Integration of rational function by using partial fractions, Questions in Gujarati

(B) સંકલન $\int \frac{x}{(x-1)(x-2)} dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ધારો કે $\frac{x}{(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}$.
બંને બાજુ $(x-1)(x-2)$ વડે ગુણતા,આપણને $x = A(x-2) + B(x-1)$ મળે છે.
$x = 1$ લેતા,$1 = A(1-2) \implies A = -1$.
$x = 2$ લેતા,$2 = B(2-1) \implies B = 2$.
આમ,$\int \frac{x}{(x-1)(x-2)} dx = \int \left( \frac{-1}{x-1} + \frac{2}{x-2} \right) dx$.
$= -\log |x-1| + 2 \log |x-2| + C$.
$= \log |x-2|^2 - \log |x-1| + C$.
$= \log \left| \frac{(x-2)^2}{x-1} \right| + C$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) સંકલન $\int \frac{dx}{(x+1)(x+2)}$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપણે સંકલ્યને આ રીતે લખી શકીએ:
$\frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2}$
$1 = A(x+2) + B(x+1)$
$x = -1$ લેતા,આપણને $A = 1$ મળે છે.
$x = -2$ લેતા,આપણને $B = -1$ મળે છે.
આમ,$\frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \left( \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} \right) dx = \int \frac{1}{x+1} dx - \int \frac{1}{x+2} dx$
$= \log |x+1| - \log |x+2| + c$
$= \log \left| \frac{x+1}{x+2} \right| + c$

(B) $I = \int \frac{1}{x[6(\log x)^2 + 7 \log x + 2]} dx$
ધારો કે $t = \log x$,તેથી $dt = \frac{1}{x} dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{dt}{6t^2 + 7t + 2}$
છેદના અવયવો પાડતા: $6t^2 + 7t + 2 = (2t + 1)(3t + 2)$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{(3t + 2)(2t + 1)} = \frac{A}{3t + 2} + \frac{B}{2t + 1}$
$1 = A(2t + 1) + B(3t + 2)$
$t = -\frac{1}{2}$ લેતા,$B = 2$ મળે છે.
$t = -\frac{2}{3}$ લેતા,$A = -3$ મળે છે.
તેથી,$I = \int (\frac{-3}{3t + 2} + \frac{2}{2t + 1}) dt$
$I = -\frac{3 \log |3t + 2|}{3} + \frac{2 \log |2t + 1|}{2} + C$
$I = -\log |3t + 2| + \log |2t + 1| + C$
$I = \log |\frac{2t + 1}{3t + 2}| + C$
$t = \log x$ પાછા મૂકતા:
$I = \log |\frac{2 \log x + 1}{3 \log x + 2}| + C$

(A) આપેલ છે કે,$\int \frac{d x}{(x+2)\left(x^2+1\right)}=a \log \left|1+x^2\right|+b \tan ^{-1} x+\frac{1}{5} \log |x+2|+c$.
ધારો કે $\frac{1}{(x+2)\left(x^2+1\right)}=\frac{A}{(x+2)}+\frac{B x+C}{\left(x^2+1\right)}$.
તેથી $1=A(x^2+1)+(x+2)(Bx+C) = (A+B)x^2 + (2B+C)x + (A+2C)$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$A+B=0$,$2B+C=0$,અને $A+2C=1$ મળે છે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,$A=\frac{1}{5}$,$B=-\frac{1}{5}$,અને $C=\frac{2}{5}$ મળે છે.
આમ,$\int \frac{d x}{(x+2)\left(x^2+1\right)} = \int \left( \frac{1}{5(x+2)} - \frac{x}{5(x^2+1)} + \frac{2}{5(x^2+1)} \right) dx$.
$= \frac{1}{5} \log |x+2| - \frac{1}{10} \log |x^2+1| + \frac{2}{5} \tan^{-1} x + c$.
આપેલ પદ સાથે સરખાવતા,$a=-\frac{1}{10}$ અને $b=\frac{2}{5}$ મળે છે.

(B) $A, B, C$ શોધવા માટે,આપણે આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરીશું:
$\frac{2x-1}{(x-1)(x+2)(x-3)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{x-3}$
બંને બાજુ $(x-1)(x+2)(x-3)$ વડે ગુણતા:
$2x-1 = A(x+2)(x-3) + B(x-1)(x-3) + C(x-1)(x+2)$
$x=1$ લેતા: $2(1)-1 = A(1+2)(1-3) \implies 1 = A(3)(-2) \implies A = -\frac{1}{6}$
$x=-2$ લેતા: $2(-2)-1 = B(-2-1)(-2-3) \implies -5 = B(-3)(-5) \implies -5 = 15B \implies B = -\frac{1}{3}$
$x=3$ લેતા: $2(3)-1 = C(3-1)(3+2) \implies 5 = C(2)(5) \implies 5 = 10C \implies C = \frac{1}{2}$
આમ,$A = -\frac{1}{6}, B = -\frac{1}{3}, C = \frac{1}{2}$.

(D) આપણી પાસે સંકલન $\int \frac{3x+1}{(x-1)(x-2)(x-3)} dx$ છે.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા,ધારો કે $\frac{3x+1}{(x-1)(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{x-3}$.
બંને બાજુ $(x-1)(x-2)(x-3)$ વડે ગુણતા,આપણને મળે:
$3x+1 = A(x-2)(x-3) + B(x-1)(x-3) + C(x-1)(x-2)$.
$x=1$ લેતા: $3(1)+1 = A(1-2)(1-3) \Rightarrow 4 = A(-1)(-2) \Rightarrow 4 = 2A \Rightarrow A = 2$.
$x=2$ લેતા: $3(2)+1 = B(2-1)(2-3) \Rightarrow 7 = B(1)(-1) \Rightarrow 7 = -B \Rightarrow B = -7$.
$x=3$ લેતા: $3(3)+1 = C(3-1)(3-2) \Rightarrow 10 = C(2)(1) \Rightarrow 10 = 2C \Rightarrow C = 5$.
આમ,સંકલન $\int (\frac{2}{x-1} - \frac{7}{x-2} + \frac{5}{x-3}) dx$ બને છે.
દરેક પદનું સંકલન કરતા,આપણને $2 \log |x-1| - 7 \log |x-2| + 5 \log |x-3| + K$ મળે છે.
આને $A \log |x-1| + B \log |x-2| + C \log |x-3| + K$ સાથે સરખાવતા,$A=2, B=-7, C=5$ મળે છે.

(D) અંશ અને છેદની ઘાત સમાન હોવાથી,આપણે પહેલા ભાગાકાર કરીશું.
$\frac{x^4}{(x^2+1)(x^2+3)} = \frac{x^4}{x^4+4x^2+3} = 1 - \frac{4x^2+3}{(x^2+1)(x^2+3)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા,આ પદ $1 + \frac{Ax+B}{x^2+1} + \frac{Cx+D}{x^2+3}$ સ્વરૂપમાં મળે છે.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{2 x^2-3}{\left(x^2-4\right)\left(x^2+1\right)} d x$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા,ધારો કે $\frac{2 x^2-3}{\left(x^2-4\right)\left(x^2+1\right)} = \frac{P}{x^2-4} + \frac{Q}{x^2+1}$.
$2x^2 - 3 = P(x^2+1) + Q(x^2-4) = (P+Q)x^2 + (P-4Q)$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $P+Q = 2$ અને $P-4Q = -3$.
સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $5Q = 5 \implies Q = 1$.
તેથી $P = 1$.
આમ,$I = \int \frac{1}{x^2-4} d x + \int \frac{1}{x^2+1} d x$.
$I = \frac{1}{2(2)} \log \left| \frac{x-2}{x+2} \right| + \tan^{-1} x + K$.
$I = \tan^{-1} x + \frac{1}{4} \log (x-2) - \frac{1}{4} \log (x+2) + K$.
$A \tan^{-1} x + B \log (x-2) + C \log (x+2)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = 1$,$B = \frac{1}{4}$,$C = -\frac{1}{4}$ મળે છે.
તેથી $6A + 7B - 5C = 6(1) + 7(\frac{1}{4}) - 5(-\frac{1}{4}) = 6 + \frac{7}{4} + \frac{5}{4} = 6 + \frac{12}{4} = 6 + 3 = 9$.

