Integration of rational function by using partial fractions, Questions in Gujarati

$\int \frac{1}{x(x^{n}+1)} dx$ નું સંકલન કરવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને $x^{n-1}$ વડે ગુણીએ છીએ:
$\int \frac{1}{x(x^{n}+1)} dx = \int \frac{x^{n-1}}{x^{n}(x^{n}+1)} dx$
ધારો કે $x^{n} = t$. તેથી $n x^{n-1} dx = dt$,જેનો અર્થ છે કે $x^{n-1} dx = \frac{dt}{n}$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$\int \frac{1}{n} \frac{dt}{t(t+1)} = \frac{1}{n} \int \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{t+1} \right) dt$
પદોનું સંકલન કરતા:
$= \frac{1}{n} [\log |t| - \log |t+1|] + C$
$= \frac{1}{n} \log \left| \frac{t}{t+1} \right| + C$
$t = x^{n}$ પાછા મૂકતા:
$= \frac{1}{n} \log \left| \frac{x^{n}}{x^{n}+1} \right| + C$,જ્યાં $C$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.

(D) ધારો કે $I = \int \frac{\cos x}{(1-\sin x)(2-\sin x)} dx$.
$\sin x = t$ લેતા,$\cos x dx = dt$ મળે.
તેથી સંકલન $I = \int \frac{dt}{(1-t)(2-t)}$ થાય.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{(1-t)(2-t)} = \frac{A}{1-t} + \frac{B}{2-t}$.
$1 = A(2-t) + B(1-t)$.
$t = 1$ લેતા,$1 = A(2-1) \Rightarrow A = 1$.
$t = 2$ લેતા,$1 = B(1-2) \Rightarrow B = -1$.
આમ,$\frac{1}{(1-t)(2-t)} = \frac{1}{1-t} - \frac{1}{2-t}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $I = \int \left( \frac{1}{1-t} - \frac{1}{2-t} \right) dt$.
$I = -\ln|1-t| - (-\ln|2-t|) + C = \ln|2-t| - \ln|1-t| + C$.
$I = \ln\left|\frac{2-t}{1-t}\right| + C$.
$t = \sin x$ મૂકતા,$I = \ln\left|\frac{2-\sin x}{1-\sin x}\right| + C$ મળે.

આપેલ સંકલ્ય: $f(x) = \frac{(x^{2}+1)(x^{2}+2)}{(x^{2}+3)(x^{2}+4)}$
પ્રથમ,અંશ અને છેદનું વિસ્તરણ કરો: $f(x) = \frac{x^{4}+3x^{2}+2}{x^{4}+7x^{2}+12}$
બહુપદી ભાગાકાર કરતા: $f(x) = 1 - \frac{4x^{2}+10}{(x^{2}+3)(x^{2}+4)}$
બીજા પદ માટે આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{4x^{2}+10}{(x^{2}+3)(x^{2}+4)} = \frac{A}{x^{2}+3} + \frac{B}{x^{2}+4}$
ધારો કે $y = x^{2}$. તો $\frac{4y+10}{(y+3)(y+4)} = \frac{A}{y+3} + \frac{B}{y+4}$
$4y+10 = A(y+4) + B(y+3)$
$y = -3$ માટે: $4(-3)+10 = A(-3+4) \Rightarrow -2 = A$
$y = -4$ માટે: $4(-4)+10 = B(-4+3) \Rightarrow -6 = -B \Rightarrow B = 6$
આમ,$\frac{4x^{2}+10}{(x^{2}+3)(x^{2}+4)} = \frac{-2}{x^{2}+3} + \frac{6}{x^{2}+4}$
કિંમત મૂકતા: $f(x) = 1 - (\frac{-2}{x^{2}+3} + \frac{6}{x^{2}+4}) = 1 + \frac{2}{x^{2}+3} - \frac{6}{x^{2}+4}$
સંકલન કરતા: $\int f(x) dx = \int (1 + \frac{2}{x^{2}+(\sqrt{3})^{2}} - \frac{6}{x^{2}+2^{2}}) dx$
$= x + 2(\frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \frac{x}{\sqrt{3}}) - 6(\frac{1}{2} \tan^{-1} \frac{x}{2}) + C$
$= x + \frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \frac{x}{\sqrt{3}} - 3 \tan^{-1} \frac{x}{2} + C$

(A) ધારો કે $I = \int \frac{2x}{(x^2+1)(x^2+3)} dx$.
$x^2 = t$ લેતા,$2x dx = dt$ મળે.
તેથી,સંકલન $I = \int \frac{dt}{(t+1)(t+3)}$ થાય.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{(t+1)(t+3)} = \frac{A}{t+1} + \frac{B}{t+3}$.
આથી $1 = A(t+3) + B(t+1)$ મળે.
$t = -1$ લેતા,$1 = A(2) \Rightarrow A = \frac{1}{2}$.
$t = -3$ લેતા,$1 = B(-2) \Rightarrow B = -\frac{1}{2}$.
તેથી,$I = \int \left( \frac{1}{2(t+1)} - \frac{1}{2(t+3)} \right) dt$.
સંકલન કરતા,$I = \frac{1}{2} \ln|t+1| - \frac{1}{2} \ln|t+3| + C$.
$t = x^2$ પાછા મૂકતા,$I = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{x^2+1}{x^2+3} \right| + C$,જ્યાં $C$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.

(N/A) $\int \frac{1}{x(x^{4}-1)} dx$ નું સંકલન કરવા માટે,અંશ અને છેદને $x^{3}$ વડે ગુણો:
$\int \frac{x^{3}}{x^{4}(x^{4}-1)} dx$
ધારો કે $x^{4} = t$,તેથી $4x^{3} dx = dt$,જેનો અર્થ છે કે $x^{3} dx = \frac{1}{4} dt$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$\frac{1}{4} \int \frac{dt}{t(t-1)}$
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{t(t-1)} = \frac{A}{t} + \frac{B}{t-1}$.
$1 = A(t-1) + Bt$. $t=0$ લેતા,$A=-1$ મળે છે. $t=1$ લેતા,$B=1$ મળે છે.
આમ,$\frac{1}{4} \int (\frac{-1}{t} + \frac{1}{t-1}) dt = \frac{1}{4} [-\ln|t| + \ln|t-1|] + C$
$= \frac{1}{4} \ln|\frac{t-1}{t}| + C$
$= \frac{1}{4} \ln|\frac{x^{4}-1}{x^{4}}| + C$,જ્યાં $C$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.

ધારો કે $e^x = t$. તેથી $e^x dx = dt$,જેનો અર્થ છે કે $dx = \frac{dt}{t}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$\int \frac{1}{e^x - 1} dx = \int \frac{1}{t - 1} \cdot \frac{dt}{t} = \int \frac{1}{t(t - 1)} dt$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{t(t - 1)} = \frac{A}{t} + \frac{B}{t - 1}$.
$1 = A(t - 1) + Bt$.
$t = 0$ લેતા,$A = -1$ મળે છે.
$t = 1$ લેતા,$B = 1$ મળે છે.
તેથી,$\int \frac{1}{t(t - 1)} dt = \int \left( \frac{-1}{t} + \frac{1}{t - 1} \right) dt$.
$= -\log|t| + \log|t - 1| + C = \log\left| \frac{t - 1}{t} \right| + C$.
$t = e^x$ પાછા મૂકતા:
$= \log\left| \frac{e^x - 1}{e^x} \right| + C$.

