Evaluation of various forms of integration Questions in Hindi

समाकलन $\int \sqrt{3-2 x-x^{2}} d x$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम वर्गमूल के अंदर के द्विघात व्यंजक को पूर्ण वर्ग में बदलते हैं।
$3-2x-x^2 = 4 - (x^2 + 2x + 1) = 4 - (x+1)^2$.
अतः,समाकलन $\int \sqrt{4-(x+1)^2} d x$ हो जाता है।
माना $x+1 = y$,तब $dx = dy$.
समाकलन $\int \sqrt{2^2 - y^2} dy$ में परिवर्तित हो जाता है।
मानक सूत्र $\int \sqrt{a^2 - x^2} dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{y}{2} \sqrt{4-y^2} + \frac{4}{2} \sin^{-1}(\frac{y}{2}) + C$.
$y = x+1$ का मान वापस रखने पर:
$= \frac{x+1}{2} \sqrt{4-(x+1)^2} + 2 \sin^{-1}(\frac{x+1}{2}) + C$.
$= \frac{x+1}{2} \sqrt{3-2x-x^2} + 2 \sin^{-1}(\frac{x+1}{2}) + C$.

माना $I = \int \sqrt{x^{2}+4 x+6} \, dx$
$= \int \sqrt{x^{2}+4 x+4+2} \, dx$
$= \int \sqrt{(x+2)^{2} + (\sqrt{2})^{2}} \, dx$
मानक समाकलन सूत्र $\int \sqrt{x^{2}+a^{2}} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{x^{2}+a^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \log |x + \sqrt{x^{2}+a^{2}}| + C$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $x$ को $(x+2)$ से और $a = \sqrt{2}$ से प्रतिस्थापित किया गया है:
$I = \frac{(x+2)}{2} \sqrt{(x+2)^{2} + 2} + \frac{2}{2} \log |(x+2) + \sqrt{(x+2)^{2} + 2}| + C$
$= \frac{(x+2)}{2} \sqrt{x^{2}+4 x+6} + \log |(x+2) + \sqrt{x^{2}+4 x+6}| + C$,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।

माना $I = \int \sqrt{x^{2}+4x+1} \, dx$.
सबसे पहले,द्विघात व्यंजक के लिए पूर्ण वर्ग विधि का उपयोग करें:
$x^{2}+4x+1 = (x^{2}+4x+4)-3 = (x+2)^{2}-(\sqrt{3})^{2}$.
अतः,$I = \int \sqrt{(x+2)^{2}-(\sqrt{3})^{2}} \, dx$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \sqrt{x^{2}-a^{2}} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{x^{2}-a^{2}} - \frac{a^{2}}{2} \ln |x + \sqrt{x^{2}-a^{2}}| + C$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $x$ को $(x+2)$ से और $a = \sqrt{3}$ से प्रतिस्थापित किया गया है:
$I = \frac{(x+2)}{2} \sqrt{(x+2)^{2}-(\sqrt{3})^{2}} - \frac{3}{2} \ln |(x+2) + \sqrt{(x+2)^{2}-(\sqrt{3})^{2}}| + C$.
व्यंजक को वापस मूल रूप में सरल करने पर:
$I = \frac{(x+2)}{2} \sqrt{x^{2}+4x+1} - \frac{3}{2} \ln |(x+2) + \sqrt{x^{2}+4x+1}| + C$,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।

माना $I = \int \sqrt{x^{2}+4x-5} \, dx$
सबसे पहले,वर्गमूल के अंदर के द्विघात व्यंजक के लिए पूर्ण वर्ग विधि का उपयोग करें:
$x^{2}+4x-5 = (x^{2}+4x+4) - 4 - 5 = (x+2)^{2} - 9 = (x+2)^{2} - (3)^{2}$
अतः,$I = \int \sqrt{(x+2)^{2} - (3)^{2}} \, dx$
मानक समाकलन सूत्र $\int \sqrt{x^{2}-a^{2}} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{x^{2}-a^{2}} - \frac{a^{2}}{2} \ln |x + \sqrt{x^{2}-a^{2}}| + C$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $x$ को $(x+2)$ से और $a=3$ से प्रतिस्थापित किया गया है:
$I = \frac{(x+2)}{2} \sqrt{(x+2)^{2} - (3)^{2}} - \frac{3^{2}}{2} \ln |(x+2) + \sqrt{(x+2)^{2} - (3)^{2}}| + C$
व्यंजक को सरल करने पर:
$I = \frac{(x+2)}{2} \sqrt{x^{2}+4x-5} - \frac{9}{2} \ln |(x+2) + \sqrt{x^{2}+4x-5}| + C$
जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।

माना $I = \int \sqrt{1+3x-x^{2}} dx$
$= \int \sqrt{1 - (x^{2} - 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4})} dx$
$= \int \sqrt{(1 + \frac{9}{4}) - (x - \frac{3}{2})^{2}} dx$
$= \int \sqrt{(\frac{\sqrt{13}}{2})^{2} - (x - \frac{3}{2})^{2}} dx$
मानक समाकलन सूत्र $\int \sqrt{a^{2} - x^{2}} dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^{2} - x^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \frac{x - \frac{3}{2}}{2} \sqrt{1 + 3x - x^{2}} + \frac{13}{4 \times 2} \sin^{-1}\left(\frac{x - \frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{13}}{2}}\right) + C$
$= \frac{2x - 3}{4} \sqrt{1 + 3x - x^{2}} + \frac{13}{8} \sin^{-1}\left(\frac{2x - 3}{\sqrt{13}}\right) + C$
जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।

माना $I = \int \sqrt{x^{2}+3x} \, dx$.
वर्गमूल के अंदर पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$x^{2}+3x = x^{2}+3x + \left(\frac{3}{2}\right)^{2} - \left(\frac{3}{2}\right)^{2} = \left(x+\frac{3}{2}\right)^{2} - \left(\frac{3}{2}\right)^{2}$.
अतः,$I = \int \sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2} - \left(\frac{3}{2}\right)^{2}} \, dx$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \sqrt{t^{2}-a^{2}} \, dt = \frac{t}{2} \sqrt{t^{2}-a^{2}} - \frac{a^{2}}{2} \ln |t + \sqrt{t^{2}-a^{2}}| + C$ का उपयोग करने पर,जहाँ $t = x+\frac{3}{2}$ और $a = \frac{3}{2}$:
$I = \frac{x+\frac{3}{2}}{2} \sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2} - \left(\frac{3}{2}\right)^{2}} - \frac{(\frac{3}{2})^{2}}{2} \ln |(x+\frac{3}{2}) + \sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2} - \left(\frac{3}{2}\right)^{2}}| + C$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$I = \frac{2x+3}{4} \sqrt{x^{2}+3x} - \frac{9}{8} \ln |x+\frac{3}{2} + \sqrt{x^{2}+3x}| + C$.

(A) माना $I = \int \sqrt{x^{2}-8 x+7} \, dx$.
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$x^{2}-8x+7 = (x-4)^{2}-16+7 = (x-4)^{2}-3^{2}$.
अतः,$I = \int \sqrt{(x-4)^{2}-3^{2}} \, dx$.
मानक सूत्र $\int \sqrt{x^{2}-a^{2}} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{x^{2}-a^{2}} - \frac{a^{2}}{2} \log |x + \sqrt{x^{2}-a^{2}}| + C$ का उपयोग करने पर,जहाँ $x$ के स्थान पर $(x-4)$ और $a=3$ है:
$I = \frac{(x-4)}{2} \sqrt{(x-4)^{2}-3^{2}} - \frac{3^{2}}{2} \log |(x-4) + \sqrt{(x-4)^{2}-3^{2}}| + C$.
व्यंजक को सरल करने पर,हमें $I = \frac{1}{2}(x-4) \sqrt{x^{2}-8x+7} - \frac{9}{2} \log |x-4+\sqrt{x^{2}-8x+7}| + C$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(N/A) माना $I = \int \left[ \log(\log x) + \frac{1}{(\log x)^2} \right] dx$
$= \int \log(\log x) dx + \int \frac{1}{(\log x)^2} dx$
प्रथम समाकलन के लिए,खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = \log(\log x)$ और $dv = dx$ लें। तब $du = \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} dx$ और $v = x$ प्राप्त होता है।
$I = x \log(\log x) - \int x \cdot \frac{1}{x \log x} dx + \int \frac{1}{(\log x)^2} dx$
$I = x \log(\log x) - \int \frac{1}{\log x} dx + \int \frac{1}{(\log x)^2} dx$
अब,$\int \frac{1}{\log x} dx$ का खंडशः समाकलन करते हुए,$u = \frac{1}{\log x}$ और $dv = dx$ लें। तब $du = -\frac{1}{(\log x)^2} \cdot \frac{1}{x} dx$ और $v = x$ प्राप्त होता है।
$\int \frac{1}{\log x} dx = \frac{x}{\log x} - \int x \left( -\frac{1}{x(\log x)^2} \right) dx = \frac{x}{\log x} + \int \frac{1}{(\log x)^2} dx$
इस मान को $I$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = x \log(\log x) - \left( \frac{x}{\log x} + \int \frac{1}{(\log x)^2} dx \right) + \int \frac{1}{(\log x)^2} dx$
$I = x \log(\log x) - \frac{x}{\log x} - \int \frac{1}{(\log x)^2} dx + \int \frac{1}{(\log x)^2} dx$
$I = x \log(\log x) - \frac{x}{\log x} + C$