(D) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{x^3+3x^2+2x}$.
છેદના અવયવ પાડતા: $x^3+3x^2+2x = x(x^2+3x+2) = x(x+1)(x+2)$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{x(x+1)(x+2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{x+2}$.
$1 = A(x+1)(x+2) + Bx(x+2) + Cx(x+1)$.
$x=0$ માટે: $1 = A(1)(2) \Rightarrow A = \frac{1}{2}$.
$x=-1$ માટે: $1 = B(-1)(1) \Rightarrow B = -1$.
$x=-2$ માટે: $1 = C(-2)(-1) \Rightarrow C = \frac{1}{2}$.
તેથી,$I = \int \left(\frac{1}{2x} - \frac{1}{x+1} + \frac{1}{2(x+2)}\right) dx$.
$I = \frac{1}{2} \log |x| - \log |x+1| + \frac{1}{2} \log |x+2| + c$.
$I = \frac{1}{2} [\log |x| - 2 \log |x+1| + \log |x+2|] + c$.
$I = \frac{1}{2} \log \left|\frac{x(x+2)}{(x+1)^2}\right| + c = \frac{1}{2} \log \left|\frac{x^2+2x}{(x+1)^2}\right| + c$.

(D) ધારો કે $I = \int \frac{\sin 2x}{\sin^2 x + 3\cos x - 3} \, dx$.
$\sin 2x = 2\sin x \cos x$ અને $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{2\sin x \cos x}{1 - \cos^2 x + 3\cos x - 3} \, dx = \int \frac{2\sin x \cos x}{-\cos^2 x + 3\cos x - 2} \, dx$.
ધારો કે $t = \cos x$,તેથી $dt = -\sin x \, dx$,એટલે કે $\sin x \, dx = -dt$.
$I = \int \frac{2t}{-t^2 + 3t - 2} (-dt) = \int \frac{2t}{t^2 - 3t + 2} \, dt$.
છેદના અવયવ પાડતા: $t^2 - 3t + 2 = (t - 1)(t - 2)$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત વાપરતા: $\frac{2t}{(t - 1)(t - 2)} = \frac{A}{t - 1} + \frac{B}{t - 2}$.
$2t = A(t - 2) + B(t - 1)$.
$t = 1$ માટે,$2 = A(-1) \implies A = -2$.
$t = 2$ માટે,$4 = B(1) \implies B = 4$.
$I = \int \left( \frac{-2}{t - 1} + \frac{4}{t - 2} \right) dt = -2 \log |t - 1| + 4 \log |t - 2| + c$.
$I = \log |t - 2|^4 - \log |t - 1|^2 + c = \log \left| \frac{(t - 2)^4}{(t - 1)^2} \right| + c$.
$t = \cos x$ મૂકતા: $I = \log \left( \frac{(\cos x - 2)^4}{(\cos x - 1)^2} \right) + c$.

(D) ધારો કે $I = \int \frac{1}{\cos x} \left[ \frac{\sin x + 3 \cos x - \sin x}{\sin x(\sin x + 3 \cos x)} \right] dx$
$= \int \frac{1}{\cos x} \left[ \frac{3 \cos x}{\sin x(\sin x + 3 \cos x)} \right] dx$
$= \int \frac{3}{\sin x(\sin x + 3 \cos x)} dx$
અંશ અને છેદને $\cos^2 x$ વડે ભાગતા:
$= \int \frac{3 \sec^2 x}{\tan x(\tan x + 3)} dx$
ધારો કે $u = \tan x$,તેથી $du = \sec^2 x dx$.
$I = \int \frac{3}{u(u + 3)} du$
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{3}{u(u + 3)} = \frac{A}{u} + \frac{B}{u + 3} \implies 3 = A(u + 3) + Bu$.
$u = 0$ માટે,$A = 1$. $u = -3$ માટે,$B = -1$.
$I = \int \left( \frac{1}{u} - \frac{1}{u + 3} \right) du = \log |u| - \log |u + 3| + c$
$= \log \left| \frac{u}{u + 3} \right| + c = \log \left| \frac{\tan x}{\tan x + 3} \right| + c$
$= \log \left| \frac{\sin x / \cos x}{(\sin x + 3 \cos x) / \cos x} \right| + c = \log \left| \frac{\sin x}{\sin x + 3 \cos x} \right| + c$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{5 \cot x+1}{(\cot x-1)(\cot x-2) \sin ^2 x} d x$.
$\cot x = t$ આદેશ લેતા,$-\operatorname{cosec}^2 x d x = d t$,એટલે કે $\operatorname{cosec}^2 x d x = -d t$.
તેથી,$I = -\int \frac{5t+1}{(t-1)(t-2)} dt$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{5t+1}{(t-1)(t-2)} = \frac{A}{t-1} + \frac{B}{t-2}$.
$5t+1 = A(t-2) + B(t-1) = (A+B)t - (2A+B)$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$A+B = 5$ અને $2A+B = -1$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,$A = -6$ અને $B = 11$ મળે છે.
તેથી,$I = -\int \left( \frac{-6}{t-1} + \frac{11}{t-2} \right) dt = 6 \int \frac{dt}{t-1} - 11 \int \frac{dt}{t-2}$.
$I = 6 \log |t-1| - 11 \log |t-2| + c = 6 \log |\cot x - 1| + 11 \log |(\cot x - 2)^{-1}| + c$.
$6 \log |f(x)| + 11 \log |g(x)| + c$ સાથે સરખાવતા,$f(x) = \cot x - 1$ અને $g(x) = (\cot x - 2)^{-1}$ મળે છે.
આમ,$(f(x), g(x)) = (\cot x - 1, (\cot x - 2)^{-1})$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{x(x^2+1)^3}$. અંશ અને છેદને $x$ વડે ગુણતા:
$I = \int \frac{x dx}{x^2(x^2+1)^3}$.
ધારો કે $x^2 = t$,તેથી $2x dx = dt$,એટલે કે $x dx = \frac{dt}{2}$.
$I = \frac{1}{2} \int \frac{dt}{t(t+1)^3}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{t(t+1)^3} = \frac{A}{t} + \frac{B}{t+1} + \frac{C}{(t+1)^2} + \frac{D}{(t+1)^3}$.
અચળાંકો માટે ઉકેલતા: $A=1, B=-1, C=-1, D=-1$.
$I = \frac{1}{2} [\int \frac{1}{t} dt - \int \frac{1}{t+1} dt - \int \frac{1}{(t+1)^2} dt - \int \frac{1}{(t+1)^3} dt]$.
$I = \frac{1}{2} [\log|t| - \log|t+1| + \frac{1}{t+1} + \frac{1}{2(t+1)^2}] + c$.
$t = x^2$ મૂકતા:
$I = \frac{1}{2} \log \frac{x^2}{x^2+1} + \frac{1}{2(x^2+1)} + \frac{1}{4(x^2+1)^2} + c$.
$I = \log \sqrt{\frac{x^2}{x^2+1}} + \frac{1}{2(x^2+1)} + \frac{1}{4(x^2+1)^2} + c$.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{5x^2+3}{x^2(x^2-2)} dx$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને,ધારો કે $\frac{5x^2+3}{x^2(x^2-2)} = \frac{A}{x^2} + \frac{B}{x^2-2}$.
તેથી $5x^2+3 = A(x^2-2) + Bx^2$.
$x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $A+B = 5$.
અચળ પદોની સરખામણી કરતા: $-2A = 3 \implies A = -\frac{3}{2}$.
$A+B=5$ માં $A$ ની કિંમત મૂકતા: $-\frac{3}{2} + B = 5 \implies B = 5 + \frac{3}{2} = \frac{13}{2}$.
આમ,$I = \int \left( -\frac{3}{2x^2} + \frac{13}{2(x^2-2)} \right) dx$.
$I = -\frac{3}{2} \int x^{-2} dx + \frac{13}{2} \int \frac{1}{x^2-(\sqrt{2})^2} dx$.
સૂત્ર $\int \frac{1}{x^2-a^2} dx = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{x-a}{x+a} \right| + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = -\frac{3}{2} \left( -\frac{1}{x} \right) + \frac{13}{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} \log \left| \frac{x-\sqrt{2}}{x+\sqrt{2}} \right| + C$.
$I = \frac{3}{2x} + \frac{13}{4\sqrt{2}} \log \left| \frac{x-\sqrt{2}}{x+\sqrt{2}} \right| + C$.

