2 u$ लें,तब $dt = \sin 2u \,du$. जब $t=0, u=0$ और जब $t=\sin^2 x, u=x$.
अतः,$\int_0^{\sin^2 x} \sin^{-1} \sqrt{t} \,dt = \int_0^x u \sin 2u \,du$.
द्वितीय समाकलन के लिए,$t = \cos^2 v$ लें,तब $dt = -\sin 2v \,dv$. जब $t=0, v=\pi/2$ और जब $t=\cos^2 x, v=x$.
अतः,$\int_0^{\cos^2 x} \cos^{-1} \sqrt{t} \,dt = \int_{\pi/2}^x v (-\sin 2v) \,dv = \int_x^{\pi/2} v \sin 2v \,dv$.
इस प्रकार,$I = \int_0^x u \sin 2u \,du + \int_x^{\pi/2} u \sin 2u \,du = \int_0^{\pi/2} u \sin 2u \,du$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int u \sin 2u \,du = -\frac{u \cos 2u}{2} + \frac{\sin 2u}{4}$.
$0$ से $\pi/2$ तक सीमाएं रखने पर: $\left[ -\frac{u \cos 2u}{2} + \frac{\sin 2u}{4} \right]_0^{\pi/2} = \frac{\pi}{4}$.

(B) दिया गया समीकरण: $af(x) + bf\left( {\frac{1}{x}} \right) = \frac{1}{x} - 5$ ... $(i)$
$(i)$ में $x$ को $\frac{1}{x}$ से बदलने पर,हमें प्राप्त होता है: $af\left( {\frac{1}{x}} \right) + bf(x) = x - 5$ ... $(ii)$
$f\left( {\frac{1}{x}} \right)$ को विलुप्त करने के लिए,$(i)$ को $a$ से और $(ii)$ को $b$ से गुणा करने पर:
$a^2 f(x) + ab f\left( {\frac{1}{x}} \right) = \frac{a}{x} - 5a$
$b^2 f(x) + ab f\left( {\frac{1}{x}} \right) = bx - 5b$
पहले में से दूसरे समीकरण को घटाने पर: $(a^2 - b^2) f(x) = \frac{a}{x} - bx - 5a + 5b$
दोनों पक्षों का $1$ से $2$ तक समाकलन करने पर:
$(a^2 - b^2) \int_1^2 f(x) dx = \int_1^2 \left( \frac{a}{x} - bx - 5(a - b) \right) dx$
$= \left[ a \log |x| - \frac{b x^2}{2} - 5(a - b)x \right]_1^2$
$= \left( a \log 2 - \frac{b(4)}{2} - 5(a - b)(2) \right) - \left( a \log 1 - \frac{b(1)}{2} - 5(a - b)(1) \right)$
$= a \log 2 - 2b - 10a + 10b - 0 + \frac{b}{2} + 5a - 5b$
$= a \log 2 - 5a + \frac{7}{2}b$
अतः,$\int_1^2 f(x) dx = \frac{1}{a^2 - b^2} \left[ a \log 2 - 5a + \frac{7}{2}b \right]$.

(D) हमें ${I_n} = \int_0^{\pi /4} {{\tan ^n}\theta \,d\theta }$ दिया गया है।
${I_n} + {I_{n-2}} = \int_0^{\pi /4} {{\tan ^n}\theta \,d\theta } + \int_0^{\pi /4} {{\tan ^{n-2}}\theta \,d\theta }$ पर विचार करें।
${I_n} + {I_{n-2}} = \int_0^{\pi /4} {{\tan ^{n-2}}\theta (\tan ^2\theta + 1) \,d\theta }$.
चूंकि $1 + \tan ^2\theta = \sec ^2\theta$,हमें प्राप्त होता है:
${I_n} + {I_{n-2}} = \int_0^{\pi /4} {{\tan ^{n-2}}\theta \sec ^2\theta \,d\theta }$.
माना $u = \tan \theta$,तब $du = \sec ^2\theta \,d\theta$.
जब $\theta = 0, u = 0$ और जब $\theta = \pi /4, u = 1$.
अतः,${I_n} + {I_{n-2}} = \int_0^1 {u^{n-2}} \,du = \left[ \frac{u^{n-1}}{n-1} \right]_0^1 = \frac{1}{n-1}$.
$n = 8$ के लिए,${I_8} + {I_6} = \frac{1}{8-1} = \frac{1}{7}$.

(A) हम जानते हैं कि किसी भी $u > 0$ के लिए $\tan^{-1}(u) + \cot^{-1}(u) = \frac{\pi}{2}$ होता है।
साथ ही,$u > 0$ के लिए $\tan^{-1} \left( \frac{1}{u} \right) = \cot^{-1}(u)$ होता है।
माना $I = \int_{-1}^{3} \left( \tan^{-1} \left( \frac{x}{x^2+1} \right) + \tan^{-1} \left( \frac{x^2+1}{x} \right) \right) dx$ है।
ध्यान दें कि समाकल्य $x \neq 0$ के लिए परिभाषित है।
गुणधर्म $\tan^{-1} \left( \frac{1}{u} \right) = \cot^{-1}(u)$ का उपयोग करने पर,व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$I = \int_{-1}^{3} \left( \tan^{-1} \left( \frac{x}{x^2+1} \right) + \cot^{-1} \left( \frac{x}{x^2+1} \right) \right) dx$।
चूंकि $\tan^{-1}(u) + \cot^{-1}(u) = \frac{\pi}{2}$ है,इसलिए समाकल्य सरल होकर $\frac{\pi}{2}$ हो जाता है।
अतः,$I = \int_{-1}^{3} \frac{\pi}{2} dx = \frac{\pi}{2} [x]_{-1}^{3} = \frac{\pi}{2} (3 - (-1)) = \frac{\pi}{2} (4) = 2\pi$।