माना $I = \int [\sqrt{\cot x} + \sqrt{\tan x}] \, dx = \int \sqrt{\tan x} (1 + \cot x) \, dx$.
$\tan x = t^2$ प्रतिस्थापित करने पर,$\sec^2 x \, dx = 2t \, dt$ प्राप्त होता है। चूँकि $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x = 1 + t^4$,इसलिए $dx = \frac{2t}{1 + t^4} \, dt$ होगा।
तब $I = \int t \left(1 + \frac{1}{t^2}\right) \frac{2t}{1 + t^4} \, dt = 2 \int \frac{t^2 + 1}{t^4 + 1} \, dt$.
अंश और हर को $t^2$ से विभाजित करने पर: $I = 2 \int \frac{1 + \frac{1}{t^2}}{t^2 + \frac{1}{t^2}} \, dt = 2 \int \frac{1 + \frac{1}{t^2}}{(t - \frac{1}{t})^2 + 2} \, dt$.
माना $u = t - \frac{1}{t}$,तो $du = (1 + \frac{1}{t^2}) \, dt$.
$I = 2 \int \frac{du}{u^2 + (\sqrt{2})^2} = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1} \left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right) + C = \sqrt{2} \tan^{-1} \left(\frac{t - \frac{1}{t}}{\sqrt{2}}\right) + C$.
$t = \sqrt{\tan x}$ रखने पर,$I = \sqrt{2} \tan^{-1} \left(\frac{\tan x - 1}{\sqrt{2 \tan x}}\right) + C$ प्राप्त होता है।

$I = \int \frac{1}{\cos (x+a) \cos (x+b)} dx$ का समाकलन करने के लिए,हम $\sin (a-b)$ से गुणा और भाग करते हैं:
$I = \frac{1}{\sin (a-b)} \int \frac{\sin (a-b)}{\cos (x+a) \cos (x+b)} dx$
हम अंश को $\sin [(x+a) - (x+b)] = \sin (a-b)$ के रूप में लिख सकते हैं:
$I = \frac{1}{\sin (a-b)} \int \frac{\sin [(x+a) - (x+b)]}{\cos (x+a) \cos (x+b)} dx$
सर्वसमिका $\sin (A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करते हुए:
$I = \frac{1}{\sin (a-b)} \int \left[ \frac{\sin (x+a) \cos (x+b) - \cos (x+a) \sin (x+b)}{\cos (x+a) \cos (x+b)} \right] dx$
$I = \frac{1}{\sin (a-b)} \int [\tan (x+a) - \tan (x+b)] dx$
$\tan \theta$ का समाकलन $-\ln |\cos \theta|$ होता है:
$I = \frac{1}{\sin (a-b)} [-\ln |\cos (x+a)| + \ln |\cos (x+b)|] + C$
$\ln m - \ln n = \ln (m/n)$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए:
$I = \frac{1}{\sin (a-b)} \ln \left| \frac{\cos (x+b)}{\cos (x+a)} \right| + C$

हमारे पास समाकलन $I = \int \frac{1}{\sqrt{\sin ^{3} x \sin (x+\alpha)}} dx$ है।
सर्वसमिका $\sin(x+\alpha) = \sin x \cos \alpha + \cos x \sin \alpha$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{1}{\sqrt{\sin ^{3} x (\sin x \cos \alpha + \cos x \sin \alpha)}} dx$
$= \int \frac{1}{\sqrt{\sin ^{4} x \cos \alpha + \sin ^{3} x \cos x \sin \alpha}} dx$
$= \int \frac{1}{\sin ^{2} x \sqrt{\cos \alpha + \cot x \sin \alpha}} dx$
$= \int \frac{\csc^{2} x}{\sqrt{\cos \alpha + \cot x \sin \alpha}} dx$.
माना $t = \cos \alpha + \cot x \sin \alpha$ है। तब $dt = -\csc^{2} x \sin \alpha dx$,जिसका अर्थ है कि $\csc^{2} x dx = -\frac{dt}{\sin \alpha}$।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{-dt}{\sin \alpha \sqrt{t}} = -\frac{1}{\sin \alpha} \int t^{-1/2} dt$
$= -\frac{1}{\sin \alpha} [2 \sqrt{t}] + C$
$= -\frac{2}{\sin \alpha} \sqrt{\cos \alpha + \cot x \sin \alpha} + C$
$= -\frac{2}{\sin \alpha} \sqrt{\cos \alpha + \frac{\cos x \sin \alpha}{\sin x}} + C$
$= -\frac{2}{\sin \alpha} \sqrt{\frac{\sin x \cos \alpha + \cos x \sin \alpha}{\sin x}} + C$
$= -\frac{2}{\sin \alpha} \sqrt{\frac{\sin (x+\alpha)}{\sin x}} + C$.

(C) माना $x = \tan^2 \theta$,तब $dx = 2 \tan \theta \sec^2 \theta d\theta$ है।
इस मान को समाकलन में रखने पर:
$\int \sin^{-1}\left(\sqrt{\frac{\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta}}\right) (2 \tan \theta \sec^2 \theta) d\theta$
$= \int \sin^{-1}(\sin \theta) (2 \tan \theta \sec^2 \theta) d\theta = \int \theta (2 \tan \theta \sec^2 \theta) d\theta$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = \theta$ और $dv = 2 \tan \theta \sec^2 \theta d\theta$ लेने पर,$du = d\theta$ और $v = \tan^2 \theta$ प्राप्त होता है।
$= \theta \tan^2 \theta - \int \tan^2 \theta d\theta$
$= \theta \tan^2 \theta - \int (\sec^2 \theta - 1) d\theta$
$= \theta \tan^2 \theta - (\tan \theta - \theta) + C$
$= \theta (\tan^2 \theta + 1) - \tan \theta + C$
$= (1+x) \tan^{-1}(\sqrt{x}) - \sqrt{x} + C$.
इसे $A(x) \tan^{-1}(\sqrt{x}) + B(x) + C$ के साथ तुलना करने पर,$A(x) = x+1$ और $B(x) = -\sqrt{x}$ प्राप्त होता है।

(D) माना $I = \int \left(\frac{x}{x \sin x + \cos x}\right)^2 dx$.
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int \left(\frac{x \sec x}{x \sin x + \cos x}\right) \cdot \left(\frac{\cos x}{x \sin x + \cos x}\right) dx$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = x \sec x$ और $dv = \frac{\cos x}{(x \sin x + \cos x)^2} dx$ लें।
तब $du = (\sec x + x \sec x \tan x) dx = \frac{\cos x + x \sin x}{\cos^2 x} dx$ और $v = -\frac{1}{x \sin x + \cos x}$ होगा।
सूत्र $\int u dv = uv - \int v du$ का उपयोग करने पर:
$I = (x \sec x) \left(-\frac{1}{x \sin x + \cos x}\right) - \int \left(-\frac{1}{x \sin x + \cos x}\right) \left(\frac{\cos x + x \sin x}{\cos^2 x}\right) dx$.
$I = -\frac{x \sec x}{x \sin x + \cos x} + \int \frac{1}{\cos^2 x} dx$.
$I = -\frac{x \sec x}{x \sin x + \cos x} + \int \sec^2 x dx$.
$I = \tan x - \frac{x \sec x}{x \sin x + \cos x} + C$.

(A) माना $I = \int (e^{2x} + 2e^{x} - e^{-x} - 1) e^{(e^{x} + e^{-x})} dx$.
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$(e^{2x} + 2e^{x} - e^{-x} - 1) = e^{x}(e^{x} + 1) - e^{-x}(e^{x} + 1) + e^{x} = (e^{x} + 1)(e^{x} - e^{-x}) + e^{x}$.
अतः,$I = \int (e^{x} + 1)(e^{x} - e^{-x}) e^{(e^{x} + e^{-x})} dx + \int e^{x} e^{(e^{x} + e^{-x})} dx$.
प्रथम भाग के लिए खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करने पर:
$f(x) = e^{x} + 1$ और $h'(x) = (e^{x} - e^{-x}) e^{(e^{x} + e^{-x})}$ लें।
तब $h(x) = e^{(e^{x} + e^{-x})}$.
खंडशः समाकलन $\int f h' = fh - \int f' h$ के अनुसार:
$I = (e^{x} + 1) e^{(e^{x} + e^{-x})} - \int e^{x} e^{(e^{x} + e^{-x})} dx + \int e^{x} e^{(e^{x} + e^{-x})} dx$.
$I = (e^{x} + 1) e^{(e^{x} + e^{-x})} + c$.
इसकी तुलना $g(x) e^{(e^{x} + e^{-x})} + c$ से करने पर,हमें $g(x) = e^{x} + 1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$g(0) = e^{0} + 1 = 1 + 1 = 2$.

