Evaluation of various forms of integration Questions in Hindi

(A) समाकलन $I = \int \frac{dx}{2+\cos x}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम प्रतिस्थापन $\cos x = \frac{1-\tan^2(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}$ का उपयोग करते हैं।
इसे समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{dx}{2 + \frac{1-\tan^2(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}} = \int \frac{(1+\tan^2(x/2)) dx}{2(1+\tan^2(x/2)) + 1 - \tan^2(x/2)} = \int \frac{\sec^2(x/2) dx}{3 + \tan^2(x/2)}$.
माना $t = \tan(x/2)$,तो $dt = \frac{1}{2} \sec^2(x/2) dx$,जिसका अर्थ है $\sec^2(x/2) dx = 2 dt$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{2 dt}{3 + t^2} = 2 \int \frac{dt}{(\sqrt{3})^2 + t^2}$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{a^2+x^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + c$ का उपयोग करने पर:
$I = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{t}{\sqrt{3}}\right) + c = \frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}} \tan \frac{x}{2}\right) + c$.

(B) समाकलन $I = \int \sqrt{x^2-6x-16} \, dx$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम वर्गमूल के अंदर के व्यंजक को पूर्ण वर्ग बनाते हैं:
$x^2-6x-16 = (x^2-6x+9) - 9 - 16 = (x-3)^2 - 25 = (x-3)^2 - 5^2$.
अब,समाकलन $I = \int \sqrt{(x-3)^2 - 5^2} \, dx$ हो जाता है।
मानक सूत्र $\int \sqrt{t^2-a^2} \, dt = \frac{t}{2} \sqrt{t^2-a^2} - \frac{a^2}{2} \log |t + \sqrt{t^2-a^2}| + c$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $t = x-3$ और $a = 5$:
$I = \frac{x-3}{2} \sqrt{(x-3)^2 - 5^2} - \frac{5^2}{2} \log |(x-3) + \sqrt{(x-3)^2 - 5^2}| + c$.
मूल व्यंजक $x^2-6x-16$ को वापस रखने पर:
$I = \frac{x-3}{2} \sqrt{x^2-6x-16} - \frac{25}{2} \log |x-3 + \sqrt{x^2-6x-16}| + c$.

(C) हमारे पास $I = \int \left(\frac{x-3}{x^2+9}\right)^2 \, dx = \int \frac{x^2 - 6x + 9}{(x^2+9)^2} \, dx$ है।
समाकलन को अलग करने पर,हमें $I = \int \frac{x^2+9}{(x^2+9)^2} \, dx - \int \frac{6x}{(x^2+9)^2} \, dx$ प्राप्त होता है।
$I = \int \frac{1}{x^2+9} \, dx - \int \frac{6x}{(x^2+9)^2} \, dx$.
पहला भाग $\int \frac{1}{x^2+3^2} \, dx = \frac{1}{3} \tan^{-1}\left(\frac{x}{3}\right)$ है।
दूसरे भाग के लिए,मान लीजिए $u = x^2+9$,तो $du = 2x \, dx$,इसलिए $3 \, du = 6x \, dx$.
अतः,$\int \frac{6x}{(x^2+9)^2} \, dx = \int \frac{3}{u^2} \, du = 3 \left(-\frac{1}{u}\right) = -\frac{3}{x^2+9}$.
इन दोनों को मिलाने पर,$I = \frac{1}{3} \tan^{-1}\left(\frac{x}{3}\right) - \left(-\frac{3}{x^2+9}\right) + c = \frac{1}{3} \tan^{-1}\left(\frac{x}{3}\right) + \frac{3}{x^2+9} + c$.

(B) समाकलन $I = \int \sqrt{x^2+3x} \, dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम वर्गमूल के अंदर पूर्ण वर्ग बनाते हैं:
$x^2 + 3x = (x + \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}$.
अब,समाकलन $I = \int \sqrt{(x + \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2} \, dx$ हो जाता है।
मानक सूत्र $\int \sqrt{t^2 - a^2} \, dt = \frac{t}{2} \sqrt{t^2 - a^2} - \frac{a^2}{2} \log |t + \sqrt{t^2 - a^2}| + c$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $t = x + \frac{3}{2}$ और $a = \frac{3}{2}$ है:
$I = \frac{x + \frac{3}{2}}{2} \sqrt{(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}} - \frac{9/4}{2} \log |(x + \frac{3}{2}) + \sqrt{(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}}| + c$.
इसे सरल करने पर:
$I = \frac{2x+3}{4} \sqrt{x^2+3x} - \frac{9}{8} \log |x + \frac{3}{2} + \sqrt{x^2+3x}| + c$.

(C) माना $I = \int \frac{dx}{3 \cos 2x + 5}$ है।
सर्वसमिका $\cos 2x = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x}$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{dx}{3 \left(\frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x}\right) + 5}$
$I = \int \frac{1 + \tan^2 x}{3(1 - \tan^2 x) + 5(1 + \tan^2 x)} dx$
$I = \int \frac{\sec^2 x}{3 - 3 \tan^2 x + 5 + 5 \tan^2 x} dx$
$I = \int \frac{\sec^2 x}{8 + 2 \tan^2 x} dx$
माना $u = \tan x$,तब $du = \sec^2 x dx$ होगा।
$I = \int \frac{du}{8 + 2u^2} = \frac{1}{2} \int \frac{du}{4 + u^2}$
सूत्र $\int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + c$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{u}{2}\right) + c$
$I = \frac{1}{4} \tan^{-1}\left(\frac{\tan x}{2}\right) + c$.

(D) दिया गया है $I = \int \frac{dx}{x^2(x^4+1)^{3/4}}$.
कोष्ठक से $x^4$ कॉमन लेने पर:
$I = \int \frac{dx}{x^2 \left(x^4(1 + \frac{1}{x^4})\right)^{3/4}} = \int \frac{dx}{x^2 \cdot x^3 (1 + \frac{1}{x^4})^{3/4}} = \int \frac{dx}{x^5 (1 + \frac{1}{x^4})^{3/4}}$.
माना $t = 1 + \frac{1}{x^4}$.
तब $dt = -\frac{4}{x^5} dx$,जिसका अर्थ है $\frac{dx}{x^5} = -\frac{1}{4} dt$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int -\frac{1}{4} t^{-3/4} dt = -\frac{1}{4} \left( \frac{t^{1/4}}{1/4} \right) + c = -t^{1/4} + c$.
$t = 1 + \frac{1}{x^4}$ वापस रखने पर:
$I = -\left(1 + \frac{1}{x^4}\right)^{1/4} + c$.

(C) माना $I = \int \frac{d x}{x^2\left(x^4+1\right)^{\frac{3}{4}}}$.
कोष्ठक के अंदर के पद से $x^4$ कॉमन लेने पर:
$I = \int \frac{d x}{x^2 \left[x^4 \left(1 + \frac{1}{x^4}\right)\right]^{\frac{3}{4}}} = \int \frac{d x}{x^2 \cdot x^3 \left(1 + \frac{1}{x^4}\right)^{\frac{3}{4}}} = \int \frac{d x}{x^5 \left(1 + \frac{1}{x^4}\right)^{\frac{3}{4}}}$.
माना $1 + \frac{1}{x^4} = t$. दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$-\frac{4}{x^5} dx = dt \Rightarrow \frac{dx}{x^5} = -\frac{dt}{4}$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \left(1 + \frac{1}{x^4}\right)^{-\frac{3}{4}} \frac{dx}{x^5} = \int t^{-\frac{3}{4}} \left(-\frac{dt}{4}\right) = -\frac{1}{4} \int t^{-\frac{3}{4}} dt$.
$I = -\frac{1}{4} \left[ \frac{t^{-\frac{3}{4} + 1}}{-\frac{3}{4} + 1} \right] + c = -\frac{1}{4} \left[ \frac{t^{\frac{1}{4}}}{\frac{1}{4}} \right] + c = -t^{\frac{1}{4}} + c$.
$t = 1 + \frac{1}{x^4}$ वापस रखने पर:
$I = -\left(1 + \frac{1}{x^4}\right)^{\frac{1}{4}} + c = -\left(\frac{x^4 + 1}{x^4}\right)^{\frac{1}{4}} + c = -\frac{\left(x^4 + 1\right)^{\frac{1}{4}}}{x} + c$.

