int_{-1/2}^{1/2} (cos x) left[ log left( frac | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{-1/2}^{1/2} f(x) dx$,जहाँ $f(x) = (\cos x) \left[ \log \left( \frac{1-x}{1+x} \right) \right]$ है।जाँच करें कि फलन विषम है या सम:$

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(A) माना $I = \int_{-1/2}^{1/2} f(x) dx$,जहाँ $f(x) = (\cos x) \left[ \log \left( \frac{1-x}{1+x} \right) \right]$ है।जाँच करें कि फलन विषम है या सम:$f(-x) = \cos(-x) \left[ \log \left( \frac{1-(-x)}{1+(-x)} \right) \right]$चूँकि $\cos(-x) = \cos x$ और $\log \left( \frac{1+x}{1-x} \right) = \log \left( \left( \frac{1-x}{1+x} \right)^{-1} \right) = -\log \left( \frac{1-x}{1+x} \right)$,अतः हमें प्राप्त होता है $f(-x) = \cos x \left[ -\log \left( \frac{1-x}{1+x} \right) \right] = -f(x)$।चूँकि $f(x)$ एक विषम फलन है और समाकलन की सीमाएँ सममित $[-a, a]$ हैं,इसलिए समाकलन का मान $0$ है।

$\int_{-1/2}^{1/2} (\cos x) \left[ \log \left( \frac{1-x}{1+x} \right) \right] dx = $

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यदि $A=\int_0^{\infty} \frac{1+x^2}{1+x^4} d x$ और $B=\int_0^1 \frac{1+x^2}{1+x^4} d x$ है,तो

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{1+(\cot x)^{101}} = $

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \log (1+\tan x) \, dx =$

$\int_{0}^{\pi} [\cot x] dx = $

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (x^{13} + x \cos x + \tan^{15} x + 1) \, dx$ का मान . . . . . . है।

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