int_0^pi x log(sin x) , dx = | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_0^\pi x \log(\sin x) \, dx$ ..... $(i)$ गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर: $I = \int_0^\pi (\p

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$\frac{\pi^2}{2} \log(\frac{1}{2})$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int_0^\pi x \log(\sin x) \, dx$ ..... $(i)$ गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर: $I = \int_0^\pi (\pi - x) \log(\sin(\pi - x)) \, dx = \int_0^\pi (\pi - x) \log(\sin x) \, dx$ ..... $(ii)$ $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर: $2I = \int_0^\pi (x + \pi - x) \log(\sin x) \, dx = \pi \int_0^\pi \log(\sin x) \, dx$ गुणधर्म $\int_0^{2a} f(x) \, dx = 2 \int_0^a f(x) \, dx$ का उपयोग करने पर यदि $f(2a-x) = f(x)$ हो: $2I = 2\pi \int_0^{\pi/2} \log(\sin x) \, dx$ $I = \pi \int_0^{\pi/2} \log(\sin x) \, dx$ हम जानते हैं कि $\int_0^{\pi/2} \log(\sin x) \, dx = -\frac{\pi}{2} \log 2 = \frac{\pi}{2} \log(\frac{1}{2})$. अतः,$I = \pi \left( \frac{\pi}{2} \log(\frac{1}{2}) \right) = \frac{\pi^2}{2} \log(\frac{1}{2})$.

$\int_0^\pi x \log(\sin x) \, dx = $

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निश्चित समाकलन $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{d x}{1+\sqrt{\tan x}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि समाकलन $\int_{-1}^1 \frac{\cos \alpha x}{1+3^x} d x$ का मान $\frac{2}{\pi}$ है,तो $\alpha$ का एक मान है

$e^{\int_0^{\pi / 2} \sqrt{\frac{1-\sin 2 x}{1+\sin 2 x}} d x}=$

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