यह मानते हुए कि नीचे दिए गए योग और गुणनफल परिभाषित हैं,आव्यूहों के लिए निम्नलिखित में से कौन सा सत्य नहीं है?

मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{bmatrix}$,जहाँ $a, b \in \mathbb{N}$ है। तब:

मान लीजिए $A$ एक $2 \times 2$ वास्तविक आव्यूह है जिसके अवयव $\{0, 1\}$ से हैं और $|A| \neq 0$ है। निम्नलिखित दो कथनों पर विचार करें:
$(P)$ यदि $A \neq I_{2}$,तो $|A| = -1$
$(Q)$ यदि $|A| = 1$,तो $\operatorname{tr}(A) = 2$
जहाँ $I_{2}$ एक $2 \times 2$ तत्समक आव्यूह को दर्शाता है और $\operatorname{tr}(A)$ आव्यूह $A$ के विकर्ण अवयवों का योग दर्शाता है। तो:

$AB = 0$,यदि और केवल यदि

यदि $f(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta \end{bmatrix}$ है,तो $f\left(\frac{\pi}{6}\right) = $ . . . . . . .

दिया गया है $3\begin{bmatrix} x & y \\ z & w \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x & 6 \\ -1 & 2w \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 & x+y \\ z+w & 3 \end{bmatrix}$,तो $x, y, z$ और $w$ के मान ज्ञात कीजिए।