(D) माना $I = \int \frac{d x}{(x+1)^{3/4} (x-2)^{5/4}}$.
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int \frac{d x}{\left(\frac{x+1}{x-2}\right)^{3/4} (x-2)^{3/4} (x-2)^{5/4}} = \int \frac{d x}{\left(\frac{x+1}{x-2}\right)^{3/4} (x-2)^2}$.
माना $t = \frac{x+1}{x-2}$.
तब,$dt = \frac{(x-2)(1) - (x+1)(1)}{(x-2)^2} dx = \frac{-3}{(x-2)^2} dx$.
अतः,$\frac{dx}{(x-2)^2} = -\frac{1}{3} dt$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{1}{t^{3/4}} \left(-\frac{1}{3} dt\right) = -\frac{1}{3} \int t^{-3/4} dt$.
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$I = -\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{1/4}}{1/4} + c = -\frac{4}{3} t^{1/4} + c$.
$t = \frac{x+1}{x-2}$ वापस रखने पर:
$I = -\frac{4}{3} \left(\frac{x+1}{x-2}\right)^{1/4} + c$.

(C) माना $I = \int \frac{d \theta}{\cos ^2 \theta(\tan 2 \theta+\sec 2 \theta)}$।
सर्वसमिकाओं $\tan 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}$ और $\sec 2\theta = \frac{1+\tan^2 \theta}{1-\tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{\sec^2 \theta \, d\theta}{\frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta} + \frac{1+\tan^2 \theta}{1-\tan^2 \theta}}$
$I = \int \frac{\sec^2 \theta (1-\tan^2 \theta) \, d\theta}{1 + 2\tan \theta + \tan^2 \theta} = \int \frac{\sec^2 \theta (1-\tan \theta)(1+\tan \theta) \, d\theta}{(1+\tan \theta)^2}$
$I = \int \frac{\sec^2 \theta (1-\tan \theta) \, d\theta}{1+\tan \theta}$।
$\tan \theta = t$ रखने पर,$\sec^2 \theta \, d\theta = dt$ प्राप्त होता है:
$I = \int \frac{1-t}{1+t} \, dt = \int \frac{2-(1+t)}{1+t} \, dt = \int \left( \frac{2}{1+t} - 1 \right) \, dt$
$I = 2 \log |1+t| - t + c = 2 \log |1+\tan \theta| - \tan \theta + c$।
इसकी तुलना $\lambda \tan \theta + 2 \log |f(\theta)| + c$ से करने पर,हमें $\lambda = -1$ और $f(\theta) = 1+\tan \theta$ प्राप्त होता है।
अतः,क्रमित युग्म $(-1, |1+\tan \theta|)$ है।

(A) माना $I = \int \frac{2x+5}{\sqrt{7-6x-x^2}} \, dx$.
अंश को इस प्रकार लिखने पर: $2x+5 = -( -2x - 6 ) - 1$.
अतः,$I = \int \frac{-( -2x - 6 ) - 1}{\sqrt{7-6x-x^2}} \, dx = -\int \frac{-2x-6}{\sqrt{7-6x-x^2}} \, dx - \int \frac{1}{\sqrt{7 - (x^2 + 6x)}} \, dx$.
हर में पूर्ण वर्ग बनाने पर: $7 - (x^2 + 6x + 9 - 9) = 7 + 9 - (x+3)^2 = 16 - (x+3)^2 = 4^2 - (x+3)^2$.
इस प्रकार,$I = -\int (7-6x-x^2)^{-1/2} (-2x-6) \, dx - \int \frac{1}{\sqrt{4^2 - (x+3)^2}} \, dx$.
$u = 7-6x-x^2$ प्रतिस्थापन लेने पर,$du = (-6-2x) \, dx$ प्राप्त होता है:
$I = -2(7-6x-x^2)^{1/2} - \sin^{-1}\left(\frac{x+3}{4}\right) + c$.
दिए गए रूप $A \sqrt{7-6x-x^2} + B \sin^{-1}\left(\frac{x+3}{4}\right) + c$ के साथ तुलना करने पर,हमें $A = -2$ और $B = -1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$A+B = -2 + (-1) = -3$.

(D) माना $I = \int \frac{x^2-4}{x^4+9 x^2+16} \,d x$.
अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{1-\frac{4}{x^2}}{x^2+9+\frac{16}{x^2}} \,d x$.
हर को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखने पर:
$I = \int \frac{1-\frac{4}{x^2}}{(x^2+\frac{16}{x^2})+9} \,d x = \int \frac{1-\frac{4}{x^2}}{(x+\frac{4}{x})^2 - 2(x)(\frac{4}{x}) + 9} \,d x$.
$I = \int \frac{1-\frac{4}{x^2}}{(x+\frac{4}{x})^2 + 1} \,d x$.
माना $t = x+\frac{4}{x}$,तो $dt = (1-\frac{4}{x^2}) \,d x$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{dt}{t^2+1} = \tan^{-1}(t) + c$.
अतः,$I = \tan^{-1}(x+\frac{4}{x}) + c$.
इसकी तुलना $\tan^{-1}(f(x)) + c$ से करने पर,हमें $f(x) = x+\frac{4}{x}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$f(2) = 2 + \frac{4}{2} = 2 + 2 = 4$.

(B) $\text{माना } I = \int \frac{1}{\sin (x-a) \sin x} \,d x$.
$\text{अंश और हर को } \sin a \text{ से गुणा करने पर:}$
$I = \frac{1}{\sin a} \int \frac{\sin a}{\sin (x-a) \sin x} \,d x$.
$\sin a \text{ को } \sin (x - (x-a)) \text{ के रूप में लिखने पर:}$
$I = \frac{1}{\sin a} \int \frac{\sin (x - (x-a))}{\sin (x-a) \sin x} \,d x$.
$\text{सर्वसमिका } \sin (A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \text{ का उपयोग करने पर:}$
$I = \frac{1}{\sin a} \int \frac{\sin x \cos (x-a) - \cos x \sin (x-a)}{\sin (x-a) \sin x} \,d x$.
$\text{समाकलन को अलग करने पर:}$
$I = \frac{1}{\sin a} \left[ \int \frac{\sin x \cos (x-a)}{\sin (x-a) \sin x} \,d x - \int \frac{\cos x \sin (x-a)}{\sin (x-a) \sin x} \,d x \right]$.
$I = \frac{1}{\sin a} \left[ \int \cot (x-a) \,d x - \int \cot x \,d x \right]$.
$\text{समाकलन करने पर:}$
$I = \frac{1}{\sin a} [\log |\sin (x-a)| - \log |\sin x|] + c$.
$I = \operatorname{cosec} a \log |\frac{\sin (x-a)}{\sin x}| + c$.