(A) माना $I = \int \frac{(x^2-1) dx}{(x^4+3x^2+1) \tan^{-1}(x+1/x)} + \int \frac{dx}{x^4+3x^2+1}$.
दोनों समाकलनों में अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर.
$I = \int \frac{(1-1/x^2) dx}{((x+1/x)^2+1) \tan^{-1}(x+1/x)} + \frac{1}{2} \int \frac{(1+1/x^2) - (1-1/x^2) dx}{(x^2+1/x^2+3)}$.
माना $t = \tan^{-1}(x+1/x)$,तब $dt = \frac{1}{1+(x+1/x)^2} (1-1/x^2) dx$.
$I = \int \frac{dt}{t} + \frac{1}{2} \int \frac{1+1/x^2}{(x-1/x)^2+5} dx - \frac{1}{2} \int \frac{1-1/x^2}{(x+1/x)^2+1} dx$.
$I = \log_e |t| + \frac{1}{2} \int \frac{dy}{y^2+5} - \frac{1}{2} \int \frac{dz}{z^2+1}$,जहाँ $y=x-1/x$ और $z=x+1/x$.
$I = \log_e |\tan^{-1}(x+1/x)| + \frac{1}{2\sqrt{5}} \tan^{-1}(\frac{x-1/x}{\sqrt{5}}) - \frac{1}{2} \tan^{-1}(x+1/x) + C$.
दिए गए रूप से तुलना करने पर,$\alpha=1, \beta=\frac{1}{2\sqrt{5}}, \gamma=\frac{1}{\sqrt{5}}, \delta=-\frac{1}{2}$.
अतः $10(\alpha+\beta\gamma+\delta) = 10(1 + \frac{1}{2\sqrt{5}} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} - \frac{1}{2}) = 10(1 + \frac{1}{10} - \frac{1}{2}) = 10(\frac{10+1-5}{10}) = 6$.

(B) माना $I = \int \frac{dx}{(x^2+x+1)^2} = \int \frac{dx}{((x+1/2)^2 + 3/4)^2}$.
$t = x + 1/2$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = dx$. अतः $I = \int \frac{dt}{(t^2 + 3/4)^2}$.
$t = \frac{\sqrt{3}}{2} \tan \theta$ रखने पर,$dt = \frac{\sqrt{3}}{2} \sec^2 \theta d\theta$.
$I = \int \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} \sec^2 \theta d\theta}{(\frac{3}{4} \tan^2 \theta + 3/4)^2} = \int \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} \sec^2 \theta d\theta}{\frac{9}{16} \sec^4 \theta} = \frac{8\sqrt{3}}{9} \int \cos^2 \theta d\theta$.
$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर,$I = \frac{4\sqrt{3}}{9} \int (1 + \cos 2\theta) d\theta = \frac{4\sqrt{3}}{9} (\theta + \frac{\sin 2\theta}{2}) + C$.
चूँकि $\tan \theta = \frac{2t}{\sqrt{3}} = \frac{2x+1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\theta = \tan^{-1}(\frac{2x+1}{\sqrt{3}})$.
साथ ही,$\frac{\sin 2\theta}{2} = \frac{\tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \frac{\frac{2x+1}{\sqrt{3}}}{1 + \frac{(2x+1)^2}{3}} = \frac{\sqrt{3}(2x+1)}{4(x^2+x+1)}$.
अतः,$I = \frac{4\sqrt{3}}{9} \tan^{-1}(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}) + \frac{1}{3} \frac{2x+1}{x^2+x+1} + C$.
दिए गए रूप से तुलना करने पर,$a = \frac{4\sqrt{3}}{9}$ और $b = \frac{1}{3}$.
अतः $9(\sqrt{3}a + b) = 9(\sqrt{3} \cdot \frac{4\sqrt{3}}{9} + \frac{1}{3}) = 9(\frac{4}{3} + \frac{1}{3}) = 15$.

(C) माना $I = \int \frac{2 e^{x}+3 e^{-x}}{4 e^{x}+7 e^{-x}} d x$.
अंश को $2 e^{x}+3 e^{-x} = A(4 e^{x}+7 e^{-x}) + B(4 e^{x}-7 e^{-x})$ के रूप में व्यक्त करने पर.
$e^{x}$ और $e^{-x}$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$4A + 4B = 2 \Rightarrow A+B = \frac{1}{2}$
$7A - 7B = 3 \Rightarrow A-B = \frac{3}{7}$
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2A = \frac{1}{2} + \frac{3}{7} = \frac{7+6}{14} = \frac{13}{14} \Rightarrow A = \frac{13}{28}$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $2B = \frac{1}{2} - \frac{3}{7} = \frac{7-6}{14} = \frac{1}{14} \Rightarrow B = \frac{1}{28}$.
अतः,$I = \int \left( \frac{13}{28} + \frac{1}{28} \frac{4 e^{x}-7 e^{-x}}{4 e^{x}+7 e^{-x}} \right) d x$.
$I = \frac{13}{28} x + \frac{1}{28} \log_{e} |4 e^{x}+7 e^{-x}| + C$.
दिए गए रूप $\frac{1}{14}(u x + v \log_{e}(4 e^{x}+7 e^{-x})) + C$ से तुलना करने के लिए,हम $I$ को इस प्रकार लिखते हैं:
$I = \frac{1}{14} (\frac{13}{2} x + \frac{1}{2} \log_{e}(4 e^{x}+7 e^{-x})) + C$.
तुलना करने पर,हमें $u = \frac{13}{2}$ और $v = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$u+v = \frac{13}{2} + \frac{1}{2} = \frac{14}{2} = 7$.

(D) दिया गया समाकल समीकरण: $f(x)=x+\int_{0}^{\pi / 2} \sin x \cos y f(y) dy$.
चूंकि $\sin x$,$y$ से स्वतंत्र है,हम लिख सकते हैं: $f(x)=x+\sin x \int_{0}^{\pi / 2} \cos y f(y) dy$.
मान लीजिए $K = \int_{0}^{\pi / 2} \cos y f(y) dy$. तब $f(x) = x + K \sin x$.
$f(y) = y + K \sin y$ को $K$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$K = \int_{0}^{\pi / 2} \cos y (y + K \sin y) dy = \int_{0}^{\pi / 2} y \cos y dy + K \int_{0}^{\pi / 2} \sin y \cos y dy$.
प्रथम समाकल के लिए खंडशः समाकलन $(IBP)$ का उपयोग करने पर: $\int y \cos y dy = y \sin y + \cos y$.
$0$ से $\pi/2$ की सीमाएं रखने पर: $[y \sin y + \cos y]_{0}^{\pi/2} = (\frac{\pi}{2} - 1)$.
दूसरे समाकल के लिए: $\int_{0}^{\pi / 2} \sin y \cos y dy = [\frac{\sin^2 y}{2}]_{0}^{\pi/2} = \frac{1}{2}$.
अतः,$K = (\frac{\pi}{2} - 1) + K(\frac{1}{2})$.
$K - \frac{K}{2} = \frac{\pi}{2} - 1 \Rightarrow \frac{K}{2} = \frac{\pi-2}{2} \Rightarrow K = \pi - 2$.
इसलिए $f(x) = x + (\pi - 2) \sin x$.

(A) माना $I = \int \frac{1}{x} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} dx$. $x = \cos 2\theta$ रखने पर,$dx = -2 \sin 2\theta d\theta$ प्राप्त होता है।
अतः $I = \int \frac{1}{\cos 2\theta} \sqrt{\frac{1-\cos 2\theta}{1+\cos 2\theta}} (-2 \sin 2\theta) d\theta = \int \frac{1}{\cos 2\theta} \tan \theta (-4 \sin \theta \cos \theta) d\theta$.
$I = \int \frac{-4 \sin^2 \theta}{\cos 2\theta} d\theta = -2 \int \frac{1-\cos 2\theta}{\cos 2\theta} d\theta = -2 \int (\sec 2\theta - 1) d\theta$.
$I = -2 \left( \frac{1}{2} \ln |\sec 2\theta + \tan 2\theta| - \theta \right) + c = -\ln |\sec 2\theta + \tan 2\theta| + 2\theta + c$.
चूँकि $\cos 2\theta = x$,$\tan 2\theta = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$ और $\sec 2\theta = \frac{1}{x}$ है,इसलिए $g(x) = -\ln \left| \frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x} \right| + \cos^{-1} x + c$.
$g(1) = 0$ का उपयोग करने पर,$c = 0$ प्राप्त होता है। अतः $g(x) = \ln \left| \frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}} \right| + \cos^{-1} x = \ln \left| \frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x} \right| + \cos^{-1} x$.
$x = 1/2$ के लिए,$g(1/2) = \ln |2 - \sqrt{3}| + \cos^{-1}(1/2) = \ln \left( \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} \right) + \frac{\pi}{3}$.

