int_{-1}^{3} left( tan^{-1} left( frac{x}{x^2 | vedclass

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Question

(A) हम जानते हैं कि किसी भी $u > 0$ के लिए $	an^{-1}(u) + \cot^{-1}(u) = \frac{\pi}{2}$ होता है। साथ ही,$u > 0$ के लिए $	an^{-1} \left( \frac{1}{u}

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$2\pi$

Vedclass · Answer

(A) हम जानते हैं कि किसी भी $u > 0$ के लिए $	an^{-1}(u) + \cot^{-1}(u) = \frac{\pi}{2}$ होता है। साथ ही,$u > 0$ के लिए $	an^{-1} \left( \frac{1}{u} ight) = \cot^{-1}(u)$ होता है। माना $I = \int_{-1}^{3} \left( 	an^{-1} \left( \frac{x}{x^2+1} ight) + 	an^{-1} \left( \frac{x^2+1}{x} ight) ight) dx$ है। ध्यान दें कि समाकल्य $x 
eq 0$ के लिए परिभाषित है। गुणधर्म $	an^{-1} \left( \frac{1}{u} ight) = \cot^{-1}(u)$ का उपयोग करने पर,व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: $I = \int_{-1}^{3} \left( 	an^{-1} \left( \frac{x}{x^2+1} ight) + \cot^{-1} \left( \frac{x}{x^2+1} ight) ight) dx$। चूंकि $	an^{-1}(u) + \cot^{-1}(u) = \frac{\pi}{2}$ है,इसलिए समाकल्य सरल होकर $\frac{\pi}{2}$ हो जाता है। अतः,$I = \int_{-1}^{3} \frac{\pi}{2} dx = \frac{\pi}{2} [x]_{-1}^{3} = \frac{\pi}{2} (3 - (-1)) = \frac{\pi}{2} (4) = 2\pi$।

$\int_{-1}^{3} \left( \tan^{-1} \left( \frac{x}{x^2+1} \right) + \tan^{-1} \left( \frac{x^2+1}{x} \right) \right) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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