(B) આપણી પાસે સંકલન $I = \int \frac{x+1}{x^3-1} \, dx$ છે.
અવયવીકરણ $x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે સંકલ્યને આંશિક અપૂર્ણાંક તરીકે લખીએ છીએ:
$\frac{x+1}{(x-1)(x^2+x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+x+1}$.
અંશને સરખાવતા: $x+1 = A(x^2+x+1) + (Bx+C)(x-1)$.
$x=1$ માટે: $2 = A(3) \implies A = \frac{2}{3}$.
$x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $0 = A+B \implies B = -\frac{2}{3}$.
અચળ પદોની સરખામણી કરતા: $1 = A-C \implies C = A-1 = \frac{2}{3}-1 = -\frac{1}{3}$.
આમ,$I = \int \left( \frac{2/3}{x-1} + \frac{-2/3x - 1/3}{x^2+x+1} \right) \, dx = \frac{2}{3} \ln|x-1| - \frac{1}{3} \int \frac{2x+1}{x^2+x+1} \, dx$.
$I = \frac{2}{3} \ln|x-1| - \frac{1}{3} \ln|x^2+x+1| + c = \frac{1}{3} \ln \left( \frac{(x-1)^2}{x^2+x+1} \right) + c$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \int \frac{x}{(x^2+1)(x^2+3)} dx$.
ધારો કે $x^2 = t$,તેથી $2x dx = dt$,એટલે કે $x dx = \frac{1}{2} dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$f(x) = \frac{1}{2} \int \frac{1}{(t+1)(t+3)} dt$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{(t+1)(t+3)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{t+1} - \frac{1}{t+3} \right)$.
તેથી,$f(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \int \left( \frac{1}{t+1} - \frac{1}{t+3} \right) dt = \frac{1}{4} [\log|t+1| - \log|t+3|] + C = \frac{1}{4} \log \left( \frac{x^2+1}{x^2+3} \right) + C$.
આપેલ છે કે $f(3) = \frac{1}{4} \log \left( \frac{5}{6} \right)$,તેથી:
$\frac{1}{4} \log \left( \frac{3^2+1}{3^2+3} \right) + C = \frac{1}{4} \log \left( \frac{10}{12} \right) + C = \frac{1}{4} \log \left( \frac{5}{6} \right) + C$.
આ કિંમતને સરખાવતા,આપણને $C = 0$ મળે છે.
તેથી,$f(x) = \frac{1}{4} \log \left( \frac{x^2+1}{x^2+3} \right)$.
અંતે,$f(0) = \frac{1}{4} \log \left( \frac{0^2+1}{0^2+3} \right) = \frac{1}{4} \log \left( \frac{1}{3} \right)$.

(B) ધારો કે $f(x) = \frac{x^2}{(x+2)(2x+3)} = \frac{x^2}{2x^2+7x+6}$.
સૌ પ્રથમ આપણે $f(x)$ નું આંશિક અપૂર્ણાંકમાં વિભાજન કરીએ:
$\frac{x^2}{(x+2)(2x+3)} = \frac{1}{2} + \frac{-\frac{7}{2}x - 3}{(x+2)(2x+3)} = \frac{1}{2} + \frac{A'}{x+2} + \frac{B'}{2x+3}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{-\frac{7}{2}x - 3}{(x+2)(2x+3)} = \frac{P}{x+2} + \frac{Q}{2x+3}$.
$x = -2$ લેતા: $P = \frac{-\frac{7}{2}(-2) - 3}{2(-2)+3} = \frac{4}{-1} = -4$.
$x = -3/2$ લેતા: $Q = \frac{-\frac{7}{2}(-3/2) - 3}{(-3/2)+2} = \frac{21/4 - 12/4}{1/2} = \frac{9/4}{1/2} = 9/2$.
તેથી,$f(x) = \frac{1}{2} - \frac{4}{x+2} + \frac{9/2}{2x+3}$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx} f(x) = 0 - 4(-1)(x+2)^{-2} + \frac{9}{2}(-1)(2x+3)^{-2} \cdot 2$
$\frac{d}{dx} f(x) = \frac{4}{(x+2)^2} - \frac{9}{(2x+3)^2}$.
આને $\frac{A}{(x+2)^2} + \frac{B}{(2x+3)^2}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = 4$ અને $B = -9$ મળે છે.
તેથી,$A+B = 4 + (-9) = -5$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{x^2}{(x^2-1)(x^2+1)} dx$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખી શકીએ કે $\frac{x^2}{(x^2-1)(x^2+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x^2-1} + \frac{1}{x^2+1} \right)$.
હવે,$I = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2-1} dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2+1} dx$.
પ્રમાણિત સંકલન $\int \frac{1}{x^2-a^2} dx = \frac{1}{2a} \ln \left| \frac{x-a}{x+a} \right| + c$ અને $\int \frac{1}{x^2+1} dx = \tan^{-1} x + c$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right| \right) + \frac{1}{2} \tan^{-1} x + c$.
$I = \frac{1}{4} \ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right| + \frac{1}{2} \tan^{-1} x + c$.