(D) ધારો કે $\frac{x}{(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત મુજબ,$x = A(x-2) + B(x-1)$.
$x = 1$ લેતા,$1 = A(1-2) \Rightarrow A = -1$.
$x = 2$ લેતા,$2 = B(2-1) \Rightarrow B = 2$.
તેથી,$\frac{x}{(x-1)(x-2)} = -\frac{1}{x-1} + \frac{2}{x-2}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$\int \frac{x \, dx}{(x-1)(x-2)} = \int \left( -\frac{1}{x-1} + \frac{2}{x-2} \right) dx$.
$= -\log |x-1| + 2 \log |x-2| + C$.
$= \log |x-2|^2 - \log |x-1| + C$.
$= \log \left| \frac{(x-2)^2}{x-1} \right| + C$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) સંકલન $\int \frac{dx}{x(x^{2}+1)}$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરીશું.
ધારો કે $\frac{1}{x(x^{2}+1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^{2}+1}$.
બંને બાજુ $x(x^{2}+1)$ વડે ગુણતા,આપણને $1 = A(x^{2}+1) + (Bx+C)x$ મળે છે.
$x^{2}$,$x$ અને અચળ પદના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$A+B=0$,$C=0$ અને $A=1$ મળે છે.
આમ,$A=1$,$B=-1$ અને $C=0$.
તેથી,$\frac{1}{x(x^{2}+1)} = \frac{1}{x} - \frac{x}{x^{2}+1}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{dx}{x} - \int \frac{x}{x^{2}+1} dx$.
$= \log |x| - \frac{1}{2} \log |x^{2}+1| + C$.
કારણ કે $x^{2}+1 > 0$ તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે,આપણે તેને $\log |x| - \frac{1}{2} \log (x^{2}+1) + C$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.

(A) સંકલિતને સરળ બનાવવા માટે આપણે બહુપદી ભાગાકાર કરીએ છીએ:
$\frac{x^{4}}{(x-1)(x^{2}+1)} = \frac{x^{4}}{x^{3}-x^{2}+x-1} = (x+1) + \frac{1}{x^{3}-x^{2}+x-1} = (x+1) + \frac{1}{(x-1)(x^{2}+1)}$
$\frac{1}{(x-1)(x^{2}+1)}$ માટે આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{(x-1)(x^{2}+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^{2}+1}$
$1 = A(x^{2}+1) + (Bx+C)(x-1) = (A+B)x^{2} + (C-B)x + (A-C)$
સહગુણકોને સરખાવતા: $A+B=0$,$C-B=0$,$A-C=1$. આ ઉકેલતા $A=\frac{1}{2}$,$B=-\frac{1}{2}$,$C=-\frac{1}{2}$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\int \frac{x^{4} dx}{(x-1)(x^{2}+1)} = \int (x+1) dx + \frac{1}{2} \int \frac{dx}{x-1} - \frac{1}{2} \int \frac{x dx}{x^{2}+1} - \frac{1}{2} \int \frac{dx}{x^{2}+1}$
$= \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{1}{2} \ln|x-1| - \frac{1}{4} \ln(x^{2}+1) - \frac{1}{2} \tan^{-1}(x) + C$

(D) આપણી પાસે $\frac{1}{x-x^{3}} = \frac{1}{x(1-x^{2})} = \frac{1}{x(1-x)(1+x)}$ છે.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને,ધારો કે $\frac{1}{x(1-x)(1+x)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{1-x} + \frac{C}{1+x} \dots (1)$.
$x(1-x)(1+x)$ વડે ગુણતા,આપણને $1 = A(1-x^{2}) + Bx(1+x) + Cx(1-x)$ મળે છે.
$x=0$ લેતા,$A=1$ મળે છે.
$x=1$ લેતા,$1 = B(1)(2) \Rightarrow B = \frac{1}{2}$ મળે છે.
$x=-1$ લેતા,$1 = C(-1)(2) \Rightarrow C = -\frac{1}{2}$ મળે છે.
આ કિંમતોને $(1)$ માં મૂકતા,$\frac{1}{x-x^{3}} = \frac{1}{x} + \frac{1}{2(1-x)} - \frac{1}{2(1+x)}$ મળે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$\int \frac{1}{x-x^{3}} dx = \int \frac{1}{x} dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{1-x} dx - \frac{1}{2} \int \frac{1}{1+x} dx$.
$= \log |x| - \frac{1}{2} \log |1-x| - \frac{1}{2} \log |1+x| + C$.
$= \log |x| - \frac{1}{2} \log |(1-x)(1+x)| + C$.
$= \log |x| - \frac{1}{2} \log |1-x^{2}| + C$.
$= \frac{1}{2} \log |x^{2}| - \frac{1}{2} \log |1-x^{2}| + C$.
$= \frac{1}{2} \log \left| \frac{x^{2}}{1-x^{2}} \right| + C$.

ધારો કે $\frac{5 x}{(x+1)(x^{2}+9)} = \frac{A}{(x+1)} + \frac{Bx+C}{(x^{2}+9)}$ ........$(1)$
$\Rightarrow 5x = A(x^{2}+9) + (Bx+C)(x+1)$
$\Rightarrow 5x = Ax^{2} + 9A + Bx^{2} + Bx + Cx + C$
$x^{2}, x,$ અને અચળ પદના સહગુણકોને સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$A+B = 0$
$B+C = 5$
$9A+C = 0$
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $A = -\frac{1}{2}, B = \frac{1}{2},$ અને $C = \frac{9}{2}$ મળે છે.
સમીકરણ $(1)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$\frac{5x}{(x+1)(x^{2}+9)} = -\frac{1}{2(x+1)} + \frac{\frac{x}{2} + \frac{9}{2}}{(x^{2}+9)}$
$\int \frac{5x}{(x+1)(x^{2}+9)} dx = \int \left\{ -\frac{1}{2(x+1)} + \frac{x+9}{2(x^{2}+9)} \right\} dx$
$= -\frac{1}{2} \log |x+1| + \frac{1}{2} \int \frac{x}{x^{2}+9} dx + \frac{9}{2} \int \frac{1}{x^{2}+9} dx$
$= -\frac{1}{2} \log |x+1| + \frac{1}{4} \int \frac{2x}{x^{2}+9} dx + \frac{9}{2} \int \frac{1}{x^{2}+9} dx$
$= -\frac{1}{2} \log |x+1| + \frac{1}{4} \log (x^{2}+9) + \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{3} \tan^{-1} \left( \frac{x}{3} \right) + C$
$= -\frac{1}{2} \log |x+1| + \frac{1}{4} \log (x^{2}+9) + \frac{3}{2} \tan^{-1} \left( \frac{x}{3} \right) + C$

(N/A) ધારો કે $I = \int \frac{e^{x}}{(1+e^{x})(2+e^{x})} dx$.
$e^{x} = t$ આદેશ લેતા,તેથી $e^{x} dx = dt$ મળે.
આથી સંકલન $\int \frac{dt}{(t+1)(t+2)}$ બને છે.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{(t+1)(t+2)} = \frac{A}{t+1} + \frac{B}{t+2}$.
અચળાંકો શોધતા,$1 = A(t+2) + B(t+1)$.
$t = -1$ લેતા $A = 1$ અને $t = -2$ લેતા $B = -1$ મળે છે.
તેથી,$\int \left( \frac{1}{t+1} - \frac{1}{t+2} \right) dt = \log|t+1| - \log|t+2| + C$.
$\log a - \log b = \log(\frac{a}{b})$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\log|\frac{t+1}{t+2}| + C$ મળે.
$t = e^{x}$ પાછું મૂકતા,અંતિમ જવાબ $\log|\frac{1+e^{x}}{2+e^{x}}| + C$ છે.