(B) माना $I = \int_{0}^{1} \sin \left( 2 \tan^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \right) \, dx$.
$x = \cos \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = -\sin \theta \, d\theta$ प्राप्त होता है।
जब $x = 0$,तो $\theta = \pi / 2$ और जब $x = 1$,तो $\theta = 0$।
साइन फलन के अंदर का पद:
$2 \tan^{-1} \sqrt{\frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta}} = 2 \tan^{-1} \sqrt{\frac{2 \cos^2(\theta/2)}{2 \sin^2(\theta/2)}} = 2 \tan^{-1} (\cot(\theta/2)) = 2 \tan^{-1} \left( \tan \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2} \right) \right) = 2 \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2} \right) = \pi - \theta$।
अतः,समाकलन इस प्रकार होगा:
$I = \int_{\pi/2}^{0} \sin(\pi - \theta) (- \sin \theta) \, d\theta = \int_{0}^{\pi/2} \sin^2 \theta \, d\theta$।
सर्वसमिका $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{0}^{\pi/2} \frac{1 - \cos 2\theta}{2} \, d\theta = \left[ \frac{\theta}{2} - \frac{\sin 2\theta}{4} \right]_{0}^{\pi/2} = \left( \frac{\pi}{4} - 0 \right) - (0 - 0) = \frac{\pi}{4}$।

(B) माना $I = \int_0^\pi x f(\sin x) dx$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_0^\pi (\pi - x) f(\sin(\pi - x)) dx$.
चूँकि $\sin(\pi - x) = \sin x$,यह इस प्रकार हो जाता है:
$I = \int_0^\pi (\pi - x) f(\sin x) dx = \pi \int_0^\pi f(\sin x) dx - \int_0^\pi x f(\sin x) dx$.
$I = \pi \int_0^\pi f(\sin x) dx - I$.
$2I = \pi \int_0^\pi f(\sin x) dx$.
$I = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi f(\sin x) dx$.

(C) माना $I = \int_0^{\pi /2} \frac{\sqrt{\cot x}}{\sqrt{\cot x} + \sqrt{\tan x}} \, dx$ ..... $(i)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\pi /2} \frac{\sqrt{\cot(\pi/2 - x)}}{\sqrt{\cot(\pi/2 - x)} + \sqrt{\tan(\pi/2 - x)}} \, dx$
चूंकि $\cot(\pi/2 - x) = \tan x$ और $\tan(\pi/2 - x) = \cot x$,इसलिए:
$I = \int_0^{\pi /2} \frac{\sqrt{\tan x}}{\sqrt{\tan x} + \sqrt{\cot x}} \, dx$ ..... $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{\pi /2} \frac{\sqrt{\cot x} + \sqrt{\tan x}}{\sqrt{\cot x} + \sqrt{\tan x}} \, dx$
$2I = \int_0^{\pi /2} 1 \, dx$
$2I = [x]_0^{\pi /2} = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$
$I = \frac{\pi}{4}$

(D) माना $I = \int_0^{\pi /2} \frac{d\theta}{1 + \tan \theta}$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\pi /2} \frac{d\theta}{1 + \tan(\frac{\pi}{2} - \theta)} = \int_0^{\pi /2} \frac{d\theta}{1 + \cot \theta}$.
चूँकि $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$,यह पद इस प्रकार होगा:
$I = \int_0^{\pi /2} \frac{d\theta}{1 + \frac{1}{\tan \theta}} = \int_0^{\pi /2} \frac{\tan \theta}{1 + \tan \theta} d\theta$.
$I$ के दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{\pi /2} \left( \frac{1}{1 + \tan \theta} + \frac{\tan \theta}{1 + \tan \theta} \right) d\theta$.
$2I = \int_0^{\pi /2} \frac{1 + \tan \theta}{1 + \tan \theta} d\theta = \int_0^{\pi /2} 1 d\theta$.
$2I = [\theta]_0^{\pi /2} = \frac{\pi}{2}$.
अतः,$I = \frac{\pi}{4}$.

(B) माना कि $f(x) = x|x|$ है।
हम जाँच करते हैं कि फलन सम है या विषम:
$f(-x) = (-x)|-x| = -x|x| = -f(x)$.
चूँकि $f(-x) = -f(x)$ है,इसलिए फलन $f(x) = x|x|$ एक विषम फलन है।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0$ होता है।
अतः,$\int_{-1}^{1} x|x| \, dx = 0$।

(B) माना $I = \int_0^\pi x \log(\sin x) \, dx$ ..... $(i)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^\pi (\pi - x) \log(\sin(\pi - x)) \, dx = \int_0^\pi (\pi - x) \log(\sin x) \, dx$ ..... $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^\pi (x + \pi - x) \log(\sin x) \, dx = \pi \int_0^\pi \log(\sin x) \, dx$
गुणधर्म $\int_0^{2a} f(x) \, dx = 2 \int_0^a f(x) \, dx$ का उपयोग करने पर यदि $f(2a-x) = f(x)$ हो:
$2I = 2\pi \int_0^{\pi/2} \log(\sin x) \, dx$
$I = \pi \int_0^{\pi/2} \log(\sin x) \, dx$
हम जानते हैं कि $\int_0^{\pi/2} \log(\sin x) \, dx = -\frac{\pi}{2} \log 2 = \frac{\pi}{2} \log(\frac{1}{2})$.
अतः,$I = \pi \left( \frac{\pi}{2} \log(\frac{1}{2}) \right) = \frac{\pi^2}{2} \log(\frac{1}{2})$.

