નિશ્ચાયકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે:
$\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^{3} & b^{3} & c^{3} \end{array}\right|=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$
$\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^{3} & b^{3} & c^{3} \end{array}\right|=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$
(A) ધારો કે $\Delta=\left|\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^{3} & b^{3} & c^{3}\end{array}\right|$.
$C_{1} \rightarrow C_{1}-C_{2}$ અને $C_{2} \rightarrow C_{2}-C_{3}$ લેતા:
$\Delta=\left|\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ a-b & b-c & c \\ a^{3}-b^{3} & b^{3}-c^{3} & c^{3}\end{array}\right|$.
$C_{1}$ માંથી $(a-b)$ અને $C_{2}$ માંથી $(b-c)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta=(a-b)(b-c)\left|\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & c \\ a^{2}+ab+b^{2} & b^{2}+bc+c^{2} & c^{3}\end{array}\right|$.
$C_{1} \rightarrow C_{1}-C_{2}$ લેતા:
$\Delta=(a-b)(b-c)\left|\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & c \\ a^{2}-c^{2}+ab-bc & b^{2}+bc+c^{2} & c^{3}\end{array}\right|$.
$\Delta=(a-b)(b-c)\left|\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & c \\ (a-c)(a+c)+b(a-c) & b^{2}+bc+c^{2} & c^{3}\end{array}\right|$.
$\Delta=(a-b)(b-c)(a-c)\left|\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & c \\ a+b+c & b^{2}+bc+c^{2} & c^{3}\end{array}\right|$.
$R_{1}$ ની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta=(a-b)(b-c)(a-c)(1)[0 - (a+b+c)] = -(a-b)(b-c)(a-c)(a+b+c)$.
કારણ કે $-(a-c) = (c-a)$,તેથી:
$\Delta=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$.
આમ,પરિણામ સાબિત થાય છે.
$C_{1} \rightarrow C_{1}-C_{2}$ અને $C_{2} \rightarrow C_{2}-C_{3}$ લેતા:
$\Delta=\left|\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ a-b & b-c & c \\ a^{3}-b^{3} & b^{3}-c^{3} & c^{3}\end{array}\right|$.
$C_{1}$ માંથી $(a-b)$ અને $C_{2}$ માંથી $(b-c)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta=(a-b)(b-c)\left|\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & c \\ a^{2}+ab+b^{2} & b^{2}+bc+c^{2} & c^{3}\end{array}\right|$.
$C_{1} \rightarrow C_{1}-C_{2}$ લેતા:
$\Delta=(a-b)(b-c)\left|\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & c \\ a^{2}-c^{2}+ab-bc & b^{2}+bc+c^{2} & c^{3}\end{array}\right|$.
$\Delta=(a-b)(b-c)\left|\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & c \\ (a-c)(a+c)+b(a-c) & b^{2}+bc+c^{2} & c^{3}\end{array}\right|$.
$\Delta=(a-b)(b-c)(a-c)\left|\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & c \\ a+b+c & b^{2}+bc+c^{2} & c^{3}\end{array}\right|$.
$R_{1}$ ની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta=(a-b)(b-c)(a-c)(1)[0 - (a+b+c)] = -(a-b)(b-c)(a-c)(a+b+c)$.
કારણ કે $-(a-c) = (c-a)$,તેથી:
$\Delta=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$.
આમ,પરિણામ સાબિત થાય છે.
Explore More
Similar Questions
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે:
$\left|\begin{array}{ccc}-a^{2} & ab & ac \\ ba & -b^{2} & bc \\ ca & cb & -c^{2}\end{array}\right|=4a^{2}b^{2}c^{2}$
$\left|\begin{array}{ccc}-a^{2} & ab & ac \\ ba & -b^{2} & bc \\ ca & cb & -c^{2}\end{array}\right|=4a^{2}b^{2}c^{2}$
Medium
View Solutionજો ${a_1}, {a_2}, {a_3}, \dots, {a_n}, \dots$ એ $G$.$P$. માં હોય અને દરેક $i$ માટે ${a_i} > 0$ હોય,તો નિશ્ચાયક $\Delta = \begin{vmatrix} \log {a_n} & \log {a_{n+2}} & \log {a_{n+4}} \\ \log {a_{n+6}} & \log {a_{n+8}} & \log {a_{n+10}} \\ \log {a_{n+12}} & \log {a_{n+14}} & \log {a_{n+16}} \end{vmatrix}$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?
Medium
View Solutionનિશ્ચાયક $\left|\begin{array}{ccc}\sin \alpha & \cos \alpha & \sin (\alpha+\delta) \\ \sin \beta & \cos \beta & \sin (\beta+\delta) \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \sin (\gamma+\delta)\end{array}\right|$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?
MediumKCET 2011
View Solutionજો $\Delta = \begin{vmatrix} a & b & c \\ x & y & z \\ p & q & r \end{vmatrix}$ હોય,તો $\begin{vmatrix} ka & kb & kc \\ kx & ky & kz \\ kp & kq & kr \end{vmatrix}$ =
Easy
View Solutionનિશ્ચાયક $\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 6 \end{array} \right|$ એ નીચેનામાંથી કોના બરાબર નથી?
Medium
View SolutionVedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D exam papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See Demo