ધારો કે $\frac{1}{(x^{2}+1)(x^{2}+4)} = \frac{A}{x^{2}+1} + \frac{B}{x^{2}+4}$.
$y = x^{2}$ લેતા,આપણને મળે $\frac{1}{(y+1)(y+4)} = \frac{A}{y+1} + \frac{B}{y+4}$.
$1 = A(y+4) + B(y+1)$.
$y = -1$ માટે,$1 = A(3) \Rightarrow A = \frac{1}{3}$.
$y = -4$ માટે,$1 = B(-3) \Rightarrow B = -\frac{1}{3}$.
તેથી,$\frac{1}{(x^{2}+1)(x^{2}+4)} = \frac{1}{3(x^{2}+1)} - \frac{1}{3(x^{2}+4)}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{1}{(x^{2}+1)(x^{2}+4)} dx = \frac{1}{3} \int \frac{1}{x^{2}+1} dx - \frac{1}{3} \int \frac{1}{x^{2}+2^{2}} dx$.
પ્રમાણિત સંકલન $\int \frac{1}{x^{2}+a^{2}} dx = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{1}{3} \tan^{-1}(x) - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{x}{2}) + C$.
$= \frac{1}{3} \tan^{-1}(x) - \frac{1}{6} \tan^{-1}(\frac{x}{2}) + C$.

(N/A) ધારો કે $\frac{x^{2}+x+1}{(x+1)^{2}(x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1)^{2}} + \frac{C}{x+2}$ ..........$(1)$
બંને બાજુ $(x+1)^{2}(x+2)$ વડે ગુણતા:
$x^{2}+x+1 = A(x+1)(x+2) + B(x+2) + C(x+1)^{2}$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$x^{2}+x+1 = A(x^{2}+3x+2) + B(x+2) + C(x^{2}+2x+1)$
$x^{2}+x+1 = (A+C)x^{2} + (3A+B+2C)x + (2A+2B+C)$
$x^{2}, x$ અને અચળ પદના સહગુણકોને સરખાવતા:
$A+C = 1$
$3A+B+2C = 1$
$2A+2B+C = 1$
આ સમીકરણો ઉકેલતા:
$A+C=1$ પરથી,$C = 1-A$ મળે.
અન્ય સમીકરણોમાં કિંમત મૂકતા:
$3A+B+2(1-A) = 1 \Rightarrow A+B = -1 \Rightarrow B = -1-A$
$2A+2(-1-A)+(1-A) = 1 \Rightarrow 2A-2-2A+1-A = 1 \Rightarrow -A-1 = 1 \Rightarrow A = -2$
તેથી $B = -1-(-2) = 1$ અને $C = 1-(-2) = 3$ મળે.
સમીકરણ $(1)$ માં કિંમતો મૂકતા:
$\int \frac{x^{2}+x+1}{(x+1)^{2}(x+2)} dx = \int \left( \frac{-2}{x+1} + \frac{1}{(x+1)^{2}} + \frac{3}{x+2} \right) dx$
$= -2 \ln|x+1| - \frac{1}{x+1} + 3 \ln|x+2| + K$

(D) આપેલ સંકલન: $I = \int \frac{\cos \theta d \theta}{5+7 \sin \theta-2 \cos ^{2} \theta}$
$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ મૂકતા:
$I = \int \frac{\cos \theta d \theta}{5+7 \sin \theta-2(1-\sin^2 \theta)} = \int \frac{\cos \theta d \theta}{2 \sin^2 \theta+7 \sin \theta+3}$
ધારો કે $\sin \theta = t$,તેથી $\cos \theta d \theta = dt$:
$I = \int \frac{dt}{2t^2+7t+3} = \int \frac{dt}{(2t+1)(t+3)}$
આંશિક અપૂર્ણાંક (partial fractions) નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{(2t+1)(t+3)} = \frac{1}{5} \left( \frac{2}{2t+1} - \frac{1}{t+3} \right)$
સંકલન કરતા:
$I = \frac{1}{5} \int \left( \frac{2}{2t+1} - \frac{1}{t+3} \right) dt = \frac{1}{5} \ln \left| \frac{2t+1}{t+3} \right| + C$
$t = \sin \theta$ પાછું મૂકતા:
$I = \frac{1}{5} \ln \left| \frac{2 \sin \theta+1}{\sin \theta+3} \right| + C$
$A \log _{e}|B(\theta)|+C$ સાથે સરખાવતા,$A = \frac{1}{5}$ અને $B(\theta) = \frac{2 \sin \theta+1}{\sin \theta+3}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{B(\theta)}{A} = \frac{\frac{2 \sin \theta+1}{\sin \theta+3}}{\frac{1}{5}} = \frac{5(2 \sin \theta+1)}{\sin \theta+3}$.

(D) અંશ અને છેદને $\cos^3 x$ વડે ભાગતા:
$I = \int \frac{\tan x \sec^2 x}{1+\tan^3 x} dx$
ધારો કે $\tan x = t$,તેથી $\sec^2 x dx = dt$:
$I = \int \frac{t}{(t+1)(t^2-t+1)} dt$
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{t}{(t+1)(t^2-t+1)} = \frac{A}{t+1} + \frac{Bt+C}{t^2-t+1}$
$t = A(t^2-t+1) + (Bt+C)(t+1)$
$t = -1$ લેતા: $-1 = A(1+1+1) \Rightarrow A = -\frac{1}{3}$
$t^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $A+B = 0 \Rightarrow B = \frac{1}{3}$
અચળ પદોની સરખામણી કરતા: $A+C = 0 \Rightarrow C = \frac{1}{3}$
તેથી,$I = -\frac{1}{3} \int \frac{dt}{t+1} + \int \frac{\frac{1}{3}t + \frac{1}{3}}{t^2-t+1} dt$
$I = -\frac{1}{3} \ln|t+1| + \frac{1}{6} \int \frac{2t-1+3}{t^2-t+1} dt$
$I = -\frac{1}{3} \ln|t+1| + \frac{1}{6} \ln|t^2-t+1| + \frac{1}{2} \int \frac{dt}{(t-1/2)^2 + 3/4}$
$I = -\frac{1}{3} \ln|1+\tan x| + \frac{1}{6} \ln|1-\tan x+\tan^2 x| + \frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{2\tan x-1}{\sqrt{3}}\right) + C$
આમ,$\alpha = -\frac{1}{3}, \beta = \frac{1}{6}, \gamma = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$18(\alpha+\beta+\gamma^2) = 18(-\frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{3}) = 18(\frac{1}{6}) = 3$.

(A) ધારો કે $t = x^2$,તેથી $dt = 2x dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$f(x) = \int \frac{dt}{(t+1)(t+3)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{(t+1)(t+3)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{t+1} - \frac{1}{t+3} \right)$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$f(x) = \frac{1}{2} \int \left( \frac{1}{t+1} - \frac{1}{t+3} \right) dt = \frac{1}{2} (\ln|t+1| - \ln|t+3|) + C$.
$t = x^2$ પાછા મૂકતા:
$f(x) = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{x^2+1}{x^2+3} \right) + C$.
આપેલ છે કે $f(3) = \frac{1}{2}(\ln 10 - \ln 12) + C = \frac{1}{2}(\ln 5 - \ln 6) + C$.
કારણ કે $\frac{1}{2}(\ln 10 - \ln 12) = \frac{1}{2}(\ln 5 - \ln 6)$,તેથી $C = 0$.
આમ,$f(x) = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{x^2+1}{x^2+3} \right)$.
$f(4)$ ની કિંમત શોધતા:
$f(4) = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{4^2+1}{4^2+3} \right) = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{17}{19} \right) = \frac{1}{2} (\ln 17 - \ln 19)$.