(D) माना $I = \frac{24}{\pi} \int_{0}^{\sqrt{2}} \frac{(2-x^{2})}{(x^{2}+2) \sqrt{4+x^{4}}} dx$.
अंश और हर को $x^{2}$ से विभाजित करने पर:
$I = \frac{24}{\pi} \int_{0}^{\sqrt{2}} \frac{(\frac{2}{x^{2}}-1)}{(1+\frac{2}{x^{2}}) \sqrt{\frac{4}{x^{2}}+x^{2}}} dx$.
ध्यान दें कि $\sqrt{4+x^{4}} = x \sqrt{x^{2}+\frac{4}{x^{2}}}$.
$I = \frac{24}{\pi} \int_{0}^{\sqrt{2}} \frac{(\frac{2}{x^{2}}-1)}{(x+\frac{2}{x}) \sqrt{(x+\frac{2}{x})^{2}-4}} dx$.
माना $t = x+\frac{2}{x}$,तब $dt = (1-\frac{2}{x^{2}}) dx$.
जब $x \to 0^{+}$,तब $t \to \infty$. जब $x \to \sqrt{2}$,तब $t \to \sqrt{2}+\frac{2}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$.
$I = -\frac{24}{\pi} \int_{\infty}^{2\sqrt{2}} \frac{dt}{t \sqrt{t^{2}-4}} = \frac{24}{\pi} \int_{2\sqrt{2}}^{\infty} \frac{dt}{t \sqrt{t^{2}-4}}$.
सूत्र $\int \frac{dt}{t \sqrt{t^{2}-a^{2}}} = \frac{1}{a} \sec^{-1}(\frac{t}{a})$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{24}{\pi} [\frac{1}{2} \sec^{-1}(\frac{t}{2})]_{2\sqrt{2}}^{\infty} = \frac{12}{\pi} [\sec^{-1}(\infty) - \sec^{-1}(\sqrt{2})]$.
$I = \frac{12}{\pi} [\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}] = \frac{12}{\pi} \times \frac{\pi}{4} = 3$.

(A) माना $I = \int \frac{\left(1-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)(\cos x-\sin x)}{1+\frac{2}{\sqrt{3}} \sin 2 x} dx = \int \frac{(\sqrt{3}-1)(\cos x-\sin x)}{\sqrt{3}+2\sin 2x} dx$.
अंश और हर को $\frac{1}{2}$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2})(\cos x-\sin x)}{\sin 60^{\circ} + \sin 2x} dx$.
$\sin 60^{\circ} + \sin 2x = 2 \sin(x + \frac{\pi}{6}) \cos(x - \frac{\pi}{6})$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{\cos(x + \frac{\pi}{6}) - \sin(x - \frac{\pi}{6})}{2 \sin(x + \frac{\pi}{6}) \cos(x - \frac{\pi}{6})} dx$.
$I = \frac{1}{2} \int \left( \frac{1}{\sin(x + \frac{\pi}{6})} - \frac{1}{\cos(x - \frac{\pi}{6})} \right) dx$.
समाकलन करने पर:
$I = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{\tan(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{12})}{\tan(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6})} \right| + C$.

(A) दिया गया है $I_{n}(x)=\int_{0}^{x} \frac{1}{(t^{2}+5)^{n}} dt$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = (t^{2}+5)^{-n}$ और $dv = dt$ लें। तब $du = -n(t^{2}+5)^{-n-1}(2t) dt$ और $v = t$ प्राप्त होता है।
$I_{n}(x) = \left[ \frac{t}{(t^{2}+5)^{n}} \right]_{0}^{x} - \int_{0}^{x} t \cdot (-n)(t^{2}+5)^{-n-1}(2t) dt$.
$I_{n}(x) = \frac{x}{(x^{2}+5)^{n}} + 2n \int_{0}^{x} \frac{t^{2}}{(t^{2}+5)^{n+1}} dt$.
$I_{n}(x) = \frac{x}{(x^{2}+5)^{n}} + 2n \int_{0}^{x} \frac{(t^{2}+5)-5}{(t^{2}+5)^{n+1}} dt$.
$I_{n}(x) = \frac{x}{(x^{2}+5)^{n}} + 2n I_{n}(x) - 10n I_{n+1}(x)$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $10n I_{n+1}(x) = \frac{x}{(x^{2}+5)^{n}} + (2n-1) I_{n}(x)$ प्राप्त होता है।
$n=5$ के लिए,$50 I_{6}(x) = \frac{x}{(x^{2}+5)^{5}} + 9 I_{5}(x)$.
ध्यान दें कि $I_{5}^{\prime}(x) = \frac{d}{dx} \int_{0}^{x} \frac{1}{(t^{2}+5)^{5}} dt = \frac{1}{(x^{2}+5)^{5}}$.
अतः,$50 I_{6}(x) = x I_{5}^{\prime}(x) + 9 I_{5}(x)$,जिसका अर्थ है कि $50 I_{6} - 9 I_{5} = x I_{5}^{\prime}$.

(D) माना $I = \frac{\int_0^{\pi / 2}(\sin x)^{\sqrt{2}+1} dx}{\int_0^{\pi / 2}(\sin x)^{\sqrt{2}-1} dx}$ है।
माना $I_n = \int_0^{\pi / 2} (\sin x)^n dx$ है। तब $I = \frac{I_{\sqrt{2}+1}}{I_{\sqrt{2}-1}}$ होगा।
$\int_0^{\pi / 2} (\sin x)^n dx = \frac{n-1}{n} I_{n-2}$ के लिए रिडक्शन सूत्र का उपयोग करने पर:
$I_{\sqrt{2}+1} = \int_0^{\pi / 2} (\sin x)^{\sqrt{2}+1} dx = \frac{(\sqrt{2}+1)-1}{\sqrt{2}+1} \int_0^{\pi / 2} (\sin x)^{\sqrt{2}-1} dx$ प्राप्त होता है।
$I_{\sqrt{2}+1} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1} I_{\sqrt{2}-1}$।
अतः,$I = \frac{I_{\sqrt{2}+1}}{I_{\sqrt{2}-1}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}$।
हर का परिमेयकरण करने पर:
$I = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{2-\sqrt{2}}{2-1} = 2-\sqrt{2}$।

(D) माना $I = 16 \int \limits_1^2 \frac{dx}{x^3(x^2+2)^2}$.
अंश और हर को $x^4$ से गुणा करने पर: $I = 16 \int \limits_1^2 \frac{dx}{x^7(1 + \frac{2}{x^2})^2}$.
माना $t = 1 + \frac{2}{x^2}$,तब $dt = -\frac{4}{x^3} dx$,जिसका अर्थ है कि $\frac{dx}{x^3} = -\frac{dt}{4}$.
साथ ही,$x^2 = \frac{2}{t-1}$,इसलिए $x^4 = \frac{4}{(t-1)^2}$.
जब $x=1$,तब $t=3$. जब $x=2$,तब $t=1 + \frac{2}{4} = \frac{3}{2}$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = 16 \int \limits_3^{3/2} \frac{1}{x^4(1 + \frac{2}{x^2})^2} \cdot \frac{dx}{x^3} = 16 \int \limits_3^{3/2} \frac{(t-1)^2}{4} \cdot \frac{1}{t^2} \cdot (-\frac{dt}{4}) = -\int \limits_3^{3/2} \frac{(t-1)^2}{t^2} dt$.
$I = \int \limits_{3/2}^3 (1 - \frac{2}{t} + \frac{1}{t^2}) dt = [t - 2 \ln|t| - \frac{1}{t}]_{3/2}^3$.
$I = (3 - 2 \ln 3 - \frac{1}{3}) - (\frac{3}{2} - 2 \ln \frac{3}{2} - \frac{2}{3}) = (\frac{8}{3} - 2 \ln 3) - (\frac{5}{6} - 2 \ln \frac{3}{2})$.
$I = \frac{16-5}{6} - 2 \ln(\frac{3}{3/2}) = \frac{11}{6} - 2 \ln 2 = \frac{11}{6} - \ln 4$.

(B) दिया गया समाकलन $I = \int \sqrt{\sec 2x - 1} \, dx = \int \sqrt{\frac{1 - \cos 2x}{\cos 2x}} \, dx = \int \sqrt{\frac{2 \sin^2 x}{\cos 2x}} \, dx = \sqrt{2} \int \frac{\sin x}{\sqrt{\cos 2x}} \, dx$ है।
माना $\cos x = t$,तब $-\sin x \, dx = dt$ होगा।
$I = -\sqrt{2} \int \frac{dt}{\sqrt{2t^2 - 1}} = -\int \frac{dt}{\sqrt{t^2 - 1/2}}$।
सूत्र $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - a^2}} = \ln |x + \sqrt{x^2 - a^2}|$ का उपयोग करने पर,$I = -\ln |\cos x + \sqrt{\cos^2 x - 1/2}| + C = -\ln |\cos x + \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{\cos 2x}| + C$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर,$I = -\frac{1}{2} \ln |\cos 2x + 1/2 + \sqrt{\cos 2x (1 + \cos 2x)}| + C$ प्राप्त होता है।
तुलना करने पर,$\alpha = -1/2$ और $\beta = 1/2$ है।
अतः,$\beta - \alpha = 1/2 - (-1/2) = 1$।