(D) माना $I = \int_0^{\pi /2} \log(\tan x) \, dx$ है।
गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_0^{\pi /2} \log(\tan(\frac{\pi}{2} - x)) \, dx$
$I = \int_0^{\pi /2} \log(\cot x) \, dx$
$I = \int_0^{\pi /2} \log(\frac{1}{\tan x}) \, dx$
$I = \int_0^{\pi /2} (\log 1 - \log(\tan x)) \, dx$
चूंकि $\log 1 = 0$,इसलिए:
$I = - \int_0^{\pi /2} \log(\tan x) \, dx$
$I = -I$
$2I = 0 \implies I = 0$.

(A) माना $I = \int_0^{\pi /2} \log(\sin x) \, dx$ है।
गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर,हमें $I = \int_0^{\pi /2} \log(\cos x) \, dx$ प्राप्त होता है।
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{\pi /2} (\log(\sin x) + \log(\cos x)) \, dx = \int_0^{\pi /2} \log(\sin x \cos x) \, dx$।
लॉग के अंदर $2$ से गुणा और भाग करने पर:
$2I = \int_0^{\pi /2} \log(\frac{\sin 2x}{2}) \, dx = \int_0^{\pi /2} \log(\sin 2x) \, dx - \int_0^{\pi /2} \log 2 \, dx$।
$2I = \int_0^{\pi /2} \log(\sin 2x) \, dx - \frac{\pi}{2} \log 2$।
माना $2x = t$,तब $2 \, dx = dt$। जब $x=0, t=0$ और जब $x=\pi/2, t=\pi$।
$2I = \frac{1}{2} \int_0^{\pi} \log(\sin t) \, dt - \frac{\pi}{2} \log 2$।
गुणधर्म $\int_0^{2a} f(x) \, dx = 2 \int_0^a f(x) \, dx$ का उपयोग करने पर यदि $f(2a-x) = f(x)$ हो:
$2I = \frac{1}{2} \cdot 2 \int_0^{\pi /2} \log(\sin t) \, dt - \frac{\pi}{2} \log 2$।
$2I = I - \frac{\pi}{2} \log 2$।
$I = -\frac{\pi}{2} \log 2$।

(C) माना $I = \int_0^{\pi /2} \frac{\cos x - \sin x}{1 + \sin x \cos x} \,dx$ .... $(i)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) \,dx = \int_0^a f(a-x) \,dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_0^{\pi /2} \frac{\cos(\pi/2 - x) - \sin(\pi/2 - x)}{1 + \sin(\pi/2 - x)\cos(\pi/2 - x)} \,dx$
चूंकि $\cos(\pi/2 - x) = \sin x$ और $\sin(\pi/2 - x) = \cos x$,इसलिए:
$I = \int_0^{\pi /2} \frac{\sin x - \cos x}{1 + \cos x \sin x} \,dx$ .... $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$I + I = \int_0^{\pi /2} \frac{\cos x - \sin x + \sin x - \cos x}{1 + \sin x \cos x} \,dx$
$2I = \int_0^{\pi /2} \frac{0}{1 + \sin x \cos x} \,dx = 0$
अतः,$I = 0$.

(D) माना कि $f(x) = \log \left( \frac{2 - x}{2 + x} \right)$.
अब,$f(-x)$ की गणना करते हैं:
$f(-x) = \log \left( \frac{2 - (-x)}{2 + (-x)} \right) = \log \left( \frac{2 + x}{2 - x} \right)$.
हम जानते हैं कि $\log \left( \frac{1}{a} \right) = -\log(a)$,इसलिए:
$f(-x) = \log \left( \left( \frac{2 - x}{2 + x} \right)^{-1} \right) = -\log \left( \frac{2 - x}{2 + x} \right) = -f(x)$.
चूंकि $f(-x) = -f(x)$,इसलिए फलन $f(x)$ एक विषम फलन (odd function) है।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0$ होता है।
अतः,$\int_{-1}^{1} \log \left( \frac{2 - x}{2 + x} \right) \, dx = 0$।

(C) माना कि $f(x) = x^{17} \cos^{4} x$.
हम $f(-x)$ का मान ज्ञात करके जाँचते हैं कि फलन सम है या विषम:
$f(-x) = (-x)^{17} \cos^{4}(-x) = -x^{17} \cos^{4} x = -f(x)$.
चूँकि $f(-x) = -f(x)$,इसलिए फलन $f(x)$ एक विषम फलन है।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0$ होता है।
अतः,$\int_{-1}^{1} x^{17} \cos^{4} x \, dx = 0$।

(D) माना $I = \int_0^{\pi /2} \frac{\sin^{3/2} x}{\cos^{3/2} x + \sin^{3/2} x} dx$ ..... $(i)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\pi /2} \frac{\sin^{3/2} (\pi /2 - x)}{\cos^{3/2} (\pi /2 - x) + \sin^{3/2} (\pi /2 - x)} dx$
चूंकि $\sin(\pi /2 - x) = \cos x$ और $\cos(\pi /2 - x) = \sin x$,इसलिए:
$I = \int_0^{\pi /2} \frac{\cos^{3/2} x}{\sin^{3/2} x + \cos^{3/2} x} dx$ ..... $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{\pi /2} \frac{\sin^{3/2} x + \cos^{3/2} x}{\cos^{3/2} x + \sin^{3/2} x} dx$
$2I = \int_0^{\pi /2} 1 dx$
$2I = [x]_0^{\pi /2} = \pi /2$
$I = \pi /4$