(D) આપેલ છે $I(x) = \int \frac{x+1}{x(1+x e^x)^2} dx$.
અંશ અને છેદને $e^x$ વડે ગુણતા:
$I(x) = \int \frac{(x+1)e^x}{x e^x(1+x e^x)^2} dx$.
ધારો કે $u = x e^x$,તો $du = (e^x + x e^x) dx = e^x(1+x) dx$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I(x) = \int \frac{du}{u(1+u)^2}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત વાપરતા: $\frac{1}{u(1+u)^2} = \frac{A}{u} + \frac{B}{1+u} + \frac{C}{(1+u)^2}$.
$1 = A(1+u)^2 + Bu(1+u) + Cu$.
$u=0$ માટે,$A=1$. $u=-1$ માટે,$C=-1$.
$u^2$ ના સહગુણકો સરખાવતા: $A+B=0 \implies B=-1$.
તેથી,$I(x) = \int (\frac{1}{u} - \frac{1}{1+u} - \frac{1}{(1+u)^2}) du = \log|u| - \log|1+u| + \frac{1}{1+u} + C$.
$I(x) = \log|\frac{u}{1+u}| + \frac{1}{1+u} + C = \log|\frac{x e^x}{1+x e^x}| + \frac{1}{1+x e^x} + C$.
જ્યારે $x \rightarrow \infty$,ત્યારે $\frac{x e^x}{1+x e^x} \rightarrow 1$,તેથી $\log(1) = 0$ અને $\frac{1}{1+x e^x} \rightarrow 0$.
આમ,$\lim_{x \rightarrow \infty} I(x) = 0 + 0 + C = 0 \implies C = 0$.
$I(1) = \log(\frac{e}{1+e}) + \frac{1}{1+e} = \log(e) - \log(1+e) + \frac{1}{1+e} = 1 - \log(1+e) + \frac{1}{1+e} = \frac{1+e+1}{1+e} - \log(1+e) = \frac{e+2}{e+1} - \log_e(e+1)$.

(B) ધારો કે $I = \int \limits_0^{\infty} \frac{6}{(e^x+1)(e^x+2)(e^x+3)} dx$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખી શકીએ:
$\frac{6}{(e^x+1)(e^x+2)(e^x+3)} = \frac{3}{e^x+1} - \frac{6}{e^x+2} + \frac{3}{e^x+3}$.
$u = e^x$ લેતા,$du = e^x dx$,તેથી $dx = \frac{du}{u}$.
$I = \int_1^{\infty} \frac{6}{u(u+1)(u+2)(u+3)} du$.
સંકલિત માટે આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{6}{u(u+1)(u+2)(u+3)} = \frac{1}{u} - \frac{3}{u+1} + \frac{3}{u+2} - \frac{1}{u+3}$.
પદવાર સંકલન કરતા:
$I = \left[ \ln|u| - 3\ln|u+1| + 3\ln|u+2| - \ln|u+3| \right]_1^{\infty}$.
$I = \left[ \ln \left| \frac{u(u+2)^3}{(u+1)^3(u+3)} \right| \right]_1^{\infty}$.
જેમ $u \to \infty$,લઘુગણકનો તર્ક $\ln(1) = 0$ ની નજીક પહોંચે છે.
$u = 1$ પર,કિંમત $\ln \left( \frac{1(3)^3}{(2)^3(4)} \right) = \ln \left( \frac{27}{32} \right)$ છે.
તેથી,$I = 0 - \ln \left( \frac{27}{32} \right) = \ln \left( \frac{32}{27} \right)$.

(D) સંકલન $\int_1^2 \frac{x}{(x+2)(x+3)} \, dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરીશું.
ધારો કે $\frac{x}{(x+2)(x+3)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x+3}$.
$(x+2)(x+3)$ વડે ગુણતા,આપણને $x = A(x+3) + B(x+2)$ મળે છે.
$x = -2$ લેતા,$-2 = A(1)$,તેથી $A = -2$.
$x = -3$ લેતા,$-3 = B(-1)$,તેથી $B = 3$.
આમ,$\int_1^2 \left( \frac{-2}{x+2} + \frac{3}{x+3} \right) \, dx = [-2 \log|x+2| + 3 \log|x+3|]_1^2$.
સીમાઓ પર મૂલ્ય શોધતા:
$(-2 \log 4 + 3 \log 5) - (-2 \log 3 + 3 \log 4) = -5 \log 4 + 3 \log 5 + 2 \log 3 = \log(5^3 \cdot 3^2 / 4^5) = \log(125 \cdot 9 / 1024) = \log(\frac{1125}{1024})$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{2e^{2x} + 3e^x + 1}$.
$e^x = t$ લેતા,$e^x dx = dt$,જેનો અર્થ છે $dx = \frac{dt}{t}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,$I = \int \frac{dt}{t(2t^2 + 3t + 1)} = \int \frac{dt}{t(2t+1)(t+1)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત વાપરતા: $\frac{1}{t(2t+1)(t+1)} = \frac{A}{t} + \frac{B}{2t+1} + \frac{C}{t+1}$.
$1 = A(2t+1)(t+1) + Bt(t+1) + Ct(2t+1)$.
$t=0$ માટે,$1 = A(1)(1) \implies A=1$.
$t=-1$ માટે,$1 = C(-1)(-2+1) = C(-1)(-1) = C \implies C=1$.
$t=-1/2$ માટે,$1 = B(-1/2)(1/2) = -B/4 \implies B=-4$.
તેથી,$I = \int (\frac{1}{t} - \frac{4}{2t+1} + \frac{1}{t+1}) dt$.
$I = \log|t| - 4 \cdot \frac{1}{2} \log|2t+1| + \log|t+1| + c$.
$I = \log|e^x| - 2 \log|2e^x+1| + \log|e^x+1| + c$.
$I = x + \log(e^x+1) - 2 \log(2e^x+1) + c$.

(A) સંકલન $I = \int \frac{dx}{x(x^2+1)}$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરીશું.
ધારો કે $\frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$.
$x(x^2+1)$ વડે ગુણતા,આપણને મળે $1 = A(x^2+1) + (Bx+C)x$.
$1 = (A+B)x^2 + Cx + A$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$A=1$,$C=0$,અને $A+B=0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $B=-1$.
આમ,$\frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{1}{x} - \frac{x}{x^2+1}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$I = \int \frac{1}{x} dx - \int \frac{x}{x^2+1} dx$.
બીજા સંકલન માટે,ધારો કે $u = x^2+1$,તો $du = 2x dx$,તેથી $x dx = \frac{du}{2}$.
$I = \log |x| - \frac{1}{2} \int \frac{du}{u} = \log |x| - \frac{1}{2} \log |x^2+1| + c$.
કારણ કે $x^2+1 > 0$,આપણે તેને $\log |x| - \frac{1}{2} \log (x^2+1) + c$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{x^3}{x^4+5x^2+4} dx$.
$t = x^2$ આદેશ લેતા,$dt = 2x dx$,અથવા $x dx = \frac{1}{2} dt$.
સંકલન $I = \frac{1}{2} \int \frac{t}{t^2+5t+4} dt$ બને છે.
છેદના અવયવ પાડતા: $t^2+5t+4 = (t+1)(t+4)$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત વાપરતા: $\frac{t}{(t+1)(t+4)} = \frac{A}{t+1} + \frac{B}{t+4}$.
$t = A(t+4) + B(t+1)$.
$t = -1$ માટે,$-1 = 3A \implies A = -1/3$.
$t = -4$ માટે,$-4 = -3B \implies B = 4/3$.
તેથી,$I = \frac{1}{2} \int \left( \frac{4/3}{t+4} - \frac{1/3}{t+1} \right) dt = \frac{1}{6} \int \left( \frac{4}{t+4} - \frac{1}{t+1} \right) dt$.
$I = \frac{1}{6} [4 \log|t+4| - \log|t+1|] + c$.
$I = \frac{1}{6} \log \left| \frac{(t+4)^4}{t+1} \right| + c$.
$t = x^2$ પાછું મૂકતા: $I = \frac{1}{6} \log \left( \frac{(x^2+4)^4}{x^2+1} \right) + c = \frac{1}{3} \log \left( \frac{(x^2+4)^2}{\sqrt{x^2+1}} \right) + c$.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{x(x^3+1)}$.
અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ગુણતા:
$I = \int \frac{x^2 dx}{x^3(x^3+1)}$.
ધારો કે $x^3 = t$,તેથી $3x^2 dx = dt$,અથવા $x^2 dx = \frac{dt}{3}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \frac{1}{3} \int \frac{dt}{t(t+1)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત વાપરતા,$\frac{1}{t(t+1)} = \frac{1}{t} - \frac{1}{t+1}$.
$I = \frac{1}{3} \int \left(\frac{1}{t} - \frac{1}{t+1}\right) dt$.
$I = \frac{1}{3} (\log|t| - \log|t+1|) + c$.
$I = \frac{1}{3} \log \left|\frac{t}{t+1}\right| + c$.
$t = x^3$ પાછા મૂકતા:
$I = \frac{1}{3} \log \left|\frac{x^3}{x^3+1}\right| + c = \log \left|\left(\frac{x^3}{x^3+1}\right)^{1/3}\right| + c = \log \left(\sqrt[3]{\frac{x^3}{x^3+1}}\right) + c$.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{x+1}{x(1+x e^x)^2} \,dx$.
અંશ અને છેદને $e^x$ વડે ગુણતા:
$I = \int \frac{e^x(x+1)}{x e^x(1+x e^x)^2} \,dx$.
ધારો કે $t = x e^x$. તેથી $dt = (e^x + x e^x) dx = e^x(1+x) dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{dt}{t(1+t)^2}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{t(1+t)^2} = \frac{A}{t} + \frac{B}{1+t} + \frac{C}{(1+t)^2}$.
અચળાંકો શોધતા,આપણને $A=1, B=-1, C=-1$ મળે છે।
તેથી,$I = \int \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{1+t} - \frac{1}{(1+t)^2} \right) dt$.
$I = \log|t| - \log|1+t| + \frac{1}{1+t} + c$.
$t = x e^x$ પાછું મૂકતા:
$I = \log \left| \frac{x e^x}{1+x e^x} \right| + \frac{1}{1+x e^x} + c$.