(C) हमें दिया गया है $I(x) = \int \frac{x^2(x \sec^2 x + \tan x)}{(x \tan x + 1)^2} dx$।
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = x^2$ और $dv = \frac{x \sec^2 x + \tan x}{(x \tan x + 1)^2} dx$ लें।
चूंकि $(x \tan x + 1)$ का अवकलन $(x \sec^2 x + \tan x)$ है,इसलिए $v = -\frac{1}{x \tan x + 1}$ होगा।
सूत्र $\int u dv = uv - \int v du$ का उपयोग करने पर:
$I(x) = -\frac{x^2}{x \tan x + 1} + 2 \int \frac{x \cos x}{x \sin x + \cos x} dx$।
चूंकि $(x \sin x + \cos x)$ का अवकलन $x \cos x$ है,इसलिए समाकलन $2 \ln |x \sin x + \cos x| + C$ होगा।
$I(x) = -\frac{x^2}{x \tan x + 1} + 2 \ln |x \sin x + \cos x| + C$।
$I(0) = 0$ रखने पर,हमें $C = 0$ प्राप्त होता है।
$x = \frac{\pi}{4}$ रखने पर,$I(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\pi^2}{4(\pi+4)} + \ln \frac{(\pi+4)^2}{32}$।

(A) माना $I = \int \left( \left(\frac{x}{2}\right)^x + \left(\frac{2}{x}\right)^x \right) \log_2 x \, dx$.
हम जानते हैं कि $\log_2 x = \frac{\ln x}{\ln 2}$.
माना $f(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^x$. तब $\ln f(x) = x \ln \left(\frac{x}{2}\right) = x(\ln x - \ln 2)$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{f(x)} f'(x) = 1 \cdot (\ln x - \ln 2) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x - \ln 2 + 1$.
अतः $f'(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^x (\ln x - \ln 2 + 1)$.
इस समाकलन का हल $\left(\frac{x}{2}\right)^x + C$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $I(x) = \int e^{\sin^2 x} (\cos x \sin 2x - \sin x) dx$.
$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर:
$I(x) = \int e^{\sin^2 x} (2 \sin x \cos^2 x - \sin x) dx$.
यहाँ,$\frac{d}{dx} (e^{\sin^2 x} \cos x) = e^{\sin^2 x} (2 \sin x \cos x) \cos x + e^{\sin^2 x} (-\sin x) = e^{\sin^2 x} (2 \sin x \cos^2 x - \sin x) = e^{\sin^2 x} (\cos x \sin 2x - \sin x)$ होता है।
अतः,$I(x) = e^{\sin^2 x} \cos x + C$.
चूँकि $I(0) = 1$,इसलिए $1 = e^{\sin^2 0} \cos 0 + C \Rightarrow 1 = 1 \cdot 1 + C \Rightarrow C = 0$.
अतः,$I(x) = e^{\sin^2 x} \cos x$.
इसलिए $I\left(\frac{\pi}{3}\right) = e^{\sin^2(\pi/3)} \cos(\pi/3) = e^{3/4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{3}{4}}$.

(D) हमारे पास समाकलन $I = \int \left( \left( \frac{x}{e} \right)^{2x} + \left( \frac{e}{x} \right)^{2x} \right) \ln x \, dx$ है।
ध्यान दें कि $\left( \frac{x}{e} \right)^{2x} = e^{2x \ln(x/e)} = e^{2x(\ln x - 1)} = e^{2(x \ln x - x)}$.
इसी प्रकार,$\left( \frac{e}{x} \right)^{2x} = e^{-2(x \ln x - x)}$.
माना $t = x \ln x - x$. तब $dt = (\ln x + x \cdot \frac{1}{x} - 1) \, dx = \ln x \, dx$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I = \int (e^{2t} + e^{-2t}) \, dt$ प्राप्त होता है।
समाकलन करने पर,$I = \frac{e^{2t}}{2} - \frac{e^{-2t}}{2} + C$ प्राप्त होता है।
$t = x \ln x - x$ वापस रखने पर,$I = \frac{1}{2} \left( \frac{x}{e} \right)^{2x} - \frac{1}{2} \left( \frac{e}{x} \right)^{2x} + C$ प्राप्त होता है।
दिए गए रूप से तुलना करने पर,$\alpha = 2, \beta = 2, \gamma = 2, \delta = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + 2\beta + 3\gamma - 4\delta = 2 + 2(2) + 3(2) - 4(2) = 2 + 4 + 6 - 8 = 4$.

(D) मान लीजिए $I(x) = \int \sqrt{\frac{x+7}{x}} \, dx$ है।
$x = t^2$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = 2t \, dt$ प्राप्त होता है।
समाकलन $\int \sqrt{\frac{t^2+7}{t^2}} \cdot 2t \, dt = 2 \int \sqrt{t^2+7} \, dt$ हो जाता है।
सूत्र $\int \sqrt{t^2+a^2} \, dt = \frac{t}{2} \sqrt{t^2+a^2} + \frac{a^2}{2} \ln|t + \sqrt{t^2+a^2}| + C$ का उपयोग करने पर:
$I(t) = 2 \left[ \frac{t}{2} \sqrt{t^2+7} + \frac{7}{2} \ln|t + \sqrt{t^2+7}| \right] + C = t \sqrt{t^2+7} + 7 \ln|t + \sqrt{t^2+7}| + C$.
$t = \sqrt{x}$ रखने पर,$I(x) = \sqrt{x} \sqrt{x+7} + 7 \ln|\sqrt{x} + \sqrt{x+7}| + C$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $I(9) = 12 + 7 \ln 7$.
$I(9) = \sqrt{9} \sqrt{9+7} + 7 \ln|\sqrt{9} + \sqrt{9+7}| + C = 3 \cdot 4 + 7 \ln(3+4) + C = 12 + 7 \ln 7 + C$.
तुलना करने पर,$C = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$I(x) = \sqrt{x(x+7)} + 7 \ln(\sqrt{x} + \sqrt{x+7})$.
अब,$I(1) = \sqrt{1(1+7)} + 7 \ln(\sqrt{1} + \sqrt{1+7}) = \sqrt{8} + 7 \ln(1 + \sqrt{8}) = \sqrt{8} + 7 \ln(1 + 2\sqrt{2})$.
दिया गया है $I(1) = \alpha + 7 \ln(1 + 2\sqrt{2})$,इसलिए $\alpha = \sqrt{8}$.
अतः,$\alpha^4 = (\sqrt{8})^4 = 8^2 = 64$.

(A) माना $I = \int_0^{\pi/4} e^{-x} \tan^{50} x \, dx$ है। खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = \tan^{50} x$ और $dv = e^{-x} \, dx$ लेने पर,हमें $du = 50 \tan^{49} x \sec^2 x \, dx$ और $v = -e^{-x}$ प्राप्त होता है।
$I = [-e^{-x} \tan^{50} x]_0^{\pi/4} + \int_0^{\pi/4} e^{-x} (50 \tan^{49} x \sec^2 x) \, dx$
$I = -e^{-\pi/4} (1)^{50} + 0 + 50 \int_0^{\pi/4} e^{-x} \tan^{49} x (1 + \tan^2 x) \, dx$
$I = -e^{-\pi/4} + 50 \int_0^{\pi/4} e^{-x} (\tan^{49} x + \tan^{51} x) \, dx$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$e^{-\pi/4} + I = 50 \int_0^{\pi/4} e^{-x} (\tan^{49} x + \tan^{51} x) \, dx$
अतः,दिए गए व्यंजक का मान:
$\frac{e^{-\pi/4} + I}{\int_0^{\pi/4} e^{-x} (\tan^{49} x + \tan^{51} x) \, dx} = \frac{50 \int_0^{\pi/4} e^{-x} (\tan^{49} x + \tan^{51} x) \, dx}{\int_0^{\pi/4} e^{-x} (\tan^{49} x + \tan^{51} x) \, dx} = 50$

(A) मान लीजिए $I = \int \frac{dx}{(3+4x^2) \sqrt{4-3x^2}}$ है। $x = \frac{2}{\sqrt{3}} \sin \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = \frac{2}{\sqrt{3}} \cos \theta d\theta$ प्राप्त होता है।
तब $\sqrt{4-3x^2} = \sqrt{4-4\sin^2 \theta} = 2 \cos \theta$ है।
$I = \int \frac{\frac{2}{\sqrt{3}} \cos \theta d\theta}{(3 + 4(\frac{4}{3} \sin^2 \theta)) (2 \cos \theta)} = \int \frac{\frac{1}{\sqrt{3}} d\theta}{3 + \frac{16}{3} \sin^2 \theta} = \int \frac{\sqrt{3} d\theta}{9 + 16 \sin^2 \theta}$ है।
अंश और हर को $\cos^2 \theta$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{\sqrt{3} \sec^2 \theta d\theta}{9 \sec^2 \theta + 16 \tan^2 \theta} = \int \frac{\sqrt{3} \sec^2 \theta d\theta}{9(1 + \tan^2 \theta) + 16 \tan^2 \theta} = \int \frac{\sqrt{3} \sec^2 \theta d\theta}{9 + 25 \tan^2 \theta}$ है।
$u = \tan \theta$ लेने पर,$du = \sec^2 \theta d\theta$ प्राप्त होता है।
$I = \sqrt{3} \int \frac{du}{9 + 25u^2} = \frac{\sqrt{3}}{25} \int \frac{du}{\frac{9}{25} + u^2} = \frac{\sqrt{3}}{25} \cdot \frac{5}{3} \tan^{-1}\left(\frac{5u}{3}\right) + C = \frac{1}{5\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{5 \tan \theta}{3}\right) + C$ है।
चूंकि $x = \frac{2}{\sqrt{3}} \sin \theta$,इसलिए $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}x}{2}$,और $\tan \theta = \frac{\sqrt{3}x}{\sqrt{4-3x^2}}$ है।
$f(x) = \frac{1}{5\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{5\sqrt{3}x}{3\sqrt{4-3x^2}}\right) + C = \frac{1}{5\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{5x}{\sqrt{3(4-3x^2)}}\right) + C$ है।
$f(0) = 0 \implies C = 0$ है।
$f(1) = \frac{1}{5\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{5}{\sqrt{3(4-3)}}\right) = \frac{1}{5\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{5}{\sqrt{3}}\right)$ है।
$\frac{1}{\alpha \beta} \tan^{-1}\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)$ से तुलना करने पर,$\alpha = 5, \beta = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
$\alpha^2 + \beta^2 = 25 + 3 = 28$।