(B) दिया गया है $I = \int \frac{\sin x + \sin^3 x}{\cos 2x} dx$.
$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ का उपयोग करते हुए,$\sin x(1 + \sin^2 x) = \sin x(1 + 1 - \cos^2 x) = \sin x(2 - \cos^2 x)$.
अतः,$I = \int \frac{\sin x(2 - \cos^2 x)}{2 \cos^2 x - 1} dx$.
माना $\cos x = t$,तो $-\sin x dx = dt$,अर्थात $\sin x dx = -dt$.
$I = \int \frac{t^2 - 2}{2t^2 - 1} (-dt) = \int \frac{2 - t^2}{2t^2 - 1} dt$.
$I = \frac{1}{2} \int \frac{4 - 2t^2}{2t^2 - 1} dt = \frac{1}{2} \int \frac{-(2t^2 - 1) + 3}{2t^2 - 1} dt$.
$I = \frac{1}{2} \int (-1 + \frac{3}{2t^2 - 1}) dt = \frac{1}{2} [-t + \frac{3}{2\sqrt{2}} \log |\frac{\sqrt{2}t - 1}{\sqrt{2}t + 1}|] + c$.
$I = -\frac{1}{2} \cos x + \frac{3}{4\sqrt{2}} \log |\frac{\sqrt{2} \cos x - 1}{\sqrt{2} \cos x + 1}| + c$.
$P \cos x + Q \log |\frac{\sqrt{2} \cos x - 1}{\sqrt{2} \cos x + 1}| + c$ के साथ तुलना करने पर,हमें $P = -\frac{1}{2}$ और $Q = \frac{3}{4\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए $I = \int \frac{\tan x + \tan \alpha}{\tan x - \tan \alpha} dx$.
$= \int \frac{\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}} dx$
$= \int \frac{\sin x \cos \alpha + \sin \alpha \cos x}{\sin x \cos \alpha - \sin \alpha \cos x} dx$
$= \int \frac{\sin (x+\alpha)}{\sin (x-\alpha)} dx$.
मान लीजिए $t = x - \alpha$,इसलिए $x = t + \alpha$ और $dx = dt$.
$I = \int \frac{\sin (t + 2\alpha)}{\sin t} dt$
$= \int \frac{\sin t \cos 2\alpha + \cos t \sin 2\alpha}{\sin t} dt$
$= \cos 2\alpha \int 1 dt + \sin 2\alpha \int \cot t dt$
$= t \cos 2\alpha + \sin 2\alpha \log |\sin t| + c$
$= (x - \alpha) \cos 2\alpha + \log |\sin (x - \alpha)| \sin 2\alpha + c$.
इसकी तुलना $A(x) \cos 2\alpha + B(x) \sin 2\alpha + c$ से करने पर,हमें $A(x) = x - \alpha$ और $B(x) = \log |\sin (x - \alpha)|$ प्राप्त होता है।

(C) माना $I = \int \frac{5 \tan x}{\tan x - 2} \, dx = \int \frac{5 \sin x}{\sin x - 2 \cos x} \, dx$.
अंश को $5 \sin x = A(\sin x - 2 \cos x) + B \frac{d}{dx}(\sin x - 2 \cos x)$ के रूप में व्यक्त करते हैं।
$5 \sin x = A(\sin x - 2 \cos x) + B(\cos x + 2 \sin x)$.
$\sin x$ और $\cos x$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$A + 2B = 5$ और $-2A + B = 0$.
दूसरे समीकरण से,$B = 2A$. पहले समीकरण में रखने पर: $A + 2(2A) = 5 \implies 5A = 5 \implies A = 1$.
अतः $B = 2(1) = 2$.
इस प्रकार,$I = \int \left( 1 + 2 \frac{\cos x + 2 \sin x}{\sin x - 2 \cos x} \right) \, dx$.
$I = \int 1 \, dx + 2 \int \frac{d(\sin x - 2 \cos x)}{\sin x - 2 \cos x} = x + 2 \log |\sin x - 2 \cos x| + c$.
इसकी तुलना $x + a \log |\sin x - 2 \cos x| + c$ से करने पर,हमें $a = 2$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $J-I = \int \left( \frac{e^{-x}}{e^{-4x} + e^{-2x} + 1} - \frac{e^x}{e^{4x} + e^{2x} + 1} \right) dx$.
प्रथम पद के अंश और हर को $e^{4x}$ से गुणा करने पर: $\frac{e^{-x} \cdot e^{4x}}{e^{-4x} \cdot e^{4x} + e^{-2x} \cdot e^{4x} + 1 \cdot e^{4x}} = \frac{e^{3x}}{1 + e^{2x} + e^{4x}}$.
अतः, $J-I = \int \frac{e^{3x} - e^x}{e^{4x} + e^{2x} + 1} dx = \int \frac{(e^{2x} - 1)e^x}{e^{4x} + e^{2x} + 1} dx$.
माना $e^x = t$, तो $e^x dx = dt$.
समाकलन $\int \frac{t^2 - 1}{t^4 + t^2 + 1} dt = \int \frac{1 - 1/t^2}{(t^2 + 1 + 1/t^2)} dt = \int \frac{1 - 1/t^2}{(t + 1/t)^2 - 1} dt$ बन जाता है.
माना $u = t + 1/t$, तो $du = (1 - 1/t^2) dt$.
समाकलन $\int \frac{du}{u^2 - 1} = \frac{1}{2} \log \left| \frac{u-1}{u+1} \right| + c$ होता है.
$u = t + 1/t = e^x + e^{-x}$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $\frac{1}{2} \log \left| \frac{e^x + e^{-x} - 1}{e^x + e^{-x} + 1} \right| + c = \frac{1}{2} \log \left| \frac{e^{2x} - e^x + 1}{e^{2x} + e^x + 1} \right| + c$ प्राप्त होता है.

(A) माना $I = \int \frac{\sin x+\sin ^3 x}{\cos 2 x} \,d x$.
$= \int \frac{\sin x(1+\sin ^2 x)}{\cos 2 x} \,d x$.
$= \int \frac{\sin x(1+1-\cos ^2 x)}{2 \cos ^2 x-1} \,d x$.
$= \int \frac{\sin x(2-\cos ^2 x)}{2 \cos ^2 x-1} \,d x$.
$\cos x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$-\sin x \,d x = dt$ या $\sin x \,d x = -dt$.
$I = -\int \frac{2-t^2}{2 t^2-1} dt = \int \frac{t^2-2}{2 t^2-1} dt$.
$= \frac{1}{2} \int \frac{2 t^2-4}{2 t^2-1} dt = \frac{1}{2} \int \left(1 - \frac{3}{2 t^2-1}\right) dt$.
$= \frac{1}{2} \int dt - \frac{3}{2} \int \frac{dt}{(\sqrt{2} t)^2-1^2}$.
सूत्र $\int \frac{dx}{x^2-a^2} = \frac{1}{2a} \log |\frac{x-a}{x+a}|$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{1}{2} t - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} \log |\frac{\sqrt{2} t-1}{\sqrt{2} t+1}| + c$.
$= \frac{1}{2} \cos x - \frac{3}{4 \sqrt{2}} \log |\frac{\sqrt{2} \cos x-1}{\sqrt{2} \cos x+1}| + c$.
$A \cos x + B \log |f(x)| + c$ के साथ तुलना करने पर,$A = \frac{1}{2}$,$B = \frac{-3}{4 \sqrt{2}}$,और $f(x) = \frac{\sqrt{2} \cos x-1}{\sqrt{2} \cos x+1}$ प्राप्त होता है।