$(C)\ \text{ધારો કે } I = \int \frac{x+1}{x(1+x e^x)^2} \, dx.$
$\text{અંશ અને છેદને } e^x \text{ વડે ગુણતા:}$
$I = \int \frac{(x+1)e^x}{x e^x(1+x e^x)^2} \, dx.$
$\text{ધારો કે } t = x e^x.\ \text{ તો } dt = (e^x + x e^x)\, dx = e^x(1+x)\, dx.$
$\text{આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:}$
$I = \int \frac{dt}{t(1+t)^2}.$
$\text{આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા:}$
$\frac{1}{t(1+t)^2} = \frac{A}{t} + \frac{B}{1+t} + \frac{C}{(1+t)^2}.$
$\text{અચળાંકો શોધતા } A=1,\ B=-1,\ C=-1 \text{ મળે છે।}$
$I = \int \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{1+t} - \frac{1}{(1+t)^2} \right) dt.$
$I = \log|t| - \log|1+t| + \frac{1}{1+t} + C.$
$t = x e^x \text{ પાછા મૂકતા:}$
$I = \log \left| \frac{x e^x}{1+x e^x} \right| + \frac{1}{1+x e^x} + C.$
 

(D) ધારો કે $I = \int \frac{x+1}{x(1+x e^x)^2} dx$.
અંશ અને છેદને $e^x$ વડે ગુણતા:
$I = \int \frac{e^x(x+1)}{x e^x(1+x e^x)^2} dx$.
ધારો કે $t = x e^x$. તેથી $dt = (e^x + x e^x) dx = e^x(1+x) dx$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{dt}{t(1+t)^2}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{t(1+t)^2} = \frac{A}{t} + \frac{B}{1+t} + \frac{C}{(1+t)^2}$.
અચળાંકો શોધતા: $1 = A(1+t)^2 + Bt(1+t) + Ct$.
$t=0$ માટે,$A=1$. $t=-1$ માટે,$C=-1$. $t^2$ ના સહગુણકો સરખાવતા,$A+B=0 \Rightarrow B=-1$.
તેથી,$I = \int \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{1+t} - \frac{1}{(1+t)^2} \right) dt$.
$I = \log |t| - \log |1+t| + \frac{1}{1+t} + c$.
$t = x e^x$ પાછા મૂકતા:
$I = \log |x e^x| - \log |1+x e^x| + \frac{1}{1+x e^x} + c$.
$I = \log \left| \frac{x e^x}{1+x e^x} \right| + \frac{1}{1+x e^x} + c$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{x+1}{x(1+x e^x)^2} \,d x$.
અંશ અને છેદને $e^x$ વડે ગુણતા:
$I = \int \frac{e^x(x+1)}{x e^x(1+x e^x)^2} \,d x$.
ધારો કે $t = x e^x$. તેથી $dt = (e^x + x e^x) dx = e^x(1+x) dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{dt}{t(1+t)^2}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{t(1+t)^2} = \frac{A}{t} + \frac{B}{1+t} + \frac{C}{(1+t)^2}$.
અચળાંકો શોધતા,આપણને $A=1, B=-1, C=-1$ મળે છે.
તેથી,$I = \int \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{1+t} - \frac{1}{(1+t)^2} \right) dt$.
દરેક પદનું સંકલન કરતા:
$I = \log |t| - \log |1+t| + \frac{1}{1+t} + C$.
$I = \log \left| \frac{t}{1+t} \right| + \frac{1}{1+t} + C$.
$t = x e^x$ પાછા મૂકતા:
$I = \log \left( \frac{x e^x}{1+x e^x} \right) + \frac{1}{1+x e^x} + C$.

(C) ધારો કે $t = e^x$,તેથી $dt = e^x dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$\int \frac{dt}{(t+2)(t+1)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{(t+2)(t+1)} = \frac{A}{t+2} + \frac{B}{t+1}$.
$1 = A(t+1) + B(t+2)$.
$t = -1$ લેતા,$B = 1$.
$t = -2$ લેતા,$A = -1$.
તેથી,$\int (\frac{-1}{t+2} + \frac{1}{t+1}) dt = -\log|t+2| + \log|t+1| + C$.
$= \log|\frac{t+1}{t+2}| + C$.
$t = e^x$ પાછા મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\log \left(\frac{e^x+1}{e^x+2}\right) + C$.

(D) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{(\sin x + \cos x)(2 \cos x + \sin x)}$.
અંશ અને છેદને $\cos^2 x$ વડે ભાગતા:
$I = \int \frac{\sec^2 x}{(\tan x + 1)(2 + \tan x)} dx$.
ધારો કે $\tan x = t$,તેથી $\sec^2 x dx = dt$.
$I = \int \frac{dt}{(t+1)(t+2)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{(t+1)(t+2)} = \frac{A}{t+1} + \frac{B}{t+2}$.
$1 = A(t+2) + B(t+1)$.
$t = -1$ લેતા,$A = 1$. $t = -2$ લેતા,$B = -1$.
$I = \int \left( \frac{1}{t+1} - \frac{1}{t+2} \right) dt = \log|t+1| - \log|t+2| + C$.
$I = \log \left| \frac{t+1}{t+2} \right| + C = \log \left| \frac{\tan x + 1}{\tan x + 2} \right| + C$.