(A) माना $f(\theta) = \log \left( \frac{2 - \sin \theta}{2 + \sin \theta} \right)$.
हम $f(-\theta)$ का मान ज्ञात करके यह जांचते हैं कि फलन विषम है या सम:
$f(-\theta) = \log \left( \frac{2 - \sin(-\theta)}{2 + \sin(-\theta)} \right) = \log \left( \frac{2 + \sin \theta}{2 - \sin \theta} \right)$.
चूंकि $\log \left( \frac{2 + \sin \theta}{2 - \sin \theta} \right) = \log \left( \left( \frac{2 - \sin \theta}{2 + \sin \theta} \right)^{-1} \right) = -\log \left( \frac{2 - \sin \theta}{2 + \sin \theta} \right) = -f(\theta)$.
अतः,$f(\theta)$ एक विषम फलन है।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$ होता है।
इसलिए,$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \log \left( \frac{2 - \sin \theta}{2 + \sin \theta} \right) d\theta = 0$।

(C) माना $I = \int_0^{\pi /4} \log (1 + \tan \theta )\,d\theta$
गुणधर्म $\int_0^a f(x)dx = \int_0^a f(a-x)dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_0^{\pi /4} \log \left( 1 + \tan \left( \frac{\pi }{4} - \theta \right) \right) d\theta$
चूँकि $\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$,इसलिए $\tan(\frac{\pi}{4} - \theta) = \frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta}$
$I = \int_0^{\pi /4} \log \left( 1 + \frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta} \right) d\theta$
$I = \int_0^{\pi /4} \log \left( \frac{1 + \tan \theta + 1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta} \right) d\theta$
$I = \int_0^{\pi /4} \log \left( \frac{2}{1 + \tan \theta} \right) d\theta$
$I = \int_0^{\pi /4} (\log 2 - \log (1 + \tan \theta )) d\theta$
$I = \int_0^{\pi /4} \log 2 \, d\theta - \int_0^{\pi /4} \log (1 + \tan \theta ) d\theta$
$I = \log 2 [\theta]_0^{\pi /4} - I$
$2I = \frac{\pi}{4} \log 2$
$I = \frac{\pi}{8} \log 2$

(D) माना $I = \int_0^{2\pi } {\frac{{\sin 2\theta }}{{a - b\cos \theta }}d\theta } $.
गुणधर्म $\int_0^{2a} f(x) dx = \int_0^{2a} f(2a-x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_0^{2\pi } {\frac{{\sin (2(2\pi - \theta ))}}{{a - b\cos (2\pi - \theta )}}d\theta } $
$I = \int_0^{2\pi } {\frac{{\sin (4\pi - 2\theta )}}{{a - b\cos \theta }}d\theta } $
चूंकि $\sin(4\pi - 2\theta) = -\sin 2\theta$,इसलिए:
$I = - \int_0^{2\pi } {\frac{{\sin 2\theta }}{{a - b\cos \theta }}d\theta } $
$I = -I$
$2I = 0$
$I = 0$.

(A) माना $I = \int_0^1 f(1 - x) \, dx$.
$1 - x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,जिसका अर्थ है $x = 1 - t$ और $dx = -dt$.
जब $x = 0$,तब $t = 1$. जब $x = 1$,तब $t = 0$.
इन मानों को समाकल में रखने पर:
$I = \int_1^0 f(t) (-dt) = -\int_1^0 f(t) \, dt = \int_0^1 f(t) \, dt$.
चूंकि समाकलन का चर एक डमी चर है,इसलिए $\int_0^1 f(t) \, dt = \int_0^1 f(x) \, dx$.
अतः,$\int_0^1 f(1 - x) \, dx = \int_0^1 f(x) \, dx$.

(A) माना $I = \int_{-1/2}^{1/2} f(x) dx$,जहाँ $f(x) = (\cos x) \left[ \log \left( \frac{1-x}{1+x} \right) \right]$ है।
जाँच करें कि फलन विषम है या सम:
$f(-x) = \cos(-x) \left[ \log \left( \frac{1-(-x)}{1+(-x)} \right) \right]$
चूँकि $\cos(-x) = \cos x$ और $\log \left( \frac{1+x}{1-x} \right) = \log \left( \left( \frac{1-x}{1+x} \right)^{-1} \right) = -\log \left( \frac{1-x}{1+x} \right)$,
अतः हमें प्राप्त होता है $f(-x) = \cos x \left[ -\log \left( \frac{1-x}{1+x} \right) \right] = -f(x)$।
चूँकि $f(x)$ एक विषम फलन है और समाकलन की सीमाएँ सममित $[-a, a]$ हैं,इसलिए समाकलन का मान $0$ है।

(D) माना $I = \int_{0}^{1} \frac{dx}{x + \sqrt{1 - x^2}}$.
$x = \sin \theta$ प्रतिस्थापन करने पर,$dx = \cos \theta \, d\theta$ प्राप्त होता है।
जब $x = 0$,तब $\theta = 0$ और जब $x = 1$,तब $\theta = \frac{\pi}{2}$।
$I = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos \theta \, d\theta}{\sin \theta + \cos \theta}$।
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(\theta) \, d\theta = \int_{0}^{a} f(a - \theta) \, d\theta$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos(\pi/2 - \theta) \, d\theta}{\sin(\pi/2 - \theta) + \cos(\pi/2 - \theta)} = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin \theta \, d\theta}{\cos \theta + \sin \theta}$।
$I$ के दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$2I = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos \theta + \sin \theta}{\sin \theta + \cos \theta} \, d\theta = \int_{0}^{\pi/2} 1 \, d\theta = [\theta]_{0}^{\pi/2} = \frac{\pi}{2}$।
अतः,$I = \frac{\pi}{4}$।