(A) આપેલ સંકલન $I = \int \frac{3x+4}{x^3-2x-4} dx = \log f(x) + C$.
પ્રથમ,છેદના અવયવો પાડો: $x^3-2x-4 = (x-2)(x^2+2x+2)$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{3x+4}{(x-2)(x^2+2x+2)} = \frac{A}{x-2} + \frac{Bx+C}{x^2+2x+2}$.
સહગુણકો સરખાવતા: $3x+4 = A(x^2+2x+2) + (Bx+C)(x-2)$.
$x=2$ લેતા: $3(2)+4 = A(4+4+2) \Rightarrow 10 = 10A \Rightarrow A=1$.
$x^2$ ના સહગુણકો સરખાવતા: $0 = A+B \Rightarrow B = -1$.
અચળ પદ સરખાવતા: $4 = 2A - 2C \Rightarrow 4 = 2 - 2C \Rightarrow 2C = -2 \Rightarrow C = -1$.
તેથી,$I = \int \frac{1}{x-2} dx - \int \frac{x+1}{x^2+2x+2} dx$.
$I = \log|x-2| - \frac{1}{2} \int \frac{2x+2}{x^2+2x+2} dx = \log|x-2| - \frac{1}{2} \log|x^2+2x+2| + C$.
$I = \log \left( \frac{|x-2|}{\sqrt{x^2+2x+2}} \right) + C$.
આમ,$f(x) = \frac{|x-2|}{\sqrt{x^2+2x+2}}$.
$f(3) = \frac{|3-2|}{\sqrt{3^2+2(3)+2}} = \frac{1}{\sqrt{9+6+2}} = \frac{1}{\sqrt{17}}$.

(D) ધારો કે $I = \int \frac{x-1}{(x-2)(x-3)} \, dx$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{x-1}{(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-3}$.
અંશને સરખાવતા: $x-1 = A(x-3) + B(x-2)$.
$x=2$ માટે: $2-1 = A(2-3) \implies 1 = -A \implies A = -1$.
$x=3$ માટે: $3-1 = B(3-2) \implies 2 = B$.
તેથી,$\frac{x-1}{(x-2)(x-3)} = \frac{2}{x-3} - \frac{1}{x-2}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $I = \int \left( \frac{2}{x-3} - \frac{1}{x-2} \right) \, dx$.
$I = 2 \log |x-3| - \log |x-2| + c$.
લઘુગણકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા: $I = \log |x-3|^2 - \log |x-2| + c = \log \left| \frac{(x-3)^2}{x-2} \right| + c$.

(D) ધારો કે $I = \int \frac{x^3-1}{x^3+x} dx$.
અંશને છેદ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$I = \int \left(1 - \frac{x+1}{x^3+x}\right) dx = \int 1 dx - \int \frac{x+1}{x(x^2+1)} dx$.
$\frac{x+1}{x(x^2+1)}$ માટે આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x+1}{x(x^2+1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$.
$x+1 = A(x^2+1) + (Bx+C)x = (A+B)x^2 + Cx + A$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને $A=1$,$C=1$,અને $A+B=0 \Rightarrow B=-1$ મળે છે.
તેથી,$\frac{x+1}{x(x^2+1)} = \frac{1}{x} + \frac{-x+1}{x^2+1} = \frac{1}{x} - \frac{x}{x^2+1} + \frac{1}{x^2+1}$.
આ કિંમતને સંકલનમાં મૂકતા:
$I = x - \int \left(\frac{1}{x} - \frac{x}{x^2+1} + \frac{1}{x^2+1}\right) dx$.
$I = x - \log |x| + \frac{1}{2} \log (x^2+1) - \tan^{-1}(x) + c$.

(D) ધારો કે $f(x) = ax^2 + bx + c$. આપેલ છે કે $f(0) = 3$,તેથી $c = 3$.
$f(1) = 3$ હોવાથી,$a + b + 3 = 3 \Rightarrow a + b = 0 \Rightarrow b = -a$.
$f(2) = -3$ હોવાથી,$4a + 2b + 3 = -3 \Rightarrow 4a + 2b = -6$.
$b = -a$ મૂકતા,$4a - 2a = -6 \Rightarrow 2a = -6 \Rightarrow a = -3$.
તેથી $b = 3$. આમ $f(x) = -3x^2 + 3x + 3$.
હવે,$\int \frac{-3x^2 + 3x + 3}{x^3 - 1} dx = -3 \int \frac{x^2 - x - 1}{(x-1)(x^2 + x + 1)} dx$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત વાપરતા,ઉકેલ મેળવતા વિકલ્પ $D$ સાચો જવાબ મળે છે.

(A) આપેલ સંકલન $I = \int \frac{dx}{\sin x + \sin 2x}$ છે.
$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા,$I = \int \frac{dx}{\sin x(1 + 2 \cos x)}$.
અંશ અને છેદને $\sin x$ વડે ગુણતા: $I = \int \frac{\sin x dx}{\sin^2 x(1 + 2 \cos x)} = \int \frac{\sin x dx}{(1 - \cos^2 x)(1 + 2 \cos x)}$.
ધારો કે $\cos x = t$,તેથી $-\sin x dx = dt$. આમ,$I = -\int \frac{dt}{(1 - t^2)(1 + 2t)} = \int \frac{dt}{(t - 1)(t + 1)(2t + 1)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{(t - 1)(t + 1)(2t + 1)} = \frac{A}{t - 1} + \frac{B}{t + 1} + \frac{C}{2t + 1}$.
અચળાંકો શોધતા: $1 = A(t + 1)(2t + 1) + B(t - 1)(2t + 1) + C(t^2 - 1)$.
$t = 1$ માટે: $1 = A(2)(3) \Rightarrow A = \frac{1}{6}$.
$t = -1$ માટે: $1 = B(-2)(-1) \Rightarrow B = \frac{1}{2}$.
$t = -\frac{1}{2}$ માટે: $1 = C(\frac{1}{4} - 1) = C(-\frac{3}{4}) \Rightarrow C = -\frac{4}{3}$.
કિંમતો મૂકતા: $I = \int (\frac{1/6}{t - 1} + \frac{1/2}{t + 1} - \frac{4/3}{2t + 1}) dt = \frac{1}{6} \ln|t - 1| + \frac{1}{2} \ln|t + 1| - \frac{2}{3} \ln|2t + 1| + c$.
$t = \cos x$ મૂકતા: $I = \frac{1}{6} \ln|\cos x - 1| + \frac{1}{2} \ln|\cos x + 1| - \frac{2}{3} \ln|2 \cos x + 1| + c$.
$|\cos x - 1| = |1 - \cos x|$ હોવાથી,પરિણામ $\frac{1}{6} \ln|1 - \cos x| + \frac{1}{2} \ln|1 + \cos x| - \frac{2}{3} \ln|1 + 2 \cos x| + c$ મળે છે.

(B) સંકલન $I = \int \frac{dx}{(x + 1)^2 (x^2 + 1)}$ છે.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{(x + 1)^2 (x^2 + 1)} = \frac{A}{(x + 1)^2} + \frac{B}{x + 1} + \frac{Cx + D}{x^2 + 1}$ લખી શકાય.
$(x + 1)^2 (x^2 + 1)$ વડે ગુણતા,$1 = A(x^2 + 1) + B(x + 1)(x^2 + 1) + (Cx + D)(x + 1)^2$ મળે.
$x = -1$ લેતા,$A = \frac{1}{2}$ મળે.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$A = \frac{1}{2}$,$B = \frac{1}{2}$,$C = -\frac{1}{2}$,$D = 0$ મળે છે.
તેથી,$I = \int [\frac{1}{2(x + 1)^2} + \frac{1}{2(x + 1)} - \frac{x}{2(x^2 + 1)}] dx$.
દરેક પદનું સંકલન કરતા,$I = \frac{1}{2} [-\frac{1}{x + 1} + \log_e|x + 1| - \frac{1}{2} \log_e(x^2 + 1)] + C$.
$I = \frac{1}{2} \log_e(x + 1) - \frac{1}{4} \log_e(x^2 + 1) - \frac{1}{2(x + 1)} + C$.
$\frac{1}{2} \log_e(x + 1) = \log_e \sqrt{x + 1}$ અને $\frac{1}{4} \log_e(x^2 + 1) = \frac{1}{2} \log_e \sqrt{x^2 + 1}$ નો ઉપયોગ કરતા,$I = \log_e \sqrt{x + 1} - \frac{1}{2} \log_e \sqrt{x^2 + 1} - \frac{1}{2(x + 1)} + C$ મળે છે.