(A) આપણે સંકલ્યને વિભાજિત કરવા માટે આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\frac{1}{(x^{2} + 4)(x^{2} + 9)} = \frac{1}{5} \left( \frac{1}{x^{2} + 4} - \frac{1}{x^{2} + 9} \right)$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$\int \frac{1}{(x^{2} + 4)(x^{2} + 9)} dx = \frac{1}{5} \int \frac{1}{x^{2} + 2^{2}} dx - \frac{1}{5} \int \frac{1}{x^{2} + 3^{2}} dx$.
પ્રમાણિત સૂત્ર $\int \frac{1}{x^{2} + a^{2}} dx = \frac{1}{a} \tan^{-1} \frac{x}{a} + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{1}{5} \left( \frac{1}{2} \tan^{-1} \frac{x}{2} \right) - \frac{1}{5} \left( \frac{1}{3} \tan^{-1} \frac{x}{3} \right) + C$.
$= \frac{1}{10} \tan^{-1} \frac{x}{2} - \frac{1}{15} \tan^{-1} \frac{x}{3} + C$.
આને $A \tan^{-1} \frac{x}{2} + B \tan^{-1} \frac{x}{3} + C$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = \frac{1}{10}$ અને $B = -\frac{1}{15}$ મળે છે.
તેથી,$A - B = \frac{1}{10} - (-\frac{1}{15}) = \frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3 + 2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{3 \sin x - \cos x + 3}$.
$\tan \frac{x}{2} = t$ આદેશ લેતા,$dx = \frac{2 dt}{1+t^2}$,$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$,અને $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ મળે.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{1}{3(\frac{2t}{1+t^2}) - (\frac{1-t^2}{1+t^2}) + 3} \cdot \frac{2 dt}{1+t^2}$
$I = \int \frac{2 dt}{6t - 1 + t^2 + 3 + 3t^2} = \int \frac{2 dt}{4t^2 + 6t + 2} = \int \frac{dt}{2t^2 + 3t + 1}$.
છેદના અવયવ પાડતા: $2t^2 + 3t + 1 = (2t+1)(t+1)$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત વાપરતા: $\frac{1}{(2t+1)(t+1)} = \frac{2}{2t+1} - \frac{1}{t+1}$.
$I = \int (\frac{2}{2t+1} - \frac{1}{t+1}) dt = \log|2t+1| - \log|t+1| + C = \log \left| \frac{2t+1}{t+1} \right| + C$.
$t = \tan \frac{x}{2}$ મૂકતા,$I = \log \left( \frac{2 \tan \frac{x}{2} + 1}{\tan \frac{x}{2} + 1} \right) + C$ મળે.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{x(x^{n}+1)}$.
અંશ અને છેદને $x^{n-1}$ વડે ગુણતા:
$I = \int \frac{x^{n-1} dx}{x^{n}(x^{n}+1)}$.
ધારો કે $t = x^{n}$,તેથી $dt = nx^{n-1} dx$,જેનો અર્થ છે કે $x^{n-1} dx = \frac{dt}{n}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{dt/n}{t(t+1)} = \frac{1}{n} \int \frac{dt}{t(t+1)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{t(t+1)} = \frac{1}{t} - \frac{1}{t+1}$.
$I = \frac{1}{n} \int \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{t+1} \right) dt$.
$I = \frac{1}{n} (\log |t| - \log |t+1|) + C$.
$I = \frac{1}{n} \log \left| \frac{t}{t+1} \right| + C$.
$t = x^{n}$ પાછા મૂકતા:
$I = \frac{1}{n} \log \left( \frac{x^{n}}{x^{n}+1} \right) + C$.

(C) સંકલન $\int \frac{x \, dx}{(x-1)(x-2)}$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ધારો કે $\frac{x}{(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}$.
બંને બાજુ $(x-1)(x-2)$ વડે ગુણતા,આપણને $x = A(x-2) + B(x-1)$ મળે છે.
$x = 1$ લેતા,$1 = A(1-2) \implies A = -1$.
$x = 2$ લેતા,$2 = B(2-1) \implies B = 2$.
આમ,$\int \frac{x \, dx}{(x-1)(x-2)} = \int \left( \frac{-1}{x-1} + \frac{2}{x-2} \right) dx$.
પદવાર સંકલન કરતા,આપણને $-\log |x-1| + 2 \log |x-2| + c$ મળે છે.
લઘુગણકના ગુણધર્મ $n \log m = \log m^n$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\log |x-2|^2 - \log |x-1| + c = \log \left| \frac{(x-2)^2}{x-1} \right| + c$ મળે છે.

(B) સંકલન $\int \frac{2x+3}{(x-1)(x^2+1)} dx$ ઉકેલવા માટે,આપણે આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\frac{2x+3}{(x-1)(x^2+1)} = \frac{B}{x-1} + \frac{Cx+D}{x^2+1}$
$2x+3 = B(x^2+1) + (Cx+D)(x-1)$
$x=1$ લેતા,આપણને $2(1)+3 = B(1^2+1) \implies 5 = 2B \implies B = \frac{5}{2}$ મળે છે.
$x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $0 = B+C \implies C = -B = -\frac{5}{2}$.
અચળ પદોની સરખામણી કરતા: $3 = B-D \implies D = B-3 = \frac{5}{2} - 3 = -\frac{1}{2}$.
આમ,સંકલન $\int \left( \frac{5/2}{x-1} + \frac{-5/2x - 1/2}{x^2+1} \right) dx$ બને છે.
$= \frac{5}{2} \int \frac{1}{x-1} dx - \frac{5}{4} \int \frac{2x}{x^2+1} dx - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2+1} dx$.
$= \frac{5}{2} \log_e |x-1| - \frac{5}{4} \log_e (x^2+1) - \frac{1}{2} \tan^{-1} x + A$.
$= \log_e |x-1|^{\frac{5}{2}} + \log_e (x^2+1)^{-\frac{5}{4}} - \frac{1}{2} \tan^{-1} x + A$.
$= \log_e \{(x-1)^{\frac{5}{2}}(x^2+1)^{-\frac{5}{4}}\} - \frac{1}{2} \tan^{-1} x + A$.
આપેલ અભિવ્યક્તિ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = -\frac{5}{4}$ મળે છે.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{2x^2+3}{(x^2-1)(x^2-4)} dx$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા,$x^2 = t$ લેતા,$\frac{2t+3}{(t-1)(t-4)} = \frac{A}{t-1} + \frac{B}{t-4}$.
$2t+3 = A(t-4) + B(t-1)$.
$t=1$ માટે,$5 = A(-3) \implies A = -\frac{5}{3}$.
$t=4$ માટે,$11 = B(3) \implies B = \frac{11}{3}$.
તેથી,$\frac{2x^2+3}{(x^2-1)(x^2-4)} = \frac{-5/3}{x^2-1} + \frac{11/3}{x^2-4}$.
સંકલન કરતા,$I = -\frac{5}{3} \int \frac{dx}{x^2-1} + \frac{11}{3} \int \frac{dx}{x^2-4}$.
$I = -\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2} \log \left| \frac{x-1}{x+1} \right| + \frac{11}{3} \cdot \frac{1}{4} \log \left| \frac{x-2}{x+2} \right| + c$.
$I = \frac{5}{6} \log \left| \frac{x+1}{x-1} \right| + \frac{11}{12} \log \left| \frac{x-2}{x+2} \right| + c$.
આપેલ સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$a = \frac{11}{12}$ અને $b = \frac{5}{6} = \frac{10}{12}$.
આમ,$a+b = \frac{11}{12} + \frac{10}{12} = \frac{21}{12}$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{x^4+5x^2+4}$.
છેદના અવયવો પાડતા: $x^4+5x^2+4 = (x^2+1)(x^2+4)$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{(x^2+1)(x^2+4)} = \frac{A'}{x^2+1} + \frac{B'}{x^2+4}$.
$1 = A'(x^2+4) + B'(x^2+1)$.
$x^2 = -1$ લેતા,$1 = A'(3) \implies A' = \frac{1}{3}$.
$x^2 = -4$ લેતા,$1 = B'(-3) \implies B' = -\frac{1}{3}$.
તેથી,$I = \int \left( \frac{1/3}{x^2+1} - \frac{1/3}{x^2+4} \right) dx$.
$I = \frac{1}{3} \int \frac{dx}{x^2+1} - \frac{1}{3} \int \frac{dx}{x^2+2^2}$.
$I = \frac{1}{3} \tan^{-1} x - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \tan^{-1} \frac{x}{2} + c$.
$I = \frac{1}{3} \tan^{-1} x - \frac{1}{6} \tan^{-1} \frac{x}{2} + c$.
$A \tan^{-1} x + B \tan^{-1} \frac{x}{2} + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = \frac{1}{3}$ અને $B = -\frac{1}{6}$ મળે છે.