(B) निश्चित समाकलनों का गुणधर्म बताता है कि एक विषम फलन $f(x)$ के लिए,जहाँ $f(-x) = -f(x)$ होता है,सममित अंतराल $[-a, a]$ पर समाकलन शून्य होता है।
विशेष रूप से,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है तो $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0$ होता है।
इस मामले में,अंतराल $[-1, 1]$ है,इसलिए $\int_{-1}^{1} f(x) \, dx = 0$ यह दर्शाता है कि $f(x)$ एक विषम फलन है,जो $f(-x) = -f(x)$ की शर्त को पूरा करता है।
अतः,सही विकल्प $(b)$ है।

(C) व्यंजक ${x - [x]}$ का अर्थ $x$ का भिन्नात्मक भाग है,जिसे ${x}$ के रूप में दर्शाया जाता है।
चूंकि भिन्नात्मक भाग फलन $f(x) = \{x\} = x - [x]$ एक आवर्ती फलन है जिसका आवर्तकाल $T = 1$ है,हम गुणधर्म $\int_0^{nT} f(x) \,dx = n \int_0^T f(x) \,dx$ का उपयोग कर सकते हैं।
अतः,$\int_0^n \{x\} \,dx = n \int_0^1 \{x\} \,dx$.
अंतराल $[0, 1)$ में,$[x] = 0$ होता है,इसलिए $\{x\} = x - 0 = x$.
इस प्रकार,$\int_0^n \{x\} \,dx = n \int_0^1 x \,dx$.
समाकलन का मान ज्ञात करने पर: $n \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = n \left( \frac{1}{2} - 0 \right) = \frac{n}{2}$.

(B) माना $I = \int_0^\pi x \sin^3 x \, dx$ ..... $(i)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^\pi (\pi - x) \sin^3(\pi - x) \, dx = \int_0^\pi (\pi - x) \sin^3 x \, dx$ ..... $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^\pi (x + \pi - x) \sin^3 x \, dx = \pi \int_0^\pi \sin^3 x \, dx$
सर्वसमिका $\sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$ का उपयोग करने पर,हमें $\sin^3 x = \frac{3 \sin x - \sin 3x}{4}$ प्राप्त होता है।
$2I = \pi \int_0^\pi \frac{3 \sin x - \sin 3x}{4} \, dx = \frac{\pi}{4} \left[ -3 \cos x + \frac{\cos 3x}{3} \right]_0^\pi$
$2I = \frac{\pi}{4} \left[ (-3(-1) + \frac{-1}{3}) - (-3(1) + \frac{1}{3}) \right] = \frac{\pi}{4} \left[ (3 - \frac{1}{3}) - (-3 + \frac{1}{3}) \right]$
$2I = \frac{\pi}{4} \left[ \frac{8}{3} + \frac{8}{3} \right] = \frac{\pi}{4} \left( \frac{16}{3} \right) = \frac{4\pi}{3}$
अतः,$I = \frac{2\pi}{3}$.

(C) माना $I = \int_0^{\pi /2} \frac{\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}} \, dx$ .....$(i)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\pi /2} \frac{\sqrt{\cos(\pi/2 - x)}}{\sqrt{\sin(\pi/2 - x)} + \sqrt{\cos(\pi/2 - x)}} \, dx$
चूंकि $\cos(\pi/2 - x) = \sin x$ और $\sin(\pi/2 - x) = \cos x$ होता है,इसलिए:
$I = \int_0^{\pi /2} \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\cos x} + \sqrt{\sin x}} \, dx$ .....$(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{\pi /2} \left( \frac{\sqrt{\cos x} + \sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}} \right) \, dx$
$2I = \int_0^{\pi /2} 1 \, dx$
$2I = [x]_0^{\pi /2} = \frac{\pi}{2}$
$I = \frac{\pi}{4}$

(D) माना $I = \int_0^{\pi /2} \frac{x \sin x \cos x}{\cos^4 x + \sin^4 x} \, dx$ .....$(i)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\pi /2} \frac{(\frac{\pi}{2} - x) \cos x \sin x}{\sin^4 x + \cos^4 x} \, dx$ .....$(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{\pi /2} \frac{\frac{\pi}{2} \sin x \cos x}{\sin^4 x + \cos^4 x} \, dx$
$I = \frac{\pi}{4} \int_0^{\pi /2} \frac{\sin x \cos x}{\cos^4 x + \sin^4 x} \, dx$
अंश और हर को $\cos^4 x$ से विभाजित करने पर:
$I = \frac{\pi}{4} \int_0^{\pi /2} \frac{\tan x \sec^2 x}{1 + \tan^4 x} \, dx$
माना $\tan^2 x = t$,तब $2 \tan x \sec^2 x \, dx = dt$,अर्थात $\tan x \sec^2 x \, dx = \frac{1}{2} dt$. जब $x=0, t=0$; जब $x=\frac{\pi}{2}, t \to \infty$.
$I = \frac{\pi}{4} \int_0^{\infty} \frac{1}{1 + t^2} \cdot \frac{1}{2} \, dt = \frac{\pi}{8} [\tan^{-1} t]_0^{\infty} = \frac{\pi}{8} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{16}$.

