m neq n (m, n in I) के लिए समाकल int_{-pi}^{p | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx) \sin(nx) \, dx$.चूंकि फलन $f(x) = \sin(mx) \sin(nx)$ एक सम फलन है,हम लिख सकते हैं:$I = 2 \int_{0}^{\pi} \sin(

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(A) माना $I = \int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx) \sin(nx) \, dx$.चूंकि फलन $f(x) = \sin(mx) \sin(nx)$ एक सम फलन है,हम लिख सकते हैं:$I = 2 \int_{0}^{\pi} \sin(mx) \sin(nx) \, dx$.त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $2 \sin A \sin B = \cos(A - B) - \cos(A + B)$ का उपयोग करने पर:$I = \int_{0}^{\pi} [\cos((m - n)x) - \cos((m + n)x)] \, dx$.पदवार समाकलन करने पर:$I = \left[ \frac{\sin((m - n)x)}{m - n} - \frac{\sin((m + n)x)}{m + n} \right]_{0}^{\pi}$.सीमाओं का मान रखने पर:$I = \left( \frac{\sin((m - n)\pi)}{m - n} - \frac{\sin((m + n)\pi)}{m + n} \right) - (0 - 0)$.चूंकि $m, n \in I$ (पूर्णांक),किसी भी पूर्णांक $k$ के लिए $\sin(k\pi) = 0$ होता है।अतः,$I = 0 - 0 = 0$.

$m \neq n$ $(m, n \in I)$ के लिए समाकल $\int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx) \sin(nx) \, dx$ का मान क्या है?

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