(A) આપણી પાસે સંકલન $I = \int \frac{x^4+1}{x(x^2+1)^2} dx$ છે.
અંશ અને છેદને $x$ વડે ગુણતા:
$I = \int \frac{x(x^4+1)}{x^2(x^2+1)^2} dx$.
ધારો કે $x^2 = t$,તેથી $2x dx = dt$,એટલે કે $x dx = \frac{dt}{2}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \frac{1}{2} \int \frac{t^2+1}{t(t+1)^2} dt$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત વાપરતા: $\frac{t^2+1}{t(t+1)^2} = \frac{A_1}{t} + \frac{B_1}{t+1} + \frac{C_1}{(t+1)^2}$.
$t^2+1 = A_1(t+1)^2 + B_1 t(t+1) + C_1 t$.
$t=0$ લેતા,$1 = A_1(1)^2 \implies A_1 = 1$.
$t=-1$ લેતા,$2 = C_1(-1) \implies C_1 = -2$.
$t^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $1 = A_1 + B_1 \implies 1 = 1 + B_1 \implies B_1 = 0$.
તેથી,$I = \frac{1}{2} \int \left( \frac{1}{t} - \frac{2}{(t+1)^2} \right) dt = \frac{1}{2} \left( \log |t| + \frac{2}{t+1} \right) + c$.
$I = \frac{1}{2} \log |x^2| + \frac{1}{x^2+1} + c = \log |x| + \frac{1}{x^2+1} + c$.
$A \log |x| + \frac{B}{1+x^2} + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = 1$ અને $B = 1$ મળે છે.
આમ,$A-B = 1-1 = 0$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{2x^2-1}{(x^2+4)(x^2-3)} dx$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા,$t = x^2$ લેતા,$\frac{2t-1}{(t+4)(t-3)} = \frac{A}{t+4} + \frac{B}{t-3}$.
$2t-1 = A(t-3) + B(t+4)$.
$t = 3$ માટે,$5 = 7B \Rightarrow B = \frac{5}{7}$.
$t = -4$ માટે,$-9 = -7A \Rightarrow A = \frac{9}{7}$.
તેથી,$I = \int \left( \frac{9/7}{x^2+4} + \frac{5/7}{x^2-3} \right) dx$.
$I = \frac{9}{7} \int \frac{1}{x^2+2^2} dx + \frac{5}{7} \int \frac{1}{x^2-(\sqrt{3})^2} dx$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{9}{7} \cdot \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{x}{2}) + \frac{5}{7} \cdot \frac{1}{2\sqrt{3}} \log |\frac{x-\sqrt{3}}{x+\sqrt{3}}| + c$.
$I = \frac{9}{14} \tan^{-1}(\frac{x}{2}) + \frac{5}{14\sqrt{3}} \log |\frac{x-\sqrt{3}}{x+\sqrt{3}}| + c$.

(D) ધારો કે $I = \int \frac{x}{(x-1)^2(x+2)} \, dx$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{x}{(x-1)^2(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{C}{x+2}$.
$(x-1)^2(x+2)$ વડે ગુણતા: $x = A(x-1)(x+2) + B(x+2) + C(x-1)^2$.
$x = 1$ લેતા,$1 = B(1+2) \implies 3B = 1 \implies B = \frac{1}{3}$.
$x = -2$ લેતા,$-2 = C(-2-1)^2 \implies -2 = 9C \implies C = -\frac{2}{9}$.
$x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $0 = A + C \implies A = -C = \frac{2}{9}$.
તેથી,$I = \int \left( \frac{2/9}{x-1} + \frac{1/3}{(x-1)^2} - \frac{2/9}{x+2} \right) \, dx$.
દરેક પદનું સંકલન કરતા: $I = \frac{2}{9} \log |x-1| - \frac{1}{3(x-1)} - \frac{2}{9} \log |x+2| + c$.

(B) ધારો કે $ I = \int \frac{x^2+1}{x(x^2-1)} dx $.
અંશ અને છેદને $ x^2 $ વડે ભાગતા:
$ I = \int \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{x(1 - \frac{1}{x^2})} dx $.
ધારો કે $ t = x - \frac{1}{x} $. તો $ dt = (1 + \frac{1}{x^2}) dx $.
અંશ-છેદની રીત (Partial Fractions) વાપરતા:
$ \frac{x^2+1}{x(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x+1} $.
$ x^2+1 = A(x^2-1) + Bx(x+1) + Cx(x-1) $.
$ x=0 $ લેતા,$ 1 = -A \Rightarrow A = -1 $.
$ x=1 $ લેતા,$ 2 = 2B \Rightarrow B = 1 $.
$ x=-1 $ લેતા,$ 2 = 2C \Rightarrow C = 1 $.
$ I = \int (-\frac{1}{x} + \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1}) dx $.
$ I = -\log |x| + \log |x-1| + \log |x+1| + c $.
$ I = \log \left| \frac{(x-1)(x+1)}{x} \right| + c = \log \left| \frac{x^2-1}{x} \right| + c $.

(B) $\int \frac{1}{(x+2)(x^2+1)} \, dx$ ઉકેલવા માટે,આપણે આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ધારો કે $\frac{1}{(x+2)(x^2+1)} = \frac{A}{x+2} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$.
$(x+2)(x^2+1)$ વડે ગુણતા,$1 = A(x^2+1) + (Bx+C)(x+2)$ મળે છે.
$x = -2$ લેતા,$1 = A(4+1) \implies A = \frac{1}{5}$.
$x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $0 = A + B \implies B = -A = -\frac{1}{5}$.
અચળ પદોની સરખામણી કરતા: $1 = A + 2C \implies 1 = \frac{1}{5} + 2C \implies 2C = \frac{4}{5} \implies C = \frac{2}{5}$.
આમ,સંકલન $\int \left( \frac{1/5}{x+2} + \frac{-1/5x + 2/5}{x^2+1} \right) \, dx$ બને છે.
$= \frac{1}{5} \int \frac{1}{x+2} \, dx - \frac{1}{10} \int \frac{2x}{x^2+1} \, dx + \frac{2}{5} \int \frac{1}{x^2+1} \, dx$.
$= \frac{1}{5} \log |x+2| - \frac{1}{10} \log |x^2+1| + \frac{2}{5} \tan^{-1} x + c$.
$= \frac{1}{5} \log \left| \frac{x+2}{\sqrt{x^2+1}} \right| + \frac{2}{5} \tan^{-1} x + c$.