(D) निश्चित समाकलन का गुणधर्म यह है कि $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a - x) \, dx$।
यह एक मानक गुणधर्म है जिसका उपयोग निश्चित समाकलनों के मूल्यांकन में किया जाता है,जहाँ चर $x$ को $(a - x)$ से प्रतिस्थापित किया जाता है।

(B) हमें समाकलन $I = \int_0^{\pi /2} |\sin x - \cos x| \, dx$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $x \in [0, \pi/4]$ के लिए $\sin x - \cos x \le 0$ और $x \in [\pi/4, \pi/2]$ के लिए $\sin x - \cos x \ge 0$ है,इसलिए हम समाकलन को $x = \pi/4$ पर विभाजित करते हैं:
$I = \int_0^{\pi /4} -(\sin x - \cos x) \, dx + \int_{\pi /4}^{\pi /2} (\sin x - \cos x) \, dx$
$I = \int_0^{\pi /4} (\cos x - \sin x) \, dx + \int_{\pi /4}^{\pi /2} (\sin x - \cos x) \, dx$
पहले भाग का मूल्यांकन करने पर: $[\sin x + \cos x]_0^{\pi /4} = (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0 + 1) = \sqrt{2} - 1$।
दूसरे भाग का मूल्यांकन करने पर: $[-\cos x - \sin x]_{\pi /4}^{\pi /2} = (0 - 1) - (-\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}) = -1 + \sqrt{2} = \sqrt{2} - 1$।
दोनों भागों को जोड़ने पर: $I = (\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{2} - 1) = 2(\sqrt{2} - 1)$।

(D) माना $I = \int_0^\pi \frac{x \tan x}{\sec x + \tan x} \,dx$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) \,dx = \int_0^a f(a-x) \,dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^\pi \frac{(\pi - x) \tan(\pi - x)}{\sec(\pi - x) + \tan(\pi - x)} \,dx = \int_0^\pi \frac{(\pi - x)(-\tan x)}{-\sec x - \tan x} \,dx = \int_0^\pi \frac{(\pi - x) \tan x}{\sec x + \tan x} \,dx$.
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^\pi \frac{\pi \tan x}{\sec x + \tan x} \,dx = \pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{1 + \sin x} \,dx$.
$2I = \pi \int_0^\pi \frac{1 + \sin x - 1}{1 + \sin x} \,dx = \pi \left( \int_0^\pi 1 \,dx - \int_0^\pi \frac{1}{1 + \sin x} \,dx \right)$.
चूंकि $\int_0^\pi \frac{1}{1 + \sin x} \,dx = \int_0^\pi \frac{1 - \sin x}{\cos^2 x} \,dx = \int_0^\pi (\sec^2 x - \sec x \tan x) \,dx = [\tan x - \sec x]_0^\pi = (0 - (-1)) - (0 - 1) = 2$.
अतः,$2I = \pi (\pi - 2) = \pi^2 - 2\pi$.
इसलिए,$I = \frac{\pi^2}{2} - \pi = \pi \left( \frac{\pi}{2} - 1 \right)$.

(A) माना $I = \int_0^\pi \frac{x \tan x}{\sec x + \cos x} \,dx$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) \,dx = \int_0^a f(a-x) \,dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^\pi \frac{(\pi - x) \tan(\pi - x)}{\sec(\pi - x) + \cos(\pi - x)} \,dx = \int_0^\pi \frac{(\pi - x)(-\tan x)}{-\sec x - \cos x} \,dx = \int_0^\pi \frac{(\pi - x) \tan x}{\sec x + \cos x} \,dx$.
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^\pi \frac{\pi \tan x}{\sec x + \cos x} \,dx = \pi \int_0^\pi \frac{\sin x / \cos x}{1/\cos x + \cos x} \,dx = \pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} \,dx$.
माना $t = \cos x$,तब $dt = -\sin x \,dx$. जब $x=0, t=1$ और जब $x=\pi, t=-1$.
$2I = \pi \int_1^{-1} \frac{-dt}{1 + t^2} = \pi \int_{-1}^1 \frac{dt}{1 + t^2} = \pi [\tan^{-1} t]_{-1}^1$.
$2I = \pi (\tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(-1)) = \pi (\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4})) = \pi (\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi^2}{2}$.
अतः,$I = \frac{\pi^2}{4}$.

(A) माना $f(x) = \sin^3 x \cos^2 x$ है।
$f(-x)$ का मान ज्ञात करके जाँचें कि फलन सम है या विषम:
$f(-x) = \sin^3(-x) \cos^2(-x) = (-\sin x)^3 (\cos x)^2 = -\sin^3 x \cos^2 x = -f(x)$।
चूँकि $f(-x) = -f(x)$ है,इसलिए फलन $f(x)$ एक विषम फलन है।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0$ होता है।
अतः,$\int_{-1}^{1} \sin^3 x \cos^2 x \, dx = 0$।

(B) माना $I = \int_0^\pi {{e^{{{\sin }^2}x}}{{\cos }^3}(2n + 1)x\,dx}$ है।
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^\pi {{e^{{{\sin }^2}(\pi-x)}}{{\cos }^3}(2n + 1)(\pi-x)\,dx}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin(\pi-x) = \sin x$,इसलिए $\sin^2(\pi-x) = \sin^2 x$ होगा।
साथ ही,$\cos((2n+1)(\pi-x)) = \cos((2n+1)\pi - (2n+1)x) = -\cos((2n+1)x)$ क्योंकि $(2n+1)$ एक विषम पूर्णांक है।
अतः,$\cos^3((2n+1)(\pi-x)) = (-\cos((2n+1)x))^3 = -\cos^3((2n+1)x)$ होगा।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_0^\pi {{e^{{{\sin }^2}x}} \cdot [-\cos^3(2n + 1)x]\,dx} = -I$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$2I = 0$,जिसका अर्थ है कि $I = 0$।

(C) गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a - x) dx$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_{0}^{1} (1 - x)(1 - (1 - x))^n dx$
$I = \int_{0}^{1} (1 - x)x^n dx$
$I = \int_{0}^{1} (x^n - x^{n+1}) dx$
$I = \left[ \frac{x^{n+1}}{n+1} - \frac{x^{n+2}}{n+2} \right]_{0}^{1}$
$I = \left( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \right) - (0 - 0)$
$I = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}$

