int frac{sin x+sin ^3 x}{cos 2 x} ,d x=A cos | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \frac{\sin x+\sin ^3 x}{\cos 2 x} \,d x$. $= \int \frac{\sin x(1+\sin ^2 x)}{\cos 2 x} \,d x$. $= \int \frac{\sin x(1+1-\cos ^2 x)}

Vedclass · Accepted Answer

$A=\frac{1}{2}, B=\frac{-3}{4 \sqrt{2}}, f(x)=\frac{\sqrt{2} \cos x-1}{\sqrt{2} \cos x+1}$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \frac{\sin x+\sin ^3 x}{\cos 2 x} \,d x$. $= \int \frac{\sin x(1+\sin ^2 x)}{\cos 2 x} \,d x$. $= \int \frac{\sin x(1+1-\cos ^2 x)}{2 \cos ^2 x-1} \,d x$. $= \int \frac{\sin x(2-\cos ^2 x)}{2 \cos ^2 x-1} \,d x$. $\cos x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$-\sin x \,d x = dt$ या $\sin x \,d x = -dt$. $I = -\int \frac{2-t^2}{2 t^2-1} dt = \int \frac{t^2-2}{2 t^2-1} dt$. $= \frac{1}{2} \int \frac{2 t^2-4}{2 t^2-1} dt = \frac{1}{2} \int \left(1 - \frac{3}{2 t^2-1}\right) dt$. $= \frac{1}{2} \int dt - \frac{3}{2} \int \frac{dt}{(\sqrt{2} t)^2-1^2}$. सूत्र $\int \frac{dx}{x^2-a^2} = \frac{1}{2a} \log |\frac{x-a}{x+a}|$ का उपयोग करने पर: $= \frac{1}{2} t - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} \log |\frac{\sqrt{2} t-1}{\sqrt{2} t+1}| + c$. $= \frac{1}{2} \cos x - \frac{3}{4 \sqrt{2}} \log |\frac{\sqrt{2} \cos x-1}{\sqrt{2} \cos x+1}| + c$. $A \cos x + B \log |f(x)| + c$ के साथ तुलना करने पर,$A = \frac{1}{2}$,$B = \frac{-3}{4 \sqrt{2}}$,और $f(x) = \frac{\sqrt{2} \cos x-1}{\sqrt{2} \cos x+1}$ प्राप्त होता है।

$\int \frac{\sin x+\sin ^3 x}{\cos 2 x} \,d x=A \cos x+B \log |f(x)|+c$ (जहाँ $c$ समाकलन का एक स्थिरांक है)। तो $A, B$ और $f(x)$ के मान हैं:

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यदि $f(x) = \int \csc^5 x \ dx$ है,तो $f(\frac{\pi}{4}) = $

$\int \frac{x^2-4}{x^4+9 x^2+16} \cdot \,d x=\tan ^{-1}(f(x))+c$ (जहाँ $c$ समाकलन का एक स्थिरांक है),तो $f(2)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\int \frac{3 e^x-7 e^{-x}}{7 e^x+3 e^{-x}} d x=K x+L \log \left(e^{-2 x}+\frac{7}{3}\right)+C$ है,तो $K+L=$

$\int {\frac{{{x^2} + 2}}{{{x^4} + 4}}} \,dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^{\pi /2} {\left( {\frac{\theta }{{\sin \theta }}} \right)^2 d\theta = } $

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