(D) સૌ પ્રથમ,છેદના અવયવો પાડો: $x^3-3x+2 = (x-1)^2(x+2)$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{x}{(x-1)^2(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{C}{x+2}$.
$(x-1)^2(x+2)$ વડે ગુણતા: $x = A(x-1)(x+2) + B(x+2) + C(x-1)^2$.
$x=1$ લેતા: $1 = B(3) \Rightarrow B = \frac{1}{3}$.
$x=-2$ લેતા: $-2 = C(-3)^2 \Rightarrow -2 = 9C \Rightarrow C = -\frac{2}{9}$.
$x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $0 = A + C \Rightarrow A = -C = \frac{2}{9}$.
આમ,સંકલન થશે: $\int \left( \frac{2/9}{x-1} + \frac{1/3}{(x-1)^2} - \frac{2/9}{x+2} \right) dx$.
$= \frac{2}{9} \log |x-1| - \frac{1}{3(x-1)} - \frac{2}{9} \log |x+2| + c$.
$= -\frac{1}{3(x-1)} + \frac{2}{9} \log \left| \frac{x-1}{x+2} \right| + c$.

(B) આપેલ છે $I = \int \frac{dx}{\sin x + \sin 2x}$.
$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા,$I = \int \frac{dx}{\sin x(1 + 2 \cos x)}$.
અંશ અને છેદને $\sin x$ વડે ગુણતા: $I = \int \frac{\sin x dx}{\sin^2 x(1 + 2 \cos x)} = \int \frac{\sin x dx}{(1 - \cos^2 x)(1 + 2 \cos x)} = \int \frac{\sin x dx}{(1 - \cos x)(1 + \cos x)(1 + 2 \cos x)}$.
ધારો કે $\cos x = t$,તેથી $-\sin x dx = dt$,એટલે કે $I = -\int \frac{dt}{(1-t)(1+t)(1+2t)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત વાપરતા: $\frac{1}{(1-t)(1+t)(1+2t)} = \frac{A}{1-t} + \frac{B}{1+t} + \frac{C}{1+2t}$.
અચળાંકો શોધતા: $A = \frac{1}{6}$,$B = \frac{1}{2}$,$C = -\frac{4}{3}$.
તેથી,$I = -\int (\frac{1/6}{1-t} + \frac{1/2}{1+t} - \frac{4/3}{1+2t}) dt = \frac{1}{6} \log |1-t| - \frac{1}{2} \log |1+t| + \frac{2}{3} \log |1+2t| + c$.
$t = \cos x$ મૂકતા: $I = \frac{1}{6} \log |1-\cos x| - \frac{1}{2} \log |1+\cos x| + \frac{2}{3} \log |1+2 \cos x| + c$.

(A) ધારો કે સંકલ્ય $\frac{3x+1}{(x-1)^3(x+1)} = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{x-1} + \frac{c}{(x-1)^2} + \frac{d}{(x-1)^3}$ છે.
આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન દ્વારા,$3x+1 = a(x-1)^3 + b(x+1)(x-1)^2 + c(x+1)(x-1) + d(x+1)$.
$x=1$ લેતા,$3(1)+1 = d(1+1) \implies 4 = 2d \implies d=2$.
$x=-1$ લેતા,$3(-1)+1 = a(-1-1)^3 \implies -2 = -8a \implies a = \frac{1}{4}$.
$x^3$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $0 = a + b \implies b = -a = -\frac{1}{4}$.
અચળ પદોની સરખામણી કરતા: $1 = a(-1) + b(1) + c(-1) + d(1) \implies 1 = -\frac{1}{4} - \frac{1}{4} - c + 2 \implies 1 = \frac{3}{2} - c \implies c = \frac{1}{2}$.
આપેલ સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$A = \frac{1}{4}$,$B = -\frac{1}{2}$,$C = -1$.
$A+B+C = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 1 = \frac{1-2-4}{4} = -\frac{5}{4}$.

(B) $\int \frac{x^2}{(x-1)(x-2)(x-3)} dx$ ને ઉકેલવા માટે,આપણે આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ધારો કે $\frac{x^2}{(x-1)(x-2)(x-3)} = 1 + \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{x-3}$.
કવર-અપ નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$A = \frac{1^2}{(1-2)(1-3)} = \frac{1}{2}$.
$B = \frac{2^2}{(2-1)(2-3)} = -4$.
$C = \frac{3^2}{(3-1)(3-2)} = \frac{9}{2}$.
આમ,સંકલન $\int (1 + \frac{1/2}{x-1} - \frac{4}{x-2} + \frac{9/2}{x-3}) dx$ બને છે.
$= x + \frac{1}{2} \log_e |x-1| - 4 \log_e |x-2| + \frac{9}{2} \log_e |x-3| + C'$.
$= \log_e e^x + \log_e |x-1|^{1/2} - \log_e |x-2|^4 + \log_e |x-3|^{9/2} + C'$.
$= \log_e \left( \frac{e^x |x-1|^{1/2} |x-3|^{9/2}}{|x-2|^4} \right) + C'$.
$\log_e f(x)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $f(x) = C \cdot \frac{|x-1|^{1/2} |x-3|^{9/2}}{(x-2)^4}$ મળે છે.

(B) ધારો કે સંકલન $I = \int \frac{x^5 \, dx}{(x^2+x+1)(x^6+1)(x^4-x^3+x-1)}$ છે.
પ્રથમ,છેદના પદોનું સાદુંરૂપ આપો:
$(x^2+x+1)(x^4-x^3+x-1) = (x^2+x+1)(x^3(x-1) + 1(x-1)) = (x^2+x+1)(x^3+1)(x-1)$.
કારણ કે $(x^2+x+1)(x-1) = x^3-1$,તેથી ગુણાકાર $(x^3-1)(x^3+1) = x^6-1$ થાય છે.
આમ,સંકલન $I = \int \frac{x^5 \, dx}{(x^6+1)(x^6-1)}$ માં ફેરવાય છે.
$t = x^6$ આદેશ લેતા,$dt = 6x^5 \, dx$,તેથી $x^5 \, dx = \frac{1}{6} \, dt$.
$I = \frac{1}{6} \int \frac{dt}{(t+1)(t-1)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{(t+1)(t-1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{t-1} - \frac{1}{t+1} \right)$.
$I = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} \int \left( \frac{1}{t-1} - \frac{1}{t+1} \right) dt = \frac{1}{12} (\log_e |t-1| - \log_e |t+1|) + c$.
$I = \frac{1}{12} \log_e \left| \frac{t-1}{t+1} \right| + c = \frac{1}{12} \log_e \left| \frac{x^6-1}{x^6+1} \right| + c$.