(D) $I = \int \frac{dx}{\sin(x-a) \sin(x-b)}$ का मूल्यांकन करने के लिए,$\sin(b-a)$ से गुणा और भाग करें:
$I = \frac{1}{\sin(b-a)} \int \frac{\sin((x-a) - (x-b))}{\sin(x-a) \sin(x-b)} dx$
सर्वसमिका $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करते हुए:
$I = \frac{1}{\sin(b-a)} \int \frac{\sin(x-a) \cos(x-b) - \cos(x-a) \sin(x-b)}{\sin(x-a) \sin(x-b)} dx$
$I = \frac{1}{\sin(b-a)} \int \left( \frac{\cos(x-b)}{\sin(x-b)} - \frac{\cos(x-a)}{\sin(x-a)} \right) dx$
$I = \frac{1}{\sin(b-a)} \int (\cot(x-b) - \cot(x-a)) dx$
समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \frac{1}{\sin(b-a)} [\log|\sin(x-b)| - \log|\sin(x-a)|] + c$
$I = \frac{1}{\sin(b-a)} \log \left| \frac{\sin(x-b)}{\sin(x-a)} \right| + c$

(D) माना $I = \int \frac{d \theta}{\cos ^2 \theta(\tan 2 \theta+\sec 2 \theta)}$ है।
$\tan 2\theta = \frac{\sin 2\theta}{\cos 2\theta}$ और $\sec 2\theta = \frac{1}{\cos 2\theta}$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{\sec ^2 \theta d \theta}{\frac{\sin 2 \theta+1}{\cos 2 \theta}} = \int \frac{\cos 2 \theta \sec ^2 \theta d \theta}{1+\sin 2 \theta}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$ और $1 + \sin 2\theta = (\cos \theta + \sin \theta)^2$ है,इसलिए:
$I = \int \frac{(\cos \theta - \sin \theta)(\cos \theta + \sin \theta) \sec^2 \theta d \theta}{(\cos \theta + \sin \theta)^2} = \int \frac{\cos \theta - \sin \theta}{\cos \theta + \sin \theta} \sec^2 \theta d \theta$ प्राप्त होता है।
अंश और हर को $\cos \theta$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta} \sec^2 \theta d \theta$ प्राप्त होता है।
माना $t = \tan \theta$,तब $dt = \sec^2 \theta d\theta$:
$I = \int \frac{1-t}{1+t} dt = \int \left(-1 + \frac{2}{1+t}\right) dt = -t + 2 \log |1+t| + C$ प्राप्त होता है।
$t = \tan \theta$ का मान रखने पर:
$I = -\tan \theta + 2 \log |1+\tan \theta| + C$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $\lambda \tan \theta + 2 \log |f(\theta)| + C$ से करने पर,हमें $\lambda = -1$ और $f(\theta) = 1+\tan \theta$ प्राप्त होता है।

(B) माना $I = \int \sqrt{\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}} \, dx$.
अंश और हर को $\sqrt{1-\sqrt{x}}$ से गुणा करने पर:
$I = \int \sqrt{\frac{(1-\sqrt{x})^2}{1-x}} \, dx = \int \frac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}} \, dx$.
समाकलन को अलग करने पर:
$I = \int \frac{1}{\sqrt{1-x}} \, dx - \int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}} \, dx$.
पहला भाग $-2\sqrt{1-x}$ है।
दूसरे भाग के लिए,माना $x = \cos^2 \theta$,इसलिए $dx = -2 \cos \theta \sin \theta \, d\theta$.
$\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}} \, dx = \int \frac{\cos \theta}{\sin \theta} (-2 \cos \theta \sin \theta) \, d\theta = -2 \int \cos^2 \theta \, d\theta = -\int (1 + \cos 2\theta) \, d\theta = -(\theta + \frac{\sin 2\theta}{2}) = -\theta - \sin \theta \cos \theta$.
मान वापस रखने पर: $I = -2\sqrt{1-x} - (-\theta - \sin \theta \cos \theta) + C = -2\sqrt{1-x} + \theta + \sin \theta \cos \theta + C$.
चूँकि $x = \cos^2 \theta$,इसलिए $\theta = \cos^{-1} \sqrt{x}$,$\cos \theta = \sqrt{x}$,और $\sin \theta = \sqrt{1-x}$.
अतः,$I = -2\sqrt{1-x} + \cos^{-1} \sqrt{x} + \sqrt{x(1-x)} + C$.

(D) दिया गया है $f(x) = \int \frac{x^2 + \sin^2 x}{1 + x^2} \cdot \sec^2 x \, dx$।
अंश को $x^2 + 1 - 1 + \sin^2 x = (1 + x^2) - (1 - \sin^2 x) = (1 + x^2) - \cos^2 x$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस मान को समाकलन में रखने पर:
$f(x) = \int \frac{(1 + x^2) - \cos^2 x}{1 + x^2} \cdot \sec^2 x \, dx$
$f(x) = \int \left( 1 - \frac{\cos^2 x}{1 + x^2} \right) \sec^2 x \, dx$
$f(x) = \int \sec^2 x \, dx - \int \frac{\cos^2 x \cdot \sec^2 x}{1 + x^2} \, dx$
चूंकि $\cos^2 x \cdot \sec^2 x = 1$,इसलिए:
$f(x) = \int \sec^2 x \, dx - \int \frac{1}{1 + x^2} \, dx$
$f(x) = \tan x - \tan^{-1} x + C$।
$f(0) = 0$ दिया गया है:
$0 = \tan(0) - \tan^{-1}(0) + C \implies 0 = 0 - 0 + C \implies C = 0$।
अतः,$f(x) = \tan x - \tan^{-1} x$।
इसलिए,$f(1) = \tan(1) - \tan^{-1}(1) = \tan(1) - \frac{\pi}{4}$।

(A) माना $I = \int \frac{2 e^x+3 e^{-x}}{3 e^x+4 e^{-x}} d x$.
अंश और हर को $e^x$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{2 e^{2x}+3}{3 e^{2x}+4} d x$.
अंश को हर और उसके अवकलज के रूप में व्यक्त करने पर:
$2 e^{2x} + 3 = A_1(3 e^{2x} + 4) + B_1 \frac{d}{dx}(3 e^{2x} + 4)$.
$2 e^{2x} + 3 = 3 A_1 e^{2x} + 4 A_1 + 6 B_1 e^{2x}$.
गुणांकों की तुलना करने पर:
$3 A_1 + 6 B_1 = 2$ और $4 A_1 = 3 \implies A_1 = \frac{3}{4}$.
$A_1$ का मान रखने पर: $3(\frac{3}{4}) + 6 B_1 = 2 \implies \frac{9}{4} + 6 B_1 = 2 \implies 6 B_1 = 2 - \frac{9}{4} = -\frac{1}{4} \implies B_1 = -\frac{1}{24}$.
अतः,$I = \int \left( \frac{3}{4} - \frac{1}{24} \frac{6 e^{2x}}{3 e^{2x} + 4} \right) d x$.
$I = \frac{3}{4} x - \frac{1}{24} \log(3 e^{2x} + 4) + C$.
$Ax + B \log(3 e^{2x} + 4) + C$ से तुलना करने पर,$A = \frac{3}{4}$ और $B = -\frac{1}{24}$ प्राप्त होता है।

(D) समाकलन $I = \int \frac{dx}{2+\cos x}$ को हल करने के लिए,हम $\cos x = \frac{1-\tan^2(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}$ का उपयोग करते हैं।
इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{dx}{2 + \frac{1-\tan^2(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}} = \int \frac{1+\tan^2(x/2)}{2(1+\tan^2(x/2)) + 1-\tan^2(x/2)} dx$
$I = \int \frac{\sec^2(x/2)}{3+\tan^2(x/2)} dx$.
माना $u = \tan(x/2)$,तो $du = \frac{1}{2} \sec^2(x/2) dx$,जिसका अर्थ है कि $\sec^2(x/2) dx = 2 du$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{2 du}{3+u^2} = 2 \int \frac{du}{(\sqrt{3})^2 + u^2}$.
मानक सूत्र $\int \frac{dx}{a^2+x^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करने पर:
$I = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{u}{\sqrt{3}}\right) + C = \frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{\tan(x/2)}{\sqrt{3}}\right) + C$.