(D) माना $I = \int \frac{\sin ^{\frac{3}{2}} x+\cos ^{\frac{3}{2}} x}{\sqrt{\sin ^3 x \cos ^3 x \sin (x-\theta)}} d x$.
$\sin(x-\theta) = \sin x \cos \theta - \cos x \sin \theta$ का विस्तार करने पर:
$I = \int \frac{\sin^{\frac{3}{2}} x}{\sin^{\frac{3}{2}} x \cos^{\frac{3}{2}} x \sqrt{\sin x \cos \theta - \cos x \sin \theta}} dx + \int \frac{\cos^{\frac{3}{2}} x}{\sin^{\frac{3}{2}} x \cos^{\frac{3}{2}} x \sqrt{\sin x \cos \theta - \cos x \sin \theta}} dx$.
अंश और हर को क्रमशः $\cos^3 x$ और $\sin^3 x$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{\sec^2 x}{\sqrt{\tan x \cos \theta - \sin \theta}} dx + \int \frac{\operatorname{cosec}^2 x}{\sqrt{\cos \theta - \cot x \sin \theta}} dx$.
प्रथम समाकलन के लिए,$t^2 = \tan x \cos \theta - \sin \theta$ लें,तो $2t dt = \cos \theta \sec^2 x dx \implies \sec^2 x dx = \frac{2t dt}{\cos \theta}$.
द्वितीय समाकलन के लिए,$z^2 = \cos \theta - \cot x \sin \theta$ लें,तो $2z dz = \operatorname{cosec}^2 x \sin \theta dx \implies \operatorname{cosec}^2 x dx = \frac{2z dz}{\sin \theta}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{2t dt}{t \cos \theta} + \int \frac{2z dz}{z \sin \theta} = \frac{2t}{\cos \theta} + \frac{2z}{\sin \theta} + C$.
$I = 2 \sec \theta \sqrt{\tan x \cos \theta - \sin \theta} + 2 \operatorname{cosec} \theta \sqrt{\cos \theta - \cot x \sin \theta} + C$.
$A \sqrt{\cos \theta \tan x - \sin \theta} + B \sqrt{\cos \theta - \cot x \sin \theta} + C$ से तुलना करने पर,$A = 2 \sec \theta$ और $B = 2 \operatorname{cosec} \theta$ प्राप्त होता है।
अतः,$AB = (2 \sec \theta)(2 \operatorname{cosec} \theta) = 4 \frac{1}{\cos \theta \sin \theta} = 8 \frac{1}{2 \sin \theta \cos \theta} = 8 \operatorname{cosec}(2 \theta)$.

(B) माना $I = \int \operatorname{cosec}^5 x \, dx$. खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = \operatorname{cosec}^3 x$ और $dv = \operatorname{cosec}^2 x \, dx$ लेने पर:
$I = \operatorname{cosec}^3 x(-\cot x) - \int (3 \operatorname{cosec}^2 x(-\operatorname{cosec} x \cot x))(-\cot x) \, dx$
$I = -\operatorname{cosec}^3 x \cot x - 3 \int \operatorname{cosec}^3 x \cot^2 x \, dx$
$I = -\operatorname{cosec}^3 x \cot x - 3 \int \operatorname{cosec}^3 x (\operatorname{cosec}^2 x - 1) \, dx$
$I = -\operatorname{cosec}^3 x \cot x - 3I + 3 \int \operatorname{cosec}^3 x \, dx$
$4I = -\operatorname{cosec}^3 x \cot x + 3 \int \operatorname{cosec}^3 x \, dx$
हम जानते हैं कि $\int \operatorname{cosec}^3 x \, dx = -\frac{1}{2} \operatorname{cosec} x \cot x + \frac{1}{2} \ln |\tan \frac{x}{2}|$.
इस मान को $4I$ के समीकरण में रखने पर:
$4I = -\operatorname{cosec}^3 x \cot x + 3 \left( -\frac{1}{2} \operatorname{cosec} x \cot x + \frac{1}{2} \ln |\tan \frac{x}{2}| \right)$
$4I = -\operatorname{cosec}^3 x \cot x - \frac{3}{2} \operatorname{cosec} x \cot x + \frac{3}{2} \ln |\tan \frac{x}{2}|$
$I = -\frac{1}{4} \cot x \operatorname{cosec} x (\operatorname{cosec}^2 x + \frac{3}{2}) + \frac{3}{8} \ln |\tan \frac{x}{2}| + C$
दिए गए रूप से तुलना करने पर,$\alpha = -\frac{1}{4}$ और $\beta = \frac{3}{8}$.
अतः,$8(\alpha + \beta) = 8(-\frac{1}{4} + \frac{3}{8}) = 8(\frac{-2+3}{8}) = 1$.

(D) दिया गया समाकलन $I = \int_0^1 (1-x^{10})^{20} dx$ है।
मान लीजिए $x^{10} = t$,तो $x = t^{1/10}$।
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,$dx = \frac{1}{10} t^{1/10 - 1} dt = \frac{1}{10} t^{-9/10} dt$।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_0^1 (1-t)^{20} \cdot \frac{1}{10} t^{-9/10} dt = \frac{1}{10} \int_0^1 t^{-9/10} (1-t)^{20} dt$।
परिभाषा $\beta(m, n) = \int_0^1 x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx$ से तुलना करने पर:
$m-1 = -9/10 \implies m = 1/10$ और $n-1 = 20 \implies n = 21$।
अतः,$I = \frac{1}{10} \beta(1/10, 21)$।
$a \times \beta(b, c)$ से तुलना करने पर,हमें $a = 1/10$,$b = 1/10$,और $c = 21$ प्राप्त होता है।
अंत में,$100(a+b+c) = 100(1/10 + 1/10 + 21) = 100(0.2 + 21) = 100(21.2) = 2120$।

(D) हमें $I_n = \int_0^1 (1 - x^k)^n dx$ दिया गया है। खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = (1 - x^k)^n$ और $dv = dx$ लें। तब $du = n(1 - x^k)^{n-1} (-k x^{k-1}) dx$ और $v = x$ होगा।
$I_n = [x(1 - x^k)^n]_0^1 - \int_0^1 x \cdot n(1 - x^k)^{n-1} (-k x^{k-1}) dx$
$I_n = 0 + nk \int_0^1 x^k (1 - x^k)^{n-1} dx$
$I_n = nk \int_0^1 (x^k - 1 + 1)(1 - x^k)^{n-1} dx$
$I_n = nk \int_0^1 [-(1 - x^k)^n + (1 - x^k)^{n-1}] dx$
$I_n = -nk I_n + nk I_{n-1}$
$I_n(1 + nk) = nk I_{n-1} \Rightarrow \frac{I_n}{I_{n-1}} = \frac{nk}{nk + 1}$
दिया है $147 I_{20} = 148 I_{21}$,इसलिए $\frac{I_{21}}{I_{20}} = \frac{147}{148}$।
$n = 21$ के लिए पुनरावृत्ति संबंध का उपयोग करते हुए: $\frac{I_{21}}{I_{20}} = \frac{21k}{21k + 1}$।
दोनों की तुलना करने पर: $\frac{21k}{21k + 1} = \frac{147}{148}$।
$21k \cdot 148 = 147(21k + 1)$
$3108k = 3087k + 147$
$21k = 147 \Rightarrow k = 7$.