(B) $\int \frac{6x^2-17x-5}{(x+3)(x-2)^2} dx$ ઉકેલવા માટે,આપણે આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\frac{6x^2-17x-5}{(x+3)(x-2)^2} = \frac{A}{x+3} + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{(x-2)^2}$.
$(x+3)(x-2)^2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$6x^2-17x-5 = A(x-2)^2 + B(x+3)(x-2) + C(x+3)$.
$x=2$ લેતા: $6(4)-17(2)-5 = C(5) \Rightarrow 24-34-5 = 5C \Rightarrow -15 = 5C \Rightarrow C = -3$.
$x=-3$ લેતા: $6(9)-17(-3)-5 = A(-5)^2 \Rightarrow 54+51-5 = 25A \Rightarrow 100 = 25A \Rightarrow A = 4$.
$x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $6 = A + B \Rightarrow 6 = 4 + B \Rightarrow B = 2$.
આમ,સંકલન $\int \left( \frac{4}{x+3} + \frac{2}{x-2} - \frac{3}{(x-2)^2} \right) dx$ થાય છે.
પદવાર સંકલન કરતા: $4 \log |x+3| + 2 \log |x-2| + \frac{3}{x-2} + c$.
આ $\log |(x+3)^4 (x-2)^2| + \frac{3}{x-2} + c$ માં પરિણમે છે.

(A) $\text{સૌ પ્રથમ છેદના અવયવો પાડો: } x^2+3 x+2 = (x+1)(x+2)$.
$\text{આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને, ધારો કે } \frac{2 x+5}{(x+1)(x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2}$.
$\text{અંશને સરખાવતા: } 2 x+5 = A(x+2) + B(x+1)$.
$x = -1 \text{ માટે, } 2(-1)+5 = A(-1+2) \implies A = 3$.
$x = -2 \text{ માટે, } 2(-2)+5 = B(-2+1) \implies 1 = -B \implies B = -1$.
$\text{તેથી, } \int_0^1 \left(\frac{3}{x+1} - \frac{1}{x+2}\right) \,d x = [3 \log |x+1| - \log |x+2|]_0^1$.
$\text{સીમાઓ પર કિંમત મૂકતા: } (3 \log 2 - \log 3) - (3 \log 1 - \log 2) = 3 \log 2 - \log 3 + \log 2 = 4 \log 2 - \log 3 = \log(16) - \log(3) = \log \left(\frac{16}{3}\right)$.

(D) ધારો કે $I = \int_{\log 4}^{\log 5} \frac{e^{2x} + e^x}{e^{2x} - 5e^x + 6} dx$.
$e^x = t$ આદેશ લેતા,$e^x dx = dt$ મળે.
જ્યારે $x = \log 4$,ત્યારે $t = 4$ અને જ્યારે $x = \log 5$,ત્યારે $t = 5$.
$I = \int_4^5 \frac{t+1}{(t-3)(t-2)} dt$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત વાપરતા: $\frac{t+1}{(t-3)(t-2)} = \frac{4}{t-3} - \frac{3}{t-2}$.
$I = \int_4^5 \left( \frac{4}{t-3} - \frac{3}{t-2} \right) dt$.
$I = [4 \log|t-3| - 3 \log|t-2|]_4^5$.
$I = (4 \log 2 - 3 \log 3) - (4 \log 1 - 3 \log 2)$.
$I = 4 \log 2 - 3 \log 3 + 3 \log 2 = 7 \log 2 - 3 \log 3$.
$I = \log(2^7) - \log(3^3) = \log\left(\frac{128}{27}\right)$.

(A) ધારો કે $I = 729 \int_1^3 \frac{1}{x^3(x^2+9)^2} dx$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખી શકીએ કે $\frac{1}{x^3(x^2+9)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x^3} + \frac{Dx+E}{x^2+9} + \frac{Fx+G}{(x^2+9)^2}$.
સહગુણકો શોધતા,આપણને $A = -\frac{2}{729}$,$B = 0$,$C = \frac{1}{81}$,$D = \frac{2}{729}$,$E = 0$,$F = \frac{1}{81}$,$G = 0$ મળે છે.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$I = 729 \int_1^3 \left( -\frac{2}{729x} + \frac{1}{81x^3} + \frac{2x}{729(x^2+9)} + \frac{x}{81(x^2+9)^2} \right) dx$
$I = \int_1^3 \left( -\frac{2}{x} + \frac{9}{x^3} + \frac{2x}{x^2+9} + \frac{9x}{(x^2+9)^2} \right) dx$
દરેક પદનું સંકલન કરતા:
$I = \left[ -2 \log|x| - \frac{9}{2x^2} + \log(x^2+9) - \frac{9}{2(x^2+9)} \right]_1^3$
$I = \left[ \log\left(\frac{x^2+9}{x^2}\right) - \frac{9}{2x^2} - \frac{9}{2(x^2+9)} \right]_1^3$
સીમાઓ મૂકતા:
$I = \left( \log\left(\frac{18}{9}\right) - \frac{9}{18} - \frac{9}{36} \right) - \left( \log\left(\frac{10}{1}\right) - \frac{9}{2} - \frac{9}{20} \right)$
$I = \log 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \log 10 + \frac{9}{2} + \frac{9}{20}$
$I = \log\left(\frac{2}{10}\right) + \left( 4 - \frac{1}{4} + \frac{9}{20} \right) = \log\left(\frac{1}{5}\right) + \left( \frac{80 - 5 + 9}{20} \right) = \log\left(\frac{1}{5}\right) + \frac{84}{20} = \frac{21}{5} + \log\left(\frac{1}{5}\right)$
$a + \log b$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = \frac{21}{5}$ અને $b = \frac{1}{5}$ મળે છે.
તેથી,$a - b = \frac{21}{5} - \frac{1}{5} = \frac{20}{5} = 4$.