(B) समाकलन $I = \int \frac{2 x^{12}+5 x^9}{\left(x^5+x^3+1\right)^3} \,d x$ को हल करने के लिए, हम हर (denominator) में से $x^5$ को बाहर निकालते हैं:
$I = \int \frac{2 x^{12}+5 x^9}{\left[x^5\left(1+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^5}\right)\right]^3} \,d x$
$I = \int \frac{2 x^{12}+5 x^9}{x^{15}\left(1+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^5}\right)^3} \,d x$
$I = \int \frac{\frac{2}{x^3}+\frac{5}{x^6}}{\left(1+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^5}\right)^3} \,d x$
माना $t = 1+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^5}$. तब $dt = \left(-\frac{2}{x^3}-\frac{5}{x^6}\right) dx$, जिसका अर्थ है कि $-dt = \left(\frac{2}{x^3}+\frac{5}{x^6}\right) dx$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{-dt}{t^3} = -\int t^{-3} dt = -\frac{t^{-2}}{-2} + C = \frac{1}{2t^2} + C$
$t$ का मान वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{2\left(1+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^5}\right)^2} + C = \frac{1}{2\left(\frac{x^5+x^3+1}{x^5}\right)^2} + C = \frac{x^{10}}{2\left(x^5+x^3+1\right)^2} + C$

(B) माना $I = \int \frac{e^{\frac{x}{2}}}{\sqrt{e^{-x}-e^x}} \, dx$.
अंश और हर को $e^{\frac{x}{2}}$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{e^{\frac{x}{2}} \cdot e^{\frac{x}{2}}}{\sqrt{e^{-x}-e^x} \cdot e^{\frac{x}{2}}} \, dx = \int \frac{e^x}{\sqrt{\frac{1}{e^x} \cdot e^x - e^x \cdot e^x}} \, dx$ (यह विधि सरल है).
$I = \int \frac{e^{\frac{x}{2}}}{\sqrt{\frac{1-e^{2x}}{e^x}}} \, dx = \int \frac{e^{\frac{x}{2}} \cdot \sqrt{e^x}}{\sqrt{1-e^{2x}}} \, dx = \int \frac{e^x}{\sqrt{1-(e^x)^2}} \, dx$.
माना $t = e^x$,तब $dt = e^x \, dx$.
$I = \int \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}} = \sin^{-1}(t) + C = \sin^{-1}(e^x) + C$.
$\sin^{-1}(f(x)) + C$ से तुलना करने पर,$f(x) = e^x$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(2) = e^2$.

(D) माना $I = \int \frac{1+x^2}{1+x^4} dx$ है।
अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{\frac{1}{x^2} + 1}{\frac{1}{x^2} + x^2} dx = \int \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{x^2 + \frac{1}{x^2}} dx$ प्राप्त होता है।
हम हर को $(x - \frac{1}{x})^2 + 2$ के रूप में लिख सकते हैं:
$I = \int \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{(x - \frac{1}{x})^2 + 2} dx$।
माना $t = x - \frac{1}{x}$ है। तब $dt = (1 + \frac{1}{x^2}) dx$ होगा।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{dt}{t^2 + 2} = \int \frac{dt}{t^2 + (\sqrt{2})^2}$ प्राप्त होता है।
सूत्र $\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + c$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}(\frac{t}{\sqrt{2}}) + c$ प्राप्त होता है।
$t = x - \frac{1}{x}$ का मान वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}\left[\frac{x - \frac{1}{x}}{\sqrt{2}}\right] + c$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना दिए गए व्यंजक $\frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}\left[\frac{f(x)}{\sqrt{2}}\right] + c$ से करने पर,हमें $f(x) = x - \frac{1}{x}$ प्राप्त होता है।

(B) हमें समाकलन $I = \int \frac{dx}{\sqrt{(x-1)(x-2)}}$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,हर का विस्तार करें: $(x-1)(x-2) = x^2 - 3x + 2$.
अब,द्विघात व्यंजक के लिए पूर्ण वर्ग विधि का उपयोग करें: $x^2 - 3x + 2 = (x^2 - 3x + \frac{9}{4}) - \frac{9}{4} + 2 = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{1}{4} = (x - \frac{3}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2$.
समाकलन इस प्रकार होगा: $I = \int \frac{dx}{\sqrt{(x - \frac{3}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2}}$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - a^2}} = \log |x + \sqrt{x^2 - a^2}| + c$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \log |(x - \frac{3}{2}) + \sqrt{(x - \frac{3}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2}| + c$.
वर्गमूल के अंदर के पद को मूल रूप में वापस लाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \log |(x - \frac{3}{2}) + \sqrt{x^2 - 3x + 2}| + c$.

(A) माना $I = \int \frac{1}{1-\cot x} dx$.
$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ रखने पर,$I = \int \frac{1}{1-\frac{\cos x}{\sin x}} dx = \int \frac{\sin x}{\sin x - \cos x} dx$.
अंश और हर को $2$ से गुणा और भाग करने पर: $I = \frac{1}{2} \int \frac{2 \sin x}{\sin x - \cos x} dx$.
अंश को इस प्रकार लिखने पर: $2 \sin x = (\sin x - \cos x) + (\sin x + \cos x)$.
अतः,$I = \frac{1}{2} \int \frac{(\sin x - \cos x) + (\sin x + \cos x)}{\sin x - \cos x} dx = \frac{1}{2} \int \left( 1 + \frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x} \right) dx$.
माना $u = \sin x - \cos x$,तो $du = (\cos x + \sin x) dx$.
$I = \frac{1}{2} \left( \int 1 dx + \int \frac{1}{u} du \right) = \frac{1}{2} (x + \log |u|) + C = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \log |\sin x - \cos x| + C$.
$Ax + B \log |\sin x - \cos x| + C$ से तुलना करने पर,$A = \frac{1}{2}$ और $B = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$A + B = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

(D) माना $I = \int \frac{x^2+1}{x^4-x^2+1} \, dx$.
अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{x^2 - 1 + \frac{1}{x^2}} \, dx$.
हर को $(x - \frac{1}{x})^2 + 1$ के रूप में लिखने पर:
$I = \int \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{(x - \frac{1}{x})^2 + 1} \, dx$.
माना $t = x - \frac{1}{x}$. तब $dt = (1 + \frac{1}{x^2}) \, dx$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{dt}{t^2 + 1} = \tan^{-1}(t) + c$.
$t = x - \frac{1}{x}$ वापस रखने पर:
$I = \tan^{-1}\left(x - \frac{1}{x}\right) + c = \tan^{-1}\left(\frac{x^2-1}{x}\right) + c$.

(A) हमारे पास है,$\tan 2 x = \tan ((x - \alpha) + (x + \alpha))$.
सर्वसमिका $\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर:
$\tan 2 x = \frac{\tan (x - \alpha) + \tan (x + \alpha)}{1 - \tan (x - \alpha) \tan (x + \alpha)}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\tan 2 x (1 - \tan (x - \alpha) \tan (x + \alpha)) = \tan (x - \alpha) + \tan (x + \alpha)$.
$\tan 2 x - \tan (x - \alpha) \tan (x + \alpha) \tan 2 x = \tan (x - \alpha) + \tan (x + \alpha)$.
अतः,$\tan (x - \alpha) \tan (x + \alpha) \tan 2 x = \tan 2 x - \tan (x - \alpha) - \tan (x + \alpha)$.
अब,दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \tan (x - \alpha) \tan (x + \alpha) \tan 2 x \ d x = \int (\tan 2 x - \tan (x - \alpha) - \tan (x + \alpha)) \ d x$.
$= \frac{1}{2} \log |\sec 2 x| - \log |\sec (x - \alpha)| - \log |\sec (x + \alpha)| + C$.
इसकी तुलना $p \log |\sec 2 x| + q \log |\sec (x + \alpha)| + r \log |\sec (x - \alpha)| + c$ से करने पर:
$p = \frac{1}{2}$,$q = -1$,और $r = -1$.
अतः,$p + q + r = \frac{1}{2} - 1 - 1 = \frac{1}{2} - 2 = \frac{-3}{2}$.