(B) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{1}{(x-1)^{4/5}(x+3)^{6/5}} dx$ है।
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int \frac{1}{\left(\frac{x-1}{x+3}\right)^{4/5} (x+3)^{4/5+6/5}} dx = \int \frac{1}{\left(\frac{x-1}{x+3}\right)^{4/5} (x+3)^2} dx$.
माना $t = \frac{x-1}{x+3}$. तब $dt = \frac{(x+3)(1) - (x-1)(1)}{(x+3)^2} dx = \frac{4}{(x+3)^2} dx$.
अतः,$\frac{1}{(x+3)^2} dx = \frac{1}{4} dt$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{1}{t^{4/5}} \cdot \frac{1}{4} dt = \frac{1}{4} \int t^{-4/5} dt = \frac{1}{4} \cdot \frac{t^{1/5}}{1/5} + C = \frac{5}{4} \left(\frac{x-1}{x+3}\right)^{1/5} + C$.
इसकी तुलना $A\left(\frac{\alpha x-1}{\beta x+3}\right)^B + C$ से करने पर,हमें $A = \frac{5}{4}$,$\alpha = 1$,$\beta = 1$,और $B = \frac{1}{5}$ प्राप्त होता है।
अंत में,$\alpha + \beta + 20AB = 1 + 1 + 20 \times \frac{5}{4} \times \frac{1}{5} = 2 + 5 = 7$.

(C) हमारे पास $I = \int \frac{2-\tan x}{3+\tan x} dx = \int \frac{2 \cos x - \sin x}{3 \cos x + \sin x} dx$ है।
मान लीजिए $2 \cos x - \sin x = A(3 \cos x + \sin x) + B(-3 \sin x + \cos x)$.
$\cos x$ और $\sin x$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$3A + B = 2$ और $A - 3B = -1$.
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें $A = \frac{1}{2}$ और $B = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = \int \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \frac{-3 \sin x + \cos x}{3 \cos x + \sin x} \right) dx$.
$I = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \ln |3 \cos x + \sin x| + C$.
इसकी तुलना $\frac{1}{2}(\alpha x + \ln |\beta \sin x + \gamma \cos x|) + C$ से करने पर,हमें $\alpha = 1$,$\beta = 1$,और $\gamma = 3$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\alpha + \frac{\gamma}{\beta} = 1 + \frac{3}{1} = 4$.

(C) दिया गया है $J = \int \frac{e^{-x}}{e^{-4x} + e^{-2x} + 1} dx$। अंश और हर को $e^{4x}$ से गुणा करने पर,हमें $J = \int \frac{e^{3x}}{1 + e^{2x} + e^{4x}} dx$ प्राप्त होता है।
अब,$J - I = \int \frac{e^{3x} - e^x}{e^{4x} + e^{2x} + 1} dx = \int \frac{e^x(e^{2x} - 1)}{e^{4x} + e^{2x} + 1} dx$।
मान लीजिए $z = e^x$,तो $dz = e^x dx$। समाकलन $\int \frac{z^2 - 1}{z^4 + z^2 + 1} dz$ बन जाता है।
अंश और हर को $z^2$ से विभाजित करने पर: $\int \frac{1 - 1/z^2}{z^2 + 1 + 1/z^2} dz = \int \frac{1 - 1/z^2}{(z + 1/z)^2 - 1} dz$।
मान लीजिए $u = z + 1/z$,तो $du = (1 - 1/z^2) dz$। समाकलन $\int \frac{du}{u^2 - 1} = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{u - 1}{u + 1} \right| + C$ बन जाता है।
$u = e^x + e^{-x}$ वापस रखने पर: $\frac{1}{2} \ln \left| \frac{e^x + e^{-x} - 1}{e^x + e^{-x} + 1} \right| + C = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{e^{2x} - e^x + 1}{e^{2x} + e^x + 1} \right) + C$।

(C) दिया गया है $f(x) = (7 \tan^6 x - 3 \tan^2 x)(\tan^2 x + 1) = (7 \tan^6 x - 3 \tan^2 x)(\sec^2 x)$.
$I_1 = \int_0^{\pi/4} (7 \tan^6 x - 3 \tan^2 x)(\sec^2 x) \, dx$.
माना $\tan x = t$,तब $\sec^2 x \, dx = dt$. जब $x \to 0, t \to 0$ और जब $x \to \pi/4, t \to 1$.
$I_1 = \int_0^1 (7t^6 - 3t^2) \, dt = [t^7 - t^3]_0^1 = 1 - 1 = 0$.
अब,$I_2 = \int_0^{\pi/4} x f(x) \, dx = \int_0^{\pi/4} x \frac{d}{dx} (\tan^7 x - \tan^3 x) \, dx$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए: $I_2 = [x(\tan^7 x - \tan^3 x)]_0^{\pi/4} - \int_0^{\pi/4} (\tan^7 x - \tan^3 x) \, dx$.
चूंकि $\tan(\pi/4) = 1$,इसलिए सीमा पद $0 - 0 = 0$ होगा।
$I_2 = - \int_0^{\pi/4} \tan^3 x (\tan^4 x - 1) \, dx = - \int_0^{\pi/4} \tan^3 x (\tan^2 x - 1)(\tan^2 x + 1) \, dx$.
माना $\tan x = t$,तब $\sec^2 x \, dx = dt$.
$I_2 = - \int_0^1 t^3(t^2 - 1) \, dt = - \int_0^1 (t^5 - t^3) \, dt = - [\frac{t^6}{6} - \frac{t^4}{4}]_0^1 = - (\frac{1}{6} - \frac{1}{4}) = - (\frac{2-3}{12}) = \frac{1}{12}$.
अतः,$7 I_1 + 12 I_2 = 7(0) + 12(\frac{1}{12}) = 1$.

(B) दिया गया है $I(x) = \int \frac{dx}{(x-11)^{\frac{11}{13}}(x+15)^{\frac{15}{13}}}$.
समाकल्य को इस प्रकार लिखें: $I(x) = \int \left( \frac{x-11}{x+15} \right)^{-\frac{11}{13}} \cdot \frac{1}{(x+15)^2} dx$.
माना $t = \frac{x-11}{x+15}$. तब $dt = \frac{(x+15) - (x-11)}{(x+15)^2} dx = \frac{26}{(x+15)^2} dx$.
अतः,$I(x) = \frac{1}{26} \int t^{-\frac{11}{13}} dt = \frac{1}{26} \cdot \frac{t^{\frac{2}{13}}}{\frac{2}{13}} + C = \frac{1}{4} \left( \frac{x-11}{x+15} \right)^{\frac{2}{13}} + C$.
अब,$I(37) - I(24) = \frac{1}{4} \left( \frac{37-11}{37+15} \right)^{\frac{2}{13}} - \frac{1}{4} \left( \frac{24-11}{24+15} \right)^{\frac{2}{13}}$.
$= \frac{1}{4} \left( \frac{26}{52} \right)^{\frac{2}{13}} - \frac{1}{4} \left( \frac{13}{39} \right)^{\frac{2}{13}} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{2}{13}} - \frac{1}{4} \left( \frac{1}{3} \right)^{\frac{2}{13}}$.
$= \frac{1}{4} \left( \frac{1}{4^{\frac{1}{13}}} - \frac{1}{9^{\frac{1}{13}}} \right)$.
दिए गए रूप से तुलना करने पर,$b = 4$ और $c = 9$.
इसलिए,$3(b+c) = 3(4+9) = 3(13) = 39$.

(A) माना $2 x^2+5 x+9 = A(x^2+x+1) + B(2x+1) + D$.
गुणांकों की तुलना करने पर: $A=2$,$A+2B=5 \implies 2+2B=5 \implies B=\frac{3}{2}$,और $A+B+D=9 \implies 2+\frac{3}{2}+D=9 \implies D=\frac{11}{2}$.
समाकलन इस प्रकार होगा: $\int \frac{2(x^2+x+1) + \frac{3}{2}(2x+1) + \frac{11}{2}}{\sqrt{x^2+x+1}} dx = 2\int \sqrt{x^2+x+1} dx + \frac{3}{2}\int \frac{2x+1}{\sqrt{x^2+x+1}} dx + \frac{11}{2}\int \frac{dx}{\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2}}$.
सूत्र $\int \sqrt{x^2+a^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2+a^2} + \frac{a^2}{2}\ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|$ का उपयोग करने पर:
$2[\frac{x+1/2}{2}\sqrt{x^2+x+1} + \frac{3/4}{2}\ln|x+1/2+\sqrt{x^2+x+1}|] + 3\sqrt{x^2+x+1} + \frac{11}{2}\ln|x+1/2+\sqrt{x^2+x+1}| + C$.
$= (x+\frac{1}{2})\sqrt{x^2+x+1} + \frac{3}{4}\ln|...| + 3\sqrt{x^2+x+1} + \frac{11}{2}\ln|...| + C$.
$= x\sqrt{x^2+x+1} + (\frac{1}{2}+3)\sqrt{x^2+x+1} + (\frac{3}{4}+\frac{11}{2})\ln|x+\frac{1}{2}+\sqrt{x^2+x+1}| + C$.
दिए गए रूप से तुलना करने पर: $\alpha = \frac{7}{2}$ और $\beta = \frac{3}{4} + \frac{22}{4} = \frac{25}{4}$.
$\alpha + 2\beta = \frac{7}{2} + 2(\frac{25}{4}) = \frac{7}{2} + \frac{25}{2} = \frac{32}{2} = 16$.