(C) माना $g(a) = \int_a^{a + T} {f(x)dx}$ है।
लीबनीज़ नियम का उपयोग करके $a$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$g'(a) = \frac{d}{da} \int_a^{a + T} {f(x)dx} = f(a + T) \cdot \frac{d}{da}(a + T) - f(a) \cdot \frac{d}{da}(a)$।
चूंकि $f(x)$ एक आवर्ती फलन है जिसका आवर्तकाल $T$ है,इसलिए $f(a + T) = f(a)$ होता है।
अतः,$g'(a) = f(a + T) - f(a) = f(a) - f(a) = 0$।
चूंकि अवकलज $g'(a) = 0$ है,इसलिए फलन $g(a)$ एक अचर मान है।
अतः,समाकलन $I = \int_a^{a + T} {f(x)dx}$ का मान $a$ से स्वतंत्र है।

(B) माना $I = \int_0^\pi x f(\cos^2 x + \tan^4 x) dx$ ... $(i)$
निश्चित समाकलन के गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^\pi (\pi - x) f(\cos^2(\pi - x) + \tan^4(\pi - x)) dx$
चूँकि $\cos(\pi - x) = -\cos x$ और $\tan(\pi - x) = -\tan x$,इसलिए $\cos^2(\pi - x) = \cos^2 x$ और $\tan^4(\pi - x) = \tan^4 x$ होता है।
अतः,$I = \int_0^\pi (\pi - x) f(\cos^2 x + \tan^4 x) dx$ ... $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^\pi (x + \pi - x) f(\cos^2 x + \tan^4 x) dx$
$2I = \pi \int_0^\pi f(\cos^2 x + \tan^4 x) dx$
गुणधर्म $\int_0^{2a} f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx$ का उपयोग करने पर (यदि $f(2a-x) = f(x)$ हो):
यहाँ $f(\cos^2(\pi-x) + \tan^4(\pi-x)) = f(\cos^2 x + \tan^4 x)$ है,अतः यह शर्त संतुष्ट होती है।
$2I = \pi \cdot 2 \int_0^{\pi/2} f(\cos^2 x + \tan^4 x) dx$
$I = \pi \int_0^{\pi/2} f(\cos^2 x + \tan^4 x) dx$
दिए गए समीकरण $I = k \int_0^{\pi/2} f(\cos^2 x + \tan^4 x) dx$ से तुलना करने पर,हमें $k = \pi$ प्राप्त होता है।

(C) माना $f(x) = \frac{x^2 \sin x}{1 + x^6}$.
$f(-x)$ का मान ज्ञात करके जाँचें कि फलन सम है या विषम:
$f(-x) = \frac{(-x)^2 \sin(-x)}{1 + (-x)^6} = \frac{x^2 (-\sin x)}{1 + x^6} = -\frac{x^2 \sin x}{1 + x^6} = -f(x)$.
चूँकि $f(-x) = -f(x)$,इसलिए फलन $f(x)$ एक विषम फलन है।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0$ होता है।
अतः,$\int_{-3}^{3} \frac{x^2 \sin x}{1 + x^6} \, dx = 0$।

(D) माना $I = \int_0^{\pi /2} \frac{dx}{1 + \tan^3 x}$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\pi /2} \frac{dx}{1 + \tan^3(\pi/2 - x)} = \int_0^{\pi /2} \frac{dx}{1 + \cot^3 x}$.
$I = \int_0^{\pi /2} \frac{\tan^3 x}{1 + \tan^3 x} dx$.
$I$ के दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{\pi /2} \left( \frac{1}{1 + \tan^3 x} + \frac{\tan^3 x}{1 + \tan^3 x} \right) dx$.
$2I = \int_0^{\pi /2} \frac{1 + \tan^3 x}{1 + \tan^3 x} dx = \int_0^{\pi /2} 1 dx$.
$2I = [x]_0^{\pi /2} = \frac{\pi}{2}$.
अतः,$I = \frac{\pi}{4}$.

(A) माना $I = \int_{\pi /4}^{3\pi /4} \frac{\phi}{1 + \sin \phi} \, d\phi$.
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{\pi /4}^{3\pi /4} \frac{\pi - \phi}{1 + \sin(\pi - \phi)} \, d\phi = \int_{\pi /4}^{3\pi /4} \frac{\pi - \phi}{1 + \sin \phi} \, d\phi$.
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_{\pi /4}^{3\pi /4} \frac{\phi + \pi - \phi}{1 + \sin \phi} \, d\phi = \pi \int_{\pi /4}^{3\pi /4} \frac{1}{1 + \sin \phi} \, d\phi$.
$2I = \pi \int_{\pi /4}^{3\pi /4} \frac{1 - \sin \phi}{\cos^2 \phi} \, d\phi = \pi \int_{\pi /4}^{3\pi /4} (\sec^2 \phi - \sec \phi \tan \phi) \, d\phi$.
$2I = \pi [\tan \phi - \sec \phi]_{\pi /4}^{3\pi /4}$.
$2I = \pi [(\tan(3\pi/4) - \sec(3\pi/4)) - (\tan(\pi/4) - \sec(\pi/4))]$.
$2I = \pi [(-1 - (-\sqrt{2})) - (1 - \sqrt{2})] = \pi [\sqrt{2} - 1 - 1 + \sqrt{2}] = \pi [2\sqrt{2} - 2] = 2\pi(\sqrt{2} - 1)$.
$I = \pi(\sqrt{2} - 1)$.
चूंकि $\tan(\pi/8) = \sqrt{2} - 1$,इसलिए मान $\pi \tan(\pi/8)$ है।