(D) સૌ પ્રથમ,અંશને છેદ વડે ભાગાકાર કરો:
$2x^3 - 4x^2 - x - 3 = (2x)(x^2 - 2x - 3) + (5x - 3)$.
તેથી,સંકલ્ય નીચે મુજબ થશે:
$\frac{2x^3 - 4x^2 - x - 3}{x^2 - 2x - 3} = 2x + \frac{5x - 3}{(x+1)(x-3)}$.
હવે,$\frac{5x - 3}{(x+1)(x-3)}$ માટે આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરો:
$\frac{5x - 3}{(x+1)(x-3)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-3}$.
$5x - 3 = A(x-3) + B(x+1)$.
$x = -1$ લેતા,$-8 = A(-4) \implies A = 2$.
$x = 3$ લેતા,$12 = B(4) \implies B = 3$.
તેથી,સંકલન:
$I = \int (2x + \frac{2}{x+1} + \frac{3}{x-3}) dx = x^2 + 2 \log |x+1| + 3 \log |x-3| + c$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{x^3}{x^4+3 x^2+2} d x$.
$t = x^2$ આદેશ લેતા,$dt = 2x dx$,એટલે કે $x dx = \frac{dt}{2}$.
સંકલન આ મુજબ થશે: $I = \int \frac{t}{t^2+3t+2} \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int \frac{t}{(t+1)(t+2)} dt$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત વાપરતા: $\frac{t}{(t+1)(t+2)} = \frac{A}{t+1} + \frac{B}{t+2}$.
$A$ અને $B$ શોધતા: $t = A(t+2) + B(t+1)$.
$t = -1$ માટે,$A = -1$. $t = -2$ માટે,$B = 2$.
તેથી,$I = \frac{1}{2} \int \left(\frac{2}{t+2} - \frac{1}{t+1}\right) dt$.
$I = \frac{1}{2} [2 \log|t+2| - \log|t+1|] + c$.
$I = \log|x^2+2| - \frac{1}{2} \log|x^2+1| + c = \log \left(\frac{x^2+2}{\sqrt{x^2+1}}\right) + c$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{x+1}{x(1+x e^x)} d x$.
અંશ અને છેદને $e^x$ વડે ગુણતા:
$I = \int \frac{(x+1) e^x}{x e^x(1+x e^x)} d x$.
ધારો કે $t = 1 + x e^x$.
તેથી $d t = (e^x + x e^x) d x = (1+x) e^x d x$.
વળી,$t = 1 + x e^x$ પરથી,આપણને $x e^x = t - 1$ મળે છે.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{d t}{(t-1) t}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{(t-1) t} = \frac{1}{t-1} - \frac{1}{t}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$I = \int \left( \frac{1}{t-1} - \frac{1}{t} \right) d t = \log |t-1| - \log |t| + C = \log \left| \frac{t-1}{t} \right| + C$.
$t = 1 + x e^x$ ની કિંમત પાછી મૂકતા:
$I = \log \left| \frac{x e^x}{1+x e^x} \right| + C$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{x(\log x-2)(\log x-3)}$.
$t = \log x$ લેતા,તેથી $dt = \frac{dx}{x}$ મળે.
હવે સંકલન $I = \int \frac{dt}{(t-2)(t-3)}$ થશે.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{(t-2)(t-3)} = \frac{A}{t-2} + \frac{B}{t-3}$.
$1 = A(t-3) + B(t-2)$.
$t=2$ માટે $A = -1$ અને $t=3$ માટે $B = 1$ મળે.
તેથી,$I = \int \left( \frac{1}{t-3} - \frac{1}{t-2} \right) dt$.
$I = \log |t-3| - \log |t-2| + C$.
$I = \log \left| \frac{t-3}{t-2} \right| + C$.
$t = \log x$ પાછું મૂકતા,આપણને $I = \log \left| \frac{\log x - 3}{\log x - 2} \right| + C$ મળે છે.

(D) સંકલન $\int \frac{1}{(x-2)(x^2+1)} dx$ ઉકેલવા માટે,આપણે આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\frac{1}{(x-2)(x^2+1)} = \frac{A}{x-2} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$
$1 = A(x^2+1) + (Bx+C)(x-2)$
$x=2$ લેતા,આપણને મળે છે $1 = A(4+1) \Rightarrow 5A = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{5}$.
$x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $A+B = 0 \Rightarrow B = -A = -\frac{1}{5}$.
અચળ પદોની સરખામણી કરતા: $A - 2C = 1 \Rightarrow \frac{1}{5} - 2C = 1 \Rightarrow -2C = \frac{4}{5} \Rightarrow C = -\frac{2}{5}$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$\int \left( \frac{1/5}{x-2} + \frac{-1/5x - 2/5}{x^2+1} \right) dx = \frac{1}{5} \int \frac{1}{x-2} dx - \frac{1}{5} \int \frac{x}{x^2+1} dx - \frac{2}{5} \int \frac{1}{x^2+1} dx$
$= \frac{1}{5} \log |x-2| - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} \log(x^2+1) - \frac{2}{5} \tan^{-1} x + C$
$= \frac{1}{5} \left[ \log |x-2| - \frac{1}{2} \log(x^2+1) - 2 \tan^{-1} x \right] + C$
$= \frac{1}{5} \left[ \log \frac{|x-2|}{\sqrt{x^2+1}} - 2 \tan^{-1} x \right] + C$.

(D) સંકલન $I = \int \frac{dx}{(x^2+1)(x^2+4)}$ ઉકેલવા માટે,આપણે આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. ધારો કે $x^2 = t$. તેથી $\frac{1}{(t+1)(t+4)} = \frac{A}{t+1} + \frac{B}{t+4}$.
આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન દ્વારા,$1 = A(t+4) + B(t+1)$.
$t = -1$ લેતા,આપણને $1 = 3A \implies A = \frac{1}{3}$ મળે છે.
$t = -4$ લેતા,આપણને $1 = -3B \implies B = -\frac{1}{3}$ મળે છે.
આમ,$\frac{1}{(x^2+1)(x^2+4)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{x^2+1} - \frac{1}{x^2+4} \right)$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$I = \frac{1}{3} \int \frac{dx}{x^2+1} - \frac{1}{3} \int \frac{dx}{x^2+2^2}$.
પ્રમાણિત સૂત્ર $\int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \frac{1}{3} \tan^{-1} x - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{x}{2}) + C$.
$I = \frac{1}{3} \tan^{-1} x - \frac{1}{6} \tan^{-1}(\frac{x}{2}) + C$.

(C) આપેલ છે,$\int \frac{x+3}{(x-1)^2(2 x-1)} d x=\frac{A}{x-1}+B \log (2 x-1)+C \log (x-1)+K$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખીએ છીએ: $\frac{x+3}{(x-1)^2(2 x-1)}=\frac{\alpha}{x-1}+\frac{\beta}{(x-1)^2}+\frac{\gamma}{2 x-1}$.
$(x-1)^2(2 x-1)$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે: $x+3=\alpha(x-1)(2 x-1)+\beta(2 x-1)+\gamma(x-1)^2$.
$x=1$ લેતા,આપણને $4=\beta(2-1) \Rightarrow \beta=4$ મળે છે.
$x=1/2$ લેતા,આપણને $3.5=\gamma(1/2-1)^2 \Rightarrow 3.5=\gamma(1/4) \Rightarrow \gamma=14$ મળે છે.
$x^2$ ના સહગુણકની સરખામણી કરતા,આપણને $0=2\alpha+\gamma \Rightarrow 2\alpha=-14 \Rightarrow \alpha=-7$ મળે છે.
સંકલન કરતા: $\int \left( \frac{-7}{x-1}+\frac{4}{(x-1)^2}+\frac{14}{2 x-1} \right) d x = -7 \log |x-1| - \frac{4}{x-1} + \frac{14}{2} \log |2 x-1| + K = -7 \log |x-1| - \frac{4}{x-1} + 7 \log |2 x-1| + K$.
આપેલ સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $A=-4$,$B=7$,અને $C=-7$ મળે છે.
તેથી,$A+B+C = -4+7-7 = -4$.