(B) माना $I = \int \frac{dx}{(x^2+1)^2}$.
$x = \tan \theta$ प्रतिस्थापन करने पर,$dx = \sec^2 \theta d \theta$ प्राप्त होता है।
$I = \int \frac{\sec^2 \theta d \theta}{(\tan^2 \theta + 1)^2} = \int \frac{\sec^2 \theta d \theta}{\sec^4 \theta} = \int \cos^2 \theta d \theta$.
सर्वसमिका $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2 \theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{2} \int (1 + \cos 2 \theta) d \theta = \frac{1}{2} (\theta + \frac{\sin 2 \theta}{2}) + c$.
चूँकि $\sin 2 \theta = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ और $\theta = \tan^{-1} x$ है,इसलिए:
$I = \frac{1}{2} \tan^{-1} x + \frac{1}{4} \cdot \frac{2x}{1 + x^2} + c = \frac{1}{2} \tan^{-1} x + \frac{x}{2(1 + x^2)} + c$.

(D) $\int \sqrt{\frac{x - 5}{x - 7}} dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम अंश और हर को $\sqrt{x - 5}$ से गुणा करते हैं:
$\int \frac{x - 5}{\sqrt{(x - 5)(x - 7)}} dx = \int \frac{x - 5}{\sqrt{x^2 - 12x + 35}} dx$
अब,अंश को द्विघात व्यंजक $x^2 - 12x + 35$ के अवकलज $2x - 12$ के रूप में व्यक्त करते हैं:
$= \frac{1}{2} \int \frac{2x - 10}{\sqrt{x^2 - 12x + 35}} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x - 12 + 2}{\sqrt{x^2 - 12x + 35}} dx$
$= \frac{1}{2} \int \frac{2x - 12}{\sqrt{x^2 - 12x + 35}} dx + \int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 12x + 35}} dx$
$= \sqrt{x^2 - 12x + 35} + \int \frac{1}{\sqrt{(x - 6)^2 - 1}} dx$
मानक समाकलन $\int \frac{1}{\sqrt{t^2 - a^2}} dt = \log |t + \sqrt{t^2 - a^2}|$ का उपयोग करने पर:
$= \sqrt{x^2 - 12x + 35} + \log |x - 6 + \sqrt{(x - 6)^2 - 1}| + C$
$= 1 \cdot \sqrt{x^2 - 12x + 35} + \log |x - 6 + \sqrt{x^2 - 12x + 35}| + C$
दिए गए रूप के साथ तुलना करने पर,हमें $A = 1$ प्राप्त होता है।

(A) माना $I = \int \frac{x^{2}+1}{x^{4}+x^{2}+1} dx$ है।
अंश और हर को $x^{2}$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{1 + 1/x^{2}}{x^{2} + 1 + 1/x^{2}} dx$.
हर को $(x - 1/x)^{2} + 3$ के रूप में लिखने पर:
$I = \int \frac{1 + 1/x^{2}}{(x - 1/x)^{2} + (\sqrt{3})^{2}} dx$.
माना $t = x - 1/x$,तो $dt = (1 + 1/x^{2}) dx$ होगा।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{dt}{t^{2} + (\sqrt{3})^{2}}$.
मानक सूत्र $\int \frac{dx}{x^{2} + a^{2}} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(x/a) + C$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{t}{\sqrt{3}}\right) + C$.
$t = x - 1/x$ का मान वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1}\left\{\frac{x - 1/x}{\sqrt{3}}\right\} + C$.

(B) माना $I = \int \sqrt{1+\sec x} \, dx$.
हम जानते हैं कि $1+\sec x = 1 + \frac{1}{\cos x} = \frac{\cos x + 1}{\cos x} = \frac{2 \cos^2 \frac{x}{2}}{\cos x}$.
अतः,$I = \int \frac{\sqrt{2} \cos \frac{x}{2}}{\sqrt{\cos x}} \, dx$.
$\cos x = 1 - 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \int \frac{\sqrt{2} \cos \frac{x}{2}}{\sqrt{1 - 2 \sin^2 \frac{x}{2}}} \, dx$.
माना $t = \sqrt{2} \sin \frac{x}{2}$. तब $dt = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} \cos \frac{x}{2} \, dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \frac{x}{2} \, dx$.
इसका अर्थ है कि $\sqrt{2} \cos \frac{x}{2} \, dx = 2 \, dt$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है $I = \int \frac{2 \, dt}{\sqrt{1 - t^2}} = 2 \sin^{-1}(t) + C$.
$t = \sqrt{2} \sin \frac{x}{2}$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है $I = 2 \sin^{-1}(\sqrt{2} \sin \frac{x}{2}) + C$.

(B) माना $I = \int (\sqrt{\tan x} + \sqrt{\cot x}) \, dx$.
इसे हम $I = \int \left( \sqrt{\frac{\sin x}{\cos x}} + \sqrt{\frac{\cos x}{\sin x}} \right) \, dx = \int \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{\sin x \cos x}} \, dx$ के रूप में लिख सकते हैं।
अंश और हर को $\sqrt{2}$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{\sqrt{2}(\sin x + \cos x)}{\sqrt{2 \sin x \cos x}} \, dx = \sqrt{2} \int \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{\sin 2x}} \, dx$.
चूंकि $\sin 2x = 1 - (\sin x - \cos x)^2$,माना $t = \sin x - \cos x$.
तब $dt = (\cos x + \sin x) \, dx$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \sqrt{2} \int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}} = \sqrt{2} \sin^{-1}(t) + C = \sqrt{2} \sin^{-1}(\sin x - \cos x) + C$.
सर्वसमिका $\sin^{-1}(u) = \tan^{-1}\left(\frac{u}{\sqrt{1-u^2}}\right)$ का उपयोग करने पर:
$I = \sqrt{2} \tan^{-1}\left(\frac{\sin x - \cos x}{\sqrt{1 - (\sin x - \cos x)^2}}\right) + C = \sqrt{2} \tan^{-1}\left(\frac{\sin x - \cos x}{\sqrt{\sin 2x}}\right) + C$.
अंश और हर को $\sqrt{\cos x}$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \sqrt{2} \tan^{-1}\left(\frac{\tan x - 1}{\sqrt{2 \tan x}}\right) + C$.

(A) माना $I = \int \operatorname{cosec}(x-a) \operatorname{cosec} x \, dx = \int \frac{dx}{\sin(x-a) \sin x}$.
$\sin a$ से गुणा और भाग करने पर:
$I = \frac{1}{\sin a} \int \frac{\sin a}{\sin(x-a) \sin x} \, dx$.
चूंकि $a = x - (x-a)$,इसलिए:
$I = \frac{1}{\sin a} \int \frac{\sin(x - (x-a))}{\sin(x-a) \sin x} \, dx$.
$\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{\sin a} \int \frac{\sin x \cos(x-a) - \cos x \sin(x-a)}{\sin(x-a) \sin x} \, dx$.
$I = \frac{1}{\sin a} \left( \int \frac{\cos(x-a)}{\sin(x-a)} \, dx - \int \frac{\cos x}{\sin x} \, dx \right)$.
$I = \frac{1}{\sin a} (\log |\sin(x-a)| - \log |\sin x|) + c$.
$I = \operatorname{cosec} a \cdot \log \left| \frac{\sin(x-a)}{\sin x} \right| + c$.