(B) माना $I = \int_a^b x f(x) dx$ है।
गुणधर्म $\int_a^b g(x) dx = \int_a^b g(a + b - x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_a^b (a + b - x) f(a + b - x) dx$।
चूंकि यह दिया गया है कि $f(a + b - x) = f(x)$,इसलिए समाकलन में यह मान रखने पर:
$I = \int_a^b (a + b - x) f(x) dx$।
$I = (a + b) \int_a^b f(x) dx - \int_a^b x f(x) dx$।
$I = (a + b) \int_a^b f(x) dx - I$।
$2I = (a + b) \int_a^b f(x) dx$।
$I = \frac{a + b}{2} \int_a^b f(x) dx$।

(A) माना $I = \int_0^\pi x \sin x \, dx$ है।
गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_0^\pi (\pi - x) \sin(\pi - x) \, dx$
चूंकि $\sin(\pi - x) = \sin x$,इसलिए:
$I = \int_0^\pi (\pi - x) \sin x \, dx = \pi \int_0^\pi \sin x \, dx - \int_0^\pi x \sin x \, dx$
$I = \pi \int_0^\pi \sin x \, dx - I$
$2I = \pi \int_0^\pi \sin x \, dx$
$2I = \pi [-\cos x]_0^\pi$
$2I = \pi [-\cos \pi - (-\cos 0)]$
$2I = \pi [-(-1) - (-1)] = \pi [1 + 1] = 2\pi$
$I = \pi$.

(D) माना $I = \int_{ - a}^a {\sqrt {\frac{{a - x}}{{a + x}}} dx} $.
इसका मूल्यांकन करने के लिए,हम $x = a \cos \theta$ प्रतिस्थापित करते हैं।
तब $dx = -a \sin \theta \, d\theta$.
जब $x = -a$,तो $\cos \theta = -1$,इसलिए $\theta = \pi$.
जब $x = a$,तो $\cos \theta = 1$,इसलिए $\theta = 0$.
$I = \int_{\pi}^0 \sqrt{\frac{a - a \cos \theta}{a + a \cos \theta}} (-a \sin \theta) \, d\theta$.
$I = \int_0^{\pi} \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}} (a \sin \theta) \, d\theta$.
अर्ध-कोण सूत्रों का उपयोग करते हुए,$\sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}} = \sqrt{\frac{2 \sin^2(\theta/2)}{2 \cos^2(\theta/2)}} = \tan(\theta/2)$.
$I = a \int_0^{\pi} \tan(\theta/2) \cdot 2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2) \, d\theta$.
$I = 2a \int_0^{\pi} \frac{\sin(\theta/2)}{\cos(\theta/2)} \cdot \sin(\theta/2) \cos(\theta/2) \, d\theta$.
$I = 2a \int_0^{\pi} \sin^2(\theta/2) \, d\theta$.
$\sin^2(\theta/2) = \frac{1 - \cos \theta}{2}$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $I = 2a \int_0^{\pi} \frac{1 - \cos \theta}{2} \, d\theta = a [\theta - \sin \theta]_0^{\pi} = a(\pi - 0) = a\pi$.
$a\pi$ की तुलना $k\pi$ से करने पर,हमें $k = a$ प्राप्त होता है।

(B) हमें गुणधर्म $\int_0^{2a} f(x) \, dx = \int_0^a f(x) \, dx + \int_a^{2a} f(x) \, dx$ दिया गया है।
दूसरे समाकलन $\int_a^{2a} f(x) \, dx$ में $x = 2a - t$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = -dt$ प्राप्त होता है। जब $x = a$ है,तो $t = a$,और जब $x = 2a$ है,तो $t = 0$ है।
अतः,$\int_a^{2a} f(x) \, dx = \int_a^0 f(2a - t) (-dt) = \int_0^a f(2a - t) \, dt = \int_0^a f(2a - x) \, dx$।
इसे वापस प्रतिस्थापित करने पर,$\int_0^{2a} f(x) \, dx = \int_0^a f(x) \, dx + \int_0^a f(2a - x) \, dx = \int_0^a [f(x) + f(2a - x)] \, dx$।
चूंकि $\int_0^{2a} f(x) \, dx = 2 \int_0^a f(x) \, dx$ दिया गया है,इसलिए $\int_0^a [f(x) + f(2a - x)] \, dx = \int_0^a 2f(x) \, dx$ होगा।
यह समानता तभी सत्य है यदि $f(2a - x) = f(x)$ हो।

(A) दिया गया है कि $I = \int_0^{\pi /4} \sin^2 x \, dx$ और $J = \int_0^{\pi /4} \cos^2 x \, dx$ है।
दोनों समाकलों को जोड़ने पर:
$I + J = \int_0^{\pi /4} (\sin^2 x + \cos^2 x) \, dx$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I + J = \int_0^{\pi /4} 1 \, dx$.
समाकल का मान ज्ञात करने पर:
$I + J = [x]_0^{\pi /4} = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$.
अतः,$I = \frac{\pi}{4} - J$.

(D) माना $I = \int_2^3 {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt {5 - x} + \sqrt x }}} \,dx$ .....$(i)$
गुणधर्म $\int_a^b f(x) \,dx = \int_a^b f(a + b - x) \,dx$ का उपयोग करते हुए,हम $x$ को $(2 + 3 - x) = (5 - x)$ से प्रतिस्थापित करते हैं।
$\therefore I = \int_2^3 {\frac{{\sqrt {5 - x} }}{{\sqrt {5 - (5 - x)} + \sqrt {5 - x} }}} \,dx$
$I = \int_2^3 {\frac{{\sqrt {5 - x} }}{{\sqrt x + \sqrt {5 - x} }}} \,dx$ .....$(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_2^3 {\frac{{\sqrt x + \sqrt {5 - x} }}{{\sqrt {5 - x} + \sqrt x }}} \,dx$
$2I = \int_2^3 1 \,dx$
$2I = [x]_2^3 = 3 - 2 = 1$
$I = \frac{1}{2}$.