(A) આપણી પાસે છે,$\int \frac{9x+15}{x^3-6x-9} dx = A \log |g(x)| + B \log |f(x)| + C$.
પ્રથમ,છેદના અવયવ પાડો: $x^3-6x-9 = (x-3)(x^2+3x+3)$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{9x+15}{(x-3)(x^2+3x+3)} = \frac{A}{x-3} + \frac{Bx+D}{x^2+3x+3}$.
$9x+15 = A(x^2+3x+3) + (Bx+D)(x-3)$.
$x=3$ માટે: $9(3)+15 = A(9+9+3) \Rightarrow 42 = 21A \Rightarrow A=2$.
$x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $A+B=0 \Rightarrow B=-2$.
અચળ પદોની સરખામણી કરતા: $3A-3D=15 \Rightarrow 3(2)-3D=15 \Rightarrow 6-3D=15 \Rightarrow -3D=9 \Rightarrow D=-3$.
આમ,$\int \frac{2}{x-3} dx - \int \frac{2x+3}{x^2+3x+3} dx = 2 \log |x-3| - \log |x^2+3x+3| + C$.
$A \log |g(x)| + B \log |f(x)| + C$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A=2, g(x)=x-3, B=-1, f(x)=x^2+3x+3$ મળે છે.
તેથી,$\frac{(A-B)g(4)}{f(-1)} = \frac{(2 - (-1))(4-3)}{(-1)^2 + 3(-1) + 3} = \frac{3(1)}{1-3+3} = \frac{3}{1} = 3$.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{x}{(x^2+1)(x-1)} dx$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખી શકીએ $\frac{x}{(x^2+1)(x-1)} = \frac{P}{x-1} + \frac{Qx+R}{x^2+1}$.
અંશને સરખાવતા: $x = P(x^2+1) + (Qx+R)(x-1) = (P+Q)x^2 + (R-Q)x + (P-R)$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $P+Q=0$,$R-Q=1$,$P-R=0$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $P = \frac{1}{2}$,$Q = -\frac{1}{2}$,$R = \frac{1}{2}$ મળે છે.
તેથી,$I = \int \frac{1/2}{x-1} dx + \int \frac{-1/2x + 1/2}{x^2+1} dx$.
$I = \frac{1}{2} \log |x-1| - \frac{1}{4} \int \frac{2x}{x^2+1} dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2+1} dx$.
$I = \frac{1}{2} \log |x-1| - \frac{1}{4} \log |x^2+1| + \frac{1}{2} \tan^{-1} x + d$.
આપેલ સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$A = -\frac{1}{4}$,$B = \frac{1}{2}$,$C = \frac{1}{2}$.
તેથી,$A+B+C = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$.

(D) આપેલ છે,$\int \frac{2 x^2}{\left(2 x^2+\alpha\right)\left(x^2+5\right)} d x=\frac{\sqrt{5}}{3} \tan ^{-1} \frac{x}{\sqrt{5}}-\frac{\sqrt{2}}{3} \tan ^{-1} \frac{x}{\sqrt{2}}+c$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{2 x^2}{\left(2 x^2+\alpha\right)\left(x^2+5\right)} = \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{1}{1+\frac{x^2}{5}} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} - \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{1}{1+\frac{x^2}{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$.
જમણી બાજુનું સાદું રૂપ આપતા:
$= \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{x^2+5} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{x^2+2} = \frac{1}{3} \left( \frac{5(x^2+2) - 2(x^2+5)}{(x^2+5)(x^2+2)} \right)$.
$= \frac{1}{3} \left( \frac{5x^2 + 10 - 2x^2 - 10}{(x^2+5)(x^2+2)} \right) = \frac{3x^2}{3(x^2+5)(x^2+2)} = \frac{x^2}{(x^2+5)(x^2+2)}$.
આને ડાબી બાજુ $\frac{2x^2}{(2x^2+\alpha)(x^2+5)}$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{2x^2}{(2x^2+\alpha)(x^2+5)} = \frac{x^2}{(x^2+5)(x^2+2)}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $2(x^2+2) = 2x^2 + \alpha$,તેથી $2x^2 + 4 = 2x^2 + \alpha$.
આમ,$\alpha = 4$.

(D) આપણે સંકલ્યને વિભાજિત કરવા માટે આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\frac{1}{(x+1)(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{x-3}$.
અંશને સરખાવતા: $1 = A(x-2)(x-3) + B(x+1)(x-3) + C(x+1)(x-2)$.
$x = -1$ માટે: $1 = A(-3)(-4) \Rightarrow A = \frac{1}{12}$.
$x = 2$ માટે: $1 = B(3)(-1) \Rightarrow B = -\frac{1}{3}$.
$x = 3$ માટે: $1 = C(4)(1) \Rightarrow C = \frac{1}{4}$.
પદવાર સંકલન કરતા: $I = \int \left( \frac{1/12}{x+1} - \frac{1/3}{x-2} + \frac{1/4}{x-3} \right) dx = \frac{1}{12} \ln|x+1| - \frac{1}{3} \ln|x-2| + \frac{1}{4} \ln|x-3| + c$.
આપેલ સ્વરૂપ $\frac{1}{k} \ln \left\{ \frac{|x-3|^3|x+1|}{(x-2)^4} \right\}$ સાથે સરખાવવા માટે,આપણે $\frac{1}{12}$ સામાન્ય લઈએ છીએ:
$I = \frac{1}{12} \left( \ln|x+1| - 4\ln|x-2| + 3\ln|x-3| \right) + c = \frac{1}{12} \ln \left\{ \frac{|x+1||x-3|^3}{|x-2|^4} \right\} + c$.
આમ,આપેલ અભિવ્યક્તિ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = 12$ મળે છે.

(B) સંકલન $\int \frac{dx}{x(x+1)}$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપણે સંકલ્યને આ રીતે લખી શકીએ: $\frac{1}{x(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1}$.
$x(x+1)$ વડે ગુણતા,આપણને $1 = A(x+1) + Bx$ મળે છે.
$x = 0$ લેતા,આપણને $A = 1$ મળે છે.
$x = -1$ લેતા,આપણને $B = -1$ મળે છે.
આમ,$\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$.
હવે,દરેક પદનું સંકલન કરતા: $\int \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}\right) dx = \int \frac{1}{x} dx - \int \frac{1}{x+1} dx$.
આનાથી આપણને $\ln |x| - \ln |x+1| + c$ મળે છે.
લઘુગણકના ગુણધર્મ $\ln a - \ln b = \ln \left|\frac{a}{b}\right|$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\ln \left|\frac{x}{x+1}\right| + c$ મળે છે.

(C) સૌ પ્રથમ,આપણે સંકલ્યને આંશિક અપૂર્ણાંકમાં વિભાજિત કરીએ:
$\frac{16x+24}{(x+5)(x-3)} = \frac{A}{x+5} + \frac{B}{x-3}$
$16x+24 = A(x-3) + B(x+5)$
$x=3$ લેતા,$72 = 8B \implies B=9$ મળે છે.
$x=-5$ લેતા,$-56 = -8A \implies A=7$ મળે છે.
આમ,$f(x) = \int (\frac{7}{x+5} + \frac{9}{x-3}) dx = 7 \log|x+5| + 9 \log|x-3| + C$.
આપેલ છે કે $f(4) = 14 \log 3$,તેથી $7 \log 9 + 9 \log 1 + C = 14 \log 3 + C = 14 \log 3$,જે સૂચવે છે કે $C=0$.
હવે,$f(7) = 7 \log|7+5| + 9 \log|7-3| = 7 \log 12 + 9 \log 4$ ની ગણતરી કરીએ.
$f(7) = 7 \log(2^2 \cdot 3) + 9 \log(2^2) = 7(2 \log 2 + \log 3) + 18 \log 2 = 14 \log 2 + 7 \log 3 + 18 \log 2 = 32 \log 2 + 7 \log 3 = \log(2^{32} \cdot 3^7)$.
$\log(2^\alpha \cdot 3^\beta)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 32$ અને $\beta = 7$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + \beta = 32 + 7 = 39$.