(C) माना $I = \int \frac{x^{2}}{(x \sin x+\cos x)^{2}} d x$.
हम जानते हैं कि $\frac{d}{d x}(x \sin x+\cos x) = \sin x + x \cos x - \sin x = x \cos x$.
हम समाकलन को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int \left( \frac{x}{\cos x} \right) \left( \frac{x \cos x}{(x \sin x+\cos x)^{2}} \right) d x$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,माना $u = \frac{x}{\cos x}$ और $dv = \frac{x \cos x}{(x \sin x+\cos x)^{2}} d x$.
तब $du = \frac{\cos x + x \sin x}{\cos^{2} x} d x$ और $v = \frac{-1}{x \sin x + \cos x}$.
$I = \left( \frac{x}{\cos x} \right) \left( \frac{-1}{x \sin x + \cos x} \right) - \int \left( \frac{\cos x + x \sin x}{\cos^{2} x} \right) \left( \frac{-1}{x \sin x + \cos x} \right) d x$.
$I = \frac{-x}{\cos x(x \sin x + \cos x)} + \int \sec^{2} x d x$.
$I = \frac{-x}{\cos x(x \sin x + \cos x)} + \tan x + C$.
सरल करने पर,$I = \frac{\sin x - x \cos x}{x \sin x + \cos x} + C$.

(B) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{d x}{\cot ^2 x-1}$ है।
सबसे पहले,$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ का उपयोग करके समाकल्य को फिर से लिखने पर:
$I = \int \frac{d x}{\frac{\cos ^2 x}{\sin ^2 x}-1} = \int \frac{\sin ^2 x}{\cos ^2 x-\sin ^2 x} d x$.
सर्वसमिका $\cos 2x = \cos ^2 x - \sin ^2 x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{\sin ^2 x}{\cos 2 x} d x$.
सर्वसमिका $\sin ^2 x = \frac{1-\cos 2 x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{1-\cos 2 x}{2 \cos 2 x} d x = \frac{1}{2} \int (\sec 2 x - 1) d x$.
पद-दर-पद समाकलन करने पर:
$I = \frac{1}{2} \left( \frac{\log |\sec 2 x + \tan 2 x|}{2} - x \right) + c$.
$I = \frac{1}{4} \log |\sec 2 x + \tan 2 x| - \frac{x}{2} + c$.
इसे दिए गए रूप $\frac{1}{A} \log |\sec 2 x + \tan 2 x| - \frac{x}{B} + c$ के साथ तुलना करने पर,हमें $A = 4$ और $B = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$A + B = 4 + 2 = 6$.

(B) माना $I = \int \frac{dx}{\cos^3 x \sqrt{2 \sin 2x}}$.
$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{dx}{\cos^3 x \sqrt{4 \sin x \cos x}} = \frac{1}{2} \int \frac{\sec^3 x}{\sqrt{\sin x \cos x}} dx$.
अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करने पर:
$I = \frac{1}{2} \int \frac{\sec^4 x}{\sqrt{\tan x}} dx$.
माना $\tan x = t$,तब $\sec^2 x dx = dt$ और $\sec^2 x = 1 + t^2$.
$I = \frac{1}{2} \int \frac{1+t^2}{\sqrt{t}} dt = \frac{1}{2} \int (t^{-1/2} + t^{3/2}) dt$.
$I = \frac{1}{2} [2t^{1/2} + \frac{2}{5} t^{5/2}] + k = t^{1/2} + \frac{1}{5} t^{5/2} + k$.
$t = \tan x$ रखने पर,$I = (\tan x)^{1/2} + \frac{1}{5}(\tan x)^{5/2} + k$.
$(\tan x)^A + C(\tan x)^B + k$ से तुलना करने पर,$A = 1/2$,$B = 5/2$,और $C = 1/5$ प्राप्त होता है।
अतः,$A+B+C = \frac{1}{2} + \frac{5}{2} + \frac{1}{5} = 3 + \frac{1}{5} = \frac{16}{5}$.

(C) माना $I = \int \sqrt{\frac{x-7}{x-9}} ~dx$
अंश और हर को $\sqrt{x-7}$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{x-7}{\sqrt{(x-9)(x-7)}} ~dx = \int \frac{x-7}{\sqrt{x^2-16x+63}} ~dx$
माना $x-7 = A \frac{d}{dx}(x^2-16x+63) + B$
$x-7 = A(2x-16) + B$
$x$ के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करने पर:
$2A = 1 \implies A = \frac{1}{2}$
$-16A + B = -7 \implies -16(\frac{1}{2}) + B = -7 \implies -8 + B = -7 \implies B = 1$
अब,$I = \int \frac{\frac{1}{2}(2x-16) + 1}{\sqrt{x^2-16x+63}} ~dx$
$I = \frac{1}{2} \int \frac{2x-16}{\sqrt{x^2-16x+63}} ~dx + \int \frac{1}{\sqrt{(x-8)^2 - 1^2}} ~dx$
सूत्रों $\int \frac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}} ~dx = 2\sqrt{f(x)} + c$ और $\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}} ~dx = \log |x + \sqrt{x^2-a^2}| + c$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{x^2-16x+63} + \log |(x-8) + \sqrt{(x-8)^2 - 1^2}| + c$
$I = 1 \cdot \sqrt{x^2-16x+63} + \log |(x-8) + \sqrt{x^2-16x+63}| + c$
दी गई अभिव्यक्ति $A \sqrt{x^2-16x+63} + \log |(x-8) + \sqrt{x^2-16x+63}| + c$ के साथ तुलना करने पर,हमें $A = 1$ प्राप्त होता है।

(D) माना $I = \int \frac{5 \tan x}{\tan x-2} d x$.
$\sin x$ और $\cos x$ के पदों में व्यक्त करने पर:
$I = \int \frac{5 \sin x}{\sin x-2 \cos x} d x$.
अंश को $5 \sin x = A(\sin x - 2 \cos x) + B \frac{d}{dx}(\sin x - 2 \cos x)$ के रूप में लिखें।
$5 \sin x = A(\sin x - 2 \cos x) + B(\cos x + 2 \sin x)$.
$5 \sin x = (A + 2B) \sin x + (B - 2A) \cos x$.
गुणांकों की तुलना करने पर:
$A + 2B = 5$ और $B - 2A = 0 \implies B = 2A$.
$B = 2A$ को पहले समीकरण में रखने पर: $A + 2(2A) = 5 \implies 5A = 5 \implies A = 1$.
अतः,$B = 2(1) = 2$.
इस प्रकार,$5 \sin x = 1(\sin x - 2 \cos x) + 2(\cos x + 2 \sin x)$.
$I = \int \frac{1(\sin x - 2 \cos x) + 2(\cos x + 2 \sin x)}{\sin x - 2 \cos x} d x$.
$I = \int 1 d x + 2 \int \frac{\cos x + 2 \sin x}{\sin x - 2 \cos x} d x$.
$I = x + 2 \log |\sin x - 2 \cos x| + c$.
दिए गए समीकरण $x + a \log |\sin x - 2 \cos x| + c$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 2$ प्राप्त होता है।

(A) माना $I = \int \frac{x^{2}+1}{x^{4}+x^{2}+1} dx$.
अंश और हर को $x^{2}$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{1 + \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} + 1 + \frac{1}{x^{2}}} dx$.
हर को $(x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - 2) + 3 = (x - \frac{1}{x})^{2} + (\sqrt{3})^{2}$ के रूप में लिखने पर।
अतः,$I = \int \frac{1 + \frac{1}{x^{2}}}{(x - \frac{1}{x})^{2} + (\sqrt{3})^{2}} dx$.
माना $t = x - \frac{1}{x}$,तो $dt = (1 + \frac{1}{x^{2}}) dx$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{dt}{t^{2} + (\sqrt{3})^{2}}$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{x^{2} + a^{2}} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + c$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1}(\frac{t}{\sqrt{3}}) + c$.
$t$ के स्थान पर $x - \frac{1}{x}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1}(\frac{x - \frac{1}{x}}{\sqrt{3}}) + c$.