(A) સંકલન $\int \frac{3x-2}{(x+1)(x-2)^2} dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ધારો કે $\frac{3x-2}{(x+1)(x-2)^2} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{(x-2)^2}$.
$(x+1)(x-2)^2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે $3x-2 = A(x-2)^2 + B(x+1)(x-2) + C(x+1)$.
$x = -1$ લેતા: $3(-1)-2 = A(-1-2)^2 \implies -5 = 9A \implies A = -\frac{5}{9}$.
$x = 2$ લેતા: $3(2)-2 = C(2+1) \implies 4 = 3C \implies C = \frac{4}{3}$.
$x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $0 = A + B \implies B = -A = \frac{5}{9}$.
આમ,$\int \left( \frac{-5/9}{x+1} + \frac{5/9}{x-2} + \frac{4/3}{(x-2)^2} \right) dx = -\frac{5}{9} \log |x+1| + \frac{5}{9} \log |x-2| - \frac{4}{3(x-2)} + C$.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{2 x^2-1}{x^4-x^2-20} d x$.
$x^2 = t$ લેતા,સંકલ્ય $\frac{2 t-1}{t^2-t-20} = \frac{2 t-1}{(t-5)(t+4)}$ બને છે.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા,ધારો કે $\frac{2 t-1}{(t-5)(t+4)} = \frac{A}{t-5} + \frac{B}{t+4}$.
તેથી $2t-1 = A(t+4) + B(t-5)$.
$t=5$ માટે,$9 = 9A \implies A=1$.
$t=-4$ માટે,$-9 = -9B \implies B=1$.
આમ,$I = \int \left( \frac{1}{x^2-5} + \frac{1}{x^2+4} \right) d x$.
પ્રમાણિત સંકલન $\int \frac{1}{x^2-a^2} d x = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{x-a}{x+a} \right| + c$ અને $\int \frac{1}{x^2+a^2} d x = \frac{1}{a} \tan^{-1} \left( \frac{x}{a} \right) + c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{2\sqrt{5}} \log \left| \frac{x-\sqrt{5}}{x+\sqrt{5}} \right| + \frac{1}{2} \tan^{-1} \left( \frac{x}{2} \right) + c$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{x^{2}}{(x+1)(x+2)^{2}} dx$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x^{2}}{(x+1)(x+2)^{2}} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{(x+2)^{2}}$.
બંને બાજુ $(x+1)(x+2)^{2}$ વડે ગુણતા:
$x^{2} = A(x+2)^{2} + B(x+1)(x+2) + C(x+1)$.
$x = -2$ લેતા,$(-2)^{2} = C(-2+1) \Rightarrow 4 = -C \Rightarrow C = -4$.
$x = -1$ લેતા,$(-1)^{2} = A(-1+2)^{2} \Rightarrow 1 = A(1)^{2} \Rightarrow A = 1$.
$x^{2}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$1 = A + B$.
$A = 1$ હોવાથી,$1 = 1 + B \Rightarrow B = 0$.
તેથી,સંકલન નીચે મુજબ થશે:
$I = \int \left( \frac{1}{x+1} - \frac{4}{(x+2)^{2}} \right) dx$.
$I = \int \frac{1}{x+1} dx - 4 \int (x+2)^{-2} dx$.
$I = \log |x+1| - 4 \left( \frac{(x+2)^{-1}}{-1} \right) + c$.
$I = \log |x+1| + \frac{4}{x+2} + c$.

(A) આપેલ સંકલન: $I = \int \frac{x^{2}+1}{(x-3)(x-2)} d x$
અંશ અને છેદની ઘાત સમાન હોવાથી,આપણે ભાગાકાર કરીશું:
$\frac{x^{2}+1}{x^{2}-5x+6} = 1 + \frac{5x-5}{x^{2}-5x+6}$
તેથી,$I = \int (1 + \frac{5x-5}{(x-3)(x-2)}) d x = \int 1 d x + 5 \int \frac{x-1}{(x-3)(x-2)} d x$
$\frac{x-1}{(x-3)(x-2)} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{x-2}$ માટે આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા:
$x-1 = A(x-2) + B(x-3)$
$x=3$ લેતા: $3-1 = A(3-2) \Rightarrow A=2$
$x=2$ લેતા: $2-1 = B(2-3) \Rightarrow B=-1$
આમ,$I = x + 5 \int (\frac{2}{x-3} - \frac{1}{x-2}) d x = x + 10 \log |x-3| - 5 \log |x-2| + c$
$Px + Q \log |x-3| + R \log |x-2| + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $P=1, Q=10, R=-5$ મળે છે.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{2 x^{2}+3}{\left(x^{2}-1\right)\left(x^{2}+4\right)} d x$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને,ધારો કે $x^2 = t$. તેથી $\frac{2t+3}{(t-1)(t+4)} = \frac{A}{t-1} + \frac{B}{t+4}$.
$2t+3 = A(t+4) + B(t-1)$.
$t=1$ માટે,$5 = 5A \implies A=1$.
$t=-4$ માટે,$-5 = -5B \implies B=1$.
આમ,$\frac{2x^2+3}{(x^2-1)(x^2+4)} = \frac{1}{x^2-1} + \frac{1}{x^2+4}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$I = \int \frac{1}{x^2-1} dx + \int \frac{1}{x^2+2^2} dx$.
$I = \frac{1}{2(1)} \log \left| \frac{x-1}{x+1} \right| + \frac{1}{2} \tan^{-1} \left( \frac{x}{2} \right) + C$.
આપેલ પદ $a \log \left| \frac{x-1}{x+1} \right| + b \tan^{-1} \left( \frac{x}{2} \right) + C$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = \frac{1}{2}$ અને $b = \frac{1}{2}$ મળે છે.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{x+1}{x^{2}+5x+6} dx$.
છેદના અવયવ પાડતા: $x^{2}+5x+6 = (x+2)(x+3)$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{x+1}{(x+2)(x+3)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x+3}$.
$x+1 = A(x+3) + B(x+2)$.
$x = -2$ લેતા: $-2+1 = A(-2+3) \implies A = -1$.
$x = -3$ લેતા: $-3+1 = B(-3+2) \implies -2 = B(-1) \implies B = 2$.
તેથી,$I = \int \left( \frac{-1}{x+2} + \frac{2}{x+3} \right) dx$.
$I = -\int \frac{1}{x+2} dx + 2 \int \frac{1}{x+3} dx$.
$I = -\log |x+2| + 2 \log |x+3| + C$.

(D) ધારો કે $I = \int \frac{\cos \theta}{5+7 \sin \theta-2 \cos ^2 \theta} d \theta$.
નિત્યસમ $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{\cos \theta}{5+7 \sin \theta-2(1-\sin^2 \theta)} d \theta = \int \frac{\cos \theta}{2 \sin^2 \theta+7 \sin \theta+3} d \theta$.
છેદના અવયવ પાડતા:
$2 \sin^2 \theta+7 \sin \theta+3 = (2 \sin \theta+1)(\sin \theta+3)$.
ધારો કે $\sin \theta = t$,તો $\cos \theta d \theta = dt$.
$I = \int \frac{dt}{(2t+1)(t+3)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત વાપરતા:
$\frac{1}{(2t+1)(t+3)} = \frac{A'}{2t+1} + \frac{B'}{t+3} \Rightarrow 1 = A'(t+3) + B'(2t+1)$.
$t = -3$ માટે,$1 = B'(-5) \Rightarrow B' = -\frac{1}{5}$.
$t = -\frac{1}{2}$ માટે,$1 = A'(\frac{5}{2}) \Rightarrow A' = \frac{2}{5}$.
$I = \int (\frac{2/5}{2t+1} - \frac{1/5}{t+3}) dt = \frac{1}{5} \ln |2t+1| - \frac{1}{5} \ln |t+3| + c = \frac{1}{5} \ln |\frac{2 \sin \theta+1}{\sin \theta+3}| + c$.
$A \ln |f(\theta)| + c$ સાથે સરખાવતા,$A = \frac{1}{5}$ અને $f(\theta) = \frac{2 \sin \theta+1}{\sin \theta+3}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{f(\theta)}{A} = \frac{(2 \sin \theta+1)/(\sin \theta+3)}{1/5} = \frac{5(2 \sin \theta+1)}{\sin \theta+3}$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{\tan x}{\cos x(\sec x-1)(\sec x-2)} dx$.
$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ અને $\frac{1}{\cos x} = \sec x$ હોવાથી,સંકલન નીચે મુજબ થાય છે:
$I = \int \frac{\sec x \tan x}{(\sec x-1)(\sec x-2)} dx$.
ધારો કે $u = \sec x$,તો $du = \sec x \tan x dx$.
સંકલન આ રીતે બદલાય છે:
$I = \int \frac{1}{(u-1)(u-2)} du$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{(u-1)(u-2)} = \frac{A}{u-1} + \frac{B}{u-2}$.
$1 = A(u-2) + B(u-1)$.
$u=1$ માટે,$A = -1$. $u=2$ માટે,$B = 1$.
તેથી,$I = \int \left( \frac{1}{u-2} - \frac{1}{u-1} \right) du$.
$I = \log |u-2| - \log |u-1| + c = \log \left| \frac{u-2}{u-1} \right| + c$.
$u = \sec x$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \log \left| \frac{\sec x - 2}{\sec x - 1} \right| + c$.