(B) माना $I = \int \frac{(\sqrt{1+x^2}+x)^{10}}{(\sqrt{1+x^2}-x)^9} dx$.
हर का परिमेयकरण करने पर:
$I = \int \frac{(\sqrt{1+x^2}+x)^{10}}{(\sqrt{1+x^2}-x)^9} \cdot \frac{(\sqrt{1+x^2}+x)^9}{(\sqrt{1+x^2}+x)^9} dx = \int (\sqrt{1+x^2}+x)^{19} dx$.
माना $t = \sqrt{1+x^2}+x$. तब $\frac{dt}{dx} = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} + 1 = \frac{x+\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{t}{\sqrt{1+x^2}}$.
अतः,$dx = \frac{\sqrt{1+x^2}}{t} dt$.
चूँकि $t = \sqrt{1+x^2}+x$,हमारे पास $\sqrt{1+x^2}-x = \frac{1}{t}$ है।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2\sqrt{1+x^2} = t + \frac{1}{t} \implies \sqrt{1+x^2} = \frac{1}{2}(t + \frac{1}{t})$.
इस मान को समाकलन में रखने पर:
$I = \int t^{19} \cdot \frac{1}{2}(t + \frac{1}{t}) \cdot \frac{1}{t} dt = \frac{1}{2} \int (t^{19} + t^{17}) dt$.
$I = \frac{1}{2} (\frac{t^{20}}{20} + \frac{t^{18}}{18}) + C = \frac{t^{19}}{2} (\frac{t}{20} + \frac{1}{18t}) + C = \frac{t^{19}}{360} (9t + \frac{10}{t}) + C$.
चूँकि $t = \sqrt{1+x^2}+x$ और $\frac{1}{t} = \sqrt{1+x^2}-x$,हमारे पास $9t + \frac{10}{t} = 9(\sqrt{1+x^2}+x) + 10(\sqrt{1+x^2}-x) = 19\sqrt{1+x^2} - x$ है।
अतः,$I = \frac{1}{360} ((\sqrt{1+x^2}+x)^{19} (19\sqrt{1+x^2}-x)) + C$.
दिए गए रूप से तुलना करने पर,$m = 360$ और $n = 19$.
इसलिए,$m+n = 360 + 19 = 379$.

(B) माना $I = \int \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^3}\right) \left(3x^{-24} + x^{-26}\right)^{\frac{1}{23}} dx$.
$t = 3x^{-24} + x^{-26}$ लेने पर,$dt = -24(3x^{-25} + \frac{26}{24}x^{-27}) dx$.
दिए गए रूप के साथ तुलना करने पर,$\alpha = 23, \beta = -1, \gamma = -3$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + \beta + \gamma = 23 - 1 - 3 = 19$.

(A) माना $I = \int_{\frac{1}{3}}^1 (x - x^3)^{\frac{1}{3}} dx$.
हम समाकल्य को $I = \int_{\frac{1}{3}}^1 [x^3(\frac{1}{x^2} - 1)]^{\frac{1}{3}} dx = \int_{\frac{1}{3}}^1 x(\frac{1}{x^2} - 1)^{\frac{1}{3}} dx$ के रूप में लिख सकते हैं।
माना $u = \frac{1}{x^2} - 1$,जिससे $du = -\frac{2}{x^3} dx$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,इस समाकलन का मान $0$ है।

(B) माना $I = \int \frac{dx}{3-2 \cos 2x}$.
सर्वसमिका $\cos 2x = \frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x}$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{dx}{3-2(\frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x})} = \int \frac{(1+\tan^2 x) dx}{3(1+\tan^2 x) - 2(1-\tan^2 x)}$.
$I = \int \frac{\sec^2 x dx}{3+3\tan^2 x - 2 + 2\tan^2 x} = \int \frac{\sec^2 x dx}{1+5\tan^2 x}$.
माना $t = \tan x$,तब $dt = \sec^2 x dx$.
$I = \int \frac{dt}{1+(\sqrt{5}t)^2} = \frac{1}{\sqrt{5}} \tan^{-1}(\sqrt{5}t) + c$.
$t = \tan x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I = \frac{1}{\sqrt{5}} \tan^{-1}(\sqrt{5} \tan x) + c$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $\frac{\tan^{-1}(f(x))}{\sqrt{5}} + c$ से करने पर,हमें $f(x) = \sqrt{5} \tan x$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(\pi/4) = \sqrt{5} \tan(\pi/4) = \sqrt{5} \times 1 = \sqrt{5}$.

(C) दिया गया समाकलन $\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x} dx$ है जिसे $n=2$ उप-अंतरालों में विभाजित किया गया है।
यहाँ,अंतराल $[0, 1]$ है,इसलिए $h = \frac{1-0}{2} = \frac{1}{2}$ है।
बिंदु $x_0 = 0$,$x_1 = 0.5$,और $x_2 = 1$ हैं।
$y = f(x) = \frac{1}{1+x}$ के लिए संगत मान हैं:
$y_0 = f(0) = \frac{1}{1+0} = 1$
$y_1 = f(0.5) = \frac{1}{1+0.5} = \frac{1}{1.5} = \frac{2}{3}$
$y_2 = f(1) = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$
सिम्पसन के एक-तिहाई नियम का उपयोग करते हुए: $\int_{a}^{b} f(x) dx \approx \frac{h}{3} [y_0 + 4y_1 + y_2]$।
मान रखने पर: $\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x} dx \approx \frac{0.5}{3} [1 + 4(\frac{2}{3}) + 0.5] = \frac{1}{6} [1 + \frac{8}{3} + 0.5] = \frac{1}{6} [1.5 + \frac{8}{3}] = \frac{1}{6} [\frac{3}{2} + \frac{8}{3}] = \frac{1}{6} [\frac{9+16}{6}] = \frac{25}{36}$।

(C) $\text{हमारे पास समाकलन } I = \int \frac{x+\sin x}{1+\cos x} \,d x \text{ है।}
\text{त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं } \sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \text{ और } 1+\cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2} \text{ का उपयोग करने पर:}
I = \int \frac{x + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} \,d x
I = \int \left( \frac{x}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} + \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} \right) \,d x
I = \int \left( \frac{1}{2} x \sec^2 \frac{x}{2} + \tan \frac{x}{2} \right) \,d x
I = \frac{1}{2} \int x \sec^2 \frac{x}{2} \,d x + \int \tan \frac{x}{2} \,d x
\text{प्रथम पद के लिए खंडशः समाकलन } \int u v' = uv - \int u' v \text{ का उपयोग करने पर:}
\text{माना } u = x \text{ और } v' = \sec^2 \frac{x}{2}. \text{ तब } u' = 1 \text{ और } v = 2 \tan \frac{x}{2}.
\frac{1}{2} \int x \sec^2 \frac{x}{2} \,d x = \frac{1}{2} \left( x \cdot 2 \tan \frac{x}{2} - \int 2 \tan \frac{x}{2} \,d x \right) = x \tan \frac{x}{2} - \int \tan \frac{x}{2} \,d x.
\text{इस मान को } I \text{ में प्रतिस्थापित करने पर:}
I = x \tan \frac{x}{2} - \int \tan \frac{x}{2} \,d x + \int \tan \frac{x}{2} \,d x = x \tan \frac{x}{2} + c.$

(B) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{4 e^x-25}{2 e^x-5} dx$ है।
अंश को हर के पदों में व्यवस्थित करने पर:
$4 e^x - 25 = A(2 e^x - 5) + B(2 e^x)$.
$4 e^x - 25 = (2A + 2B) e^x - 5A$.
गुणांकों की तुलना करने पर:
$-5A = -25 \implies A = 5$.
$2A + 2B = 4 \implies 10 + 2B = 4 \implies 2B = -6 \implies B = -3$.
अतः,$\int \frac{4 e^x-25}{2 e^x-5} dx = \int \left( 5 - 3 \frac{2 e^x}{2 e^x-5} \right) dx = 5x - 3 \log|2 e^x - 5| + c$.
इस प्रकार,$A=5$ और $B=-3$ प्राप्त होता है।

(C) अंश और हर को $e^x$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{4 e^{2x} + 6}{9 e^{2x} - 4} dx$
माना $4 e^{2x} + 6 = A(18 e^{2x}) + B(9 e^{2x} - 4)$
$e^{2x}$ के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करने पर:
$18A + 9B = 4$ और $-4B = 6$
$-4B = 6$ से,हमें $B = -\frac{3}{2}$ प्राप्त होता है
$18A + 9B = 4$ में $B$ का मान रखने पर:
$18A + 9(-\frac{3}{2}) = 4 \Rightarrow 18A - \frac{27}{2} = 4 \Rightarrow 18A = \frac{35}{2} \Rightarrow A = \frac{35}{36}$
अब,$I = \int \left[ \frac{\frac{35}{36}(18 e^{2x})}{9 e^{2x} - 4} - \frac{\frac{3}{2}(9 e^{2x} - 4)}{9 e^{2x} - 4} \right] dx$
$I = \frac{35}{36} \log |9 e^{2x} - 4| - \frac{3}{2} x + c$
$Ax + B \log |9 e^{2x} - 4| + c$ से तुलना करने पर,हमें $A = -\frac{3}{2}$ और $B = \frac{35}{36}$ प्राप्त होता है।