(D) माना $I = \int \left[ \log (1+\cos x) - x \tan \left( \frac{x}{2} \right) \right] dx$.
प्रथम पद के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर,$\int u \cdot v dx = u \int v dx - \int (u' \int v dx) dx$,जहाँ $u = \log(1+\cos x)$ और $v = 1$ है।
$I = x \log(1+\cos x) - \int x \cdot \frac{d}{dx} [\log(1+\cos x)] dx - \int x \tan \left( \frac{x}{2} \right) dx$.
चूँकि $\frac{d}{dx} [\log(1+\cos x)] = \frac{-\sin x}{1+\cos x} = \frac{-2 \sin(x/2) \cos(x/2)}{2 \cos^2(x/2)} = -\tan(x/2)$ है।
$I = x \log(1+\cos x) - \int x \left( -\tan \frac{x}{2} \right) dx - \int x \tan \frac{x}{2} dx$.
$I = x \log(1+\cos x) + \int x \tan \frac{x}{2} dx - \int x \tan \frac{x}{2} dx$.
$I = x \log(1+\cos x) + c$.

(A) हमारे पास समाकलन $I = \int \frac{\sin \theta}{\sin 3 \theta} d \theta$ है।
सर्वसमिका $\sin 3 \theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{\sin \theta}{\sin \theta(3 - 4 \sin^2 \theta)} d \theta = \int \frac{1}{3 - 4 \sin^2 \theta} d \theta$.
अंश और हर को $\cos^2 \theta$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{\sec^2 \theta}{3 \sec^2 \theta - 4 \tan^2 \theta} d \theta = \int \frac{\sec^2 \theta}{3(1 + \tan^2 \theta) - 4 \tan^2 \theta} d \theta = \int \frac{\sec^2 \theta}{3 - \tan^2 \theta} d \theta$.
माना $\tan \theta = t$,तो $\sec^2 \theta d \theta = dt$.
$I = \int \frac{1}{(\sqrt{3})^2 - t^2} dt$.
सूत्र $\int \frac{1}{a^2 - x^2} dx = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{a+x}{a-x} \right| + c$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{2 \sqrt{3}} \log \left| \frac{\sqrt{3} + t}{\sqrt{3} - t} \right| + c = \frac{1}{2 \sqrt{3}} \log \left| \frac{\sqrt{3} + \tan \theta}{\sqrt{3} - \tan \theta} \right| + c$.
दिए गए व्यंजक $\frac{1}{2 k} \log \left|\frac{k+\tan \theta}{k-\tan \theta}\right|+c$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।

(A) माना $I = \int \frac{x + \sin x}{1 + \cos x} dx$.
अर्ध-कोण सूत्रों का उपयोग करते हुए,$\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ और $1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{x + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} dx$
$I = \int \left( \frac{x}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} + \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} \right) dx$
$I = \int \left( \frac{x}{2} \sec^2 \frac{x}{2} + \tan \frac{x}{2} \right) dx$
अब,पहले पद $\int \frac{x}{2} \sec^2 \frac{x}{2} dx$ के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = \frac{x}{2}$ और $dv = \sec^2 \frac{x}{2} dx$ लेने पर:
$\int \frac{x}{2} \sec^2 \frac{x}{2} dx = \frac{x}{2} \cdot 2 \tan \frac{x}{2} - \int (1) \cdot \tan \frac{x}{2} dx = x \tan \frac{x}{2} - \int \tan \frac{x}{2} dx$.
इस मान को $I$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = x \tan \frac{x}{2} - \int \tan \frac{x}{2} dx + \int \tan \frac{x}{2} dx + c$
$I = x \tan \frac{x}{2} + c$.

(A) समाकलन $I = \int \frac{\sin x}{\sin (x-\alpha)} dx$ को हल करने के लिए,हम $u = x - \alpha$ प्रतिस्थापित करते हैं,जिससे $x = u + \alpha$ और $dx = du$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{\sin (u + \alpha)}{\sin u} du$
सर्वसमिका $\sin (A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{\sin u \cos \alpha + \cos u \sin \alpha}{\sin u} du$
$I = \int (\cos \alpha + \cot u \sin \alpha) du$
$I = \cos \alpha \int du + \sin \alpha \int \cot u du$
$I = u \cos \alpha + \sin \alpha \log |\sin u| + c$
$u = x - \alpha$ वापस रखने पर:
$I = (x - \alpha) \cos \alpha + \sin \alpha \log |\sin (x - \alpha)| + c$
$I = x \cos \alpha - \alpha \cos \alpha + \sin \alpha \log |\sin (x - \alpha)| + c$
इसे दिए गए रूप $px - q \log |\sin (x - \alpha)| + c$ के साथ तुलना करने पर:
$p = \cos \alpha$
$-q = \sin \alpha \implies q = -\sin \alpha$
अतः,$pq = (\cos \alpha)(-\sin \alpha) = -\sin \alpha \cos \alpha = -\frac{1}{2} (2 \sin \alpha \cos \alpha) = -\frac{1}{2} \sin 2\alpha$.

(D) समाकलन $\int \sqrt{x^2-8 x+7} \, dx$ को हल करने के लिए,हम वर्गमूल के अंदर के द्विघात व्यंजक को पूर्ण वर्ग बनाते हैं:
$x^2 - 8x + 7 = (x^2 - 8x + 16) - 16 + 7 = (x-4)^2 - 3^2$.
अब समाकलन $\int \sqrt{(x-4)^2 - 3^2} \, dx$ हो जाता है।
मानक सूत्र $\int \sqrt{t^2 - a^2} \, dt = \frac{t}{2} \sqrt{t^2 - a^2} - \frac{a^2}{2} \log \left|t + \sqrt{t^2 - a^2}\right| + C$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $t = x-4$ और $a = 3$ है:
$= \frac{x-4}{2} \sqrt{(x-4)^2 - 3^2} - \frac{3^2}{2} \log \left|(x-4) + \sqrt{(x-4)^2 - 3^2}\right| + C$
$= \frac{x-4}{2} \sqrt{x^2-8x+7} - \frac{9}{2} \log \left|x-4 + \sqrt{x^2-8x+7}\right| + C$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही विकल्प $D$ है।

(A) $\int \sqrt{x^2+4x+1} \, dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,पहले वर्गमूल के अंदर पूर्ण वर्ग बनाएं:
$x^2+4x+1 = (x^2+4x+4) - 3 = (x+2)^2 - (\sqrt{3})^2$.
अब समाकलन $\int \sqrt{(x+2)^2 - (\sqrt{3})^2} \, dx$ हो जाता है।
मानक सूत्र $\int \sqrt{t^2-a^2} \, dt = \frac{t}{2} \sqrt{t^2-a^2} - \frac{a^2}{2} \log |t + \sqrt{t^2-a^2}| + C$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $t = x+2$ और $a = \sqrt{3}$ है:
$= \frac{x+2}{2} \sqrt{(x+2)^2 - 3} - \frac{3}{2} \log |(x+2) + \sqrt{(x+2)^2 - 3}| + C$.
$= \frac{x+2}{2} \sqrt{x^2+4x+1} - \frac{3}{2} \log |x+2 + \sqrt{x^2+4x+1}| + C$.
इस परिणाम की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,सही विकल्प $A$ है।